0 引言

与单分量地震检波器相比，三分量检波器可接收更丰富的地震波信息，但三分量检波器的放置方位对采集的地震记录会产生很大影响。通常希望使Z分量垂直于水平面、X分量平行于测线、Y分量垂直于测线方向，但地震勘探中检波器实时姿态总会存在一定偏差，导致三个分量的地震信号互相耦合与泄漏，垂直方向的偏振信息会投影到水平分量上，水平方向的振动信息也会泄漏到垂直分量中^[1-5]。因此，在处理三分量地震数据时，首先需对检波器进行定向，确定检波器各分量实际姿态与设计方向的偏差，然后通过坐标旋转将测量的三分量数据校正到设计方向。

对地面三分量地震而言，这种偏差一般较小，但在井中地震(VSP)或海底节点(OBN)地震中，很难对检波器的实时方位加以控制，导致采集的三个分量数据发生严重泄漏。对于垂直井VSP，Z分量位于铅垂方向，只需进行X、Y两分量的校正；在斜井VSP中，Z分量虽然不垂直于地面，但可通过井的方位求得Z分量方位^[6-8]。然而，在OBN地震勘探中，受节点投放时船速、洋流及海底地形等多因素影响，OBN三个分量都可能发生偏转，检波器的重定向问题相对更迫切且复杂^[9-13]。

当检波器中未安装罗盘记录倾斜角时，最常用的定向方法是利用直达波的偏振特性求取检波器的偏转角。因为直达波为纵波，根据弹性波理论，在各向同性介质中直达波的质点振动方向与炮检点连线方向平行。如果检波器的X分量平行于炮检点连线，直达波应主要集中在X分量上，Y分量能量最小。Disiena等^[14]根据上述原理利用直达波能量估算垂直井的三分量检波器方向；刘洋等^[15]根据直达波实现斜井情形的三分量检波器定向。

但上述研究都是在Z分量垂直或已知时进行X、Y两分量的校正，研究三分量校正的文献较少。Li等^[16]基于直达波的偏振特性，引入三个欧拉角表征检波器实际方位形成的坐标系与设计方位形成的坐标系的偏差，三个欧拉角分别是围绕三个分量旋转的角度；通过这三个欧拉角可把一个直角坐标系旋转成任意其他姿态的空间直角坐标系，即通过坐标旋转将实际坐标系中的地震记录校正为设计坐标系中的地震记录。Nagarajappa等^[17]针对近地表存在低速层情形，利用PS波进行检波器定向。张文波等^[18]根据直达波偏振方向与传播方向的偏差，仅用两个角度描述三分量检波器实际方向与设计方向的相对偏差，同样取得了良好效果。

虽然利用直达波的偏振特性对检波器进行校正的方法已广泛应用，但仍存在一些不容忽略的问题。首先，初至为直达波的地震道比初至为折射波的地震道更靠近震源位置，这就导致实际数据中的直达波往往夹杂着杂波，对校正精度产生不利影响；其次，根据Li等^[16]的模拟结果，直达波的偏振方向与入射方向存在一定偏差，而利用直达波偏振特性做校正的方法通常粗略地认为直达波偏振方向与入射方向一致，从而使校正结果产生一定误差；第三，在OBN数据采集中，当海水较浅时，只有炮点附近少数道的初至波为直达波，而较远道初至波为折射波，直达波淹没于续至波中，导致直达波数据量过少而难以分辨，此时利用直达波进行重定向将导致结果存在较大偏差^[19-21]。

针对利用直达波的偏振特性进行校正存在的问题，本文提出一种利用折射波的偏振特性进行重定向的方法。该方法的理论基础为同一测线上检波点两侧折射波的偏振方向关于与测线垂直的平面对称，而当检波器实时姿态存在偏差时，检波器两侧炮点激发的折射波的偏振方向不对称；通过扫描方式用不同欧拉角对检波器进行旋转，当以某一组欧拉角旋转后，若两侧折射波的偏振方向对称，则认为该组欧拉角即为所求校正角。模型试验和实际浅海OBN数据处理均取得了良好效果，表明该方法具有较高计算精度和实际应用价值。

1 方法原理 1.1 偏振分析

三分量检波器可完整记录地震波在三维空间中的质点振动方向。根据极化理论，选取一定时窗范围内的三分量记录，可构造出该时窗范围内地震波的协方差矩阵。

设S₁(t)、S₂(t)、S₃(t)分别为X、Y、Z分量地震记录，S_i为信号S_i在某时窗内数据的算术平均值

$ \bar{S}_i=\frac{1}{N} \sum\limits_{t=t_1}^{t_2} S_i(t) \quad i=1, 2, 3 $

(1)

式中：t₁、t₂分别为该时窗的起始和终止时间；k为时间；N为时窗内的采样点数。可构造协方差矩阵

$ \boldsymbol{M}=\left[\begin{array}{lll} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{array}\right] $

(2)

$ \begin{gathered} m_{i j}=\frac{1}{N} \sum\limits_{t=t_1}^{t_2}\left[S_i(t)-\bar{S}_i\right]\left[S_j(t)-\bar{S}_j\right] \\ i, j=1, 2, 3 \end{gathered} $

(3)

协方差矩阵M的最大特征值对应的特征向量称为偏振矢量，表示地震波能量主要集中的方向，即地震波偏振方向，直达波的偏振方向通常与炮检点连线方向一致。

由图 1所示三分量地震记录，得到其在时窗内的质点振动轨迹和相应的偏振矢量(图 2)。需明确的是，检波器的重定向存在两个坐标系：一个是检波器设计放置方向形成的设计坐标系，其各坐标轴指向已知，通过炮检点坐标计算的直达波射线传播矢量，即为直达波射线传播方向在该坐标系中的矢量表示；另一个是检波器实际放置方向形成的实际坐标系，其各坐标轴指向未知，偏振矢量即为地震波偏振方向在实际坐标系中的矢量表示。

1.2 坐标系旋转

在各向同性介质中，可近似认为地震波的偏振方向与射线传播方向一致，两者在空间中实际是同一方向，设计坐标系中的射线传播矢量与实际坐标系中的偏振矢量是同一矢量在不同坐标系中的表示。以直达波为例，当检波器以设计姿态放置时，设计坐标系与实际坐标系重合，射线传播矢量与偏振矢量一致；当检波器发生倾斜时，两个坐标系不再重合，射线传播矢量与偏振矢量方向偏离。

检波器的重定向，就是首先寻找两个坐标系的相对关系，然后根据该关系将实际坐标系校正为设计坐标系。两个坐标系的相对关系可通过三个欧拉角r_x、r_y、r_z表征，分别为绕X、Y、Z轴的旋转角(逆时针旋转为正)。通过这三个欧拉角可将一个坐标系旋转为任意的其他坐标系。

三个欧拉角的旋转矩阵分别为

$ \boldsymbol{R}\left(r_x\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos r_x & \sin r_x \\ 0 & -\sin r_x & \cos r_x \end{array}\right) $

(4)

$ \boldsymbol{R}\left(r_y\right)=\left(\begin{array}{ccc} \cos r_y & 0 & -\sin r_y \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin r_y & 0 & \cos r_y \end{array}\right) $

(5)

$ \boldsymbol{R}\left(r_z\right)=\left(\begin{array}{ccc} \cos r_z & \sin r_z & 0 \\ -\sin r_z & \cos r_z & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $

(6)

绕某轴旋转可用旋转矩阵左乘一向量表示，即

$ \left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{array}\right)=\boldsymbol{R}\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) $

(7)

式中(x, y, z)^T、(x′, y′, z′)^T分别为某矢量在原坐标系及旋转后坐标系中的表示。

三个欧拉角的旋转顺序有先后之分，同样的一组欧拉角，先绕X轴旋转、后绕Y轴和Z轴旋转，与先绕Y轴旋转、再绕X轴和Z轴旋转，得到的结果绝大多数时是不一样的。按X、Y、Z的顺序进行旋转时，旋转矩阵为

$ \boldsymbol{R}\left(r_x, r_y, r_z\right)=\boldsymbol{R}\left(r_z\right) \boldsymbol{R}\left(r_y\right) \boldsymbol{R}\left(r_x\right)=\left(\begin{array}{ccc} \cos r_y \cos r_z & \cos r_x \sin r_z+\sin r_x \sin r_y \cos r_z & \sin r_x \sin r_z-\cos r_x \sin r_y \cos r_z \\ -\cos r_y \sin r_z & \cos r_x \cos r_z-\sin r_x \sin r_y \sin r_z & \sin r_x \cos r_z+\cos r_x \sin r_y \sin r_z \\ \sin r_y & -\sin r_x \cos r_y & \cos r_x \cos r_y \end{array}\right) $

(8)

若交换旋转顺序，则三个矩阵相乘的顺序变化，所得结果是完全不同的。本文统一按X、Y、Z顺序对坐标系进行旋转。

将一个坐标系旋转到另一坐标系有两种方式，旋转矩阵R(r_x，r_y，r_z)和R(r_x+π，π－r_y，r_z+π)具有相同效果。如将一本书从正面翻到背面，可绕X轴旋转180°，也可先绕Y轴旋转180°，再绕Z轴旋转180°。

1.3 折射波特征向量

折射波的射线传播方向无法通过炮检点坐标求出，但其出射角由出射位置的海水速度和海底介质速度决定。

图 3为折射波传播路径示意图，当检波器沿设计方位放置时，检波器左右两侧炮点产生的折射波必然具备如下三个特性(令偏振矢量Z分量为正)：

(1) 在XZ平面内两个偏振矢量的投影与X轴夹角之和为180°(关于Z轴对称)，即θ₁+θ₂=180°，其中θ₁、θ₂分别为两个偏振矢量在XZ平面内的投影与X轴的夹角(图 4a)；

(2) 在XY平面内两个偏振矢量的投影与X轴夹角之和为180°或－180°(关于Y轴对称)，即φ₁+φ₂=180°，其中φ₁、φ₂分别为两个偏振矢量在XY平面内的投影与X轴的夹角(图 4b)；

(3) 在ZY平面内折射波偏振矢量与Z轴的夹角与炮检点位置有关，且该角度可计算(图 5)。

由图 5可得

$ \left\{\begin{array}{l} \tan \omega=\frac{\sin \beta \sin \alpha}{\cos \beta}=\tan \beta \sin \alpha \\ \alpha=\arctan \frac{\Delta y}{\Delta x} \end{array}\right. $

(9)

式中：ω为检波器沿设计方位放置时折射波偏振矢量在ZY平面内的投影与Z轴的夹角；β为临界角，与海底介质速度有关；Δy和Δx分别为炮点和检波点在水平位置的偏差。当测线在海底的投影经过检波器(炮线位于检波点上方)时，可得ω=0°。

以上三个特性是利用折射波进行检波器重定向的理论基础。

1.4 扫描法求取校正角

当检波器发生歪斜时，两侧炮点产生的折射波必然不再满足上述特性。因此，可利用不同欧拉角对检波器做试校正。当某一组欧拉角能使折射波偏振矢量满足上述特性时，则可认为该组欧拉角即为能将检波器由实际姿态旋转为设计姿态的角度。

设计误差函数

$ \begin{aligned} \varepsilon= & \left(\theta_1+\theta_2-180^{\circ}\right)+\left(\left|\varphi_1+\varphi_2\right|-180^{\circ}\right)+ \\ & \left|\gamma_1-\omega_1\right|+\left|\gamma_2-\omega_2\right| \end{aligned} $

(10)

式中：γ₁、γ₂分别为两个偏振矢量在ZY平面内的投影与Z轴的夹角；ω₁、ω₂分别为检波器沿设计方位放置时两个偏振矢量在ZY平面内的投影与Z轴的夹角。误差函数越小，表示检波器越接近设计姿态，令误差函数最小的旋转角即为校正角。

若(x, y, z)^T为原地震记录，(x′, y′, z′)^T为旋转后地震记录，则有

$ \left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{array}\right)=\boldsymbol{R}\left(r_z\right) \boldsymbol{R}\left(r_y\right) \boldsymbol{R}\left(r_x\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) $

(11)

用不同欧拉角对原始地震记录进行旋转，并对时窗内信号进行偏振分析，得到新坐标系下折射波的偏振矢量(x′₁, y′₁, z′₁)和(x′₂, y′₂, z′₂)，从而可分别计算θ₁、θ₂、φ₁、φ₂、γ₁及γ₂；将计算结果代入式(11)，使ε最小的r_x、r_y、r_z即为所求校正角。最少情况下，仅需保证有两道记录的初至波为海底产生的折射波即可。实际上，因海水与海底介质存在速度差异，通常多道记录的初至均为海底产生的折射波，所以可利用多道数据进行计算以减小误差。

当测线在海底的投影经过检波器(炮线位于检波点上方)时，在ZY平面内两个偏振矢量与Z轴的夹角始终为零，利用以上方法有可能将检波器校正到错误方位。为此，施加以下三个限定条件即可将三种可能导致误判的情形逐一排除。

(1) 校正后坐标系的X轴和Y轴指向设计方向的相反方向或Y轴和Z轴指向设计方向的相反方向(图 6)。

图 4a展示了检波器沿设计方位放置时折射波偏振矢量在XZ平面的投影，可见当校正后坐标系X、Y轴反向或Y、Z轴反向时，以上三个特性都可满足，ε值同样可达到最小。为了避免该情形，加入限定条件：对于炮点产生的折射波的偏振矢量而言，需满足X与Z异号，即

$ x_1^{\prime} \times z_1^{\prime}<0 $

(12)

当折射波偏振矢量在校正后坐标系中误差函数ε达到最小值，且满足式(12)时，表明校正后坐标系未出现上述情形。

(2) 校正后坐标系的X轴位于设计坐标系的Z轴，Z轴位于设计坐标系的X轴，即X与Z分量互换。这种情形共有四种(图 7为第一种)，四种情形的X、Z轴分布如图 8所示。

为了避免以上四种情形，选取一道小炮检距(炮检距小于海水深度且初至为直达波)数据，计算该道数据在旋转后新坐标系下的偏振矢量(x′₃，y′₃，z′₃)。旋转后的偏振矢量需满足判定条件

$ \left|z_3^{\prime}\right|>\left|x_3^{\prime}\right| $

(13)

当校正后误差函数ε达到最小值，且小炮检距数据的偏振矢量满足式(13)时，表明校正后坐标系未发生X与Z分量互换。

(3) 校正后坐标系的X和Z轴指向设计方向的相反方向(图 9)。

经过分析可得，以上两个判定条件均不能排除此种情形，故选用新方法。因为P分量不受检波器倾斜影响，且P与Z分量波形相似，所以选取P分量与校正后的Z分量做相关。若

$ R_{P Z}>R_{-P Z} $

(14)

则表明校正正确，否则X与Z反向。式(14)中：R_PZ为某一道地震数据P分量与校正后Z分量的相关系数；R_－PZ为某一道地震数据P分量与校正后Z分量的反向值的相关系数。

需指出的是，提到的检波器设计方位为Z分量垂直于水平面，X分量平行于测线，Y分量垂直于测线方向，但实际采集中激发点有可能是非线性排列的，此时可选取一对产生的海底折射波为初至波的激发点，并将该对激发点的连线当作测线方向，用该方法进行校正。校正后的X分量平行于该对激发点的连线方向，利用该对激发点的连线与原设计方位的夹角，可将检波器恢复到原设计方位。

由上可知，利用本方法计算某个检波器校正角需保证至少有两个激发点产生的海底折射波为初至波，即共接收点道集中至少有两道记录可提取到海底折射波的偏振信息。为确保满足该条件，对激发点的分布有一定要求。图 10为折射波和直达波的传播路径示意图，其中S为激发点位置，R点为接收点位置，V_W为海水波速，V₁为海底介质波速，h为海水深度，β为临界角。可得

$ x_0=\frac{h V_{\mathrm{w}}}{\sqrt{V_1^2-V_{\mathrm{w}}{ }^2}} $

(15)

海底折射波沿路径传播，可算出其传播时间为

$ \begin{aligned} t_{\text {折 }} & =\frac{\overline{\mathrm{SM}}}{V_{\mathrm{w}}}+\frac{\overline{\mathrm{MR}}}{V_1} \\ & =\frac{\sqrt{x_0{ }^2+h^2}}{V_{\mathrm{w}}}+\frac{x-x_0}{V_1} \end{aligned} $

(16)

直达波沿路径SR传播，传播时间为

$ t_{\text {直 }}=\frac{l_{\mathrm{SP}}}{V_{\mathrm{w}}}=\frac{\sqrt{x^2+h^2}}{V_{\mathrm{w}}} $

(17)

式中l_SP为S、R点之间的距离。

经计算可知：当x=x₀时，t_折=t_直；当x＞x₀时，t_折＜t_直。即当激发点与接收点距离为x₀时，直达波和折射波同时被检波器接收；当激发点与接收点距离大于x₀时，折射波先于直达波被接收。

为了使共接收点道集中至少有两道记录可提取海底折射波的偏振信息，需同时满足

$ \left\{\begin{array}{l} V_1>V_{\mathrm{w}} \\ x>\frac{h V_{\mathrm{w}}}{\sqrt{V_1^2-V_{\mathrm{w}}{ }^2}} \end{array}\right. $

(18)

即至少有两个激发点与接收点的距离满足x＞x₀。因此，随着海底介质波速V₁的降低、海水深度h的增加，须在距接收点足够远的区域布设激发点。

2 模型数据试算

为了验证该方法的有效性，设计了一个1000 m×1000 m的海洋平层模型，设计为3层结构，各层介质参数如表 1所示。

观测系统如图 11，炮点位于海面，炮点距为10 m，检波点位于海底，道间距为10 m，激发时全排列接收。采用有限差分法数值模拟地震记录，第51个检波点的共接收点道集如图 12。因为表层无低速带，所以纵波和横波在水平径向分量(X)和垂直分量(Z)上均有呈现，但因偏振方向的差异存在能量强弱，第二层反射界面的反射纵波R₂PP在Z分量上明显强于X分量，而该界面的转换波R₂PS和反射横波R₂SS的X分量强于Z分量，且X分量上检波点两侧存在明显的极性反转现象。

图 13为上述各道地震记录偏振矢量在XZ和XY平面的投影，可见XZ平面上两侧折射波的偏振矢量关于Z轴呈对称状态，且同一层折射波的偏振矢量基本相同；在XY平面上因为Y分量无能量分布，偏振矢量的投影沿X轴方向。从图 13a还可看到：在海底深200 m，炮点距为10 m时，仅有不足20道记录的初至为直达波；当海水深度更浅、炮点距更大时，可利用的直达波会更少，而折射波的数据量远大于直达波，可利用多道数据进行计算，保证计算结果的准确性。

利用生成的随机角度对模拟记录进行旋转，模拟检波器在放置过程中发生姿态随机变化。旋转过程按Z、Y、X的顺序(表 2)进行，旋转结果如图 14所示。可见X、Z分量的能量相互泄漏，原来无能量的Y分量也出现振动信息。图 15为随机旋转后各道地震记录偏振矢量在XZ和XY平面的投影，可见检波点两侧折射波偏振矢量不再对称(图 15a)，表明检波器Z轴不是垂直状态；图 15b中Y方向出现信号投影，表明Y轴与设计方位存在偏差。得到随机旋转的共接收点道集后，利用本文校正方法对人为旋转后记录进行校正。考虑到计算效率，设置角度扫描间隔为1°，求得的校正角如表 3所示。

使用随机生成的欧拉角对原始记录做旋转，仍按Z、Y、X的顺序进行；对随机旋转后记录做校正则是按X、Y、Z的顺序进行，可知求得的校正过程恰好是随机旋转过程的反过程。

利用求得的该组欧拉角对倾斜记录进行校正，所得三分量记录如图 16所示。可见之前相互泄漏在各分量上的能量基本回归原分量，验证了该方法的有效性。Y分量上残留的一些能量缘于校正角与人为旋转角的误差，若减小角度扫描间隔，则可进一步降低该误差。从偏振矢量投影图上也可看到XZ平面的投影重新恢复为对称状态，XY平面的投影基本恢复为原状态。

为了验证折射波扫描法的精度，对该模拟记录进行100次随机旋转，并对旋转后的共检波点道集进行校正，角度扫描间隔仍设定为1°。图 18a为随机生成的模拟旋转角、利用本文方法计算得到的校正用欧拉角(图 18b)及其误差(图 18c)，可见若采用1°的扫描间隔，误差基本控制在1°以内，最大未超过2°(图 18c)。

3 实际数据处理

在M地区实际OBN地震共接收点记录(图 19a)中，检波点略微偏离炮线在海底的投影。该区海水深度约为80 m，因海水较浅，仅邻近检波点几道记录的初至波为直达波。其X分量上检波点两侧地震道不存在极性反转现象，而Y分量上却出现了本不应出现的极性反转现象，Z分量上纵波与横波相互混叠。

从该原始记录各道数据的偏振矢量在XZ和XY平面的投影也可看出，XZ平面(图 20a)上检波器两侧的偏振矢量投影存在略微不对称，XY平面(图 20b)上各道的偏振矢量投影与X轴的夹角约为60°。据此可推断，该检波器Z分量产生了一定歪斜，导致水平分量上的能量部分泄漏至Z分量，XY分量与设计方位存在较大偏差，导致XY分量的能量相互泄漏严重。利用本文校正方法对该共检波点记录进行校正，所得结果如图 19b所示，所用欧拉角见表 4。

对比校正后记录与原始记录：Z分量上横波能量明显衰减，纵波能量得到一定增强；X分量上横波记录同相轴更清晰，基本观察不到纵波，且检波点两侧地震道出现极性反转现象；Y分量上小炮检距处能量较强，大炮检距的能量较弱。校正后记录明显比原始记录更符合地震波传播规律。从校正后地震记录各道偏振矢量投影图看：XZ平面除个别道外基本呈对称状态；XY平面大炮检距处偏振矢量投影与X轴夹角基本为零，小炮检距处因观测系统设计时检波点与炮线在海底的投影在垂直炮线方向存在一定偏离，故炮检距越小，与X轴夹角越大。因此，校正后记录的偏振矢量更符合观测系统，表明该方法在实际数据中也获得了良好效果。

从图 20c可知，在该共接收点记录中，仅2~4道记录初至为纯净的直达波，利用直达波的偏振特性进行检波器定向的数据量偏少。

4 结束语

三分量检波器重定向与校正是OBN地震资料后期处理的基础，现行方法是利用直达波偏振特性对三分量检波器进行校正。当海水深度较浅时，因为仅小炮检距个别道初至为直达波，所以利用直达波进行检波器重定向的数据量较少，导致较大的定向误差。

利用折射波偏振特性进行检波器重定向的方法更适用于浅海区域OBN地震勘探。本文提出的折射波扫描法，利用不同的欧拉角对原始地震记录进行旋转，选择能使旋转后记录满足折射波偏振特性的旋转角作为校正角；基于同一地层界面产生的折射波偏振特性基本一致，利用多道数据进行计算以减少随机误差；模拟数据和实际记录的计算结果表明该方法具有较高精度和实用性。