0 引言

侧向测井技术在油气资源勘探、开发中被广泛应用，传统双侧向测井仅能提供深、浅两条电阻率曲线，有效地层信息偏少，且易受相对井斜、薄互层等因素的影响，难以满足精确测井解释的需求^[1-6]。1998年，Schlumberger公司推出的高分辨率阵列侧向测井仪(High-Resolution Lateral Array Tool, HRLA)^[7]采用阵列化的电极布置方式，提高了侧向测井分层能力，同时提供6种不同探测深度的测井模式(包括1条井眼泥浆探测曲线和5条不同深度的地层探测曲线)，可以实现径向电阻率剖面成像，为准确识别油气层提供了可靠的资料，已被广泛应用于油气勘探、开发^[8-9]。

电性各向异性广泛存在于砂泥岩薄互层、碳酸盐岩裂缝型油气藏、页岩等非常规储层中，其形成机理主要包括：不同沉积过程中岩石碎屑颗粒取向不同；厚度小于仪器分辨率的薄互层影响；大规模方向性平行张裂缝的发育，具体表现为地层垂向电阻率与水平电阻率不一致，即横向各向同性(transverse isotropic, TI)^[10-14]。阵列侧向测井各探测模式受各向异性的影响程度不同，因此不同探测深度的测井曲线之间存在差异；此外，受泥浆侵入的影响，阵列侧向测井曲线也会发生分离。对于泥浆侵入的各向异性地层，研究测井曲线的分离对于反演侵入带半径、侵入带电阻率、原状地层电阻率等参数具有重要意义^[15]，其受各向异性和泥浆侵入的双重影响，响应特征复杂。反演上述参数依赖于测井曲线间的差异，因此有必要研究泥浆侵入条件下各向异性地层阵列侧向测井正演响应特征，目前在国内鲜有这方面的研究。

本文采用三维有限元方法模拟泥浆侵入条件下各向异性地层的阵列侧向测井响应特征，研究各向异性、泥浆侵入、井斜、围岩等因素对测井曲线分离的影响，以期为各向异性储层评价提供借鉴。

1 HRLA结构及原理

HRLA结构如图 1所示。在测量过程中，保持同名监督电极(如M1和M1′)电位相等，保持主电极、屏蔽电极之间的监督电极(如M1和M2)电位相等，从而在监督电极间形成绝缘层。A0发射的主电流和屏蔽电极发射的屏蔽电流都不能穿过绝缘层，只能在附近拐弯流向地层，从而提高仪器的纵向分辨能力。当主电极A0发射电流，所有屏蔽电极作为回流电极时，构成井眼及泥浆探测模式RLA0，不在本文研究范围之内；当A0向两侧每次对称增加一对屏蔽电极作为发射电流电极时，因电流同性相斥，主电流被纵向聚焦成薄板状流向地层，可得到探测深度依次增加的5种测井模式(RLA1、RLA2、RLA3、RLA4、RLA5)。通过阵列侧向测井提供的多条不同探测深度曲线，可以重构地层径向电阻率剖面。

2 阵列侧向测井三维有限元数值模拟方法

HRLA采用低频交流电作为供电电源，由于发射频率较低，因此可将得到的电流场视为稳定电流场。该稳定电流场的定解问题是求出一个连续的势函数U，使它满足

$ \nabla \cdot(\sigma \nabla U)=0 $

(1)

式中σ为介质电导率。

在泥浆侵入各向异性地层模型(图 2)中的任意界面两侧，由电位及电流的连续性可得

$ \left\{\begin{array}{l} U_{-}=U_{+} \\ \left[\sigma \frac{\partial U}{\partial \boldsymbol{n}}\right]_{-}=\left[\sigma \frac{\partial U}{\partial \boldsymbol{n}}\right]_{+} \end{array}\right. $

(2)

式中：“-”表示界面左侧(上侧)，“+”表示界面右侧(下侧)；n为界面的单位法向量。

电位U除了满足式(1)和式(2)外，还必须满足如下边界条件。

(1) 在无穷远处地层边界，电位很小可以忽略，满足第一类(Dirichlet)边界条件(U=0)。

(2) 在绝缘物表面，包括绝缘电极表面和仪器两端求解区域的内边界，其上没有电流的流入或流出，应有

$ \mathit{\boldsymbol{J}} \cdot \mathit{\boldsymbol{n}} = - \sigma \frac{{\partial U}}{{\partial \mathit{\boldsymbol{n}}}} = 0 $

(3)

满足第二类(Neumann)边界条件

$ \frac{\partial U}{\partial \boldsymbol{n}}=0 $

(4)

式中J为电流密度。

(3) 在主电极A0、屏蔽电极A1(A1′)~A6(A6′)表面，电位虽然未知，但由于电极是金属良导体，满足相应的电位相等条件，记为U_Ai(A′i)。由于为恒流电极，因此在不同的测量模式下，这些电极表面可能存在电流，也可能不存在电流。发射电流I_Ai(A′i)已知，则第一、第二类边界条件为

$ \left\{ \begin{align} & U={{U}_{\text{A}\mathit{i}\left( \text{A }\!\!'\!\!\text{ }i \right)}} \\ & -\iint_{\mathit{\Gamma }}{{{\sigma }_{\text{m}}}}\frac{\partial U}{\partial \boldsymbol{n}}\text{d}S={{I}_{\text{A}\mathit{i}\left( \text{A }\!\!'\!\!\text{ }\mathit{i} \right)}} \\ \end{align} \right.i=0, \cdots , 6 $

(5)

式中：σ_m为泥浆电导率；Γ为电极表面积分区域；S为柱状电极的表面积。

监督电极M1(M1′)~M6(M6′)表面电位未知，没有电流的流出或流入。同理，第一类和第二类边界条件为

$ \left\{ \begin{align} & U={{U}_{\text{M}\mathit{i}\left( \text{M}'i \right)}} \\ & -\iint_{\mathit{\Gamma }}{{{\sigma }_{\text{m}}}}\frac{\partial U}{\partial \boldsymbol{n}}\text{d}S=0 \\ \end{align} \right.\ \ \ i=0, \cdots , 6 $

(6)

根据U满足的第一、第二类边界条件，将上述定解问题转化为U的某一泛函的极值问题，采用的能量泛函可表示为

$ {\mathit{\Phi}}(U)=\frac{1}{2} \iiint_{V} \boldsymbol{J} \cdot \boldsymbol{E} \mathrm{d} V-\sum\limits_{\mathrm{e}} I_{\mathrm{e}} U_{\mathrm{e}} $

(7)

式中：E为电场强度；下标“e”表示任意电极; V为求解区域。

对于各向异性地层来说，电导率各向异性系数$\lambda=\sqrt{\frac{\sigma_{\mathrm{h}}}{\sigma_{\mathrm{v}}}}$，地层层理方向与井眼轴线存在夹角α，在z轴与井眼轴线重合的直角坐标系下，地层的电导率张量可以表示为

$ \boldsymbol{\sigma}=\left[\begin{array}{ccc} \sigma_{\mathrm{h}} \cos ^{2} \alpha+\sigma_{\mathrm{v}} \sin ^{2} \alpha & 0 & \left(\sigma_{\mathrm{v}}-\sigma_{\mathrm{h}}\right) \sin \alpha \cos \alpha \\ 0 & \sigma_{\mathrm{h}} & 0 \\ \left(\sigma_{\mathrm{v}}-\sigma_{\mathrm{h}}\right) \sin \alpha \cos \alpha & 0 & \sigma_{\mathrm{h}} \sin ^{2} \alpha+\sigma_{\mathrm{v}} \cos ^{2} \alpha \end{array}\right] $

(8)

因此，在笛卡尔坐标系下，各向异性地层的能量泛函的极值问题可表示为

$ {\mathit{\Phi}}(U)=\frac{1}{2} \iiint_{V} \sum\limits_{ _{i, j=1} }^{3}\sigma_{i, j}\left[\frac{\partial U}{\partial \xi_{i}} \frac{\partial U}{\partial \xi_{j}}\right] \mathrm{d} V-\sum\limits_{\mathrm{e}} I_{\mathrm{e}} U_{\mathrm{e}} $

(9)

式中：σ_{i, j}为σ的第(i，j)个元素；ξ_i、ξ_j是坐标x、y、z中的任意两个。

文中将求解区域V按非均匀网格离散为282240个四面体单元元素，当地层倾斜界面切过这些四面体单元时，四面体又被切分为多个单元(包括四面体、变形的四面体、五面体、变形的五面体、六面体以及变形的六面体)。根据不同的切割方式，在不增加节点或元素个数的前提下，在单元内按相对体积和电导率进行加权(图 3)，确定完整的四面体的平均电导率，作为该单元的电导率

$ \sigma^{\mathrm{e}}=\sum\limits_{i} \frac{V_{i}^{\mathrm{e}}}{V^{\mathrm{e}}} \sigma_{i}^{\mathrm{e}} $

(10)

式中：σ^e为四面体单元近似电导率；σ_i^e为四面体单元内各组成部分的电导率；V_i^e为四面体单元内各组成部分的体积，而且它们的体积之和等于四面体的总体积V^e。若单元划分足够精细，则上述处理能适应形状复杂的场域条件，并满足计算精度要求。

每种探测模式的总场可看作由A0~A6(A0′~A6′)分别发射电流的7个分场叠加而成

$ \begin{aligned} U=& U_{0}+C_{1} U_{1}+C_{2} U_{2}+C_{3} U_{3}+C_{4} U_{4}+\\ & C_{5} U_{5}+C_{6} U_{6} \end{aligned} $

(11)

式中：U为某种探测模式下的总场；U_i(i=0, 1, …, 6)为某种探测模式下屏蔽电极Ai单独发射电流的分场；C_i为聚焦合成系数。

阵列侧向测井的工作原理表明，不同探测模式满足不同的电极系条件，以RLA2探测模式为例，阵列侧向电极系满足

$ \left\{\begin{array}{l} I_{\mathrm{A} 0}=1 \\ \sum\limits_{i=0}^{6} I_{\mathrm{A} i}=0 \\ U_{\mathrm{M} 1}=U_{\mathrm{M} 2}=U_{\mathrm{M} 3}=U_{\mathrm{M} 4}=U_{\mathrm{M} 5}=U_{\mathrm{M}6} \\ U_{\mathrm{A} 1}=U_{\mathrm{A} 2} \\ U_{\mathrm{A} 3}=U_{\mathrm{A} 4}=U_{\mathrm{A} 5}=U_{\mathrm{A} 6} \end{array}\right. $

(12)

式中：I_Ai为屏蔽电极发射电流；U_Mi为监督电极电位；U_Ai为屏蔽电极电位。联立式(11)、式(12)，得到各个分场的系数C₁~C₆。将C₁~C₆代入式(9)得到阵列侧向模式RLA2的监督电极电位U_M1。

根据侧向测井电阻率测量原理，得到模式RLA2的视电阻率值

$ R_{\mathrm{a} 2}=K_{2} \frac{U_{\mathrm{M} 1}}{I_{\mathrm{A} 0}} $

(13)

式中K₂为模式RLA2的电极系常数。同理，可得到其余探测模式的视电阻率。

3 阵列侧向测井正演模拟

各向异性地层在各个方向的电阻率值存在差异，井斜角的变化使仪器发射电流流入地层的角度发生变化，因此RLA1~RLA5测得的电阻率不同；泥浆侵入导致径向电阻率的差异分布，因此研究泥浆侵入的各向异性地层测井响应，对于阵列侧向测井资料反演具有重要意义。

3.1 正演响应精度分析与伪几何因子分布

HRLA结构和测量环境复杂，很难求出测井响应的解析解。为了验证算法的正确性，将阵列侧向测井响应随侵入深度变化的数值模拟结果与文献[16]结果进行对比(图 4)，结果表明：①侵入深度等于4in(即无侵入)时，视电阻率R_a等于地层真电阻率；随着侵入深度的增加，受侵入带的影响增大，R_a逐渐减小。②RLA1~RLA5模式受侵入带的影响依次减小。③阵列侧向测井响应随侵入深度变化的数值模拟结果(图 4左)与文献[16]结果(图 4右)几乎一致，证明了算法的准确性。

侧向测井的伪几何因子为：无限厚地层中半径为r的圆柱体介质对R_a贡献的相对大小，一般把径向积分几何因子为0.5时的圆柱体半径作为仪器的探测深度。数值模拟结果表明，探测模式RLA1、RLA2、RLA3、RLA4、RLA5的探测深度分别为0.23、0.29、0.37、0.45、0.70m(图 5)。

3.2 无限厚各向异性地层

定义曲线分离程度为不同探测深度曲线视电阻率的比值。图 6为阵列侧向测井响应随井斜角的变化。由图可见：①受电流聚焦效果的影响，在低角度情况下，探测深度越小，垂向电阻率相对贡献越大，R_a越大，不同探测深度曲线间呈负差异(R_a1>R_a2>R_a3>R_a4>R_a5)；在高角度情况下，探测深度越大，垂向电阻率相对贡献越大，不同探测深度曲线间呈正差异(R_a1 < R_a2 < R_a3 < R_a4 < R_a5)，差异翻转角约为60°。②各向异性系数λ越大，R_a值越高，曲线间的分离程度越大。

图 7为阵列侧向测井响应随λ的变化。由图可见，λ增大使R_a值整体增大。表现为：①在直井情况下，曲线并不完全反映层理方向电阻率，因为电流在由发射电极到回流电极的过程中，必然受到垂向电阻率的影响，因此直井中的阵列侧向测井响应依然受各向异性影响(图 7a)；②当井斜角为60°时，各曲线基本重合，说明各向异性对各模式的影响相同(图 7c)；③井斜角越大，随着λ增大，R_a值变化越剧烈，即在水平井情况下，曲线分离最明显(图 7d)。

图 8为不同探测深度曲线分离程度。以井斜角大于60°的情况为例，阵列侧向测井曲线分离程度随井斜角和λ的增大而增大，但最大分离程度不超过1.2，RLA5与RLA1的分离程度(图 8a)大于RLA2和RLA1的分离程度(图 8b)。

3.3 泥浆侵入无限厚各向异性地层

图 9为泥浆侵入地层时不同探测深度曲线分离程度。由图可见：①在各向同性地层中，RLA5与RLA1的分离程度约为6，当侵入深度约为0.55m时，曲线分离程度最大(图 9a)；当侵入深度约为0.38m时，RLA2与RLA1的分离程度最大，超过1.8(图 9b)，即泥浆侵入对曲线的分离程度影响较大。②在各向异性地层中，在直井条件下，若无泥浆侵入，根据无限厚各向异性地层的模拟结果可知，不同探测深度曲线间呈负差异；当存在泥浆侵入时，在各向异性和泥浆侵入的综合作用下，不同探测深度曲线间呈正差异，且分离程度较各向同性地层小，如RLA5与RLA1的分离程度约为5，当侵入深度约为1m时达到最大(图 9c)，RLA2与RLA1的分离程度约为1.7，当侵入深度为0.52m时达到最大(图 9d)。③在各向异性地层中，在水平井条件下(图 9e、图 9f)，当侵入深度约为0.49m时，RLA5与RLA1的分离程度比各向同性地层更大，接近7(图 9e)。由此可见：与无限厚各向异性地层的数值模拟结果相比，泥浆侵入对曲线分离的影响要大于各向异性；各向异性的影响使存在泥浆侵入的阵列侧向测井响应规律与各向同性地层不同。众所周知，不同探测深度曲线间的差异是反演侵入半径、侵入带电阻率、原状地层电阻率等参数的关键，因此在实际资料处理过程中必须考虑各向异性因素，才能得到正确的反演结果。

3.4 层状各向异性地层

图 10~图 14依次为RLA1~RLA5阵列侧向测井响应。由图可见：在任一探测深度，在相同井斜角条件下，各向异性地层的R_a(图 10a~图 14a)高于各向同性地层(图 10b~图 14b)，表现为：①对于各向同性地层，受井斜角和围岩的影响，R_a总是小于R_t，且随着井斜角的增加，围岩视厚度增大，R_a降低(图 10b~图 14b)。②对于各向异性地层，测井响应是井斜、围岩和各向异性综合作用的结果。

在低角度时，R_a基本反映地层水平方向电阻率；随着井斜角的增加，虽然低阻围岩的影响增大，但同时受垂向电阻率的影响，综合作用的结果导致整体R_a增大，各向异性的贡献超过了低阻围岩的贡献，这与各向同性地层明显不同；对于垂直地层(对应水平井)情况，由于受低阻围岩的影响，R_a均未接近地层垂向电阻率(图 10a~图 14a)。

3.5 泥浆侵入层状各向异性地层

钻井液泥浆侵入会造成径向渗透层电阻率分布的变化。图 15为泥浆侵入地层时阵列侧向测井响应。由图可见：①对于各向同性地层(图 15b)，测井响应同时受探测深度、井斜、泥浆侵入、围岩的影响, 井斜角越大, R_a越小。当井斜角小于60°时，探测深度越小，受泥浆侵入的影响越大，曲线间呈正差异(R_a1 < R_a2 < R_a3 < R_a4 < R_a5)；当井斜角大于60°时，虽然探测深度越大，受泥浆侵入的影响越小，但受低阻围岩影响越大，此时主控因素是低阻围岩，因此曲线间呈负差异(R_a1>R_a2>R_a3>R_a4>R_a5)。②对于各向异性地层(图 15a)，同时受各向异性、探测深度、井斜、泥浆侵入、围岩的影响，测井响应很复杂。当井斜角小于45°时，井斜角越大，R_a越小；当井斜角大于45°时，R_a相对大小关系较杂乱；在任何角度下不同探测深度曲线间不存在明显的正、负差异特征。根据以往的测井解释规律，低侵正差异是油层的明显特征，但对于泥浆侵入条件下的倾斜各向异性地层，受各向异性的影响，曲线间的相对差异特征复杂，此时单纯由电阻率幅度差异识别油、水层并不可行，判别储层流体性质难度很大。

图 16为层状地层RLA5与RLA1分离程度随井斜角与侵入深度的变化。由图可见：①对于各向同性地层(图 16b)，当侵入较浅(小于0.1m)时，在低角度情况下侵入带对RLA5的影响更小，因此R_a5/R_a1>1；在高角度情况下受低阻围岩的影响，R_a5/R_a1 < 1；当侵入深度不大(0.1~0.7m)时，井斜角越小，曲线分离程度越大，随着井斜角的增加，低阻围岩的贡献增大，RLA5更容易受围岩的影响，因此曲线分离程度减小。②对于各向异性地层(图 16a)，R_a5/R_a1的变化情况与各向同性地层明显不同，尤其是当侵入深度不大(0.1~0.4m)时，由无限厚各向异性地层泥浆侵入的数值模拟结果可知，泥浆侵入对曲线分离的影响要大于各向异性。因此在低角度情况下，虽然RLA1与RLA5受各向异性的影响存在负差异，但RLA1受侵入带的影响更大，二者的综合作用使R_a5/R_a1>1；随着井斜角的增加，各向异性的影响大于低阻围岩，RLA1与RLA5存在正差异，因此RLA5与RLA1曲线分离程度进一步增大。

4 结论

(1) 直井条件下阵列侧向测井响应曲线主要受地层层理方向电阻率的影响；随着地层倾角的增大，垂向电阻率的贡献增大；对于无限厚各向异性地层，RLA1~RLA5曲线间在低角度情况下呈负差异，高角度时呈正差异，翻转角约为60°。

(2) 阵列侧向测井响应曲线分离是反演地层参数的关键，在一般情况下，泥浆侵入对阵列侧向测井曲线分离的影响大于各向异性。

(3) 层状各向异性地层阵列侧向测井响应受各向异性、泥浆侵入、井斜、围岩等因素的影响，测井响应特征很复杂；对于泥浆侵入情况下的各向异性储层，不同探测深度曲线间的差异特征杂乱，不能单纯利用曲线差异识别油、水层。

(4) 层状泥浆侵入各向同性地层，随着井斜角的增加，受低阻围岩的影响，曲线分离程度减小；当侵入深度不大(0.1~0.4m)时，随着井斜角的增加，曲线分离程度增大。