0 引言

水力压裂改造措施是国内外页岩气井增产的重要手段，根据水力压裂微地震数据估算矩张量对于研究裂缝的方位和细节特征、了解非常规储层的地质力学特征具有重要意义^[1-2]。微地震震源机制反演受速度模型、阵列几何分布、采集参数、噪声以及定位精度等因素的影响^[3-4]。传统地震学通常利用地表地震仪研究震源机制，由于井位覆盖的限制，井中微地震检测阵列可能是垂直或水平阵列，长度较小，只能获得部分角度的微地震信息^[5-6]，井的有限覆盖范围使矩张量反演结果不稳定。以往人们由垂直检波器获得的水平分层介质数据反演矩张量^[7-8]，为了解决不确定性，从具有相似波形的大量微地震事件提供的数据获得“复合震源机制”或“复合矩张量”^[9-12]，这些方法尽管不能单独反演震源机制或矩张量，但在一定程度上改进了震源机制反演方法。翟鸿宇等^[13]分析了地层吸收衰减因子的变化对微地震震源机制反演分辨率的影响。Vavryuk^[14]利用井数据反演矩张量，结果表明使用垂直检波器无法反演均匀各向同性介质中震源的全部矩张量，单独使用P波资料需要3口井的资料才能有效反演全部矩张量元素；Eaton等^[15]讨论了固体角和检波器阵列几何分布对微地震矩张量反演的影响；Grechka^[16]探讨了利用单井微地震数据反演全部矩张量的可能性，反演结果正确与否依赖于介质的对称性、各向异性程度、源—检波器的几何分布以及建立的各向异性模型的质量等。Šílený等^[17]利用剪张源反演震源的非双力偶机制。Grechka等^[18]研究了张裂微地震事件的单井矩张量反演。对于水压裂纹中的微地震震源机制反演，Vavryuk^[19]的研究表明，想要反演全部的矩张量需要3口井数据，原则上可以采用2口井的P波和S波联合数据反演全部的矩张量，仅用1口井数据不可行。

本文首先介绍了基于剪张源约束的微地震震源机制反演的方法原理，然后通过理论模型记录测试、分析了应用效果。

1 井中微地震震源机制反演

传统地震震源机制反演通常使用P波和S波振幅，检波器布设于地表。在水力压裂微地震监测中，经常在井中设置检波器阵列，这种检波器分布具有非常有限的覆盖范围，对震源机制反演提出了挑战。

1.1 矩张量反演方法(MTI)

微地震震源机制可用矩张量的形式表示

$ \boldsymbol{M}=M_{0}\left[\begin{array}{lll} M_{11} & M_{12} & M_{13} \\ M_{21} & M_{22} & M_{23} \\ M_{31} & M_{32} & M_{33} \end{array}\right] $

(1)

式中：M为对称矩阵，满足M_ij=M_ji，其中独立元素有6个，M_ij表示沿着±i方向大小相等并且在j方向相距无限小的力偶(i、j=1，2，3)；M₀为地震矩幅度。

均匀各向同性介质中的波场满足^[20-21]

$ \begin{aligned} u_{i}(x, t)=M_{k l} * G_{i k, l}=& \frac{R_{i}^{\mathrm{P}}}{4 \pi \rho V_{\mathrm{P}}^{3}} \frac{\dot{f}\left(t-\tau^{\mathrm{p}}\right)}{r}+\\ & \frac{R_{i}^{\mathrm{S}}}{4 \pi \rho V_{\mathrm{S}}^{3}} \frac{\dot{f}\left(t-\tau^{\mathrm{S}}\right)}{r} \end{aligned} $

(2)

式中：ρ为地层密度；V_P和V_S分别为P波和S波的速度；r为源到检波器的距离；τ^P和τ^S分别为P波和S波的走时；$\dot{f} $为源的位移、时间函数f对时间的一阶导数；G_{ki, j}(i、j、k=1，2，3)为格林函数；R_i^P和R_i^S分别为P波和S波的辐射函数。

忽略f，式(2)变为

$ \boldsymbol{d=G m} $

式中：d为包含N个振幅的矢量；G为格林矩阵，表示震源与检波器间的振幅变化；m为地震矩矢量，包含矩张量的6个独立参数。这样通过

$ \boldsymbol{m}=\boldsymbol{G}^{-1} \boldsymbol{d} $

反演矩张量，但求解过程中需要更多的观测数据，此时方程为超定方程，可用广义逆G^-g代替G^-1

$ \boldsymbol{m}=\boldsymbol{G}^{-\rm{g}} \boldsymbol{d}=\left(\boldsymbol{G}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{G}\right)^{-1} \boldsymbol{G}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{d} $

(3)

由于实际数据中含有噪声，因此需要6个以上的振幅值正确求解m。反演可单独使用P波、S波振幅或者联合使用P波、S波振幅。

假设垂直井中布置了三分量检波器(图 1)，采用局部坐标系使从源到检波器的射线在xoz平面内。由于各向同性介质中的P波辐射函数R_i^P不依赖于M₁₂、M₂₂和M₂₃，S波辐射函数R_i^S不依赖于M₂₂，且R_i^S对M的迹不敏感，因为它依赖于M₁₁-M₃₃，说明由单井数据反演全部矩张量是不充分的。使用P波反演能获得M₁₁、M₃₃、M₁₃等3个分量，使用S波反演能获得M₁₂、M₁₃、M₂₃等3个分量以及M₁₁-M₃₃，即使用P波和S波联合反演能获得5个矩张量分量(M₂₂无法恢复)。因此采用单井反演需要考虑附加的约束、近场资料或者简化的震源模型^[22-23]。

1.2 剪张源约束反演方法(STI)

为了实现井数较少情况下的反演，可以引入剪张源约束。图 2为混合剪切滑动和张裂的剪张源模型，震源机制可以用走向角Φ、倾角δ、滑动角θ和张裂角α表征^[24]，通过这些角度可以获得剪张源的源张量D^[25]。对于各向同性介质矩张量与源张量间满足^[26]

$ M_{i j}=\lambda D_{k k} \delta_{i j}+2 \mu D_{i j} $

(4)

式中：λ和μ为拉梅系数；δ_ij为克罗内克函数，当i=j时，δ_ij=1，当i≠j时，δ_ij=0，k=1、2、3。

图 3为振幅沙滩球、P波辐射花样。由图可见：在走滑情况下，Φ=45°、δ=90°、θ=180°；在倾滑情况下，Φ=45°、δ=90°、θ=90°；震源机制沙滩球和辐射花样随着张裂角α的变化而变化。

对微地震震源矩张量M采用特征值分解法分解为双力偶部分M^DC、补偿线性矢量偶极成分M^CLVD和各向同性部分M^ISO[27]

$ \boldsymbol{M}=\boldsymbol{M}^{\mathrm{iso}}+\boldsymbol{M}^{\mathrm{CLVD}}+\boldsymbol{M}^{\mathrm{DC}} $

(5)

图 4为M^ISO、M^DC、M^CLVD的P波辐射花样，可见极性和波瓣分布呈明显差异。

本文研究了矩张量反演(MTI)和剪张源约束反演(STI)。MTI采用线性反演方法；STI采用非线性反演方法，将矩张量限制为描述剪张源的矩张量，减少了反演参数，鲁棒性更强。文中的STI采用信赖域反演算法，通过给定一个“信赖域半径”直接确定位移，并以当前迭代点为中心形成一个信赖域，并在其中求得最优解，产生的新迭代点具有整体收敛性。通过迭代运算求解非线性优化问题，把最优化问题转化为一系列简单的局部寻优问题，从给定的初始解出发，通过逐步迭代、不断改进，直至获得满意的最优解。

2 STI测试分析 2.1 模型分析

图 5为模型观测系统、合成记录及沙滩球。由图可见，无论采用三井还是单井数据，通过STI都能获得较高精度的反演结果(图 5g、图 5h)。

2.2 基于无噪振幅数据的反演

首先利用精确介质模型和精确源位置进行无噪声振幅数据反演，并计算反演误差。由P波和S波振幅通过MTI和STI获得震源矩张量，反演分别采用单井(B3井)、双井(B3、B2井)和三井(B1、B2、B3井)数据。

固定其他角度，改变张裂角，利用精确介质模型和精确源位置反演，反演时联合使用了P波和S波的振幅。研究表明，采用STI时，双井和三井都能获得较好的张裂角反演结果。图 6为无噪条件下联合使用P波和S波振幅的单井、双井、三井STI和MTI结果及M^CLVD、M^DC绝对误差。由图可见：单井MTI(图 6a左)造成M^DC(图 6a右)和M^CLVD(图 6a中)的较大误差，STI(图 6a左)的M^CLVD(图 6a中)和M^DC(图 6a右)在α较小时存在误差，其他角度反演效果较好；双井STI(图 6b左)效果较好，而矩张量反演存在误差(图 6b中、图 6b右)；三井MTI和STI的反演效果较好(图 6c)。

随机产生200个不同类型的震源机制，反演时联合使用了P波和S波振幅。图 7为无噪条件下联合使用P波和S波振幅的反演结果Hudson分布。由图可见，单井STI存在一定误差(图 7a)，单井MTI结果不合理(图 7b)，三井STI(图 7c)和MTI(图 7d)的结果较合理。由于STI采用非线性反演算法，当满足迭代终止条件时(如误差达到规定要求或达到最大迭代次数)终止迭代并给出结果，所以部分结果存在一定误差。

针对随机产生的200个震源机制，图 8为无噪条件下三井单独使用P波或S波振幅的反演结果Hudson分布。由图可见，三井P波STI存在略微误差，整体反演效果较好(图 8a)，三井P波MTI的结果合理(图 8b)，三井S波STI结果存在个别误差(图 8c)，三井S波MTI的结果不合理(图 8d)。因此，三井的P波STI、S波STI、P波MTI的效果较好，S波MTI无法获得合理的结果。

2.3 基于含噪振幅数据的反演

图 9为含噪条件下联合使用P波和S波振幅的单井、双井、三井STI和MTI结果及M^CLVD、M^DC绝对误差。由图可见：双井和三井STI抗噪性较好，能获得较好的α反演结果(图 9b左、图 9c左)；当α较小时单井反演的M^CLVD(图 9a中)和M^DC(图 9a右)误差较大，其他角度反演结果较好。因此，含噪时单、双井和三井的MTI精度不高。

对观测数据添加不同的随机噪声进行100次反演时联合使用了P波和S波振幅，震源机制采用图 5c。图 10为含噪条件下联合使用P波和S波振幅的反演结果Hudson分布。由图可见，单井STI结果较合理(图 10a)，单井MTI结果不合理(图 10b)，三井STI的结果接近单井STI(图 10c)，三井MTI结果较合理，但分布较散(图 10d)。因此，单井STI的效果较好，单井MTI的结果不合理，三井STI和MTI的效果较好。综上所述，STI抗噪性更好，反演结果分布更集中，MTI的结果相对较分散。

图 11为含噪条件下三井单独使用P波或S波振幅的反演结果Hudson分布。由图可见，三井P波STI(图 11a)、S波STI(图 11c)的结果接近真实源，P波MTI(图 11b)的结果在真实源附近分散，反演结果较合理，三井S波MTI的结果不合理(图 11d)。因此，三井P波或S波STI的效果较好，S波MTI结果的误差较大，P波MTI的效果也较好，但是结果相对分散。

3 结论

本文研究了基于剪张源约束的微地震震源机制解反演原理，通过理论模型记录测试、分析了方法的应用效果。将矩张量限制为描述剪张源模式，采用非线性反演算法，相对矩张量模型空间参数较少，反演效果较好。

(1) 无噪观测数据在不同张裂角的反演结果表明，矩张量和剪张源约束三井反演结果明显好于单井，在井数据较少时剪张源约束反演效果更好。

(2) 含噪观测数据在不同张裂角的反演结果表明：矩张量和剪张源约束三井反演误差均小于单井；剪张源约束反演的抗噪性更好，在井数据较少时也可获得较好的反演效果。

(3) 单井P波和S波联合振幅矩张量反演和三井S波矩张量振幅反演都会出现很大的误差，P波和S波联合振幅剪张源反演或单独P波、S波振幅剪张源反演都能获得较好的效果，即剪张源反演的振幅数据选择性更大。