0 引言

叠前深度偏移比叠前时间偏移在成像位置的准确性和成像振幅的保真性方面具有明显优势。尤其在地层构造复杂和速度横向变化剧烈的区域，此类区域通常是有利的油气聚集场所，如复杂断块、岩丘、生物礁等。伴随叠前深度偏移算法和计算机技术的发展，叠前深度域成像(如克希霍夫、波束、单程波和逆时偏移等)逐渐成为目前主流的成像技术。探索深度域的叠后正演方法，有助于开展层位标定和储层预测。现今业内发展了四种深度域合成记录方法：①在时域用Robinson褶积模型合成地震记录，然后时深转换到深度域^[1-3]；②将地层速度视为匀速，因匀速介质中子波保持不变，可直接应用褶积模型制作深度域合成记录^[4-8]；③变换域速度函数制作深度域合成地震记录，此方法需先建立转换函数，通过变换使速度在“新深度域”中为常数、“子波”具有时不变性，然后应用褶积模型制作合成记录^[9-11]；④建立深度域的速度模型，波动方程正演获得时域合成记录，再通过深度域偏移得到深度域的合成记录^[12]。

上述方法都有各自的优缺点。方法①在时间域完成合成记录，符合Robinson褶积模型，可作为地质层位标定的方法。但作为反演中正问题的解法，会使算法变得复杂、运算量增大，且属于间接方法。方法②将地层速度视为常速，在较小的局部范围内易满足条件，但与实际地下地质情况很难相符。方法③将真实深度域速度转换到无明确物理意义的变换域(类似于时域)中，以满足Robinson褶积模型的假设条件，但该方法物理意义不明确，且不是在真实的深度域中进行。方法④类似于方法①，不同之处在于正演方法，但对于一维井旁合成记录这两种方法本质是相同的，都属于在时间域制作、再变换到深度域的合成记录制作方式。

针对上述方法的局限，本文提出一种基于点扩散函数非稳态褶积的深度域合成记录制作方法，它直接在深度域实现，可用于深度域层位标定。

1 时间域褶积模型

时域地震记录的褶积模型是Robinson于1975年提出的，其表达式为

$ s\left( t \right) = w\left( t \right)*r\left( t \right) = \int {w\left( \tau \right)r\left( {t-\tau } \right){\rm{d}}\tau } $

(1)

式中：w(t)是子波；r(t)是反射系数。

该方法基于假设：地震子波是时不变的，且是单一相位(零相位、最小或最大相位)的，地下反射系数是具有白噪谱的随机序列。若地层是弹性介质，则子波不随时间变化，满足褶积条件。时域子波与反射系数褶积运算进行细化，其本质是反转的子波与反射系数相乘后再相加的运算(图 1)。

2 点扩散函数

传统的偏移和反演方法中，地震记录d(叠前)通常被看作是线性正演算子M与反射系数序列r的矩阵相乘。算子可以是离散或连续的积分运算。最小二乘反演问题通常表述为

$ \mathit{\boldsymbol{r}} = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{M}}^*}\mathit{\boldsymbol{M}}} \right)^{-1}}{\mathit{\boldsymbol{M}}^*}\mathit{\boldsymbol{d}} $

(2)

式中M^*是正演算子的共轭算子，也为偏移算子。

介质模型的反射系数序列r与偏移成像s=M^*d通过下式相关联

$ \mathit{\boldsymbol{s}} = \mathit{\boldsymbol{Hr}} $

(3)

式中海森算子H=M^*M。

海森算子通过对绕射点反偏移，然后再进行偏移得到。反偏移算子取决于偏移算子。绕射点的偏移和反偏移响应通常被称为点扩散函数^[14-15](Point Spread Function，PSF)。从式(3)可见，深度域成像结果是点扩散函数与反射系数的褶积，它是一种非稳态运算。

3 一维情况下求取空间点扩散函数

一维情况下点扩散函数的波长与子波周期满足

$ \int_0^\lambda {\frac{{{\rm{d}}h}}{{v\left( h \right)}} = T} $

(4)

式中：T是时间子波的周期；λ是空间点扩散函数的波长；v(h)是点h处的速度。

给定时域子波和层速度，则可根据式(4)点对点求得深度域对应的点扩散函数。该式表征时域子波与空间的点扩散函数的关系。在常速介质中对应的频率与波数域的关系如下

$ k = \frac{{2f}}{v} $

(5)

式中：f是子波主频；k是波数；v是速度。

选择时域子波为20Hz雷克子波，若地层为2000m/s的均匀速度，则可得对应的时域子波(图 2a)和深度域点扩散函数(图 2b)；若地层速度是线性变化(图 3a)，则其深度域点扩散函数如图 3b所示。

从时域的振动子波与深度域的点扩散函数的对应关系可见，深度域点扩散函数的形态、频率和相位都随速度的变化而变化。时间t对应的空间位置h的振幅未发生变化。

4 点扩散函数非稳态褶积深度域合成记录制作

时域褶积模型的本质是时间位置的子波与对应位置的地层反射系数相乘后再相加。在深度域地层中对应于某一时间位置的深度位置点的反射系数保持不变，点扩散函数是随速度变化的函数。

深度域的成像是点扩散函数与反射系数的褶积，是一种非稳态的运算过程。深度域合成记录可表述为

$ \mathit{\boldsymbol{s}} = \mathit{\boldsymbol{Hr}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{w}}_1}}\\ \vdots \\ {{\mathit{\boldsymbol{w}}_n}} \end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{r}} $

(6)

式中w_i是深度d_i处的点扩散函数。在不同的空间位置，点扩散函数不同。合成记录计算过程为：在深度域求取地层每点的反射系数，并在各个反射系数点求取对应的深度域点扩散函数及其与反射系数的积，将求取的积相加即可得到深度域的合成记录。具体流程(图 4)如下：

(1) 利用声波和密度测井数据计算深度域的反射系数序列^[16]；

(2) 从叠前深度偏移层速度提取井旁速度道^[17]；

(3) 从叠前深度偏移转时域数据体，采用文献^[18]中的方法提取井旁道时域子波；

(4) 以两倍的原始采样率对提取的时域子波做重采样^[19]，显然样点数变为原始时域子波的一半；

(5) 利用提取的测井速度的低频分量将重采样后的时域子波利用式(4)计算得到对应位置的点扩散函数；

(6) 将每个深度点的反射系数与计算得到的对应点的深度点扩散函数相乘，然后求和，完成深度域合成地震记录的制作。

5 理论模型测试

为测试点扩散函数非稳态褶积深度域合成记录，建立一个一维的6层速度模型(图 5a)。选取20Hz的雷克子波作为时域子波。将速度模型转换到时间域，采用Rbinson褶积模型生成时域的合成地震记录(图 5b)。以平均速度将时域子波转换为深度域的点扩散函数，用Rbinson褶积模型生成深度域的合成地震记录(图 5c)。为了在同一种域中对比时域褶积合成记录与深度域褶积合成记录，将时域合成记录用速度转换到深度域。图 5d展示了时域合成记录转换到深度域后与深度域褶积合成记录对比，可见深度域直接褶积合成记录子波形态未发生变化，与时间域转深度域的合成记录具有较大差异。

按照本文提出的方法将时域子波以层速度在不同位置求取点扩散函数，并与深度域反射系数进行非稳态褶积，得到深度域合成记录。图 5e是时间域转深度域的合成记录与深度域非稳态褶积合成记录的对比，可见非稳态褶积合成地震记录与时间域转深度域合成记录完全吻合(在一维情况下，时域合成地震记录转换到深度域等价于偏移到深度域，可作为深度域合成记录的判断标准)。

6 实际数据应用

以西部X油田的一口测井曲线合成记录对地震数据的标定为实例，验证本文方法在实际数据中的应用效果。在井旁地震数据中提取时域地震子波(图 6a)，从叠前深度偏移层速度中提取井旁的速度，从声波测井速度(图 7a)计算反射系数序列(图 7b)，将时域子波(图 6a)转换为点扩散函数序列(图 6b)，然后计算得到深度域的合成地震记录。

为了说明深度域合成记录方法的准确性，将时域合成记录转换到深度域并与深度域合成记录进行比较(图 8)，得到两者相关系数高达0.98。从图 8可见，深度域合成记录与时间域合成记录的相位一致，仅振幅在极少部位呈现较小偏差。分析后认为：实际数据的深度域合成记录与时域合成记录未能完全吻合的原因是深度域合成记录过程中采用的点扩散函数精确。本文采用的子波是无畸变对称子波，即假设在子波的波长范围内速度是常数，而实际地层速度在一个子波波长范围内会发生变化。图 9比较了深度域合成地震记录与时域合成记录对实际地震数据标定的准确程度。时域合成记录标定后与实际数据的相关系数为0.853，深度域合成记录与实际数据标定后的相关系数是0.845。从相关系数和视觉分辨都可认为，深度域合成记录方法与时域褶积合成记录方法具有极相似的标定效果。

7 结束语

深度域地震成像可表述为点扩散函数与反射系数的非稳态褶积。在一维情况下，时间域子波与深度域点扩散函数具有明确的对应关系。通过在时间域求取子波，利用深度域偏移层速度转换得到深度域随空间位置变化的点扩散函数，形成点扩散函数体，再利用点扩散函数体与深度域反射系数序列进行非稳态褶积运算得到深度域合成地震记录。理论模型和实际数据测试表明：该方法具有很高的精度，能够解决深度域合成记录制作问题。