0 引言

层流和湍流是自然界中广泛存在的两种不同的流态，层流过渡到湍流的过程称为转捩。由于湍流的摩擦系数和传热系数远大于层流，边界层是否转捩和在何处转捩直接影响飞行器的摩擦阻力、热防护及流动分离位置等^[1]，直接关系到飞行器的设计及其性能、安全、控制和精度等问题。因此转捩及湍流的研究一直是空气动力学关注的热点之一。航空航天技术关系到国家的经济及安全，近年来航空航天技术的进一步发展对高超声速边界层的转捩和湍流研究提出了迫切的要求^[2-3]。

边界层转捩的途径有很多，Fedorov^[4]给出了边界层可能存在的5种转捩途径。对于在高空飞行的飞行器，其边界层转捩应是由小扰动引发的，属于所谓的自然转捩。

边界层的自然转捩的科学问题主要有三个^[5]：一是来流中的扰动转化为边界层中扰动的过程，即感受性问题；二是边界层中扰动的演化过程，即流动稳定性问题；三是边界层中扰动演化到某一位置开始转捩的过程，即转捩机理。

经过上百年的努力，在上述三个科学问题的理论研究方面均取得了重大进展^[6-8]，尤其是对不可压缩流动。近15年来，随着高超声速技术的快速发展，边界层转捩也得到了更加广泛和深入的研究，人们对流向行波失稳(如第一模态、第二模态)、横流失稳、Görtler涡失稳等失稳机理取得了较深刻认识^[9]，对边界层层流突变为湍流的转捩机理有了充分的认识^[10]，在高超声速边界层转捩风洞实验方面也取得了重要进展^[11-12]，而且国内也开始着手高超声速边界层转捩的飞行试验研究^[13-15]。

对边界层自然转捩机理的研究是为了更好地进行转捩预测。边界层转捩精确预测是学科研究的目标，也是工程的需要，从而为精确计算气动力和气动热提供依据^[16]。目前主要的转捩预测方法有三类：转捩准则^[17]、湍流转捩模式^[18-19]和e^N方法^[20-22]，其中e^N方法的理论基础是线性稳定性理论(简称LST)^[23]，该方法尽可能多地利用了边界层中扰动演化的理论预测，被认为是基于科学问题研究的转捩预测方法。

e^N方法起源于航空界，主要解决二维性强、外形简单的机翼在亚声速巡航状态的转捩预测问题，在航空界取到了很好的效果，被波音公司的资深工程师Cebeci认为是最有效的转捩预测方法。

虽然高超声速边界层稳定性和转捩在理论基础研究方面取得了很大的进展，但在工程应用方面还存在明显的不足，主要体现在三个方面：(1)流动稳定性研究模型简单。流动稳定性的理论基础研究主要以平板、零迎角锥、小迎角锥等简单外形为研究对象，而工程应用的实际飞行器具有迎角大、外形复杂、三维性强等特点，流动稳定性在非平行流、三维流动中的应用能力有待提高；(2)没有考虑感受性问题。e^N方法忽略了来流扰动激发边界层内不稳定波的过程，仅从中性曲线的起始位置开始积分，采用幅值放大因子N值来判断转捩位置。飞机在亚声速巡航状态的飞行环境单一，可以采用给定的转捩判据N_T来判断转捩位置；但高超声速飞行器的飞行环境复杂，转捩判据严重依赖于实际飞行情况。(3)软件不能满足工程应用部门的需求^[24]。现有软件通用性较差，效率、自动化、智能化较低，对操作人员的专业水平要求高。

本文将回顾近年来在高超声速流动稳定性及转捩工程应用研究的若干进展，介绍流动稳定性在复杂外形流、非平行流、局部突变流、强三维流方面的工程化拓展研究；总结e^N方法在感受性、积分方法、转捩判据、软件开发方面的工程化拓展研究进展；分析零迎角锥风洞实验、椭圆锥风洞实验、小迎角锥弹道靶试验和大迎角锥飞行试验的典型案例。

1 流动稳定性方法工程化拓展研究 1.1 线性稳定性理论(LST)简介

流动稳定性分析主要包括三步。第一步，通过各种理论或数值模拟方法得到流场的层流基本流，并做局部平行流假设。以直角坐标系(x, y, z)为例，忽略法向y方向的速度，忽略基本流沿流向x方向和展向z方向的导数。

第二步，将扰动波设成行进波解的形式：

$ \phi^{\prime}(x, y, z, t)=\varphi(y) \exp [\mathrm{i} \theta(x, z, t)] $

(1)

其中φ为特征函数，形函数θ(x, z, t)可定义得到扰动波的波参数包括频率ω、流向波数α和展向波数β：

$ \omega=-\frac{\partial \theta}{\partial t}, \quad \alpha=\frac{\partial \theta}{\partial x}, \quad \beta=\frac{\partial \theta}{\partial z} $

(2)

第三步，对扰动控制方程进行线化，并将公式(1)代入后就可得到波参数的控制方程：

$ \mathcal{L}(\omega, \alpha, \beta ; f ; x, y, z) \varphi=0 $

(3)

其中$\mathcal{L}$是仅包含y方向导数的算子，f是雷诺数、马赫数、基本流及其y方向导数的函数。结合壁面条件和上边界条件，并对控制方程(3)进行离散就可得到特征值问题。采用迭代求特征值的Muller法，就可以求出其特征值ω、α、β和特征函数φ。以二维空间模式为例，ω和β为实数，α=α_r+iα_i为复数，其中虚部σ= -α_i代表扰动波的增长率。当增长率σ>0说明流动是不稳定的，反之是稳定的。

1.2 复杂外形流拓展

实际飞行器的外形比较复杂，无法直接在直角坐标系进行稳定性分析，需要将层流基本流投影到正交曲线坐标系(q₁, q₂, q₃)下，并做局部平行流假设。其中q₁为当地势流方向，q₂为壁面法向方向，q₃为壁面上与q₁垂直的方向。

类似于直角坐标系下，将扰动设成行进波的形式，将公式(1~3)中的(x, y, z)用(q₁, q₂, q₃)代替，可得到与直角坐标系类似的特征值问题，只不过f还是流向曲率、展向曲率及其导数的函数。相对于直角坐标系，正交曲线坐标系的方程更加复杂，采用矢量形式可以大大简化工作量。

1.3 非平行流拓展：EEVn

对于平板边界层，边界层的厚度与雷诺数的负二分之一次方成比例，因此当雷诺数比较大时，流动的非平行性很弱，可以进行局部平行流假设。然而非平行性对可压缩流动、三维扰动、横流影响较大^[25]，在工程中需要考虑。抛物化稳定性方程(简称PSE)^[26]是当前常用的考虑非平行性的数值方法，在不可压缩流中得到了很好的应用。但PSE是抛物型的，需要推进求解，工程应用不方便^[27]。

黄章峰等^[28]提出了一种考虑基本流非平行性的扩展特征值方法(简称EEVn)：

(1) 不再对层流基本流做平行流假设，即保留法向速度和基本流沿x的各阶导数；

(2) 行进波解形式中特征函数φ(x, y)和流向波数α均是x的函数，即

$ \phi^{\prime}(x, y, z, t)=\varphi(x, y) \exp \left[\mathrm{i}\left(\int^{x} \alpha \mathrm{d} \xi+\beta z-\omega t\right)\right] $

(4)

(3) 保留线化控制方程中x的各阶导数，然后将各个物理量沿流向做泰勒展开，并将前n阶项组合成一个新的波参数控制方程。以n=1为例：

$ \left[\begin{array}{cc} \mathcal{L}_{A} & \mathcal{L}_{B} \\ \partial \mathcal{L}_{A} / \partial x & \mathcal{L}_{A}+\partial \mathcal{L}_{B} / \partial x \end{array}\right]\left\{\begin{array}{c} \varphi \\ \partial \varphi / \partial x \end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right\} $

(5)

(4) 通过解特征值问题可求得流向波数和特征函数，在此基础上对当地波数进行修正：

$ \tilde{\alpha}=\alpha+(\partial \varphi / \partial x) / \varphi $

(6)

EEVn可以考虑阶数为n的高精度情况，而且仍是一个特征值问题，可以替代LST，实现增长率的精确求解。当n=1为阶数最小的常用方法，称为抛物化稳定性方程的展开解(简称EPSE)^[29]。

图 1给出了LST、直接数值模拟(DNS)、实验和EEVn得到的三维扰动增长率，可以看出LST与EEVn和DNS的结果差别很大，EEV1与DNS的结果很接近，而EEV2的结果与DNS完全重合，且与实验符合的很好，说明EEVn很好地捕捉了基本流非平行性对稳定性的影响。

1.4 局部突变流拓展：LSA

实际工况中，飞行器上不可避免地存在铆钉、螺钉、焊点等表面局部凸起或凹陷，部件之间存在接缝、折角，或是为流动控制而人为设计的局部的粗糙元、冷却、吹吸、多孔壁、波纹壁等，这些都将引起流场的局部突变，基于缓变流场假设的稳定性分析方法不再适用，给转捩预测带来困难。

考虑突变是局部的，扰动与突变作用后将产生散射波^[30]。黄章峰等^[31]提出了局部散射法(简称LSA)来定量考虑局部突变对稳定性的影响。如图 2所示，在局部突变附近，基本流沿流向变化剧烈，扰动不再满足行进波的形式，但远离突变的上游和下游扰动的演化仍满足线性稳定性理论。如果忽略局部突变的存在，从上游向下、从下游向上对增长率积分可以在突变中心得到两个扰动幅值，这两个幅值之比恰好反映了局部突变对稳定性的影响。

以二维流场为例，LSA的基本思路是：

(1) 将扰动写成一般形式：

$ \phi^{\prime}(x, y, t)=\varphi(x, y) \exp (-\mathrm{i} \omega t) $

(7)

(2) 在入口引入扰动ϕ′=A₀φ(x₀, y)exp(iα₀x)，在出口引入边界条件ϕ′=A_nφ(x_n, y)exp(iα_nx)，定义传递系数Tr=A_Tc/A_Ic~A_n/A₀。

(3) 代入线化扰动控制方程，得到以传递系数Tr为特征值的控制方程：

$ \mathcal{L}\left(\omega, T r ; \alpha_{0}, \alpha_{n} ; f ; x, y\right) \hat{\phi}=0 $

(8)

其中α₀和α_n是忽略局部突变时光滑流场在入口和出口给定频率的流向波数。

图 3给出了LSA与LST、DNS、实验的对比结果，可以看出LSA的结果与DNS和实验的定量一致，而LST的结果偏差很大，说明LSA很好地刻画了流场局部突变对稳定性的影响。

如果采用LSA事先对典型局部突变进行参数化研究，得到各种参数下的传递系数，那么就可以采用光滑流场预测加局部修正的办法，仅需对局部突变的转捩判据进行修正：

$ N_{T c}=N_{T}+\ln \sum\limits_{k} T_{r_{k}} $

(9)

其中N_T为光滑流场的转捩判据，T_rk为第k个局部突变的传递系数，N_Tc为修正后的局部突变流的转捩判据，从而将转捩预测方法推广到局部突变流。

1.5 强三维流拓展：RTPSE

对于二维平板或者轴对称边界层，LST和PSE已经可以较为准确地描述不稳定波的演化特性。实际流动一般是三维流动，给转捩预测带来很多困难。

三维边界层中有流向和展向两个波数，而且在扰动演化过程中均变化。LST只提供一个求解波数的关系，如何补充另一个波数的关系式是三维边界层中转捩预测的关键问题。Cebeci等^[32]利用鞍点法给出了补充的关系式，但需要迭代求解，工作量大。针对三维性较弱的边界层，Malik等^[33]建议取势流方向的横向波数为实数，并沿着势流方向进行积分，该方法的计算量和误差均很小，对工程计算来说是一个很好的近似。

宋润杰等^[34]结合射线理论(RT)和PSE提出了一种三维边界层扰动演化预测的新方法，即RTPSE，其基本思路是：

(1) 采用LST确定扰动传播路径：

$ \tan \theta=-\partial \alpha_{r} / \partial \beta_{r} $

(10)

(2) 采用RT确定展向波数：

$ \partial \beta_{r} / \partial l=-(\partial \mathit{\Omega} / \partial z)_{r} / U_{\mathrm{g}} $

(11)

其中Ω为色散关系式，l(θ)为当地群速度方向，U_g为当地群速度大小。

(3) 对PSE进行改进，其中推进路径不再是直线，由LST确定群速度方向；展向波数不再是常数，由RT确定展向波数修正。

图 4给出了不同方法预测扰动在HIFiRE-1模型(Ma=7.07，单位雷诺数9.5×10⁶ /m，迎角9°)传播的结果，可以看出DNS计算得到的扰动传播路径(圆心)与其中一条射线符合得很好；传统PSE的周向波数为常数，DNS预测的周向波数沿流向变化；DNS预测的扰动幅值放大因子与传统PSE预测结果在10个流向波长范围内相差接近1；无论是周向波数还是幅值放大因子，RTPSE与DNS的结果均完全重合，说明RTPSE可以精确预测三维边界层的扰动演化，具有很大的工程应用潜力。

2 转捩预测方法工程化拓展研究 2.1 转捩预测e^N方法简介

e^N方法是常用的转捩预测方法，其基本概念是：若在边界层内存在各种频率的小扰动，这些扰动在向下游传播过程中，当进入各个扰动相应的不稳定区域时，扰动的幅值会被逐步放大。将各个频率的扰动从其幅值开始放大的位置开始，沿传播路径积分增长率得到幅值的放大倍数e^N，取对数后为N值。在所有扰动中，若有某一扰动的N值最先达到预设值N_T时，则可判定转捩发生。

e^N方法主要分为4步：

(1) 对基本流进行稳定性分析，计算得到增长率σ(β, ω, x)；

(2) 对增长率做积分，计算的N值：

$ N(\beta, \omega, x)=\int_{x_{0}(\beta, \omega)}^{x} \sigma(\beta, \omega, x) \mathrm{d} s $

(12)

其中x₀为扰动开始增长的位置；

(3) 求N值包络：

$ N(x)=\max\limits _{\beta, \omega} N(\beta, \omega, x) $

(13)

(4) 根据转捩判据N_T预测转捩位置x_T：

$ N\left(x_{T}\right)=N_{T} $

(14)

2.2 考虑感受性问题

e^N方法中积分增长率是从扰动的中性位置开始的，而且假设积分起始位置的扰动初始幅值相同，没有考虑来流中扰动幅值随频率的变化。

实验结果表明，转捩位置会随着来流湍流度的增大而明显提前。因此需要研究来流扰动激发边界层内不稳定波的机理，确定转捩与来流扰动幅值之间的定量关系，为转捩位置的预测提供扰动演化的上游条件。

早在2009年，周恒等^[35]对传统e^N方法进行了改进：

(1) 考虑积分起始位置的扰动幅值不同，是扰动频率的函数，即A₀=A_TS(ω, x₀)；

(2) 对增长率积分得直接到扰动幅值，并取包络：

$ A(x)=\max\limits _{\omega}\left\{A_{\mathrm{TS}} \exp \left[\int_{x_{0}}^{x} \max\limits _{\beta} \sigma(\beta, \omega, x) \mathrm{d} s\right]\right\} $

(15)

(3) 根据转捩幅值判据A_T预测转捩位置x_T：

$ A\left(x_{\mathrm{T}}\right)=A_{\mathrm{T}} $

(16)

并建议A_T=0.015，取得了很好的效果。

然而改进的e^N方法难以在工程中应用，因为不知道积分起始位置的扰动初始幅值，需要根据来流扰动进行估算。来流扰动进入高超声速飞行器边界层要经过两个过程：(1)扰动过激波；(2)扰动进入边界层后在边界层内激发不稳定波。因此估算也分两步：(1)根据来流扰动幅值A_before估算激波后的扰动幅值A_after≈F₁A_before；(2)根据激波后的扰动幅值估算积分起始位置的扰动幅值A_Ts≈F₂A_after。

黄章峰等^[36]研究了扰动波与斜激波之间的线性作用，发现激波前的四种扰动波(快声波、慢声波、熵波和涡波)与斜激波相互作用后，还有可能激发出一种新的衰减波，而且发现四种扰动波过尖楔模型的斜激波后的扰动幅值量级一致，即F₁≈1~2。Balakumar等^[37]以钝锥为研究对象，考虑实验测得的扰动频谱特性，发现激波后的脉动压力幅值与积分起始位置的幅值量级一致，即F₂≈0.5~1。

2.3 积分方法改进：广义增长率

LST中有三个波参数，分别为频率ω、流向波数α和展向波数β，它们之间满足色散关系式。根据波参数的虚部可以定义两种模式：

(1) 时间模式，α和β为实数，ω为复数，其虚部代表时间方向的增长率，据此可以积分得到时间模式的N值：

$ N^{\mathrm{T}}=\int_{s_{1}}^{s_{2}} \omega_{i}^{\mathrm{T}} / U_{\mathrm{g}} \mathrm{d} s $

(17)

其中上标T表示时间模式，U_g为当地群速度大小，而且积分时需要满足约束ω_r^T=C。

(2) 空间模式，ω为实数，α和β为复数，其虚部代表空间方向的增长率，据此可以积分得到空间模式的N值：

$ N^{\mathrm{S}}=\int_{s_{1}}^{s_{2}}-\left(\alpha_{i}^{\mathrm{S}} \cos \theta+\beta_{i}^{\mathrm{S}} \sin \theta\right) \mathrm{d} s $

(18)

其中上标S表示空间模式，θ为当地群速度方向角，而且积分时需要满足约束α_i^Ssinθ=β_i^Scosθ。

无论是时间模式还是空间模式，积分时均需要满足相应的约束，由于控制波参数的色散关系式是隐函数，因此在三维边界层中需要进行迭代求解，效率低，在工程应用中受到瓶颈。

宋润杰等^[38]提出了广义增长率，定义为：

$ \sigma=\omega_{i} / U_{\mathrm{g}}-\left(\alpha_{i} \cos \theta+\beta_{i} \sin \theta\right) $

(19)

其中θ为任意方向角。广义增长率的物理本质是扰动沿群速度方向的随体增长率，并具有守恒特性。由广义增长率守恒特性可知，广义增长率的大小与波参数虚部的取法无关，因此提出了新的积分方法：

$ N^{\mathrm{G}}=\int_{s_{1}}^{s 2}-\alpha_{i}^{\mathrm{G}} \cos \theta^{\mathrm{G}} \mathrm{d} s $

(20)

其中上标G表示广义模式，在积分过程中需要满足约束ω_i^G =β_i^G=0且θ^G≠π/2。频率和展向波数在积分过程中选择实数即可，积分路径可以不严格按照群速度方向，可以选择势流方向。

图 5给出了后掠钝板流动不同积分方法得到的N值，可以看出不同方法计算得到的结果定量一致，但新方法无需迭代，操作简单，效率高，适用于一般三维流动。

2.4 理性的转捩判据

e^N方法被称为是一种半理论半经验的转捩预测方法，半理论是指它的理论基础是LST，半经验是指转捩判据主要依靠实验或经验来确定。对于航空飞机，经过大量的风洞实验和飞行试验，转捩判据通常取N_T=8~9。对于高超声速飞行器，这方面的经验还很少^[4]。根据不同的试验，高超声速飞行器的转捩判据N_T范围在6到12之间，说明传统的转捩判据严重依赖试验条件和飞行状态。

改进后的e^N方法考虑了来流扰动的频谱特性，积分后得到的是沿波的传播方向的幅值A分布，因此需要通过幅值转捩判据A_T来判断转捩位置。相对传统的e^N方法，改进后的e^N方法的判据考虑了感受性，因此是一种理性的判据。周恒等^[35]建议取A_T=0.015，Balakumar等^[37]的结果表明转捩时脉动压力幅值约为p′ _rms/p_s=0.1~0.2，对应的幅值转捩判据范围为A_T≈0.025~0.05。

由于实验手段的限制，目前很难获得激波前来流的扰动频谱特性。但是对于每座风洞，目前可以测量得到风洞的流场品质，即激波后总压脉动均方根与总压平均值之比。在流动稳定性分析中，通常采用扰动速度的幅值作为参考量，其定义为脉动速度均方根与来流速度之比。脉动速度的幅值与流场品质没有严格意义上的一一对应关系，但可根据工程经验进行两者关系的估算：

$u_{\mathrm{rms}}^{\prime} / u_{\infty} \approx f\left(M_{1}\right) p_{\mathrm{rms}}^{\prime} / p_{20} $

(21)

表 1给出了五种典型类型下流场品质、扰动幅值、转捩判据N_T和幅值转捩判据A_T之间的估算值，其中激波风洞、低噪声风洞、静音风洞的流场品质由实验测量确定，激波风洞、弹道靶和飞行试验的N_T由实验标定，其它结果均为定量估算结果。以激波风洞为例，估算过程如下：根据流场品质和来流马赫数(Ma=6)估算来流的扰动幅值，根据扰动幅值和标定的转捩判据N_T估算幅值判据为A_T=0.034，与本文建议的转捩幅值判据A_T=0.05相当。根据该幅值判据和流场品质，可以估算出低噪声风洞和静音风洞的转捩判据N_T分别为8和10左右，根据该幅值判据和实验标定的N_T值可以估算出弹道靶和高空的流场品质为0.01%左右。

需要指出的是，本文建议的幅值转捩判据是根据有限的实验数据标定得到的，虽然具有天地一致性，但其普适性仍待进一步研究。

2.5 软件开发

鉴于e^N方法的优势，国外已有学者将其应用到工程实践中，编制了转捩预测软件。国际上著名的转捩预测软件典型代表有美国NASA的Malik等开发的eMalik软件、德宇航DLR的Schrauf等开发的LILO软件、美国NASA的Chang等开发的LASTRAC软件^[39]。国内以天津大学的罗纪生、黄章峰^[40]、西北工业大学的宋文萍、韩忠华^[41-43]和中国空气动力研究与发展中心涂国华^[14]等为代表，开展了转捩预测e^N方法的应用研究。

黄章峰等^[43]从理论方面和工程应用方面分析了e^N方法及其预测软件的不足，并结合工程应用的需要，提出了面向工程的基于e^N方法的高超声速边界层转捩预测软件的实现途径。其基本思路：在对e^N方法进行不断改进和完善的基础上，结合流动稳定性分析和转捩工程应用方面的经验，建立特征值、感受性系数、转捩判据等一系列知识库，开发一套实用、全自动、高效、用户接口友好的面向工程的超声速边界层转捩预测软件。

对标国际著名转捩预测软件，目前已经完成了实用、智能软件的功能设计，编码实现了多块结构化网格复杂外形流场的基本流处理、边界层厚度辨识、特征值初值估计、非物理解判断、转捩位置评估等全自动操作，实现了实用、全自动、高效的高超声速边界层转捩预测软件开发，并在工程应用单位进行了初步应用，取得了不错的效果。

3 典型案例 3.1 风洞实验：零迎角锥

研究对象为头部半径0.5 mm、半锥角5°、长度600 mm的光滑钝锥，结合常规激波风洞中实验结果，采用传统e^N方法和改进e^N方法进行了转捩预测，其中改进e^N方法中利用了国外激波风洞和国内2 m激波风洞的原始扰动频谱曲线来估算积分起始位置的扰动幅值，估算系数为F₃=F₁F₂≈1。

图 6给出了零迎角钝锥三种不同方法的转捩预测结果，其中实线是第二模态扰动波的结果，而虚线是第一模态波的结果。根据实验测得的转捩雷诺数Re_x=0.4×10⁷~0.6×10⁷，对于单位雷诺数为1.6×10⁷/m的工况，实验测得的转捩位置在x=250~375 mm之间。图 6(a)中对应转捩位置的N_T值在6到7之间，为第二模态扰动波引起的转捩。图 6(b)中对应转捩位置的N_T值也在6到7之间，但是为第一模态扰动波引起的转捩。虽然传统e^N方法和改进e^N方法标定的N_T值均接近，但是引起转捩的扰动波类型不同。这是因为传统e^N方法忽略了来流扰动情况，而改进e^N方法考虑了来流扰动情况，虽然第二模态不稳定波动增长率要大于第一模态不稳定波的增长率，但是在常规激波风洞中第一模态的来流扰动幅值要明显大于第二模态的，因此后者更接近实际情况。图 6(c)中对应转捩位置的A_T值在0.05附近，为第一模态扰动波引起的转捩，进一步佐证了该工况转捩是第一模态扰动波引起的。

3.2 风洞实验：椭圆锥(HIFiRE-5)

2010年Steven等^[44]在常规激波风洞中(实验条件为马赫数6、来流总温426.4 K，单位雷诺数1.02×10⁷ /m)对零迎角、零侧滑角椭圆锥模型(HIFiRE-5)进行了实验研究，采用TSP技术给出了典型工况下的转捩位置。

图 7给出了转捩预测结果，其中红色区域(高热流区)为实验测得的湍流区域，蓝色区域(低热流区)为实验测得的层流区域，红色与蓝色相交的地方为转捩区域。线条为e^N方法的预测结果，可以看出当N_T取6~7时，理论预测得到的转捩线基本上与实验得到的转捩线重合。进一步分析可知引起转捩的不稳定波的频率大约为40 kHz，属于较低频率的横流行进波或第一模态不稳定波。

3.3 弹道靶实验：小迎角锥

柳森等^[45]在弹道靶上开展了小迎角钝锥模型高超声速边界层转捩的自由飞实验，给出转捩雷诺数大约为Re_x=0.42×10⁷~0.83×10⁷。针对实验工况进行了基本流计算、稳定性分析和转捩预测，分别考虑0°和5°迎角。图 8给出了相应的转捩预测结果。

对于0°迎角，基于弹道靶实验得到了转捩雷诺数Re_x=0.4×10⁷，从图 8(a)可以估算出相应的转捩判据N_T在12~13之间。由于弹道靶实验环境更接近高空真实情况，其背景扰动比常规风洞小很多，因此相应标定的转捩判据N_T=12~13比常规风洞标定的N_T=6~7要大一倍左右。对于5°迎角，如果以N_T=13来判断转捩发生的位置，从图 8(b)中可以看出转捩发生的位置在侧面最早发生，在迎风面次之，在背风面最靠后，相应的转捩雷诺数范围在Re_x=0.2×10⁷~0.6×10⁷之间。对于有迎角工况，迎风面和背风面的转捩发生位置相差较大，而在实验中由于迎角和侧滑角无法控制，实验测量转捩发生位置可能处于迎风面到背风面的某个位置上，因此测量的转捩雷诺数会在一个较大范围内变化。图 8(b)给出转捩位置的同时还给出了引起转捩扰动的频率，可以看出迎风面转捩主要以高频的第二模态为主，而在背风面转捩以较低频的第一模态为主。

3.4 飞行试验：大迎角锥

最近，国内开展了大迎角锥的飞行试验研究，成功测到了转捩发生的过程。本文针对H=25 km和H=27 km两种典型工况开展了转捩预测与转捩判据标定研究，结果见图 9。

图 9(a)给出了不同转捩判据下横流转捩预测结果，可以看出横流转捩主要发生在侧面，在背风面子午线和迎风面子午线上均没有发生横流转捩。转捩位置随着转捩判据N_T值的不同而不同，但总体趋势是侧面靠背风面区域先转捩，侧面靠迎风面区域后转捩。随着飞行高度的下降，横流引起的转捩位置前移，不对称性较弱。

图 9(b)给出了不同转捩判据下第TS波转捩预测结果，可以看出TS波转捩主要发生在迎风面，但迎风面子午线上的转捩位置并不是最靠前，在迎风面子母线附近的转捩位置更靠前一些。由于迎角的存在，TS波引起的转捩位置存在较强的不对称性。随着飞行高度的下降，侧面转捩位置前移，但迎风面的转捩位置略有后移。

图 9(c)给出了大迎角锥根据飞行试验进行标定的结果，其中实线为TS波预测结果，虚线为横流预测结果，黑点为飞行试验测量结果。对于高度H=25 km的工况，采用飞行试验数据进行初步标定，发现横流N_T=8~9和TS波N_T=12~13时的转捩线与试验定量一致。不同区域导致转捩的扰动波类型不同，侧面靠背风面是由横流不稳定波引起的转捩，而侧面靠迎风面是由于TS不稳定波引起的转捩。

4 结论与展望

本文回顾了近年来高超声速流动稳定性和转捩在工程应用研究方面的进展。在流动稳定性方面：(1)将直角坐标系下的分析方法拓展到正交曲线坐标系，使之适应复杂外形分析的需要；(2)提出了一种考虑基本流和特征函数沿流向变化的扩展特征值方法，提升了流动稳定性分析非平行流的能力；(3)提出了局部散射法，定义了传递系数来定量考虑局部突变的影响；(4)结合射线理论和抛物化稳定性方程提出了一种三维边界层扰动演化的精确预测方法。在转捩方面：(1)基于流场品质对积分起始位置的扰动初始幅值进行了估算，初步考虑了来流感受性的影响；(2)基于广义增长率守恒特性提出了适合于三维边界层的积分方法；(3)初步定量给出了基于扰动幅值为判据的理性转捩判据；(4)面向工程，开发了一套实用、全自动、高效的高超声速边界层转捩预测软件，并在工程应用单位进行了初步应用，取得了不错的效果。结合风洞实验、弹道靶实验和飞行试验，在零迎角锥、椭圆锥、小迎角锥和大迎角锥的典型案例进行了应用。

然而，流动稳定性和转捩在工程应用方面，仍然任重而道远。流动稳定性分析方法在非平行性、三维性、非线性、多态性等方面的能力还有待进一步提高；转捩预测方法在感受性、模态转换、转捩机理、转捩判据等方面还有待进一步深入研究；转捩预测软件在实用性、智能性、功能性、鲁棒性、高效性等方面有待进一步完善；在工程应用中还会遇到新现象、新问题、新需求、新目标。笔者致力于这些问题的解决与工程应用研究。

致谢: 本研究得到了基金委、航天科技、航天科工等单位的大力支持，在此表示感谢。本文的主要内容在“中国流动稳定性与转捩研究40年：成就、机遇和挑战”研讨会上报告过。祝周恒先生身体健康：“层流很稳定，健康占主导；转捩被推迟，益寿又延年；湍流不报到，永葆青春态！”