0 引言

边界层转捩预测是高速飞行器发展中不可回避的重要问题，转捩带来的高热流和高摩阻给飞行器的热防护、气动外形等设计带来了新的挑战。如何更准确地认识和预测转捩，是学术和工程界共同关心的问题。高速边界层的自然转捩包括感受性、扰动的线性和非线性增长、扰动发展的饱和并崩溃的过程。其中，扰动的增长过程占据了相当长的距离，是转捩位置预测中最重要的过程。扰动的增长由流动稳定性理论描述，目前已对可压缩边界层流动的稳定性特征取得了丰富的认识，这对转捩的研究奠定了理论基础。

风洞试验是高速边界层转捩研究的一个重要手段，尤其是静风洞技术和转捩测量技术的发展，为实际飞行条件下的转捩预测提供了丰富而有价值的数据^[1]。为了模拟飞行条件下的转捩现象，风洞试验一般会选择相同的马赫数、雷诺数等相似参数，但来流噪声、来流总温和壁温条件却往往与飞行条件存在较大差别。而且由于不同风洞的模拟能力不同，以上参数的差异在不同风洞之间也是广泛存在的，这些差异也被认为是导致不同风洞的转捩结果不一致的可能原因^[2-3]。为了对不同转捩试验结果进行关联，就需要对上述参数如何定量影响边界层转捩过程进行细致研究。

我们知道，对于可压缩平板边界层流动，当马赫数较小时(Ma < 2.2)，唯一的不稳定模态是第一模态，而随着马赫数的增高，第二模态(Mack模态)出现并表现出更强的不稳定性，是主导的失稳模态。第一模态和第二模态与快、慢模态有关，Fedorov和Tumin^[4]对传统的模态称谓进行了讨论，认为快、慢模态比第一、第二模态的说法更符合数学描述，并且更不容易产生混淆。同时发现在不同的流动参数下，第一、第二模态可能分别属于慢、快模态，也可能同属于慢模态，两种情况分别对应于两种不同的模态分枝类型(图 1)。

模态的分枝特性对边界层转捩现象中的感受性过程和扰动线性增长过程都有重要影响。Fedorov和Khokhlov^[5-6]研究了边界层中的各类模态同步分枝现象，通过对快、慢模态的细致研究^[7]，发现不稳定的第二模态可能对应慢模态，也可能对应快模态。Ma和Zhong^[8]也对快、慢模态的同步现象进行了研究，并分析了其与Mack模态的关系，指出快、慢模态的同步对Mack模态的出现和增长具有非常重要的意义。Fedorov和Tumin^[4]对高速边界层的分枝特性进行了较为全面的研究，发现雷诺数、温度和马赫数等流动参数都会对分枝类型产生影响。Fedorov^[9]结合对模态同步和分枝已有的认识，指出在扰动线性发展过程中，快、慢模态通过模态交换机制(分枝)产生不稳定性，扰动沿流向增长，扰动发展到一定幅值后发生非线性崩溃，转捩发生。

从前述的研究结果可知，由于快、慢模态存在不同的分枝类型，第二模态不稳定性可能属于快模态，也可能属于慢模态；而第一模态不稳定性总是属于慢模态。那么，对于同时存在第一、第二模态不稳定性的边界层流动，单一扰动可能经历以下三种线性增长过程：当第二模态属于快模态(如图 1(a)所示，对应Fedorov^[4]的A或C型分枝)时，①慢模态扰动只经历第一模态增长，②快模态扰动只经历第二模态增长；当第二模态属于慢模态(如图 1(b)所示，对应Fedorov^[4]的B或D型分枝)时，③慢模态扰动先后经历第一、第二模态增长(快模态扰动不经历增长过程)。因此，在进行稳定性分析和转捩预测时，对于A、C型分枝情况，快模态扰动和慢模态扰动都应该考虑，而对于B、D型分枝，可只考虑慢模态扰动。另外，当边界层流动参数发生变化导致快、慢模态分枝类型发生改变时，前述的扰动增长过程也会发生改变，由此预测得到的转捩位置可能产生较大的变化，这在前期的研究中已有体现^[10]。因此，在采用稳定性分析方法对边界层转捩进行预测之前，应该首先对快、慢模态的分枝情况进行分析。

基于以上认识可以知道，温度条件的改变可以导致快、慢模态分枝类型发生变化，进一步导致扰动的线性增长过程发生改变。同时，温度条件对边界层自身的稳定性和转捩也会产生影响。对于来流总温，早在1966年，Mack^[11]就指出这是影响可压缩边界层转捩位置的因素之一，而近期关于高超声速圆锥边界层的研究^[2]也表明，总温的增加对流动起稳定作用。而壁温对边界层稳定性的影响更是广为人知：冷壁对第一模态起稳定作用，对第二模态起不稳定作用，而热壁则相反^[12-14]；对高超声速圆锥边界层的转捩研究发现，低壁温条件促进边界层的转捩^[15]。然而，对于转捩试验结果的关联，上述温度的定性影响规律显然是不足够的，必须对温度的影响做更细致的研究，获得定量的影响规律。

本文针对转捩试验研究中的主要差异因素——来流总温和壁温，开展了其影响下的高速平板边界层转捩研究，重点考察了不同温度条件下高速平板边界层流动中快、慢模态的分枝特性；还采用e^N方法研究了温度对转捩的影响规律，发现在相同马赫数下，转捩雷诺数与温度比存在一致性的依赖关系，利用这一关系，初步建立了转捩雷诺数与温度比和N值的函数关系式，可用于关联不同风洞的转捩结果和促进转捩天地相关性的研究。

1 温度对快/慢模态同步和分枝的影响

采用线性稳定性理论方法对不同温度条件下的平板边界层流动进行了分析，分别考察了快、慢模态的相速度和增长率随频率的变化。边界层速度和分布由边界层相似性解得到，采用的线性稳定性方法可参阅文献[16]。图 1显示了本文所采用的线性稳定性计算方法得到的结构与文献[4]的对比，两者在不稳定扰动和模态分枝类型结果上吻合良好，这也验证了本文程序的可靠性。

1.1 壁温的影响

Fedorov等^[4]对不同马赫数下的绝热壁和冷壁进行了研究，发现壁温的改变会使快、慢模态的分枝类型发生变化。而对于转捩试验而言，进行比较和关联的试验结果通常针对相同的马赫数，因此本文研究了在同一马赫数条件下，不同壁温条件下的快、慢模态分枝类型及其变化。

对于平板边界层，来流条件为：Ma=4，单位雷诺数Re₀=1.13×10⁷ /m，总温T₀=710 K(对应来流温度T_e=169.7 K)，分别设置了4个算例以研究壁温的影响(表 1)，其中Case 4对应绝热壁条件。各算例对应的边界层速度和温度剖面如图 2所示。

长度特征尺度取为${{\delta }_{x}}=\sqrt{\mathit{R}{{\mathit{e}}_{0}}x}$, 对距平板前缘1.5 m处的流动进行空间不稳定性分析；在上述特征尺度下，当地雷诺数Re=4117。首先对流动进行模态分析，发现流场中存在快模态(Mode F)和慢模态(Mode S)，传统意义上的第一模态和第二模态分别位于这两枝(族)上。图 3给出了各个工况下不同模态随频率的变化。

从图中可以看出，快模态的高频段对应第二模态，而在慢模态的低频段对应第一模态。按照Mack的定义，快模态上高频区的不稳定模态称为第二模态增长解；慢模态上几乎同频率范围内衰减率较大的模态称为第二模态衰减解。而按照Fedorov^[4]的分类，上述分枝类型属于A型分枝。可以发现，在所考虑的壁温变化范围内，分枝类型并没有发生改变。

从图 3中还可以看出，随着壁温的增加，第一模态由稳定变得不稳定，扰动增长率和失稳区域范围都变大。而对于第二模态，壁温的增加使该模态变得更加稳定，扰动增长率和失稳区域范围都变小。上述壁温对可压缩边界层不稳定性的影响规律与传统认识相符^[13-14]。而不同的是，由于这两个模态分别属于慢模态和快模态，在同时显示扰动增长率时，两段不稳定区域并不属于同一条曲线。这是A、C型分枝类型的典型特征。

1.2 总温的影响

在相同马赫数下，风洞条件和飞行条件下的来流总温差异明显，即使在不同风洞之间也存在一定的差别。Zhao等^[2]指出总温的差异可能是导致不同风洞试验结果出现不一致的重要原因。对此，本文针对来流总温的影响开展了初步研究。设置算例如表 2所示，壁温取绝热条件。

图 4给出了扰动频率与相速度之间的关系。从图中可以看出，Case 5，Case 6属于Fedorov的B型分枝，Case 7、Case 8和Case 9属于D型分枝。总温的变化引起的模态分枝类型的变化，这是总温和壁温影响稳定性的区别所在。同时，可以发现总温对两个失稳模态的影响：随着总温的增加，第一模和第二模不稳定性都随之减弱。这与Zhao等^[2]关于总温对圆锥边界层稳定性的影响规律是一致的。

同时还可以发现，Case 4和Case 9的壁温和总温条件相同，仅仅是稳定性计算时选取的雷诺数不同，导致了模态分枝类型的差异。可以预见，这两种分枝类型的变化发生在雷诺数2000和4117之间。对马赫数等参数的影响研究也发现了模态分枝类型发生变化的情况^[17]。

由于边界层的第一模态对应于慢模态，而第二模态却没有确定的对应关系，因此对于A、C型模态分枝的边界层流动，单一模态扰动最多只会经历一次失稳过程，即：慢模态扰动经历第一模态失稳，快模态扰动经历第二模态失稳，不会发生单一扰动先后经历第一和第二模态失稳的情况。这就给扰动的线性失稳过程带来了更多的变化，同时也对转捩预测的e^N方法带来了困难，一方面需要在模态选择时同时考虑快、慢模态，另一方面对传统的N值选择带来了麻烦。因此，在采用稳定性分析方法对高速边界层进行转捩预测前，应该先对边界层的稳定性，尤其是模态的分枝类型进行分析，根据特定的分枝类型确定主导失稳的模态及对应的N值。

2 温度对转捩的影响

本部分采用e^N方法，对不同壁温条件下的高速平板边界层流动进行转捩预测。计算条件为：来流马赫数Ma=4、5、6，采用24 km高空来流条件，壁温条件取为等温壁，温度T_w=300~1400 K。

在以上条件下，壁面温度低于绝热壁温度，与Case 1~Case 3类似，边界层流动的模态分枝类型都属于A型。在这种情况下，慢模态只经历第一模态失稳，快模态只经历第二模态失稳，因此在进行e^N分析时，需要考虑两个模态。但由于冷壁对第一模态起抑制作用，因此慢模态扰动只经历第一模态失稳，幅值增长有限，不是主导转捩的模态，因此在实际计算中，只需考虑快模态扰动的增长。

2.1 壁温对转捩位置的影响

图 5给出了马赫数为4的情况下快模态的增长曲线。通过对不同频率扰动的增长率进行积分，得到各频率扰动的增长曲线(彩色曲线)，再对所有增长曲线取包络线(黑色曲线)，可得到N值曲线。

在采用e^N方法进行转捩预测时，N值的选取对于预测结果至关重要。对于相同的外形，不同来流条件对应的N值不同，在常规风洞条件下，来流噪声较大，转捩位置靠前，对应N值较小；而在静风洞和飞行条件下，来流噪声较小，转捩位置靠后，对应的N值较大。本文假定扰动累计增长率N率先达到9的位置为转捩位置。从后面的研究可以知道，N值的选取对关联不同温度的转捩结果没有影响。

从图 5中还可以看出，只有一定频率范围内的扰动，其累计增长率才能达到9，因此在实际操作中，不需要对大量的扰动进行计算，而只需针对特定频率范围内的扰动进行计算，便能较快地得到N值曲线受关注的部分，进而可对转捩位置进行更高效的预测。

当壁温从300 K到1000 K变化时，扰动幅值增长曲线和N值曲线都表现出一致性的规律。而当壁温高于1200 K时，增长曲线的形态发生了变化，如图 6所示，在N>6的范围内，增长曲线的增长变缓，这导致了N=9的转捩位置大幅度后移。

图 7给出了转捩位置和发生转捩时的扰动频率随壁温的变化。可以看出，两者都在1000 K以下的范围内表现出良好的规律，而在1200 K以上表现出了明显的差异。在马赫数为4和5的条件下，也有相同的现象产生。对快模态的扰动增长率进行分析可以发现，出现上述现象的原因一方面是第二模态不稳定性随壁温升高而变弱，另一方面也与转捩N值选取有关，如果转捩N值取较小值(如5或6)，这种不一致的规律将不会出现。

从上面的结果来看，当壁温不太高时，转捩位置与壁温之间存在良好的依赖关系。利用数据拟合，可以将这种关系量化。对转捩位置与壁温的关系进行拟合，首先将壁温和转捩位置分别用壁温比和转捩雷诺数来代替，令T=T_w/T_e，采用非线性指数拟合的结果图 8所示。

对应的拟合曲线关系式为：

$ R{{e}_{\text{tr}}}\cdot {{10}^{-7}}={{\text{e}}^{(0.2872T-0.6092)}}+0.2503 $

(1)

类似的，对马赫数为4和5的工况也可以得到相应的拟合曲线。

2.2 基于壁温影响的转捩关联公式

边界层的失稳和转捩始于边界层对扰动的感受性过程，对于自然转捩而言，扰动主要来源于来流。假设来流中的扰动平均幅值为A_in，经过感受性过程之后，进入边界层后，扰动在增长之前的平均幅值变为A₀，扰动增长到转捩时的平均幅值为A_tr，后一过程可以用e^N方法来描述。感受性过程是一个复杂的过程，这里不对感受性过程进行分析，而只关注对边界层内初始扰动的线性增长过程。且对于不同的来流和壁面条件，认为转捩时的扰动幅值水平是相当的(如A_tr=1.5%^[18])。

不同的来流条件带来的初始扰动幅值A₀不同，扰动增长到转捩位置的过程也不同。较大初始扰动增长的过程短，对应的N值小，较小初始扰动增长的过程长，对应的N值大。因此，采用e^N方法进行转捩预测时，需要通过A₀来确定N值，即

$ N=N\left( {{A}_{0}} \right) $

(2)

那么，初始扰动的影响可以用N值来体现。图 9显示了不同壁温条件下，N值与转捩位置的关系。可以看出，N值越小对应的转捩位置越靠前，这也意味着初始的扰动幅值较大。

在本文的研究中，考虑的N值范围为2~9，即认为大部分的扰动增长都在此范围之内。由图 10可见，该范围内的雷诺数与N值的对数值呈现出近似线性的关系。从图中可以看出，各条线之间近似平行，而其中的差异只源于壁温的影响。

可以推测，在对数坐标系下，壁温的影响是线性的。前面的研究考察了壁温对转捩雷诺数的影响，通过数据拟合得到了两者的依赖关系，即：

$ R{{e}_{\text{tr}0}}\left( T;\text{ }N=9 \right)={{\text{e}}^{aT+b}}+c $

(3)

式中a、b、c为待定系数。在这部分的研究中，设定了N=9的转捩基准，这实际上对应于初始扰动很小的流动情况。若以这种情况作为参考，将壁温的影响规律引入上图的结果，考虑归一化的转捩雷诺数组合参数Re_tr(T; N)/Re_tr0(T; N=9)，可以得到图 11的结果。

可以看出，在对数坐标系下，不同温度下的曲线几乎重合，形成一条过坐标点(9，1)的近似直线。因此，可以进一步假设存在以下线性关系：

$ ~\text{ln}\left( \frac{R{{e}_{\text{tr}}}\left( T;N \right)}{R{{e}_{\text{tr0}}}\left( T;N=9 \right)} \right)={{c}_{1}}\text{ln}N+{{c}_{0}} $

(4)

上式的系数可以通过曲线上的数据求得。从以上结果可以看出，由于存在良好的线性近似关系，N值可以在2~9中任意选取，不会对图 11中的线性结果产生本质的影响。

利用线性关系可进一步得到：

$ R{{e}_{\text{tr}}}=R{{e}_{\text{tr0}}}\cdot {{({{c}_{3}}\cdot N)}^{{{c}_{1}}}} $

(5)

式中${{c}_{3}}=\exp \left( \frac{{{c}_{0}}}{{{c}_{1}}} \right)$。再结合式(3)，式(5)可以改写为

$ \frac{Re_{\text{tr}}^{f}}{Re_{\text{tr}}^{g}}=\left( \frac{{{\text{e}}^{a\cdot {{T}^{f}}+b}}+c}{{{\text{e}}^{a\cdot {{T}^{g}}+b}}+c} \right)\cdot {{\left( \frac{{{N}^{f}}}{{{N}^{g}}} \right)}^{{{c}_{1}}}} $

(6)

式中的系数见表 3。

式(5)实际上是一种转捩准则，体现了转捩雷诺数与壁温和初始扰动幅值的关系。改变马赫数会对准则中的系数带来变化。一般来说，风洞试验可以模拟飞行条件下的马赫数，因此在转捩的关联性研究中，采用上式的转捩准则可以对不同风洞中，和风洞与天空中的转捩结果进行关联。容易得到：

$ \frac{Re_{\text{tr}}^{f}}{Re_{\text{tr}}^{g}}=\left( \frac{Re_{\text{tr0}}^{f}}{Re_{\text{tr0}}^{g}} \right)\cdot {{\left( \frac{{{N}^{f}}}{{{N}^{g}}} \right)}^{{{c}_{1}}}} $

(7)

不同试验条件下的壁温条件体现在(6)或(7)式右端第一项中，而不同的初始扰动幅值体现在右端第二项中。因此，在风洞试验中测得的转捩雷诺数可以通过上式转化为空中的转捩雷诺数。类似地，不同风洞之间的试验结果也可以通过上述关系式进行关联。

应该注意的是，式(7)中的N值需要采用先验试验标定值，或通过完善感受性研究加以确定。而前者需要大量的风洞和飞行试验结果进行支撑，后者需要对感受性过程进行更深入的研究和合理的模化。在目前看来，上述基于平板边界层的转捩关联式是关联不同温度条件下转捩结果的初步研究，为建立完整的转捩关联关系奠定了基础，该思路也可用于其它外形的边界层转捩关联和预测。

3 结论

本文研究了温度对高速平板边界层流动稳定性和转捩的影响。结果发现：第一，不同的总温条件会带来快、慢模态分枝类型的变化，并且随着总温升高，第一模态和第二模态的不稳定性都减弱。第二，在不高于1000 K的壁温条件下，壁温与高速边界层扰动增长关系呈现出良好的规律，这种规律可以以指数函数的形式量化体现；而当壁温更高时，这种规律受到破坏。第三，利用壁温对扰动增长的影响规律，并结合初始扰动与N值的关系，可以得到转捩雷诺数的关联准则，并可用于关联转捩结果的进一步研究。这种思路可对其他外形的高速边界层流动转捩的关联和预测提供参考。