频谱分析是信号处理的重要技术手段之一，通过对频谱构成和分布进行分析，可以获取信号的关键特征。针对高频窄带信号，在满足香农采样定理的前提下，我们采用较高速率模数转换器对信号采样并进行样本数据分析。目前，最高速率的模数转换器无法满足频谱分析的需求，因此，研究人员对信号的结构和特点进行分析，针对自身或通过数学变换后具有稀疏性质的信号，提出了压缩感知理论^[1-2]。压缩感知理论主要包含前端的压缩采样系统和后端的信号重构两部分，相比传统的采样技术，压缩感知理论将采样和压缩合二为一，降低了采样速率、数据传输带宽，节省了存储空间。近几年，压缩感知的研究内容为重构算法的改进和实际应用。在实际应用的误差允许范围内，压缩感知相关理论能以较低的采样速率对稀疏信号进行亚奈奎斯特采样，并完美地重构输入信号。但针对高频窄带信号处理的压缩感知理论指导实际的应用研究不足，在理论研究中的输入信号模型是时域长度设定好的信号序列，即频谱的分辨率也设定好了，未能有效地指导实际应用中如何提高信号频谱的分辨率。

在天文观测中，射电天文信号的谱线观测是研究宇宙的重要方式，通过对谱线进行分析可以诊断天体的基本物理条件，如动能温度、总粒子数密度、速度、磁感应强度等^[3]。射电天文信号的谱线观测对终端设备的频谱分辨率提出了很高的要求^[4]，为了提高观测谱线的频谱分辨率，在采样速率一定的情况下增加采样时长，需消耗处理器内部的乘法器、累加器以及存储单元等资源。在射电天文观测中，一些指定谱线在频域具有稀疏特性，因此，本文把压缩感知理论应用到射电天文信号观测中，通过对前端的调制宽带转换器^[5]采样系统和正交匹配追踪^[6]重构算法进行分析，实现低速模数转换器对高频窄带信号的压缩采样，可以接近无失真地重构输入信号。仿真实验表明，在采样点数低于奈奎斯特速率采样样本数的情况下，本文方法有效提高了频谱分辨率。

1 调制宽带转换器采样系统和重构算法 1.1 调制宽带转换器采样系统

调制宽带转换器是一个亚奈奎斯特采样系统，文[7]对系统进行了详细的数学推导。它由多个通道组成，每个通道由伪随机序列发生器、低通滤波器和低速模数转换器构成，如图 1。

调制宽带转换器采样系统主要参数有采样系统的通道数m，伪随机序列p_i(t) 的周期T_p，模数转换器采样周期T_s，第i通道p_i(t) 的第k序列的值a_ik (a_ik∈{+1, -1})，p_i(t) 一个周期内包含±1的数量M，低通滤波器$ h(t) = \frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}W}}{M}{\mathop{\rm sinc}\nolimits} \left( {\frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}W}}{M}t} \right)$(截止角频率为$ \frac{{{\omega _{\rm{s}}}}}{2} = \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{{{T_{\rm{s}}}}} = \frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}W}}{M}$)，奈奎斯特采样频率f_NYQ。其中，p_i(t) 的表达式为

$ p_{i}(t)=a_{i k}, k T_{\mathrm{p}} / M \leqslant t \leqslant(k+1) T_{\mathrm{p}} / M, 0 \leqslant k \leqslant M-1, $

(1)

傅里叶级数展开表达式为

$ {p_i}(t) = \sum\limits_{l = - \infty }^\infty {{c_{il}}} {{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{{T_{\rm{p}}}}}lt}}, $

(2)

$ {c_{il}} = \frac{1}{{{T_{\rm{p}}}}}\int_0^{{T_{\rm{p}}}} {{p_i}} (t){{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{{T_{\rm{p}}}}}lt}}{\rm{d}}t = \frac{1}{{{T_{\rm{p}}}}}\sum\limits_{k = 0}^{M - 1} {{a_{ik}}} {{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{{T_{\rm{p}}}}}lk}}\int_0^{\frac{{{T_{\rm{p}}}}}{M}} {{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{{T_{\rm{p}}}}}lt}}} {\rm{d}}t. $

(3)

由图 1可得时域数学表达式为

$ {x_i}(t) = x(t){p_i}(t),\;\; {y_i}(t) = h(t) \otimes {x_i}(t),\;\; {y_i}[n] = {y_i}\left( {n{T_s}} \right), $

(4)

其中，⊗为卷积运算。令X(f)表示x(t) 的傅里叶频谱，Y_i(f) 表示第i通道输出压缩数据y_i[n] 的离散时间傅里叶变换(Discrete Time Fourier Transform, DTFT)，则(4) 式的频谱表达式为

$ {Y_i}(f) = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {{y_i}} [n]{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }}fn{T_{\rm{s}}}}} = \sum\limits_{n = - {L_0}}^{{L_0}} {{c_{il}}} X\left( {f - l{f_{\rm{p}}}} \right), f \in \left[ { - {f_{\rm{s}}}/2, {f_{\rm{s}}}/2} \right], $

(5)

其中，$ {L_0} = \left\lceil {\frac{{{f_{{\rm{NYQ}}}} + {f_{\rm{s}}}}}{{2{f_{\rm{p}}}}}} \right\rceil - 1$；$ \left\lceil \bullet \right\rceil $表示不小于该整数。则m个通道输出压缩数据的频谱表达式可以简写为

$ \mathit{\boldsymbol{y}}(\mathit{\boldsymbol{f}}) = \mathit{\boldsymbol{Az}}(\mathit{\boldsymbol{f}}), $

(6)

其中，

$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{y}}(\mathit{\boldsymbol{f}}) = {\left[ {{Y_1}(f), {Y_2}(f), \cdots , {Y_m}(f)} \right]^{\rm{T}}}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{z}}(\mathit{\boldsymbol{f}}) = {\left[ {{z_1}(f), {z_2}(f), \cdots , {z_L}(f)} \right]^{\rm{T}}}, \\ {\mathit{\boldsymbol{z}}_\mathit{\boldsymbol{i}}}(\mathit{\boldsymbol{f}}) = X\left[ {f + \left( {i - {L_0} + 1} \right){f_{\rm{p}}}} \right], \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{A}} = {\left[ {c_{il}^*} \right]_{m \times L}}, L = 2{L_0} + 1. \end{array} $

1.2 重构算法

调制宽带转换器采样系统的后端重构过程是先计算采样系统各通道之间输出压缩数据的协方差，再采用贪婪算法找出包含有用信息的频谱片段和对应字典的索引。因调制宽带转换器每个通道输出数据的长度有限，令数据长度为N，则各通道输出数据之间的协方差矩阵为

$ {\mathit{\boldsymbol{\hat R}}_{l, k}} = 2{\rm{ \mathsf{ π} }}\frac{M}{W}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{y_l}} [n]y_k^*[n]. $

(7)

文[7]利用特征分解方法把对z(f)频谱片段求解过程转化为压缩感知问题，即对$ \mathit{\boldsymbol{\hat R}}$进行特征分解，可得

$ \mathit{\boldsymbol{\hat R}} = {\mathit{\boldsymbol{U}}^*}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} U}} = \left( {{\mathit{\boldsymbol{U}}^*}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}^{1/2}}} \right){\left( {{\mathit{\boldsymbol{U}}^*}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}^{1/2}}} \right)^*} = \mathit{\boldsymbol{V}}{\mathit{\boldsymbol{V}}^*}, $

(8)

$ \mathit{\boldsymbol{V}} = \mathit{\boldsymbol{AS}}, $

(9)

其中，Λ为$ \mathit{\boldsymbol{\hat R}}$特征解组成的对角矩阵；U为对应特征向量的矩阵。求解稀疏矩阵S属于多测量矩阵问题。重构过程的核心步骤为通过贪婪算法找出A中尽可能少的列向量和S中包含有用信息的行向量来表达V，把少量列向量矩阵A_S的伪逆矩阵(A_S^HA_S)^-1A_S^H代入(6) 式进行信号重构。

2 频谱分辨率

随着芯片制造工艺的提升，模数转换器采样速率可达几GHz甚至十几GHz，信号处理的总带宽得到很大扩展，但对高频窄带信号谱线轮廓结构的观测依然难以满足要求。目前模数转换器的最高采样速率很难满足射电天文观测中高频窄带信号总带宽的要求。根据傅里叶变换原理，在传统奈奎斯特采样方法中，采样时间分辨率Δt与接收机总带宽B的关系为ΔtB=1，在观测时间τ内的采样点数为N=τ/Δt=τB。根据高斯统计，N个采样样本的总误差ΔT是单个采样误差(系统误差) T_sys的1/$ \sqrt{N}$，接收机的极限灵敏度为ΔT/T_sys=1/$ \sqrt{\tau B}$^[8]，提高接收机总带宽可以提高极限灵敏度，但意味着更高的采样速率。在射电天文观测中，模数转换器的采样速率不小于奈奎斯特速率，并以延长接收信号的时长来提高频谱分辨率，增加了采样样本数和后端处理资源的消耗。较高的频谱分辨率和精细的信号频谱结构，对分析和研究信号特征具有重要意义。

频谱分辨率Δf、采样频率F_s和采样样本数N三者之间的关系为

$ \Delta f = \frac{{{F_{\rm{s}}}}}{N}. $

(10)

由(10) 式可知，降低采样速率或增加采样时长可以提高频谱分辨率。在调制宽带转换器采样系统中，令伪随机序列p_i(t) 的周期为MT_NYQ (T_NYQ为奈奎斯特采样周期，T_NYQ=1/f_NYQ)，每个通道模数转换器采样速率为f_NYQ/M，调制宽带转换器的总采样速率降低为原来的m/M (m＜M)，频谱分辨率提高M/m倍。

3 实验仿真与分析 3.1 基于调制宽带转换器的理论分析

实验仿真信号为稀疏多频带信号，前端采用调制宽带转换器采样系统进行采样，输出压缩数据；后端采用正交匹配追踪算法对压缩数据进行运算，重构输入信号。稀疏多频带信号的参数：子频带数N为8，带宽B为5 MHz，总占频带宽为10 GHz (即奈奎斯特采样频率f_NYQ)，信噪比为20。调制宽带转换器采样系统参数：通道数m为20 (m≥2N)，伪随机序列周期长度M为195，f_s=f_p=f_NYQ/M≈51.28 MHz，L=M=195 (L₀=97)。设调制宽带转换器单个通道采样样本数为K，(6) 式中矩阵y(f) 大小为m×K，矩阵A大小为m×M，矩阵z(f) 大小为M×K，y(f)=Az(f)。输入信号时域采样样本数和频谱分辨率关系如表 1。

调制宽带转换器采样系统中伪随机序列的频率要不小于奈奎斯特采样速率才能几乎无失真地重构输入信号。伪随机序列在硬件实现技术上的难度远低于模数转换器，因此，在采样系统中采用高速伪随机序列生成器对输入信号作数字离散化，经低通滤波器后进行低速采样。在仿真中，伪随机序列的频率等于奈奎斯特采样速率，调制宽带转换器采样系统总采样样本数为mK，压缩数据经数学变换后的z(f) 矩阵样本数为MK，则调制宽带转换器采样系统的等效总采样样本数为MK。因此，从表 1得出调制宽带转换器采样系统的等效总采样样本数是单个通道采样样本数的M倍，即频谱分辨率提高M/m倍。随着单个通道采样样本数的增加，等效总采样样本数和频谱分辨率随之增加。

3.2 基于调制宽带转换器的低频射电天文信号仿真

低频射电天文信号的数据来源于云南天文台，以200 MHz采样速率采集多组频段在55~65 MHz的射电天文信号。实验随机选取其中的一组时域采样数据进行仿真，采样点数为1 024，频谱如图 2。调制宽带转换器采样系统的参数：通道数m为6，伪随机序列周期长度M为27，f_s=f_p=f_NYQ/M≈7.407 4 MHz，L=M=27 (L₀=13)，总采样速率为44.444 4 MHz。实验中的调制宽带转换器是非全盲采样系统，需要设置输入信号的子频带数为2，并设定调制宽带转换器单个通道采样样本数K为不同值时的仿真数据及频谱图，如表 2和图 2。

表 2是K分别为17，27和37时，对应调制宽带转换器采样系统的采样样本数、等效总采样样本数、频谱分辨率、重构误差和正交匹配追踪算法重构时间的仿真实验数据。从表 2可以看出，时域采样样本数由459增加至999时，频谱分辨率由0.435 7 MHz提高至0.200 2 MHz，基于调制宽带转换器采样系统的总采样样本数仅增加至222，且重构误差在10^-2量级，重构时间在10^-3量级。图 2中黑色频谱是低频射电天文信号的频谱图，红色频谱是K分别为17，27和37时重构信号的频谱图。从图 2可以看出，基于调制宽带转换器采样系统重构的频谱随着K增加，频谱分辨率提高，频谱带宽逐渐收敛并接近低频射电天文信号。因此，采用调制宽带转换器采样系统，不仅能实现单个通道低速率采样，而且能通过增加时域采样时长来提高信号的频谱分辨率。

4 结论

本文通过对调制宽带转换器采样系统的深入分析以及实验仿真，验证了增加调制宽带转换器采样系统的时域采样时长，实现低速率采样条件下，提高信号频谱分辨率的可行性和有效性，为提高高频窄带信号和低频射电天文信号频谱分辨率提供一种新的方法和途径。在实际工程应用中，我们需结合信号特征，进一步考虑输入信号的频带带宽、频谱波形、奈奎斯特带宽等，设计调制宽带转换器采样系统的通道数、伪随机系列周期、模数转换器采样周期以及压缩感知矩阵等参数。下一步工作将针对射电天文信号的频谱特征和频谱分辨率的要求，设计调制宽带转换器采样系统，实现该采样系统的硬件并进行实测，力争推进研究成果的实际应用。