太阳系外行星探测是当今天文学领域的研究热点。截止2019年5月，已经探测发现4000多颗太阳系外行星^[1]。系外行星探测包括间接探测和直接成像两种方法。间接方法主要包含视向速度法、凌星法天体测量以及微引力透镜法，是通过观测恒星的物理信息，反演获得相关的行星信息，还难以直接获得行星的有效温度、大气等重要物理信息。对系外行星进行直接成像探测，能够测量行星的质量、轨道，并通过进一步光谱分析研究行星大气组成、表面重力和有效温度等重要物理信息，是未来确认系外生命特征信号的关键技术^[2]。

恒星经过望远镜孔径会产生衍射，且恒星光强度远高于行星光，导致微弱的行星信号被淹没。由于可见光短波段存在大量的生命特征信号，且在获取同等空间分辨率情况下(正比于λ/D，λ为工作波长，D为望远镜口径)，对望远镜口径要求降低。因此，可见光波段是未来成像搜寻类地行星的重要工作波段^[3-4]。然而，在短波探测围绕类太阳光谱型恒星宜居带内的类地行星，成像对比度需要达到10^-10[5]。高对比度星冕仪能够对恒星光进行有效抑制以获得超高对比度成像区域。近年来，国内外研究学者提出了不同技术原理的星冕仪，理论上成像对比度可以达到10^-10[6-8]。但是，星冕仪系统中的非理想光学元件产生的波前畸变会带来散斑噪声，制约实际的成像对比度。在没有波前校正的情况下，成像对比度只有10^-7左右。因此，有效较正波前畸变以抑制消除散斑噪声是实现类地行星超高对比度成像的关键。文[9]提出了一种利用可变形镜(Deformable Mirror, DM)产生暗区的优化控制算法，该方法可在局部区域实现10^-8的成像对比度。

近几年来，得益于可变形镜技术与器件的发展，星冕仪实验成像对比度已经提高至10^-9量级。然而，目前使用的波前校正方案产生的高对比度成像区域较小，无法实现全区域高对比度成像，影响探测效率^[10-11]。

针对上述问题，本文提出一种360°全区域、超高对比度成像星冕仪技术方案，并给出初步的数值模拟结果。在数值模拟过程中，采用随机并行梯度算法(Stochastic Parallel Gradient Descent, SPGD)进行迭代优化，以系统点扩散函数能量反馈控制光瞳能量和波前，使得系统成像对比度达到最优^[12-13]。整个过程分为两步：(1)通过优化有限带环状透过率渐变滤光片进行振幅调制，在4λ/D处获得10^-7的对比度；(2)使用32×32单元的可变形镜进行波前校正，最终在成像焦面4λ/D~14λ/D区域内获得10^-10的高对比度成像暗区。为了进一步扩大成像区域，还提出一种基于振幅调制和相位校正同时优化的数值模拟方案，最终在成像焦面4λ/D~20λ/D区域内获得10^-10的高对比度成像暗区。

1 优化算法原理

恒星光通过光学系统在焦面处的点扩散函数：

$ {{I}_{\text{psf}}}(x, y)={{\left| F\left[ P(u, v){{\text{e}}^{\text{i}\varphi (u, v )}} \right] \right|}^{2}}, $

(1)

其中，F为相关函数的傅里叶变换；P(u, v)为光学系统入瞳处的振幅，本文将对圆形孔径进行讨论；φ(u, v)为入瞳处的相位。星冕仪系统通过在曈面处优化P(u, v)和φ(u, v)两个变量获得高对比度暗区，使用的评价函数如下：

$ J=\frac{\sum I_{\operatorname{out}}(x, y)}{\sum I_{\text {in }}(x, y)}, $

(2)

其中，I_in(x, y)为中心区域的能量强度；I_out(x, y)为高对比度成像区域的能量。该评价函数用于找到成像区域能量相对于中心区域能量的最小值。本文使用的高对比度成像区域范围如图 1，分别在全区域和一半区域内进行优化。成像区域的对比度C定义如下：

$ C=\frac{I(x, y)}{I_{\max }}, $

(3)

其中，I_max为焦面处的能量最大值；I(x, y)为高对比度成像区域内某一点的能量。根据圆孔点扩散函数的分布特点，其能量主要集中在中心爱里斑内，大小为1.22λ/D，I_max为爱里斑中心能量值。又因为圆孔点扩散函数是轴对称的，本文选择对角线方向评估成像区域的对比度。

目标函数最优化有诸多不同的优化算法，如遗传算法^[13]、随机并行梯度算法等。本文使用随机并行梯度算法对振幅和相位进行迭代优化。该算法通过同时对所有变量施加任意小的扰动，然后评估评价函数的梯度变化进行迭代优化^[14]。变量更新方程如下：

$ u^{k+1}=u^{k}-\gamma \delta J^{k} \delta u^{k}, $

(4)

其中，k为迭代次数；u=u₁, u₂, …, u_n为优化变量；n为优化的参数个数；γ为增益系数(目标优化函数最小时取正，反之取负)；δu为服从伯努利分布的任意扰动；δJ为评价函数的变化量：

$ \delta J=J(u+\delta u)-J(u)=J\left(u_{1}+\delta u_{1}, \ldots, u_{n}+\delta u_{n}\right)-J\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right), $

(5)

为了提高计算精度，采用双边扰动的方法，此时评价函数的变化量为

$ \delta J=J_{+}-J_{-}=J\left(u+\frac{\delta u}{2}\right)-J\left(u-\frac{\delta u}{2}\right). $

(6)

为了加快算法的收敛速度，增益系数γ适应于评价函数变化，此时第k步的增益系数γ为

$ \gamma^{k+1}=\gamma^{k} \cdot J^{k}. $

(7)

2 数值模拟 2.1 振幅调制与波前校正分步优化数值模拟

星冕仪结构如图 2。恒星光通过望远镜焦点(Telescope Focus)并由准直透镜L₁进行准直，平行光通过孔径光阑(Pupil Stop)后作用在有限带环状透过率渐变滤光片(Stepped-transmission Filter)上进行振幅调制，再通过成像镜L₂和准直镜L₃在曈面处使用可变形镜进行波前校正；最后通过成像镜L₄成像，在成像焦面处通过探测器获得高对比度暗区。

使用随机并行梯度算法对有限带环状透过率渐变滤光片进行优化设计。滤光片上每一带的透过率作为一个独立变量，多个变量进行同时迭代。经过多次迭代优化后，在4λ/D~14λ/D的区域内获得10^-7的对比度。图 3为优化设计的有限带环状透过率渐变滤光片以及每一环带上对应的透过率。图 4为经过有限带环状透过率渐变滤光片调制后在焦面处获得点扩散函数图像。

由于奈奎斯特采样定理的限制^[15]，使用N×N单元的可变形镜进行波前校正时，其可调控理论范围在N/2×λ/D之内。理论上可获得的成像对比度可由经验公式表示^[16]：

$ C=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{\left( \frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\sigma }{N\lambda } \right)}^{2}}, $

(8)

其中，σ为镜面均方根值；N为可变形镜的调控单元。根据(8)式可知，可以通过增加可变形镜的单元数或者减小优化范围进一步提高对比度。

本方案模拟了一个32×32的可变形镜，理论优化范围为16λ/D。模拟时选用理论优化范围的一半区域进行波前校正。可变形镜中每一块子镜作为一个独立的优化变量，经过多次迭代优化，在4λ/D~8λ/D的全区域内获得3.5×10^-10的对比度，系统通过率32.04%。图 5为可变形镜产生的相位分布图以及经过可变形镜校正后在焦面处获得点扩散函数图像(优化范围4λ/D~8λ/D全区域)。图 6为4λ/D~8λ/D优化区域内的对比度曲线，其中黑色实线为未调制的对比度曲线，蓝色实线为振幅调制后的对比度曲线，红色实线为在振幅调制的基础上进行波前校正后的对比度曲线。

在4λ/D~14λ/D一半区域进行波前校正，经过多次迭代优化后，在4λ/D~14λ/D一半区域内获得了1.6×10^-10的对比度，系统通过率32.04%。图 7为可变形镜产生的相位分布及经可变形镜校正后在焦面处获得的点扩散函数图像(优化范围4λ/D~14λ/D一半区域)。图 8为4λ/D~14λ/D优化区域内的对比度曲线，其中红色实线为在振幅调制的基础上进行波前校正后的对比度曲线。

2.2 振幅调制与波前校正同时优化数值模拟

本节讨论同时进行振幅调制和波前相位校正。恒星光通过准直透镜L₁后作用在两个调制器件上，同时进行振幅调制和波前校正，然后通过成像镜L₂成像，在成像焦面上通过探测器获取高对比度成像图像，结构如图 9。

振幅和相位均为环带分布，每一环带上的振幅和相位为一个独立变量，经过多次迭代优化后，在4λ/D~20λ/D全区域内得到对比度为1×10^-10的成像暗区，整个系统的透过率为10.5%。图 10为产生的振幅板和沿半径方向的振幅分布曲线。图 11为产生的相位板以及经振幅相位优化后在焦面处获得的点扩散函数图像。图 12为4λ/D~20λ/D优化区域内的对比度曲线，其中红色实线为同时进行振幅调制和波前校正后的对比度曲线。

3 结论

本文提出的两种优化方案在全区域内均获得了10^-10的对比度，为今后对太阳系外类地行星直接成像提供了可能。表 1为3个数值模拟的具体结果。

同时优化振幅与相位可以在较大区域内获得更高的对比度，该方案可进行大区域全视场太阳系外行星探测。该方案的透过率较低，导致实际观测时需要较长的曝光时间，一定程度上影响观测效率。此外，同时优化振幅与相位所需要的控制单元较多，目前可变形镜的可控单元数无法满足此方案的需求，实际实验中可用空间光调制器(Spatial Light Modulator, SLM)进行优化调制。使用空间光调制器进行振幅调制相较有限带环状透过率渐变滤光片，更加灵活方便，可以根据曈面的形状进行实时调制。由于空间光调制器的特性，需在系统中加入两块线偏振片，导致整个系统的透过率降低。下一步将在目前成像对比度基础上进行透过率优化设计，进一步提高系统的透过率，并进行相关的测试实验，展开宽波段高对比度成像的研究。