0 引言

近年来，顶管施工技术因其施工工艺安全、施工速度快、地层适应性好、对周围环境影响小等方面的优点在我国得到迅速发展，并广泛应用于给排水管道和小直径隧道工程中。在施工过程中，土体受到扰动会发生变形，变形过大时，则可能直接导致地表塌陷、道路开裂、建筑物不均匀沉降以及地下管线变形破坏等严重事故；加之城市高层建筑愈加密集^[1]，对地层变形控制要求更加苛刻，顶管施工土体变形以及对周围建筑物的相互影响研究十分必要。现有顶管施工引起土体变形的计算方法主要有：经验公式法^[2-3]、弹性力学解析法^[4-6]、随机介质理论^[7]、有限元数值模拟法^[8-9]等。

顶管施工过程中引起土体变形的因素主要可分为：刀盘正面附加推力、顶管机和后续管道与土体之间的摩擦力、注浆压力和土体损失。魏纲^[10]与李方楠等^[11]从引起土体变形的因素着手，推导各影响因素产生的土体变形计算公式，然后将其叠加，得出土体总变形计算公式。二者的相同点是都采用了镜像法计算土体损失引起的土体变形；但魏纲^[10]在推导时没有考虑注浆压力，李方楠等^[11]则没有考虑后续管道与周围土体之间的摩擦力。

因此，本文将全面从这5个因素入手，在前人研究的基础上，利用Mindlin解析解计算正面附加推力、侧摩阻力引起的土体变形；通过圆孔扩张Verruijt解计算注浆压力引起的土体变形；采用随机介质理论计算土体损失引起的土体变形；最后结合工程算例和实测变形分析5个影响因素对土体变形的影响程度，并通过比较分析验证推导的土体总变形计算公式的合理性。

1 土体受力模式与计算假定

顶管顶进时土体受力模式如图 1所示。为简化计算，做以下假设：1)掘进机迎面附加顶推力和侧向摩擦力均匀分布；2)土体为均匀的线弹性半无限体，只考虑顶管施工中的变形，不考虑施工后的土体排水固结效果；3)注浆压力沿管道径向均匀分布，并假设注浆无法补偿土体损失量；4)各影响因素产生的土体变形互不影响。

2 顶管施工引起土体变形计算

基于以上假设，根据引起土体变形的主要因素，将顶管施工土体总变形分为5个部分，分别单独研究刀盘正面附加推力、顶管机与土体的摩阻力、后续管道与土体的摩阻力、注浆压力与土体损失引起的土体变形；然后通过线性叠加得出土体总变形。

2.1 正面附加顶推力引起的土体位移

魏纲^[10]利用极坐标下的Mindlin解析解对顶管掘进时在土体内部产生的附加应力进行积分，得到了在土体中任一点(x,y,z)处，由正面附加推力、顶管机与土体之间的摩阻力、后续管道与土体之间的摩阻力引起的位移。

其中，正面附加推力引起的土体位移为

式中： x为土体中任一点距开挖面的水平距离(m)，沿顶进方向为正； y为土体中任一点距顶管轴线的水平距离(m)，正方向根据空间直角坐标系右手法则确定； z为距地面的垂直距离(m)，以向下为正；u₁、 v₁、 w₁分别为正面顶推力引起的x、 y、 z方向的位移； D为顶管机外径(m)； G为土的剪切弹性模量(MPa)； μ为土体泊松比； r和θ分别为极坐标的极径和极角； M₁=；N₁=。

2.2 侧摩阻力引起的土体位移 2.2.1 顶管机与土体之间的摩阻力引起的土体位移

根据Mindlin解，顶管机与土体之间摩擦力引起的土体中任一点(x,y,z)处产生的位移为

式中：u₂、v₂、w₂分别为顶管机与土体之间摩阻力引起的x、y、z方向的位移；l为长度积分变量；M₂=；N₂=。

2.2.2 后续管道与土体之间的摩阻力引起的土体位移

同理，后续管道与土体之间的摩擦阻力引起的土体变形为

式中：L₁为后续管道长度(m)； u₃、v₃、w₃分别为后续管道与土体之间摩阻力引起的x、y、z方向的位移； M₃=； N₃=。

2.3 注浆压力引起的土体变形

Verruijt和Booker^[6]采用半无限弹性体的柱形圆孔扩张理论模拟土体受注浆压力的过程，并给出了Z平面的解析函数。李方楠等^[11]分析了半无限弹性体表面作用竖向集中力的Boussinesq解，提出x方向的土体变形分布假定，从而得出注浆压力引起的土体变形三维解，即文献^[11]中3.2节部分内容及相关公式；本文采用同样的方法计算注浆压力引起的x、y、z方向的位移u₄、v₄、w₄(公式略)。

2.4 土体损失引起的变形

Sagaseta^[5]假设绝对位移为变量，采用镜像源法推导出了圆形位移模式下土体损失引起的地表位移；Loganathan^[4]等认为土体损失符合椭圆形土体移动模式；李方楠等^[11]在此基础上综合分析得出土体损失引起的土体位移公式。以上土体损失位移公式的推导都是在采用镜像源法的基础上实现的，本文将采用随机介质理论推导土体损失引起的土体位移计算公式。

施成华等^[7]将顶管周边的岩土体看作一种随机介质，将顶管施工引起的土体变形等效为一个随机进程，采用随机介质理论推导出顶管施工扰动区土体变形的计算公式。魏纲^[10]基于统计的方法，将全部隧道开挖分解为无穷个无穷小的开挖，因此整个开挖的许多无穷小开挖对上部土体的影响之和便构成了整个开挖对土体的影响，从而得出单元开挖引起的土体下沉量w表达式：

式中：r(z)=z/tanβ，为隧道围岩开挖单元在z方向上的主要影响半径，β为隧道上部围岩的主要影响角。在此基础上，应用坐标的几何关系，单元开挖引起土体变形的计算公式为：

取如图 2所示的计算坐标系。根据随机介质理论，假定管道位于整个开挖断面的中间位置，即开挖区域变为Ω-ω。Ω为开挖空间完全塌落时的区域，但实际中会采取支护措施，故最后开挖边界Ω会变形为区域ω。为计算出该开挖区域引起的土体变形，可以分别计算仅由开挖区域Ω和仅由开挖区域ω引起的土体变形；然后计算两者之差，即为顶管开挖引起的土体变形。即：

式中：ε、ξ、η分别为x、y、z方向的坐标变量。

则对于边界Ω而言，其变形可计算为：

式中：a=h-R；b=h+R；c=；d=。

对于边界ω而言，其变形可计算为:

式中： ； g为等效工体参数(m)。

则顶管开挖引起的变形计算为:

不考虑上述各因素的相互耦合作用，将各因素单独作用引起的土体变形计算公式叠加，最后得出顶管施工引起的土体总变形计算公式，即：

式中：U、V、W分别为顶管施工引起的x、y、z方向土体总变形。

3 算例分析

以港珠澳大桥珠海连接线拱北隧道曲线顶管管幕工程中的0#试验管为例，根据顶进过程中地表变形监测和计算结果，分析顶管施工各因素引起土体总变形计算公式的可行性。地表变形监测断面所在地层为人工填土层，密度ρ=1 850 kg/m³，弹性模量E=8.5 MPa，泊松比μ=0.35，内摩擦角φ=10°，黏聚力c=20 kPa；顶管机直径D=1.678 m，长度L₁=3.4 m，顶管机与土体摩阻力p₁=32.634 kPa，迎面附加推力p=20 kPa；管道直径d=1.62 m，轴向埋深h=6 m，注浆压力T=0.05 MPa，通过现场实测顶进力反算，管道与土体之间单位面积平均摩阻力 p₂=1 kPa。

3.1 各因素引起土体变形计算结果

在MATLAB软件中编制式(1)-(12)、式(18)的程序，采用数值积分的方法，并代入各参数的具体数值，绘制各因素单独作用下土体的三维变形图。各因素引起的土体变形计算结果如图 3-图 7所示，沿顶进方向的距离为0时为顶管机头开挖面所在位置。

由图 3可知：在沿顶进方向上，正面附加应力引起机头前方土体产生隆起；机头后方的土体产生沉降；土体变形关于机头反对称分布；土体变形最大值的绝对值(隆起或沉降)在机头前方(后方)约2倍管径处。

由图 4可知：顶管机与土体之间摩阻力引起的土体位移在开挖面前方产生隆起现象，在开挖面后方引起沉降；土体位移最大值不在顶管机机头位置。

由图 5可知：在后续管道长度为10 m时，由于后续管道长度较短，管道与土体摩阻力引起的土体变形规律与顶管机与土体之间摩阻力引起的土体变形规律类似；在后续管道长度为40 m时，土体沉降出现多个“波峰”和“波谷”，且“波峰”值随着远离开挖面而减小，而“波谷”值随着远离开挖面而增大，但两者变化幅度不大，数值上略有增加。

如图 6所示：注浆压力使土体发生隆起，土体隆起关于管轴线对称分布；作用范围仅在机头后方，说明注浆压力对土体沉降有很大的阻碍作用，将有效地减小管道上方土体的沉降。

如图 7所示，土体损失使土体发生沉降，且沉降槽曲线关于管轴线对称分布。

综合以上计算结果，对比不同影响因素引起土体变形的最大值，结果如表 1所示。由表 1可知：土体损失引起的土体变形最大，注浆压力和顶管机与土体间的摩阻力产生的变形次之，这三者对顶管土体总变形影响程度为显著，说明他们是主要的影响因素；而正面附加推力和后续管道与土体间的摩阻力的影响程度为不显著，是次要的影响因素。

3.2 土体总变形理论计算与实测分析

将理论计算结果同实测值以及实际工程中最常用的顶管土体变形预测公式Peck公式的计算结果作比较，结果如图 8所示。由图 8可知，本文提出的理论计算公式除了在最大沉降值处偏差较大以外，其他位置的土体变形比Peck公式更为接近实测值，故本文提出的单顶管土体变形计算方法是可行的。

4 结论

通过计算顶管施工中刀盘正面附加推力、顶管机和后续管道与土体之间的摩阻力、注浆压力以及土体损失单独引起的土体变形和叠加后的总变形，并与工程实测值进行对比，可以得出以下结论：

1) 在影响土体变形的5个因素中，土体损失引起的土体变形、注浆压力和顶管机侧摩阻力产生的影响程度为显著，而正面附加推力、后续管道与土体的摩擦力产生的影响程度为不显著，因此在计算时应主要考虑前3个因素。

2) 各部分叠加后的土体变形计算公式总体是可行的，与实测结果拟合较好，只在最大沉降值处计算结果偏于保守。