0 引言

对地震信号中随机噪声的压制是地震数据处理中一项关键的预处理任务，关系到地震信号属性提取、数据解释等后续相关工作^{[1, 2]}。较早的压制随机噪声的方法有f-x滤波法、Radon变换法^[3]等方法，近几年发展起来的有曲波域去噪、小波变换去噪以及经验模态分解(empirical mode decomposition,EMD)去噪等^[4]基于时频联合域分析的去噪方法。曲波阈值去噪^[5]利用有效信号和随机噪声在方向上的差异，对噪声通过阈值收缩进行衰减；小波变换去噪对信号小波进行分解^[6]，为达到去噪目的，将高频信号进行阈值量化。传统的EMD降噪将信号分解为固有模态函数(instrinic mode function，IMF)分量之后，根据随机信号一般分布在高频这一特征，直接舍弃某些高频分量(认为其为噪声)的方法在去掉噪声的同时也在一定程度上导致信号的失真。小波阈值去噪的方法在计算噪声方差σ时，直接对高频小波系数取中值^[7]，没有考虑小波分解得到的系数中有效信号和噪声的大小，具有一定的猜测性。

本文将EMD方法与小波熵相结合，将地震信号通过EMD分解为若干IMF分量，然后把各IMF分量多尺度小波分解；对高频系数进行相关性处理之后，将高频系数的有效信号和突变点置零后等分为若干区间，选取小波熵值最大子区间的高频小波系数平均值作为该尺度的噪声方差带入阈值公式计算得到对应的阈值；对各IMF分量经阈值函数阈值量化去噪，重构新的IMF分量得到去噪信号。本文所采用的方法充分结合EMD和小波熵的优点，在更精细的尺度上对随机噪声进行压制，以使有效信号得到最大程度的保护。

1 EMD阈值去噪原理 1.1 EMD分解与重构

作为一种新的自适应信号时频处理方法，EMD适合处理非线性、非平稳信号^[8]。在该算法理论中，任何信号都可表示为

Huang等^[8]在提出IMF的概念时，规定一个合格的IMF分量须满足以下两个条件：1)整个数据长度中极值点和过零点的采集点数必须相等或至多相差一个；2)任意点处的极大值包络线和极小值包络线的均值为零。

目标信号的IMF分量分解步骤如下：

1)拟合出原信号x(t)的极大值和极小值包络线e₊(t)和e_-(t)，取它们的均值m(t)作为原信号的均值包络^[9]。

2)用x(t)减去m(t)得到一个去掉低频的信号n^h(t)。一般情况下，第一次得到的n¹(t)不满足IMF定义的条件，需对n¹(t)重复步骤1)、2)至k次满足条件后，得到的n^k(t)即为第一个IMF分量imf₁(t)。

3)用由x(t)减去imf₁(t)得到的新信号r₁(t)代替x(t)重复步骤1)、2)得到后续的IMF分量，直到imf_n(t)或r_n(t)小于预设值，亦或当r_n(t)为单调函数或常量时，不再进行EMD分解。

但在实际情况中，极大值包络线和极小值包络线的均值通常无法为零，所以当式(2)成立时就认为该包络满足IMF定义的均值为零的条件^[10]。

数量有限的IMF分量根据频率由高到低分布，传统的EMD降噪根据随机信号一般分布在高频这一特征，直接舍弃前面若干个高频分量。因此，其去噪的基本原理就是剔除前m个IMF分量，保留分布在中低频的剩余IMF分量：

1.2 EMD阈值去噪算法

杜修力等^[11]将EMD与小波阈值去噪方法相结合，对目标信号通过EMD分解为IMF分量，再利用小波阈值去噪方法对所有的IMF分量进行去噪。算法步骤如下：

1)通过EMD算法对目标信号进行分解，得到若干IMF分量。

2)选择一种阈值确定准则，计算各IMF分量上对应的阈值。

3)确定阈值函数，对各IMF分量进行去噪计算。

4)再次运用EMD算法对去噪后的IMF分量重构，得到去噪信号。

由上述步骤可见，如何正确地选取阈值至关重要，阈值的大小直接反映在去噪力度上。如果阈值选取过大，在去除噪声的同时也会对有效信号造成损坏；反之，若阈值选取偏小，会造成去除噪声不彻底，从而导致去噪效果不理想。除了阈值大小的选取，随着分解尺度的增大，噪声的小波系数会相应地减小，因此分解尺度也是影响阈值选取的一个因素。根据小波熵能够有效地区分有效信号和噪声，通过小波熵选取阈值则很好地解决了这些问题，因此本文提出将EMD与小波熵阈值相结合的去噪算法。

2 基于EMD的小波熵阈值去噪算法 2.1 改进算法的基本思想

对含噪的目标信号进行小波分解之后，得到的高频小波系数虽然以噪声为主导，但也含有部分有效信号。因此，为了在去噪过程中减少有效信号的损失，需要根据有效信号在各分解尺度下具有较强的相关性以及噪声在各分解尺度下相关性不明显的各自不同特征，对高频小波系数进行相关性分析，确定噪声夹杂的有效信号位置，并将这些有效信号置零，得到各尺度新的高频小波系数，采样点数不变。如果忽略对高频小波系数的相关性处理工作，在去噪过程中会因为没有有效区分噪声，导致有效信号损失、信号频带变窄，从而造成去噪后的信号分辨率下降^{[12, 13]}。小波熵作为小波变换与信息熵的结合，可以在时频域上对信息的能量作出度量。本文提出的算法依据小波熵理论确定目标信号各分解尺度对应的阈值，将已经经过相关性分析的高频小波系数等分为若干区间，计算各区间的小波熵值，选取最大小波熵值子区间的高频小波系数平均值作为阈值公式中的噪声方差。与传统的阈值选取算法相比，这种方法在一定程度上减少了阈值选取的猜测性。EMD方法可自适应地将原信号分解为若干固有模态函数，本文提出算法将EMD与小波熵结合，对EMD分解目标信号得到的IMF分量进行小波熵阈值去噪，以便在更精细的尺度上达到去噪目的。

2.2 小波熵的计算方法

对信号在l个尺度上进行分解，令尺度j上的小波系数W_j=(W_j,1,W_j,2,…,W_j,N)。若小波基函数为正交基，小波变换理论框架规定，尺度j的小波变换满足能量守恒原则。因此，尺度j的小波能量E_j等于该尺度小波系数的平方和：

由式(4)和式(5)可以确定第j层小波系数的信号能量在总能量中存在的概率为

本文算法将经相关性处理得到的各尺度的新高频小波系数等分为m个子区间，利用式(4)——式(7)计算各子区间的小波熵。

2.3 阈值的计算

本文采用的阈值选取原则^[15]为

2.4 阈值函数的选取

本文采用阈值函数^[16]如下：

2.5 本文改进算法的实现流程

基于EMD的小波熵阈值去噪算法步骤如下：

步骤1：通过EMD算法对目标信号x(t)进行分解，得到若干IMF分量。

步骤2：对IMF分量多尺度小波分解，得到各尺度细节系数和近似系数。

步骤3：对高频系数进行相关性处理之后，将其中的有效信号和突变点置零，并将置零后的细节系数等分为若干区间，计算它们各自的小波熵值，选取小波熵值最大的一个区间的高频小波系数平均值作为尺度j的噪声方差σ_j，带入公式(8)得到该尺度对应的阈值；再利用公式(9)对新的细节系数进行阈值量化处理，得到近似高频小波系数，与步骤2 分解得到的最高层低频小波系数重构得到去噪后的IMF分量。

步骤4：再次运用EMD方法将经小波熵阈值去噪后的IMF分量重构信号，得到去噪后的信号。

3 数值仿真与实验 3.1 不同信噪比去噪效果对比

为定量地评价本文提出算法降噪性能的好坏，将本文提出的算法与基于EMD的小波阈值除噪方法的去噪效果进行对比。仿真实验采用Ricker子波，分别添加信噪比为-1、5和10 dB的噪声，两种对比方法选用的小波函数均为sym8，分解尺度为4层。图 1是Ricker子波的原始波形，添加三种不同信噪比噪声的去噪仿真结果分别如图 2、图 3和图 4所示，去噪信号信噪比和均方根差的对比数据如表 1所示。

图 1 Ricker子波原始波形Fig. 1 Ricker wavelet of the original waveform

图选项

图 2 信噪比-1 dB下本文算法去噪与基于EMD小波阈值去噪的波形对比Fig. 2 Waveform comparison between the denoising algorithm proposed in this paper and the wavelet threshold denoising based on EMD under the signal-to-noise ratio of -1 dB

图选项

图 3 信噪比5 dB下本文算法去噪与基于EMD小波阈值去噪的波形对比Fig. 3 Waveform comparison between the denoising algorithm proposed in this paper and the wavelet threshold denoising based on EMD under the signal-to-noise ratio of 5 dB

图选项

图 4 信噪比10 dB下本文算法去噪与基于EMD小波阈值去噪的波形对比Fig. 4 Waveform comparison between the denoising algorithm proposed in this paper and the wavelet threshold denoising based on EMD under the signal-to-noise ratio of 10 dB

图选项

从图 2中不难看出：在信噪比较低、为-1 dB时，两种算法去噪后得到的波形失真都比较严重，仿真信号的主瓣和旁瓣都有不同程度畸变；但相对于本文算法的去噪效果，基于EMD的小波阈值去噪得到的主瓣峰值超过了原始信号(图 1)的峰值，两侧的平稳波形也含有更多的噪声干扰。观察图 3和图 4，在信噪比相对较高、为5和10 dB时：本文提出的算法滤波处理后的波形光滑，Ricker子波的主瓣和旁瓣没有发生畸变；相比较而言，基于EMD的小波阈值去噪得到的波形不平稳，主瓣和旁瓣也有一定程度的畸变。以上对三种添加不同信噪比噪声的Ricker子波去噪实验结果可以表明，本文提出算法的去噪效果比在EMD基础上的小波阈值去噪能力更好。

根据表 1数据，在三种添加不同信噪比噪声的加噪信号去噪效果中，本文算法去噪后得到的信噪比更高、均方根误差更小；两种指标都要优于基于EMD的小波阈值去噪方法，在证明本文算法有效性的同时，也表明本文算法在保护有效信号、去除噪声方面性能更好。

3.2 合成地震信号去噪效果对比

图 5的模拟加噪地震信号由一个低频Ricker子波和一个高频Ricker子波叠加合成，信噪比为-5 dB。具体参数：记录时间长度512 ms，深度为100 m，采集道数为30道，反射层的上层速度为2 000 m/s，下层速度为3 000 m/s，最小偏移距离10 m。采用EMD结合小波熵的改进算法进行去噪处理，并与在EMD基础上的小波阈值去噪的效果进行对比(图 6)。两种去噪方法均选取sym8为小波函数，分解尺度都为4层。

图 5 模拟含噪地震信号剖面图Fig. 5 Synthetic seismic section with noise

图选项

图 6 信噪比-5 dB下本文算法去噪与基于EMD小波阈值去噪后的模拟地震信号剖面图波形对比Fig. 6 Section comparison between the denoising algorithm proposed in this paper and the wavelet threshold denoising based on EMD under the signal-to-noise ratio of -5 dB

图选项

从图 6中不难看出，虽然本文的改进算法和EMD结合小波阈值去噪的方法都很好地抑制了噪声；但是仔细观察可以发现，本文改进算法去噪后的道集相对小波阈值处理IMF分量的方法更清晰、更平稳。此外，在剖面图的30道同相轴弯曲处，各IMF分量经小波阈值去噪后，信号发生一定程度的变形，高频有效信息损失较大，导致分辨率下降;而本文提出的算法去噪后的信号在弯曲同相轴处基本和未添加噪声的该处波形一致。因此，本文的去噪算法让有效信号得到更好的保护，分辨率更好。

为了更好地验证改进算法在模拟地震信号去噪的有效性，本文将模拟地震信号添加了-10、-5、1和3 dB四种信噪比的噪声，通过实验仿真，得到了各种算法在不同信噪比下的去噪效果。由表 2可以看出，本文提出的算法去噪后得到的信噪比更高，具有更好的去噪效果。

3.3 实际地震信号去噪效果对比

图 7是某地区的100道实际地震信号剖面图，地震数据格式为SEGY格式，数据道数为100道，采样间隔为2 ms，每道采样点为1 024。在将本文提出的算法和在EMD基础上的小波阈值去噪方法分别对实际地震信号进行去噪处理并进行对比之前，首先需要对这种格式的地震数据进行转换，去掉道头和卷头之后再对数据进行去噪处理。两种算法使用小波函数均为sym8，分解尺度为4层。图 8a、b分别是在EMD基础上的小波阈值去噪和本文算法对实际地震数据去噪后的剖面图。

图 7 实际地震信号剖面图Fig. 7 Practical seismic profile

图选项

由图 7可见，由于噪声较多，实际信号剖面比较模糊，同向轴不清晰。观察图 8a和图 8b发现，实验中的两种方法都有效地去除了噪声，提高了信噪比。但是，基于EMD的小波阈值去噪的方法虽然在一定程度上削弱了噪音，但同时也去除了部分有效信号，导致剖面的纹理出现断裂；本文提出算法去噪后的视觉效果更好，得到的剖面图同相轴更清晰，在提高地震资料信噪比的同时，剖面的纹理保持完好。本文提出算法得到的信噪比SNR=5.857 3，在EMD基础上结合小波阈值去噪算法得到的信噪比SNR=4.752 1；这就证明了本文提出的改进算法 基于EMD与小波熵的去噪算法在实际地震信号去噪方面同样具有有效性。

图 8 基于EMD小波阈值去噪与本文算法去噪后的实际地震信号剖面图对比Fig. 8 Practical seismic profile comparison between the wavelet threshold denoising based on EMD and the denoising algorithm proposed in this paper

图选项

4 结论

1)本文提出的基于经验模态分解(EMD)的小波熵阈值去噪算法，充分利用了EMD算法能够将目标信号自适应地分解为多个不同特征尺度模态函数的优点；在选取阈值方面，通过小波熵的特点，自适应地根据对应尺度上信号自身的能量特征确定该尺度阈值。

2)在Ricker子波和模拟地震信号的去噪仿真实验中，本文提出算法滤波处理后的波形光滑，Ricker子波的主瓣和旁瓣没有发生畸变，弯曲的同向轴处没有发生形变；在实际地震信号去噪实验中，本文提出算法去噪后的视觉效果更好，得到的剖面图同相轴更清晰，在提高地震资料信噪比的同时，剖面的纹理保持完好。表明本文提出的基于EMD与小波熵的去噪算法在地震信号去噪方面具有良好的去噪性能，且优于基于EMD的小波阈值去噪算法。