海上拖缆在采集数据时，受海流的干扰，电缆在垂向上起伏抖动，从而使采集到的数据在地震剖面上出现垂直条带状分布的涌浪噪声。涌浪噪声是海洋地震资料中常见的噪声类型，特别是拖缆较浅时，噪声更强烈。涌浪噪声具有高振幅、低频率、窄频带的特点，在地震记录上，整体背景噪声显得特别明显。由于其衰减很慢，所以在单炮记录上噪声的振幅几乎不随时间衰减，使得后期资料处理较为困难。Hassan等^[1]应用经验模式分解(EMD)方法直接去除低频涌浪噪声，但是对于振幅和频率变化较大的涌浪噪声，该方法有时容易产生频率混叠。陈见伟^[2]采用区域振幅衰减技术压制涌浪噪声，具有很好的相对幅值保持特征，但是对深层噪声密集区域的处理效果有时不是很理想。宋家文等^[3]在EM(expectation maximization)算法的基础上，提出了地震道随机重排联合EM算法的涌浪噪声衰减方法，该方法对密集分布的高振幅涌浪噪声压制效果很好，但是有时会损伤振幅较强的有效信号。徐善辉^[4]和周伟等^[5]将HHT(Hilbert-Huang变换)方法应用到海上资料分析中，可以有效地衰减低频、高振幅的涌浪噪声。牛华伟等^[6]应用分频振幅衰减法，通过求取给定频率段不同时窗内地震样点的振幅强度,预测出强能量的涌浪噪声,能够改善地震资料的信噪比。Bekara^[7]提出了一种数据驱动的方法来去除涌浪噪声，该方法可以使用相同的参数对不同噪声级的地震道进行处理，有很强的适应性，减少了测试工作量，但是与传统方法相比，该方法去除涌浪噪声的效果没有明显的改善。Hu等^[8]针对强能量、低频率的叠前地震资料，提出了傅里叶域低频滤波级联的方法，该方法根据反射信号和噪声之间的不同视波速来实现信噪分离，可以有效地压制涌浪噪声，保护信号。

稀疏变换在科学和工程的去噪问题上有着广泛的应用。在地震数据处理领域，巩向博等^[9]提出压制噪声的高分辨率Radon变换法，能有效地压制规则干扰和随机噪声，并且计算效率很高。王德利等^[10]应用curvelet稀疏变换阈值迭代法去噪，充分利用了curvelet变换对地震数据表示的稀疏性，将去噪问题转化为基于curvelet稀疏变换的L1范数最优化问题，该方法不仅能够获得较高的信噪比,而且对有效信号的损失较小。李海山等^[11]采用形态分量分析(MCA)方法去除地震数据中的随机噪声，在时间和空间上都具有很强的噪声压制能力，并且对有效信息损害较小。刘琼等^[12]提出的基于小波域稀疏性的地震数据去噪方法，通过求解一个L1范数最优化问题来估计不含噪的小波系数，从而实现对地震数据的去噪，对于低信噪比的数据去噪效果较好。徐明华等^[13]提出的基于压缩感知理论的缺失地震数据重构方法中，应用一种新的自适应阈值迭代算法，可以很好地消除稀疏系数中的随机噪声干扰。这些方法在去除一般噪声时都能够得到较好的效果，但是对于低频强能量的涌浪噪声的压制效果往往不是很理想。

2006年，Fomel^[14]开发了一种针对地震数据方向性的数学变换方法Seislet变换，该方法针对地震数据进行特殊设计，具有高压缩性；但是早期的Seislet变换并不能为地震数据提供最佳的稀疏表示。Liu等^[15]在此基础上，根据波动方程的动力学关系，通过结合动力学炮检距连续(offset continuation,OC)算子^[16]，开发了一种表征复杂地震数据的稀疏变换方法，即OC-Seislet变换。该方法为地震数据提供了最佳的压缩效果，能够有效地解决地震波场的二维噪声压制及波场重建问题。

笔者在已有研究的基础上，将OC-Seislet变换应用到涌浪噪声衰减的问题中，利用最佳化变换基函数压缩含有涌浪噪声地震数据中的有效波场信息，在变换域内选取适当的阈值参数做阈值处理，结果再反变换到数据域，最终实现对地震数据中涌浪噪声的有效压制。 1 理论基础 1.1 Seislet变换

Seislet变换是一种利用地震数据模式特征压缩数据的稀疏变换方法；以小波提升算法^{[17, 18]}为基础，与地震数据模式识别相结合，使用不同的模式对地震数据进行预测，能够得到不同类型的Seislet变换。例如，通过平面波分解(plane-wave destruction，PWD)滤波器获取地震同相轴倾角模式^[19]，沿着地震倾角方向表征地震数据特征，可以得到基本的PWD-Seislet变换的定义^[20]，其核心基于平面波重构与地震倾角的关系^[21]。

提升算法的核心是更新算法和预测算法，通过预测算子得到高频信息，通过更新算子得到低频信息。提升算法中正变换的步骤如下：

1)将数据分解为奇数序列o和偶数序列e。

2)计算奇数序列与偶数序列预测值之间残差r以及数据的近似值c：

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3)近似值c成为新的数据，重复以上步骤得到下一级数的变换系数。

对小波提升方案中离散小波变换的预测算子和更新算子进行修改，以CDF 5/3双正交小波结构为例，我们可以得到PWD-Seislet变换中对应的预测算子P和更新算子U：

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通过正向Seislet变换，地震数据转变到稀疏域。在稀疏域内有效信号被压缩在很小的动态级数范围内，而噪声却不能被预测和压缩；即有效信号的能量在变换域内主要集中在很少的几个系数中，而噪声的能量却分布于整个变换域内，所以信号对应的变换系数要远大于噪声对应的变换系数。接下来，选取适当的软阈值参数：认为大于该阈值参数的变换系数，主要是由信号引起的，反之则认为是噪声引起的。这样，对变换域内系数做软阈值处理后，再反变换回数据域，就达到了去噪的目的。Seislet变换阈值去噪流程如图 1所示。

图 1 Seislet变换去噪流程示意图 Fig. 1 Workflow of seislet transform denoising

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PWD-Seislet变换可以提供比经典小波变换更加有效的地震数据压缩能力，但是该变换的倾角受强噪影响较大，精度不高，对于含涌浪噪声的地震数据，难以得到合理的稀疏域。而OC-Seislet变换从地震波动力学角度分析地震数据，不容易受强噪影响，并且海上勘探地下构造往往比较复杂，OC-Seislet变换可以更好地压缩复杂地震波场。所以笔者选取OC-Seislet变换对含涌浪噪声的海上地震数据进行去噪处理。 1.2 OC-Seislet变换

OC-Seislet变换是Seislet变换类的一种方法，其数据模式为炮检距连续下的动力学方程，通过结合炮检距连续算子进行预测运算。同样以CDF 5/3双正交小波为例，我们可以得到OC-Seislet变换的更新算子和预测算子：

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在Fomel^[16]的炮检距连续微分理论中，OC偏微分方程有如下形式：

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在高频渐进下，方程(6)的解有如下形式：

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构建OC算子时，需要对数据作动校正处理。常规的速度分析方法尽管能够在一定程度上抵抗随机噪声的干扰，但对于涌浪噪声的强振幅往往效果较差。Fomel^[22]提出一种AB系数相似方法，该方法能够更好地分析强随机噪声(如涌浪噪声)条件下的叠加速度，本次研究使用该方法为OC-Seislet变换提供较为准确的动校正数据。 2 模型测试

为了测试OC-Seislet变换对地震数据中涌浪噪声的压制效果，首先建立一个模型进行验证。笔者选取标准French模型的二维切片(图 2)，通过克希霍夫正演建立一个时间(t)-共中心点(x)-炮检距域二维叠前数据体(图 3)，三个剖面分别选取：0.6 s的时间切片(图 3a)、0.216 km的共炮检距切片(图 3b)以及0.72 km的共中心点切片(图 3c)。

图 2 标准French模型的二维切片 Fig. 2 2D slice out of the benchmark French model

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图 3 时间-共中心点-炮检距域内的二维叠前数据模型 Fig. 3 2D synthetic prestack data in the t-x-offset domain

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图 3的地震波同相轴信息十分复杂，在构造拐点处有较强的散射波存在，并且复杂构造使得散射波与反射波同相轴有互相叠加的情况。对图 3数据加上强能量的涌浪噪声，结果如图 4所示。该噪声平均振幅值是有效信号的5倍，影响相邻连续几道，在地震记录上的形态呈条带状或一串斑点，对地震资料的中深层形成强烈的低频噪声背景。在此复杂波场条件下，很难用简单的去噪方法实现对该类型噪声的压制。

图 4 包含涌浪噪声的叠前数据模型 Fig. 4 Synthetic prestack data with swell noise

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图 5是对图 4包含涌浪噪声的地震数据应用OC-Seislet正向变换后得到的变换域数据。即对图 4数据进行速度分析后做NMO校正，然后对时间轴做拉伸变换，接下来对拉伸的时间轴和中心点坐标轴做二维傅里叶变换，最后在炮检距方向应用OC-Seislet变换，就得到了图 5的频率(f)-波数(k)-级数域数据，级数坐标轴对应着图 4中的炮检距轴。可以看到，反射波和散射波信息都被压缩在很小的动态级数范围内，而涌浪噪声由于不能被OC算子预测，所以在变换域中，涌浪噪声带来的假象依然遍布在整个变换域。

图 5 频率-波数-级数域内的OC-Seislet变换系数 Fig. 5 OC-Seislet coefficients in the f-k-scale domain

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随后在变换域内选取适当的阈值参数进行软阈值处理，就能够分离信号和噪声。笔者选取百分位数软阈值方法进行处理，选取参数为1.3%。然后应用反向OC-Seislet变换，就能够重建波场信息，结果如图 6a所示。可以观察到，涌浪噪声衰减明显、残留较少，并且在多条散射波同相轴叠加的位置，保幅去噪效果也很理想。为了验证复杂波场中OC-Seislet变换对涌浪噪声的衰减效果，选择小波变换与其进行对比。图 6b是小波变换的去噪结果，可以看到，在涌浪噪声比较密集的位置，残留的噪声较严重，并且重建后的散射波同相轴也不清晰。

a. OC-Seislet变换；b.小波变换。 图6 模型数据去除涌浪噪声结果 图 6 模型数据去除涌浪噪声结果 Fig. 6 Result after removing swell noise in the synthetic data

图选项

为了更直观地对比去噪效果，将OC-Seislet变换与小波变换的去噪结果分别与图 4的含涌浪噪声数据做差，得到如图 7a和图 7b所示的差剖面。可以明显地观察到，应用OC-Seislet变换去噪(图 7a)后的有效信号损失更小。

a. OC-Seislet变换；b.小波变换。 图 7 OC-Seislet变换和小波变换去除的噪声 Fig. 7 Noise removed by OC-Seislet transform and wavelet transform

图选项

为了验证本方法的有效性，我们使用墨西哥湾某区域的海上实际数据进行测试。该数据具有非常复杂的构造，在数据中加入人工涌浪噪声，如图 8a所示。针对涌浪噪声低频率、高振幅的特征，采用AB系数相似方法对数据做速度分析，得到的速度谱如图 8b所示。

图 8 OC-Seislet变换及小波变换对海上实际数据的处理 Fig. 8 Denoising field data by OC-Seislet transform and wavelet transform respectively

图选项

对数据做NMO处理后应用OC-Seislet正向变换，数据转变到图 8c的频率-波数-级数域，OC算子将可预测的有效信号压缩到很小的范围内，不可预测的噪声则分散于整个变换域。

接下来，选取3.5%的阈值参数进行百分位数软阈值处理，在变换域将噪声引起的假象消除，再经由OC-Seislet反向变换，将数据转变回时间-共中心点-炮检距域，就得到了去除涌浪噪声后的数据(图 8d)。反射波信息清晰，强能量的涌浪噪声得到了有效压制。

为验证OC-Seislet变换对含涌浪噪声的实际数据去噪效果，依旧选取小波变换与其进行对比(图 8e)。可以观察到，小波变换对涌浪噪声密集区域的压制能力有限，并且去噪后有效信号能量较弱，构造信息不清晰。图 8f和图 8g分别为两种变换方法去噪结果的差剖面，明显可以观察到：小波变换去噪结果的差剖面(图 8g)中，构造信息较为明显，说明小波变换在去除涌浪噪声的过程中，有效信号能量损失较为严重；而OC-Seislet变换去噪结果的差剖面(图 8f)中，有效信号的损失很小，这说明应用OC-Seislet变换去除涌浪噪声，可以达到压制噪声的同时又保护有效信号的目的。

将含涌浪噪声的地震数据以及两种方法去噪后数据的叠加剖面图进行对比，如图 9所示。通过对比结果可以看出，OC-Seislet变换对涌浪噪声压制效果明显，同时能够有效保护复杂构造下的有效信息。

a.含涌浪噪声的数据；b OC-Seislet变换去除涌浪噪声结果后；c.小波变换去除涌浪噪声结果后。 图 9 叠加剖面图 Fig. 9 Stacked Sections

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基于OC-Seislet变换的涌浪噪声阈值衰减方法以波动方程动力学关系为基础，能够准确地表征含涌浪噪声并且有着复杂同相轴关系的地震波场，有效地压缩复杂地震波同相轴，显著地改善地震资料的信噪比。模型试验中，通过对含有涌浪噪声并且存在散射波的复杂波场进行去噪处理，证明了该方法的有效性。将该方法用于实际地震资料中，也获得了理想的去噪效果。该方法的提出，为后续的处理工作提供了高品质的基础资料。