0 引言

排桩对弹性波的散射问题一直是广受国内外学者关注的研究课题之一。研究方法主要有实验法(原位测试和振动台模型试验)、数值法(有限元法、边界元法等)、解析法(主要以波函数展开法为代表)。3种方法各有特色，实验法能真实直观地反映实际情况，数值法能够分析层状场地、边界不规则等复杂场地问题，解析法则主要用于求解均匀场地中边界条件较为规则的问题。与其他两种方法相比，解析法从物理本质出发来分析问题，因此具有物理意义明确、结果精度高等优点，其结果可以作为精确解检验数值法的结果，并且波动方程的解析解往往可以推广到任意边界的情况。

对于桩散射问题，国内外已有许多相关研究：20世纪70年代初，Pao等^[1]采用波函数展开法开创性地研究了全空间单桩弹性波入射时的散射问题；Avilés等^[2-3]首次运用波函数展开法对单排桩散射问题进行了解析求解；徐平等^[4-6]运用波函数展开法给出了单排空心管桩对平面SV波(横波的垂直分量)、实心桩对P波(纵波)和SH波(横波的水平分量)以及非连续刚性桩对弹性波(SV波、P波、SH波)的隔振研究；Xia等^[7-11]运用多重散射法求解了任意形式布置的排桩屏障对平面波的散射结果；巴振宁等^[12]基于全空间无限周期结构的周期特性，给出了一种求解无限周期分布桩体对平面SH波隔振效应的解析方法。

上述对于桩体散射的研究，仅文献[1]采用波函数展开法研究了柱面膨胀波全空间洞室周围的散射。然而，对于近源振动问题，由于波阵面具有一定的曲率，当波源较近时，应力集中比平面波高出一量级，故入射波曲率对波的散射不可忽视^[1]。

已有学者将波阵面假设为柱面波在各领域开展研究：丁美^[13]采用波函数展开法给出了柱面SH波半空间、全空间衬砌洞室周围的散射解析解；李艳^[14]采用大琦顺彦的方法研究了半空间圆形洞室柱面SH波入射时对地面运动的影响；石亮^[15]采用一种边界积分方程法研究了半空间单、双洞室柱面P波、SV波入射时对附近地面运动的影响；梁建文等^[16]采用间接边界积分方程法求解了半空间圆形洞室周围柱面P波和SV波的散射问题。

然而，迄今为止，对柱面波入射时的散射研究多为单洞室或衬砌的情况，对柱面波入射时排桩的散射鲜有报道。本文采用波函数展开法结合Graf加法定理，利用桩体与外界空间交界处的边界条件，给出了全空间排桩对柱面SH波散射的解析解。在验证方法正确性的基础上，在频域内分析了排桩后不同位置处的频谱规律，并利用傅里叶逆变换在时域内求得排桩对柱面SH波散射的位移响应，讨论了桩数与桩间距对柱面SH波入射时排桩散射的影响。

1 模型建立与求解 1.1 模型建立

模型如图 1所示，在弹性、均匀且各向同性的全空间中分布着P根完全相同的无限长圆柱形实心桩体，桩体半径为a，相邻桩体中心间距为b。全空间拉梅常数为λ₁、μ₁，质量密度为ρ₁；桩体拉梅常数为λ₂、μ₂，质量密度为ρ₂。

在排桩前方O₀点有一柱面SH波源。同时建立直角坐标系和极坐标系：位于圆心为O₀的局部直角坐标系(x₀, y₀)对应的极坐标系为(r₀, θ₀)；位于圆心为O的整体直角坐标系(x, y)对应的极坐标系为(r, θ)。振源O₀与排桩正中心O点的距离为d。

考虑到波源的对称性，位于O₀点的入射柱面SH波位移场在极坐标系(r₀, θ₀)下可用0阶第二类Hankel函数表示：

式中：w₀为入射波位移幅值；k₁=ω/β₁，为全空间柱面SH波波数(，为柱面SH波在全空间中的传播速度)；H₀⁽²⁾(x)为0阶第二类Hankel函数；，为虚数单位；ω为入射波圆频率；t为时间。将时间因子略去，则入射柱面波可简化为

入射柱面波在传播过程中遇到第j根桩时产生的散射场在极坐标(r_j, θ_j)下表示为

式中：H_n⁽¹⁾(x)为n阶第一类Hankel函数；A_n^j、B_n^j为第j根桩体的散射待定系数。

全空间总位移场为入射波场和散射波场的叠加：

当入射柱面波在传播过程中遇到第j根桩时，会折射到桩内，在第j根桩内生成的驻波为

式中：J_n(x)为n阶第一类Bessel函数；k₂=ω/β₂，为桩体内部柱面SH波波数，为柱面SH波在桩体内部的传播速度)；C_n^j、D_n^j为第j根桩体内部的散射待定系数。

假设桩体边界处与全空间交界面上位移连续且应力连续，可得该模型第l根桩的边界条件。

1) 位移连续边界条件：

2) 应力连续边界条件：

1.2 模型求解

采用斜交Graf加法变换公式，将入射柱面波转换到以第l根桩圆心为极点的极坐标系(r_l, θ_l)下表示为

其中：

当l≥(P+1)/2时，

当l＜(P+1)/2时，

式中，ε_m为Neumann因子。当m≥1时，ε_m=2；当m=0时，ε_m=1。

将第j根桩的散射波转换到第l根桩的极坐标系(r_l, θ_l)下表示为

其中：

当l≥j时，

当l < j时，

将入射波场(式(8))和所有桩体的散射波场(式(9))叠加带入式(4)可得全空间总波场：

将式(5)、式(10)带入边界条件(式(6)、式(7))，化简可得4个方程组：

求解方程组，得到待定系数后，再将其带入式(10)即可得到总波场。

2 方法验证

引入无量纲频率，将其定义为桩体直径与入射波波长之比：

式中，l₁为全空间入射波波长。

由归一化的无量纲位移|w/w^I |来表示排桩对柱面SH波的散射结果(w为柱面SH波入射时自由场和散射场的总位移)。|w/w^I |＜1.0时体现了桩对柱面SH波的隔离作用。

用环向应力集中因子σ来体现单衬砌对柱面SH波的散射结果，用于和文献[13]结果进行对比验证：

式中：σ_θ为洞室外壁(r=a处)的动应力集中因子；σ_r0为入射波产生的径向应力。

2.1 平面SH波入射时排桩散射结果验证

当波源与排桩中心距离无限远时，结果可以退化为平面SH波入射情况^[17]。文献[3]给出了平面SH波入射时单排桩散射结果，故取与文献[3]中同样的参数：P=8，b=3，a=1，η=0.4，桩体与外部空间密度之比ρ₂/ρ₁=1.35，梅拉常数之比μ₂/μ₁=1000，并取d/a=100000。将得出的无量纲位移结果与文献[3]中的结果进行对比，结果如图 2所示。由图 2可见，本文结果与文献[3]结果完全吻合，验证了本文理论与计算的正确性。

2.2 柱面SH波入射时衬砌散射结果验证

文献[13]中给出了全空间柱面SH波入射时同性衬砌的环向应力集中因子，故取与文献[13]中相同的参数：P=1，b=0，d/a=2.5，η=1.0，外部空间与衬砌的密度比为ρ₂/ρ₁=1，波速比为β₂/β₁=1，将得出的应力集中因子结果与文献[13]中的结果进行对比验证，结果如图 3所示。由图 3可见，本文结果与文献[13]中结果完全吻合，再次验证了本文理论与计算的正确性。

3 结果分析 3.1 柱面SH波入射时排桩散射频域分析

图 4为P=9，b/a=3，β₂/β₁=20/1，ρ₂/ρ₁=2.5/1.6，y/a=0、6、12，x/a=50、100、150，d/a=10、50、100、1000时柱面SH波入射排桩后方无量纲位移随无量纲频率的变化曲线，以及平面SH波入射排桩后方无量纲位移随无量纲频率的变化曲线。

由图 4可知：波源与排桩距离较近(d/a=10)时，低频段(η=0~1.0)排桩对柱面SH波的隔离作用显著, 中频段(η=1.0~2.0)和高频段(η=2.0~3.0)排桩对柱面SH波的隔离作用不明显, 甚至|w/w^I |有所增大(图 4a、b), 从排桩中心到边缘，中频段和高频段排桩对柱面SH波的隔离作用有所增强(图 4a-c)；波源与排桩距离较远时，各频段排桩对柱面SH波的隔离作用均较为明显(图 4d-o)。

在低频段，与平面波源相比较，对于柱面SH波源来说排桩中心和边缘处的隔离作用差别不大，频谱结果较为接近；在中频段和高频段，与平面波源相比较，对柱面SH波来说随着从排桩中心到边缘，排桩的隔离作用显著增大。

3.2 柱面SH波入射时排桩散射时域分析

本文选用Ricker波为入射柱面SH波的时程函数，其在时域和频域的表达式^[18-19]分别为：

式中：f为频率；f_M为峰值频率。

时域计算部分取f_M=1.5 Hz，无量纲时间τ=0~6，η=0~6，共1 200个频率点，Ricker波的子特征图如图 5所示。

利用傅里叶逆变换，将频域排桩对柱面SH波的散射结果转换到时域：

式中，f(t)和F(w)分别为时域和频域的位移响应。

3.2.1 桩数的影响

桩与外部空间的剪切波速比和密度比均与3.1节相同，取d/a=10，b/a=3，图 6a-j为P=1~10时排桩对柱面SH波散射的时域云图，并用黑色箭头指出了排桩后方首次出现最大位移响应的位置。

由图 6a-j可见，随着桩数的增加，排桩后方首次出现的最大位移响应逐渐减小。当P=1~8时(图 6a-h)，随着桩数的增加，最大位移响应出现的位置均逐渐向|x|增大的方向移动。由此可知，在桩间距固定时，随着桩数增加，排桩散射的影响范围逐渐增大。但当P=9, 10时(图 6i，j)，最大位移响应又出现在靠近排桩中心的位置。这是因为在P=8时，最大位移响应已经出现在所画云图边界|x|=5.0处，实际上P=9，10时最大位移响应出现在边界之外，在计算范围内没有取到，故在所计算的云图时间和范围内，P=9, 10时最大位移响应又出现在了靠近排桩中心位置。

3.2.2 桩间距的影响

柱面波位于排桩正前方，故当桩数为奇数时，波源正前方有桩体隔挡；而桩数为偶数时，波源正前方没有桩体隔挡，在柱面波向排桩传播过程中，不能对柱面波有正面的隔离作用。按桩数分为奇数组和偶数组分别进行分析。

桩与外部空间的剪切波速比和密度比、波源与排桩距离均取与3.2.1节相同的参数，图 6h、i、k-p给出了当桩间距变化时排桩对柱面SH波散射的时域云图，并用黑色箭头标记出了排桩后方首次出现最大位移响应的位置。

在绘制桩间距影响的时域云图时，取定了2个固定排桩的分布宽度T=26a和T=23a。在T=26a时分别绘制了P=3、5、7和9，即b/a=12、6、4和3时的时域云图；在T=23a时分别绘制了P=2、4、6和8，即b/a=21、7、4.2和3时的时域云图。

由图 6i、k、m、o可知，在T=26a时，随着桩间距的增大，排桩后方首次出现的最大位移响应先增大后减小，在b/a=12(图 6o)时，最大位移响应与b/a=6(图 6m)相比有所增大，这与我们通常所理解的“间距越小，排桩后方的最大位移响应越小”有所不同；这是因为排桩不同位置处的入射波曲率不同，在出现最大位移响应点的两侧桩体对柱面波SH波散射的叠加，使位移响应超过了b/a=12时单桩体对柱面波的散射。

同样，在分布宽度为T=23a(图 6h、l、n、p)时，随着桩间距的增大，排桩后方首次出现的最大位移响应也是先增大后减小，在b/a=7时(图 6n)，出现最大位移响应点的两侧桩体对柱面波SH波散射的叠加与入射柱面SH波的和，使位移响应超过了b/a=21(图 6p)时入射柱面SH波的位移响应。

以上现象表明桩间距减小并不一定会使排桩后方首次出现的最大位移响应减小。

4 结论

本文采用波函数展开法以及Graf加法公式，给出了全空间排桩柱面SH波散射解析解，分析了柱面SH波入射时排桩的频谱特性，并采用傅里叶逆变换计算时域结果，分析了桩数、桩间距对排桩后方位移响应的影响，研究表明：

1) 在振源距排桩较近(d/a=10)时，低频段(η=0~1.0)排桩对柱面SH波的隔离作用显著；振源距排桩较远时，各频段排桩对柱面SH波的隔离作用均较为显著。

2) 增加桩数，排桩后方首次出现的最大位移响应相应减小，排桩对柱面SH波的隔离作用影响范围随之增大。对柱面SH波进行阻隔时，为提高阻隔效率的同时节约成本，不仅需要考虑桩数，还应考虑波源与桩体、桩间空隙相对位置的影响。

3) 排桩分布宽度固定时，由于入射波曲率对排桩散射的影响，从b/a=12减小到b/a=6时排桩后方首次出现的最大位移响应反而有所增大，故应采用合理的桩间距对柱面SH波进行阻隔。