2. 地球信息探测仪器教育部重点实验室, 长春 130026
2. Key Laboratory of Geo-Exploration Instrumentation, Ministry of Education, Changchun 130026, China
0 引言
航空电磁法(airborne electromagnetic methods, AEM)是利用电磁感应原理，采用移动飞行平台作为载体，在空中进行资源勘查的一种地球物理勘察方法，已经被广泛应用于海洋调查、矿产资源勘查和油气资源普查等方面。与直升机航空电磁探测相比，固定翼航空电磁探测具有速度快和勘察深度深等优点[1-3]。
飞机飞行平稳时，线圈处于平稳状态下接收到的静态响应即为接收装置接收到的电磁响应。飞机飞行不平稳时，线圈受到外力的作用使线圈的姿态发生变化，接收装置接收到的电磁响应产生偏差，此时电磁响应由线圈姿态连续变化切割地磁场产生的动态响应以及线圈处于倾斜状态下所感生的静态响应组成。
早在1983年，Annan[4]就提出了接收线圈的姿态变化会对接收装置接收到的电磁响应产生影响。1985年，Son[5]对吊舱的摆动进行研究，从而分析吊舱的姿态变化对电磁响应的影响。1997年，Holladay等[6]对海洋的冰层进行探测，分析了吊舱的摆动对探测冰层探头高度的影响，进而对探头高度进行校正。1998年，Fitterman[7]详细分析了吊舱姿态的变化对高度的影响以及线圈姿态与大地之间相对几何关系的变化。2004年，Yin等[8]将线圈视作磁偶极子，给出了线圈姿态变化的校正系数。同年，Fitterman等[9]又将提出的校正方法进行了扩展。2006年，Kratzer等[10]研究了吊舱的周期性摆动，认为吊舱摆动会影响激光测高仪的读数，给测量高度带来误差，并对误差进行校正。同年，Davis等[11]通过对直升机与吊舱姿态之间关系的研究实现吊舱姿态的预测。2010年，嵇艳鞠等[12]通过计算中心回线直升机航空电磁系统线圈姿态变化前后的电磁响应得出静态响应系数，对直升机中心回线航空电磁系统线圈姿态进行几何校正。2013年，王琦等[13]分析了固定翼线圈姿态角度对静态响应系数的影响，利用静态响应系数随电导率变化缓慢的特点对线圈姿态变化所产生的静态响应进行校正。2018年，贲放等[14]对直升机吊舱分离装置的线圈姿态进行影响分析，并基于重叠磁偶极子模型给出了近似校正因子。
本文首先利用法拉第电磁感应定律推导出线圈姿态变化产生的电磁响应，然后利用已知的地磁场及线圈姿态角度计算去除线圈姿态变化产生的动态响应。在此基础上，建立神经网络静态响应系数的样本集，用神经网络得出的静态响应系数对静态响应进行校正，从而实现线圈姿态变化产生的电磁响应的校正，并在仿真的三层大地模型下验证该校正方法的有效性。
1 固定翼航空电磁响应计算固定翼航空电磁探测测量方式如图 1所示，并在图 1中建立了航空电磁响应计算坐标系。
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| 图 1 固定翼航空电磁探测测量方式 Fig. 1 Measurement of fixed-wing airborne electromagnetic survey |
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设发射线圈在大地上的投影为坐标原点O，发射线圈距地面的高度为h，发射线圈Tx坐标为(0, 0, h)，接收线圈Rx坐标为(-r, 0, z)，发射线圈与接收线圈的水平距离为r，拖曳者接收线圈的缆绳长L，飞机投影到地面上的点为原点O，大地模型为层状模型，第j层厚度为dj、磁导率为μj、电导率为σj。
根据法拉第电磁感应定律，线圈姿态变化时的电磁响应为
(1) 式中：V为线圈姿态变化时的电磁响应；φ为接收线圈磁通量；t为时间；S为接收线圈的面积；磁场B主要由地磁场Be和地下导体感生的二次场Bs两部分组成。由于地磁场在实际飞行中几乎不变，并且地磁场的大小远远大于二次场，故
(2) 式中：V1为线圈姿态变化时切割地磁场所产生的动态响应；V2为线圈处于倾斜状态下所感生的静态响应。
线圈姿态变化主要有3种，即绕x轴旋转的摇摆(roll)、绕y轴旋转的俯仰(pitch)以及绕z轴旋转的偏航(yaw)。若飞机离开正常的飞行方向，则线圈会发生摇摆旋转，产生的摇摆姿态角度为α；若飞行速度发生变化，则线圈会发生俯仰旋转，产生的俯仰姿态角度为β；若飞行过程有侧风吹过线圈则会发生偏航旋转，产生的偏航姿态角度为γ。由于线圈的偏航旋转是绕z轴旋转，对电磁响应几乎无影响，接下来只考虑摇摆、俯仰姿态角度的影响。由于线圈的姿态发生变化，线圈坐标系与系统坐标系不再重合，文献[8]给出双直角坐标系算法，利用矩阵变换关系实现了线圈坐标系与系统坐标系的转换，旋转矩阵表示为
(3) 其中：
接收线圈坐标系与系统坐标系示意图如图 2所示。接收线圈坐标系的x′Oy′平面与线圈平面平行，z′轴方向与接收线圈平面垂直。系统坐标系的xOy平面与大地表面平行，z轴方向垂直于大地。接收装置采用z分量接收线圈，利用接收线圈的旋转矩阵，线圈姿态发生变化后系统坐标系下接收线圈面积法向量可表示为
(4)
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| 图 2 坐标系示意图 Fig. 2 Sketch of coordinate system |
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式中：T2为接收线圈的旋转矩阵；A=[0, 0, 1]T，为接收线圈坐标系下接收线圈面积法向量。则接收线圈面积S可写为
(5) 式 中，S为S的大小。
Be在系统坐标系下表示为[Bex, Bey, Bez]，因此，线圈姿态变化时切割地磁场所产生的动态响应可写成
(6) 式中，α2、β2分别是接收线圈的摇摆角度和俯仰角度。
1.2 静态响应计算飞机飞行平稳时，由大地激发的频率域二次场可表示为[7]
(7) 式中：μ为磁导率；Hs为磁场强度；ω为角频率；hs为频率域二次场的格林张量函数；m=[0, 0, m]T，为发射线圈的磁矩。在图 1固定翼航空电磁响应系统坐标系下，hs表达式可写为
(8) 其中：
式中：J0、J1分别为零阶贝塞尔函数和一阶贝塞尔函数；z、h分别为接收、发射线圈的高度：λ为积分变量[13]；rTE为反射系数。
(9) 式中：
(10) 其中：
式中，J为层状大地的层数。
根据式(7)—(10)，平稳状态下接收到的二次场可写成
(11) 式中，m为发射线圈磁矩的大小。
当发射线圈发生旋转时，发射磁矩方向会发生改变，在系统坐标系下所接收到的二次场可表示为
(12) 式中：T1为发射线圈的旋转矩阵；α1、β1分别是发射线圈的摇摆角度和俯仰角度。
在发射线圈旋转时，若接收线圈发生旋转，根据式(5)、(12)，并利用拉式变换的时域微分特性以及频-时变换[15]，得到发射、接收线圈均发生姿态变化时的静态响应：
(13) 式中：L-1为拉式逆变换；s=iω。
2 基于BP神经网络的线圈姿态校正方法 2.1 校正方法固定翼航空电磁探测过程中，由于风向、飞机飞行颠簸等影响，线圈姿态连续变化，会对电磁响应造成严重影响，影响后续的数据解释。实际飞行过程中，发射线圈被固定在飞机上，发射线圈的姿态变化较小，因此接下来对接收线圈姿态变化产生的电磁响应进行校正。根据式(2)可知，首先我们需要根据线圈的姿态角度以及角度变化率计算出线圈姿态连续变化切割磁场所产生的动态响应，然后用接收装置接收到的电磁响应减去该响应实现动态响应校正：
(14) 式中，Vs为去除动态响应后的电磁响应。
由于飞机飞行平稳时线圈处于水平状态，飞机飞行不平稳时接收装置所接收到的静态响应为接收装置处于倾斜状态下所感生的，因此，还需对静态响应进行校正。此时定义了线圈姿态变化前后的静态响应之比为静态响应系数Q。利用BP神经网络训练的Q对线圈姿态变化时的静态响应进行校正：
(15) 神经网络凭借其学习存储能力和非线性逼近能力在地球物理反演中得到广泛的应用。BP神经网络是一种按误差逆传播算法训练的前馈网络，误差向后传递、信息前向传播，是一种监督式学习算法，是目前最基本、应用最广泛的神经网络模型之一[16-17]。
BP神经网络的流程图如图 3所示。
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| e.神经网络训练误差阈值；X.神经网络训练学习次数最大值。 图 3 BP神经网络流程图 Fig. 3 Flowchart of BP neural network |
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BP神经网络由输入层、一层及以上的隐含层以及输出层组成[18]。信息由输入层输入，经过隐含层的处理，从输出层输出。若输出与期望不符，则会调整隐含层神经元的权值和阈值，从而逐步非线性地逼近期望值[19]。
BP神经网络采用信号前向传播和误差反向传递的方式。在信号前向传播的过程中，各隐含层的输出公式为：
(16) 
(17) 输出层输出公式为：
(18) 
(19) 式中：xi为隐含层输入；Wik、Wkj分别为输入层到隐含层、隐含层到输出层的神经元权值；i为输入层节点；k为隐含层节点；j为输出层节点；Bk、Bj为偏移量；f为激活函数；I为输入层节点数；K为隐含层节点数。
在误差的反向传递过程中，真实输出与神经网络输出之间的误差可用下式衡量：
(20) 式中：N为输出层节点数；Hj为真实输出。
通过梯度下降算法，不断调整各层神经元的权值和阈值，使误差达到最小，得到理想输出。
2.2.2 训练数据的建立训练数据对BP神经网络十分重要，需要训练数据对神经网络进行训练形成神经网络模型。根据式(13)，利用接收装置线圈姿态角度以及大地电导率计算出线圈姿态变化时的静态响应，然后利用其与平稳状态下静态响应之比得到静态响应系数。根据GEOTEM® 1000系统在加拿大安大略省Whitefeather Forest区域的实际飞行探测可知，接收线圈摇摆、俯仰姿态角度在-20~20°变化。因此，用41个摇摆角度(α=-20°~20°)、41个俯仰角度(β=-20°~20°)、64个电导率半空间模型(σ=0.025~20 S/m)电流关断后的静态响应做输入样本集，静态响应系数做输出样本，建立了“三输入一输出”的样本集。
2.2.3 神经网络参数的选择理论上来说，只要网络层数和节点数足够多，通过激活函数可以非线性映射得到任何期望的输出，但网络层数与节点数不能随意选择。若层数和节点数过少，则会对预测精度造成影响；若层数和节点数过多，则可能产生过拟合、运算速度下降以及泛化能力下降等问题。对于神经网络的层数和节点数的选择，利用同一个样本集，采用含有不同隐含层和节点数的网络进行测试，以选取最优的隐含层数和节点数。
通常采用如下经验公式来确定隐含层的节点数范围：
(21) 其中，a为1~10之间的常数。
不同的训练函数，其训练速度与精度会有所不同，选取合适的训练函数能大大降低网络误差。训练函数有普通梯度下降算法TRAINGD函数、自适应调整学习速率算法TRAINDX函数和量化共轭梯度法TRAINSCG函数等。激活函数是神经网络的重要组成部分，BP网络常用的激活函数有S型对数激活函数和正切函数以及线性函数等。
经过多次测试，本文设计了具有4个隐含层，每个隐含层具有7个节点的BP神经网络，利用上述样本集训练神经网络。训练函数选用TRAINSCG函数，训练时收敛速度较快，若训练不收敛则会自动停止训练。隐含层的激活函数选择TANSIG，输出层的激活函数选择PURELIN。
2.2.4 对比分析GEOTEM® 1000系统在加拿大安大略Whitefeather森林地区进行地球物理探测时所测得的摇摆、俯仰角度如图 4所示。在σ1=0.01 S/m，d1=90 m，σ2=0.20 S/m，d2=90 m，σ3=0.02 S/m的三层大地模型下，将系统所记录的姿态角度以及计算所得的静态响应作为输入参数输入到训练好的神经网络模型中，得到神经网络预测的静态响应系数值。
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| 图 4 加拿大安大略Whitefeather森林地区实测角度 Fig. 4 Measured angle of Whitefeather forest area in Ontario, Canada |
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文献[13]中给出一种固定翼航空电磁探测静态响应的校正方法，利用基于静态响应系数随电导率变化缓慢的特点，将10倍电导率范围的静态响应系数看成一个常数，从而实现对静态响应的校正。故在该校正方法中，静态响应系数可用0.1 S/m均匀半空间下的静态响应系数来对上述情况下的静态响应进行校正。
为了验证利用神经网络得到的静态响应系数的准确性，在电流关断后10 ms时，分别计算了上述两种校正方法得到的静态响应系数与该大地模型下真实的静态响应系数相对误差(图 5)：
(22) 
(23)
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| 图 5 静态响应系数相对误差 Fig. 5 Relative error of static response coefficient |
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式中：e1为经过神经网络得到静态响应系数的相对误差；e2为0.1 S/m均匀半空间下静态响应系数的相对误差；QBP为神经网络得到的静态响应系数；Q01为0.1 S/m下的静态响应系数；Qt为三层大地模型下的静态响应系数。
由图 5可以看出，与0.1 S/m均匀半空间下的静态响应系数相比，利用神经网络得到的静态响应系数更加接近真实的静态响应系数。此外，在航空电磁探测过程中，若采用文献[13]提出的静态响应校正方法，需要已知探测地区电导率的大致范围。文献[13]中通过利用反演的方法获取探测区域的大致电导率范围，但此方法耗时较长且受到反演结果的影响。而利用本文神经网络进行校正时，只需已知线圈的姿态角度以及去除动态响应后的电磁响应，输入神经网络即可进行校正。
3 校正为了研究线圈姿态的校正效果，分别建立了σ1=0.01 S/m，d1=90 m，σ2=0.20 S/m，d2=90 m，σ3=0.02 S/m的K型大地模型和σ1=0.20 S/m，d1=90 m，σ2=0.02 S/m，d2=50 m，σ3=0.20 S/m的H型大地模型进行说明。固定翼航空电磁探测系统参数为：h=100 m，接收线圈位于(-70, 0, 70)处，发射线圈与接收线圈的收发距70 m，发射磁矩、接收线圈的面积归一化处理。设飞机飞行到某个测点时，接收线圈摇摆角度12.5°，俯仰角度16.5°，摇摆角度变化率-0.5°/s，俯仰角度变化率为-0.5°/s，当地地磁场三分量大小为Bex=11 945 nT，Bey=-1 150 nT，Bez=58 000 nT。在上述大地模型和线圈姿态角度下计算飞行不平稳时的电磁响应，然后利用训练得到的神经网络对线圈姿态变化所产生的电磁响应进行校正，归一化后的校正结果如图 6所示。
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| VK、VH分别为在K型、H型大地模型下飞行不平稳时的电磁响应；VKa、VHa分别为在K型、H型大地模型下校正后的电磁响应；VKps、VHps分别为在K型、H型大地模型下飞行平稳时的电磁响应。 图 6 K型(a)、H型(b)大地模型下BP神经网络校正曲线 Fig. 6 BP neural network correction curve of K-type (a) and H-type (b) earth model |
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通过对比非平稳飞行的电磁响应与平稳飞行时的电磁响应曲线可知，线圈姿态角度变化会对电磁响应产生较为严重的影响。如在K型、H型大地模型电流关断后0.01 ms的早期，非平稳时的电磁响应比平稳状态下电磁响应分别减小了约1/4和1/3；由于接收装置所接收到的静态响应会随时间迅速衰减，线圈切割地磁场产生的动态响应不随时间变化而变化，随着时间的推移，动态响应在电磁响应中所占的比例越来越大，晚期由大地导体所感生出的静态响应会被线圈切割地磁场所产生的动态响应所湮没，非平稳飞行时的电磁响应要远大于平稳飞行时的电磁响应。因此线圈姿态变化会严重影响数据的质量，甚至可能会在无异常的区域产生虚假异常。在K型、H型大地模型下，使用上述训练过的神经网络进行校正以后，电磁响应数据得到了明显的改善，校正后的均方相对误差仅分别为0.52%和0.35%，校正后的曲线基本与平稳状态下所产生的电磁响应曲线重合。因此，使用该校正算法可以有效地校正线圈姿态变化给电磁响应所带来的影响。
4 结论1) 本文利用BP神经网络的非线性关系提出了基于BP神经网络的线圈姿态校正方法，通过将线圈姿态角度、去除动态响应后的响应输入到神经网络，实现对线圈姿态的校正。
2) 利用BP神经网络进行校正不需要通过反演获取探测区域的大致电导率，避免了耗时较长且校正精度受到反演结果影响的问题。
3) 在K型、H型三层大地模型下，线圈姿态变化会严重影响电磁响应，早期时刻静态响应占主导，随着时间推移，动态响应所占比重越来越大，到晚期会完全湮没数据，影响数据质量，利用本文校正方法可以实现对线圈姿态的有效校正。
4) 在实际飞行中，只需记录线圈姿态角度以及接收到的电磁响应即可对线圈姿态进行校正，但要注意仪器的采样精度及噪声干扰，保证校正结果的准确性。
致谢: Geotech公司为本文提供了固定翼飞行姿态角度数据，地球信息探测仪器教育部重点实验室为本文提供了研究平台，在此表示感谢。
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