0 引言
水资源是维系生态系统稳定、支撑社会经济发展的基础，是新时代生态文明建设的重要因素[1-2]。寒旱区水资源主要来自山区的降水和冰雪融水，寒旱山区流域水资源相对丰富，是流域下游地区居民生活与工农业用水的主要来源[3-4]。随着全球气候变暖趋势的影响，以冰雪融水为重要水源的寒旱地区对气候变化尤其敏感[5]。因此，开展寒旱山区典型流域融雪径流过程的研究对于当地水资源的科学管理及开发利用具有重要意义。
SRM(snowmelt runoff model)是当前被广泛应用的经验性融雪径流模拟模型，已在全球29个国家100多个流域中成功应用[6]。国内已有一些学者开展了基于SRM的寒旱山区径流模拟研究，如怀保娟等[7]将SRM应用于乌鲁木齐河源区日径流的模拟分析，李兰海等[8]将APHRODITE(Asian precipitation-highly resolved observational data integration towards evaluation of water resources)降水数据作为SRM的输入，开展了开都河流域的融雪径流特征研究。SRM采用度日系数法计算融雪径流，以日气温、降水和流域的积雪覆盖率作为基本输入信息，将融雪和降水产生的流量叠加在退水流量上。事实上，自然界河流中的径流由地面径流(或直接径流)与基流两部分组合而成[9-10]，考虑基流作用将在一定程度上提高模拟融雪径流的精度；但SRM在应用过程中通常未考虑基流作用，仅靠退水系数调整叠加退水流量，这就导致了SRM在模拟径流尤其是枯水期径流时精度较低。此外，SRM具有较多的模型参数，如退水系数、融雪径流系数等，在实测数据有限的条件下，很难准确识别这些参数，从而导致融雪径流模拟的不确定性。通过贝叶斯理论识别模型参数的概率分布，能够有效降低SRM的不确定性，从而提高融雪径流模拟的可靠性。
本文以新疆提孜那甫河流域为研究区，基于SRM建立研究区的融雪径流模型，通过马尔科夫链蒙特卡洛模拟(Markov chain Monte Carlo, MCMC)识别模型参数的不确定性。模拟过程中，对比了4种常见的基流分割方法，并对模拟结果进行综合评价，以期筛选出适合于研究区的基流分割方法，从而提高融雪径流模拟的精度。
1 研究区概况提孜那甫河是叶尔羌河水系的重要组成部分之一，河流全长335 km，依次流经叶城县、泽普县、莎车县和麦盖提县，下游渠系化进入灌区[11]。提孜那甫河流域位于西昆仑山北麓，塔里木盆地西南缘，地理位置在76.50°E—77.38°E，36.50°N—37.75°N之间(图 1)。河流域面积为5 518 km2，由于地处欧亚大陆腹地，受高山环绕以及塔克拉玛干沙漠的影响，呈现出典型的干旱大陆性气候，即气温年内变化大，蒸发强烈，降水稀少，空气干燥，但流域内冰雪资源丰富，冰雪融水成为河流的主要补给来源。流域地形复杂，海拔跨度为1 472 ~ 6 352 m，且测站稀少，仅在流域出口处有一个水文观测站(玉孜门勒克站，海拔1 472 m，2008年以前运行)提供气温、降水和径流等资料。
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| 图 1 提孜那甫河流域地理位置图 Fig. 1 Location and topography of Tizinafu river basin |
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SRM模型[5]的结构如公式(1)所示：
(1) 其中：
(2) 
(3) 式中：Q表示日径流，m3/s；Cs为融雪径流系数；Cr为降水径流系数；a为度日因子，cm/(℃·d)，表示单位度日下的融雪深度；T为度日数，℃·d；ΔT是利用温度直减率对度日数进行的校正值，℃·d；S表示积雪覆盖率；P为降雨形成的径流深，cm；A表示流域或流域分区的面积，km2；k为退水系数，其中的参数x、y根据式(3)对径流数据进行线性回归分析计算得到；n=1, 2, …, N，N为研究期日数系列长度，即观测数据的数量；z=1, 2, …, Z，Z为研究区的分区数目；10000/86400为单位换算系数。
2.2 基流分割方法 2.2.1 数字滤波法数字滤波法最初用于信号分析，目的是将高频信号和低频信号分离开来。径流划分过程与信号分离过程类似，即地面径流对应响应速度较快的高频信号，基流对应响应速度较慢的低频信号。数字滤波法由Lyne等[12]首次用于基流分割，基本原理为：
(4) 
(5) 式中：Qq, i为地面径流，m3/s；α为滤波参数；Qb, i为基流，m3/s；i为时间步长，根据数据系列长度确定。
本次研究采用Boughton-Chapman滤波法，该方法在原滤波方程的基础上引入参数C，对基流的计算如下：
(6) 通常，滤波参数α取0.925，参数C取0.15时滤波结果较好[13]。
2.2.2 加里宁法20世纪50年代，原苏联学者加里宁提出河川径流中的地下水补给量(即基流量)与总径流量之间存在特定关系，并建立了近似的水量平衡方程来计算基流，即加里宁法[14-15]。计算方程为：
(7) 
(8) 式中：Qb, t是t时刻的基流；Qb, 0是计算初始时刻的基流；Rt为t和t-Δt时段的平均流量，其中Δt表示时间间隔；γ是根据式(8)对枯水期(至少30 d)的退水曲线进行拟合得到的参数；β是比例系数，通常采用迭代法以计算的基流值应小于枯水季节流量为原则进行估算。
2.2.3 BFI法BFI法(滑动最小值法)最初由英国水文研究所[16]提出，具体计算步骤为：
1) 将日径流序列按时间间隔Δt = 1.6 A0.2划分为若干时间段；
2) 将第i时间段内的最小径流量记为Bm, i, 并取Bi = 0.9Bm, i；
3) 当满足Bi < Bi-1且Bi < Bi+1时，则Qb, i = Bm, i，Qb, i为第i时间段的基流；
4) 通过线性内插法获得其他时间段的基流，从而得到基流过程线。
2.2.4 HYSEP法HYSEP (hydrograph separation program)法是美国地质调查局采用的主要基流计算方法。1979年Sloto等[17]提出了HYSEP法，并提供了3种计算方法：固定时间间隔法、滑动时间间隔法和局部最小值法。本文选择应用较广泛的局部最小值法，计算步骤可以概括为：
1) 根据经验公式计算地面径流的持续时间Ti：
(9) 2) 对径流数据进行逐天分析。如果第i天的日径流值是前后(2Ti-1)/2时间段内的最小值，则该天的日径流为基流。
3) 对于研究期内未确定的基流，通过已确定的基流值进行线性插值估计。
2.3 数据 2.3.1 DEM数据采用NASA(national aeronautics and space administration)ASTER数据库提供的高精度DEM(digital elevation model)数据。考虑数据处理的运算量，将原数据(30 m×30 m)重采样为1 km×1 km的网格。根据高程变化范围，将研究区划分为9个分区，各区面积、高程范围以及平均海拔等信息见表 1。
| 分区 | 面积/km2 | 高程/m | 平均高程/m |
| 1 | 477 | 1 472~2 000 | 1 811 |
| 2 | 671 | 2 001~2 500 | 2 264 |
| 3 | 1 021 | 2 501~3 000 | 2 758 |
| 4 | 916 | 3 001~3 500 | 3 256 |
| 5 | 879 | 3 501~4 000 | 3 745 |
| 6 | 792 | 4 001~4 500 | 4 245 |
| 7 | 779 | 4 501~5 000 | 4 749 |
| 8 | 645 | 5 001~5 500 | 5 221 |
| 9 | 167 | 5 501~6 352 | 5 684 |
径流数据为研究区内唯一的水文观测站——玉孜门勒克站的日径流观测数据，用于识别与验证所建立的研究区融雪径流模型SRM的模拟结果。图 2所示为研究区2002-01-01—2004-12-31(识别期)和2006-01-01—2007-12-31(验证期)日径流序列，从图 2可以看出2003、2004、2005和2006年径流量变化不大，径流过程相似，但2007年径流量整体偏小，为干旱年。
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| 图 2 研究区2002-01-01—2004-12-31、2006-01-01—2007-12-31日径流序列 Fig. 2 Daily streamflow from 2002-01-01 to 2004-12-31 and from 2006-01-01 to 2007-12-31 in the study area |
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温度数据作为模型的关键驱动变量之一，对模型的模拟结果有重要影响。由于观测站位于研究区海拔最低的分区(分区1)，因此将测站气温观测数据仅用于分区1，其他分区温度通过测站温度和全球平均温度直减率(0.65 ℃/ hm)推求获得。
2.3.4 降水数据降水是SRM的重要输入数据，研究区地处山区且高程变化显著，降水在时间和空间分布上具有较大的变异性，因此区内仅有的玉孜门勒克站的降水观测资料不具有代表性。本文采用代表性较好、精度较高的TRMM (tropical rainfall measuring mission)卫星降水数据。TRMM卫星是美国于1997年在日本发射的热带测雨任务卫星，它通过测量大气的微波辐射能量获取降水量信息，其降水数据可靠性较高，应用范围广[18-20]。
2.3.5 积雪数据采用MODIS (moderate-resolution imaging spectrometer) 8日积雪合成产品(MOD10A2, h24v25)进行线性插值得到每日积雪覆盖率。该产品记录8日内最大积雪覆盖率，较大程度降低了云层覆盖对测量的影响，提高了数据精度，被广泛用于全球多个流域的融雪径流模拟[21-23]。
3 模型不确定性分析及评价指标 3.1 不确定性分析方法采用MCMC模拟来识别SRM参数的不确定性。MCMC基于贝叶斯分析理论，通过构建马尔科夫链来搜索模型参数θ[θ1, θ2, …, θl]的分布空间(l表示模型参数的维数)。在搜索过程中，通过不断融合相关的观测信息D(如日径流)，马尔科夫链从模型参数θ的先验分布p(θ)逐渐收敛至其后验分布p(θ|D)[24]：
(10) 式中，L(θ|D)表示参数θ的似然函数即SRM在参数θ下对观测数据D的拟合表现，一般通过高斯似然函数定义：
(11) 式中：f(θ)为SRM在参数θ下的模拟输出；Ω表示观测数据的误差结构，即协方差矩阵。
MCMC模拟的一般步骤[25-26]可以概括为：1)定义模型参数θ[θ1, θ2, …, θl]合适的先验分布；2)通过DREAMZS算法[27]，在参数θ的先验分布范围内抽取样本θ′；3)基于θ′运行SRM，通过似然函数(如公式(5))计算参数样本θ′的似然函数L(θ′|D)；4)通过对比L(θ′|D)与当前马尔科夫链样本θt(t = 1, 2, …, M, M为马尔科夫链长度)似然函数L(θt|D)计算θ′的接受概率，并更新马尔科夫链；5)根据当前所有样本信息更新步骤2)中的抽样算法，提高马尔科夫链收敛效率；6)重复步骤2)—5)直到马尔科夫链达到收敛标准。至此，将获得的马尔科夫链参数样本θt与SRM输出样本(如日径流)统计得到模型参数θ与输出的后验分布。
步骤2)中的DREAMZS算法[27]是最近提出的抽样算法，该算法在DREAM(differential evolution adaptive metropolis)算法的基础上融合了差分进化、随机子空间抽样、斯诺克更新(snooker update)、多链并行演化等先进技术，能够快速收敛至目标函数的后验分布，其适用于复杂、高维、非线性的模型参数空间识别及不确定分析。目前，DREAMZS算法被广泛用于水文、地下水、土壤水及水环境模型的不确定性分析[28-30]。对于DREAMZS算法的具体抽样步骤，可参见文献[27, 31]，在此不赘述。
3.2 SRM模型不确定性分析及评价指标分别选择退水系数的拟合参数x, y，Cs，Cr和a等5个SRM参数作为未知参数(表 2)，通过MCMC进行参数识别。抽样算法为DREAMzs，平行马尔科夫链的数量设为3，每条链长度为50 000，其中预热期长度(burn-in period)为10 000，即MCMC的后验样本(模型参数θ与Q)的数量为120 000。
| 参数 | x | y | Cs | Cr | a/(cm/(℃·d)) |
| 分布范围 | 0.85~1.20 | -0.15~0.30 | 0.10~0.60 | 0.10~0.60 | 0.05~0.50 |
建立研究区SRM模型及不确定性分析的基本步骤如下：
1) 分别采用数字滤波法、加里宁法、BFI法和HYSEP法生成基流数据，建立研究区融雪径流模型，依次标记为SRMB-C、SRMK、SRMBFI和SRMH。
2) 在模型识别期，通过MCMC分别对不同基流数据的4个SRM(SRMB-C、SRMK、SRMBFI和SRMH)进行参数不确定性分析，获得对应的模型参数与输出(日径流)的后验分布。
3) 在模型验证期，将识别期获得的SRM参数后验样本分别输入4个SRM获得验证期的模型输出(日径流)的后验样本，统计得到日径流量后验分布。
4) 基于识别期与验证期的日径流后验样本，对4个SRM的融雪径流模拟表现进行评价。
采用纳什系数(NSE)和观测数据包含率(δ)两个指标来评价模型的表现。纳什系数和观测数据包含率的计算公式分别如下：
(12) 
(13) 式中：Qo, i为第i天的日径流观测值, m3/s；Qs, i为第i天的日径流模拟值, m3/s；
图 3是SRM参数x、y、Cs、Cr和a经MCMC识别后的后验概率密度分布直方图。从图 3可以看出：参数x的后验分布区间均较窄，集中于0.85~1.20之间，说明x是SRM中较为敏感的参数；参数y对于除SRMK外其他3个SRM模型均能较好地识别其分布，后验分布收敛于0.1~0.3之间，表明y也是SRM中比较敏感的参数；参数Cs在4个SRM识别得到的后验空间内均呈现均匀分布，没有明显的峰值，这表明Cs对识别数据不敏感，识别后仍存在较大的不确定性；参数Cr和a在模型SRMB-C和SRMK中后验分布均收敛于较窄的区间，识别效果较好，而在模型SRMB-C和SRMK中后验分布比较均匀，识别效果较差。
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| 图 3 不同基流数据条件下SRM参数的后验分布 Fig. 3 Posterior distribution of SRM parameters based on different baseflow data |
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SRM参数后验分布的识别结果表明，基于DREAMzs抽样算法的MCMC能较好地识别SRM参数，且使用不同基流分割方法的数据会影响SRM参数的识别结果。此外，某些参数(如Cs)的识别效果一般，这一方面是由于模型的实测数据不足、参数间相关关系复杂，另一方面也是由于所建立的SRM存在模型结构误差，导致参数识别困难。
4.2 径流模拟及模型评价图 4分别为SRM在模型识别期和模型验证期的预测区间与实测日径流对比结果，图 5为SRM在枯水期(2002-11-30—2003-03-31为代表)的模拟结果。从图 4可以看出：仅SRMK能够很好地模拟研究区夏季汛期(7月—8月)融雪径流过程，其余3个SRM(SRMB-C、SRMBFI和SRMH)预测区间均显著偏离于观测日径流序列，均不能模拟研究区夏季汛期的融雪径流过程；而且SRMK除了对2007年融雪径流峰值模拟效果相对较差以外，对其余水文年的融雪径流峰值模拟效果均较好。从图 5可以看出，SRMB-C和SRMK能够在一定程度上模拟研究区枯水期径流过程，而SRMBFI和SRMH对枯水期径流过程模拟效果较差。
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| a.模型识别期(2002-01-01—2004-12-31)b.模型验证期(2006-01-01—2007-12-31)。 图 4 研究区日径流模拟结果 Fig. 4 Observed and simulated daily streamflow |
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| 图 5 研究区枯水期(2002-11-30—2003-03-31)日径流模拟结果 Fig. 5 Observed and simulated daily streamflow from 2002-12-01 to 2003-03-31 |
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基于纳什系数(NSE)和观测数据包含率(δ)对使用不同基流数据SRM表现的评价结果如表 3所示。从表 3可以看出，SRMK在识别期和验证期的纳什系数和观测数据包含率均高于另外3个模型。其中，SRMK的纳什系数在识别期和验证期分别为0.866和0.721，高于SRMB-C的纳什系数(识别期为0.604，验证期为0.639)，也远高于SRMBFI和SRMH的纳什系数(均小于0.300)。SRMK的观测数据包含率高于46.0%，而另外3个模型的观测数据包含率均低于SRMK。因此，根据不同基流分割方法的融雪径流模型的评价结果，SRMK能够最好地模拟研究区融雪径流过程，即加里宁方法是最适用于该研究区的基流分割方法。
| NSE | δ/% | ||||||||
| SRMB-C | SRMK | SRMBFI | SRMH | SRMB-C | SRMK | SRMBFI | SRMH | ||
| 识别期 | 0.604 | 0.866 | 0.102 | -0.725 | 13.1 | 46.7 | 10.3 | 4.3 | |
| 验证期 | 0.639 | 0.721 | 0.286 | -0.471 | 32.7 | 54.2 | 24.9 | 15.3 | |
1) 通过综合评价基于不同基流数据的SRM在模型识别期和验证期的表现，基于加里宁分割方法的SRMK能够最佳地模拟研究区融雪径流过程。与使用其他基流数据的SRM相比，SRMK在模型识别期获得了最大的纳什系数(NSE =0.866)和观测数据包含率(δ= 46.7%)，在模型验证期的NSE(0.721)和δ(54.2%)也远大于使用其他基流数据的融雪径流模型。因此，加里宁方法是最适合该研究区的基流分割方法。
2) MCMC模拟能够较好地识别SRM参数，获得可靠的参数后验概率分布。由于观测数据的限制(如观测误差、序列长度等)、SRM的模型结构误差及参数间的复杂相关关系，导致个别参数识别效果不佳。此外，有些模型参数(如度日因子a)存在时间和空间变异性，也导致了SRM参数不确定性。
3) 基于TRMM卫星降水数据的SRM能够很好地模拟研究区融雪径流过程，表明当实测降水资料缺乏或其的代表性较差时，TRMM数据能够有效描述研究区的降水过程特征。
| [1] |
张利平, 夏军, 胡志芳. 中国水资源状况与水资源安全问题分析[J]. 长江流域资源与环境, 2009, 18(2): 116-120. Zhang Liping, Xia Jun, Hu Zhifang. Situation and Problem Analysis of Water Resource Security in China[J]. Resources and Environment in the Yangtze Basin, 2009, 18(2): 116-120. DOI:10.3969/j.issn.1004-8227.2009.02.004 |
| [2] |
朱玉仙, 黄义星, 王丽杰. 水资源可持续开发利用综合评价方法[J]. 吉林大学学报(地球科学版), 2002, 32(1): 55-57, 63. Zhu Yuxian, Huang Yixing, Wang Lijie. Synthetical Evaluating Method of Water Resources Sustainable Development and Using Status[J]. Journal of Jilin University (Earth Science Edition), 2002, 32(1): 55-57, 63. |
| [3] |
唐数红. 对新疆水问题的基本认识[J]. 干旱区研究, 2010, 27(5): 657-662. Tang Shuhong. Basic Understanding to the Water Related Issues in Arid Lands of Xinjiang[J]. Arid Zone Research, 2010, 27(5): 657-662. |
| [4] |
陶希东, 石培基, 巨天珍, 等. 西部干旱区水资源利用与生态环境重建研究[J]. 干旱区资源与环境, 2001, 15(1): 18-22. Tao Xidong, Shi Peiji, Ju Tianzhen, et al. Studies on Ecological Environment Rebuilding and Utilization of Water Resources in Arid Area of Northwest China[J]. Journal of Arid Land Resources and Environment, 2001, 15(1): 18-22. DOI:10.3969/j.issn.1003-7578.2001.01.003 |
| [5] |
甘容.中国西北干旱区和中亚天山地区流域基流过程特征及气候变化影响研究[D].北京: 中国科学院研究生院, 2014. Gan Rong. Baseflow Characteristics and Impact of Climate Change on River Basins in arid Northwest China and Tianshan, Central Asia[D]. Beijing: The University of Chinese Academy of Sciences, 2014. http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=degree&id=Y2608118 |
| [6] |
Martinec J, Rango A, Roberts R, et al. Snowmelt Runoff Model (SRM) User's Manual[M]. Berne: Department of Geography, University of Berne, 1998.
|
| [7] |
怀保娟, 李忠勤, 孙美平, 等. SRM融雪径流模型在乌鲁木齐河源区的应用研究[J]. 干旱区地理, 2013, 36(1): 41-48. Huai Baojuan, Li Zhongqin, Sun Meiping, et al. Snowmelt Runoff Model Applied in the Headwaters Region of Urumqi River[J]. Arid Land Geography, 2013, 36(1): 41-48. |
| [8] |
李兰海, 尚明, 张敏生, 等. APHRODITE降水数据驱动的融雪径流模拟[J]. 水科学进展, 2014, 25(1): 53-59. Li Lanhai, Shang Ming, Zhang Minsheng, et al. Snowmelt Runoff Simulation Driven by APHRODITE Precipitation Dataset[J]. Advances in Water Science, 2014, 25(1): 53-59. |
| [9] |
熊立华, 郭生练. 采用非线性水库假设的基流分割方法及应用[J]. 武汉大学学报(工学版), 2005, 38(1): 27-29. Xiong Lihua, Guo Shenglian. A Baseflow Separation Method Based on Nonlinear Reservoir Assumption[J]. Engineering Journal of Wuhan University, 2005, 38(1): 27-29. |
| [10] |
Eckhardt K. A Comparison of Baseflow Indices, Which Were Calculated with Seven Different Baseflow Separation Methods[J]. Journal of Hydrology, 2008, 352(1/2): 168-173. |
| [11] |
张玉芳.提孜那甫河流域卫星雪盖时空分布研究[D].南京: 南京大学, 2014. Zhang Yufang. Spatial and Temporal Characteristics of Satellite Snow Cover in the Tizinafu Watershed[D]. Nanjing: Nanjing University, 2014. http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10284-1016327008.htm |
| [12] |
Lyne V, Hollick M. Stochastic Time-Variable Rainfall-Runoff Modelling[C]//Institute of Engineers Australia National Conference. Barton: Institute of Engineers Australia, 1979: 89-93.
|
| [13] |
Nathan R J, Mcmahon T A. Evaluation of Automated Ttechniques for Base Flow and Recession Analyses[J]. Water Resources Research, 1990, 26(7): 1465-1473. |
| [14] |
Chen L Q, Zheng H X, Chen Y Q, et al. Base-Flow Separation in the Source Region of the Yellow River[J]. Journal of Hydrologic Engineering, 2008, 13(7): 541-548. DOI:10.1061/(ASCE)1084-0699(2008)13:7(541) |
| [15] |
丁志立, 胡魁德, 方园园. 用加里宁改进法分割河川基流分析与探讨[J]. 江西水利科技, 2003, 29(4): 211-215. Ding Zhili, Hu Kuide, Fang Yuanyuan. Analysis and Discussion of Dividing up Ground Water by the Kalinlin Improving Method[J]. Jiangxi Hydraulic Science and Technology, 2003, 29(4): 211-215. DOI:10.3969/j.issn.1004-4701.2003.04.007 |
| [16] |
Gustard A, Bullock A, Dixon J M. Low Flow Estimation in the United Kingdom[M]. Oxford: Institute of Hydrology, 1992.
|
| [17] |
Sloto R A, Crouse M Y. HYSEP:A Computer Program for Streamflow Hydrograph Separation and Analysis[J]. Water Resources Investigations Report, 1996, 96: 4040. |
| [18] |
Simpson J, Joanne, Adler R F, et al. A Proposed Tropical Rainfall Measuring Mission (TRMM) Satellite[J]. Bulletin of the American Meteorological Society, 1988, 69(3): 278-295. DOI:10.1175/1520-0477(1988)069<0278:APTRMM>2.0.CO;2 |
| [19] |
Huffman G J, Adler R F, Bolvin D T, et al. The TRMM Multi-Satellite Precipitation Analysis (TMPA)[J]. Journal of Hydrometeorology, 2007, 90(3): 237-247. |
| [20] |
Dezfuli A K, Zaitchik B F, Gnanadesikan A. Regional Atmospheric Circulation and Rainfall Variability in South Equatorial Africa[J]. Journal of Climate, 2015, 28(2): 809-818. DOI:10.1175/JCLI-D-14-00333.1 |
| [21] |
Tahir A A, Chevallier P, Arnaud Y, et al. Modeling Snowmelt-Runoff under Climate Scenarios in the Hunza River basin, Karakoram Range, Northern Pakistan[J]. Journal of Hydrology, 2011, 409(1): 104-117. |
| [22] |
Sanjay K J, Goswami A, Saraf A K. Snowmelt Runoff Modelling in a Himalayan Basin with the Aid of Satellite Data[J]. International Journal of Remote Sensing, 2010, 31(24): 6603-6618. DOI:10.1080/01431160903433893 |
| [23] |
Zhang J L, Li Y P, Huang G H, et al. Evaluation of Uncertainties in Input Data and Parameters of a Hydrological Model Using a Bayesian Framework:A Case Study of a Snowmelt-Precipitation-Driven Watershed[J]. Journal of Hydrometeorology, 2015, 17(8): 2333-2350. |
| [24] |
Box G E P, Tiao G C. Bayesian Inference in Statistical Analysis[M]. New York: John Wiley & Sons, 2011.
|
| [25] |
Brooks S P, Roberts G O. Convergence Assessment Techniques for Markov Chain Monte Carlo[J]. Statistics and Computing, 1998, 8(4): 319-335. DOI:10.1023/A:1008820505350 |
| [26] |
Haario H, Saksman E, Tamminen J. An Adaptive Metropolis Algorithm[J]. Bernoulli, 2001, 7(2): 223-242. DOI:10.2307/3318737 |
| [27] |
Laloy E, Vrugt J A. High-Dimensional Posterior Exploration of Hydrologic Models Using Multiple-Try DREAM (ZS) and High-Performance Computing[J]. Water Resources Research, 2012, 50(3): 182-205. |
| [28] |
Zeng X K, Wu J C, Wang D, et al. Assessing the Pollution Risk of a Groundwater Source Field at Western Laizhou Bay under Seawater Intrusion[J]. Environmental Research, 2016, 148: 586-594. DOI:10.1016/j.envres.2015.11.022 |
| [29] |
Fan Y R, Huang G H, Baetz B W, et al. Development of a Copula-Based Particle Filter (CopPF) Approach for Hydrologic Data Assimilation Under Consideration of Parameter Interdependence[J]. Water Resources Research, 2017, 53(6): 4850-4875. DOI:10.1002/2016WR020144 |
| [30] |
Wöhling T, Vrugt J A. Multiresponse Multilayer Vadose Zone Model Calibration Using Markov Chain Monte Carlo Simulation and Field Water Retention Data[J]. Water Resources Research, 2011, 47(4): W04510. |
| [31] |
Vrugt J A, Ter Braak C J F. DREAM(D):An Adaptive Markov Chain Monte Carlo Simulation Algorithm to Solve Discrete, Noncontinuous, and Combinatorial Posterior Parameter Estimation Problems[J]. Hydrology and Earth System Sciences, 2011, 15(12): 3701-3713. DOI:10.5194/hess-15-3701-2011 |