近几十年来，自弯曲波束在波动物理学领域受到了学者们的广泛关注。Berry等^[1]推得艾里波束为无势场自由粒子满足薛定谔方程的解析解，并且发现艾里波束在传播时具有自发弯曲或横截方向自加速的特性，其主峰弯曲轨迹为抛物线。由于无势场自由粒子满足的薛定谔方程与近轴近似下的亥姆霍兹方程(抛物方程)具有相同的形式，艾里波束在经典物理学中同样存在。但是由于艾里波束为能量无穷波束，不具备物理可实现性，故难以构建并观测。Siviloglou等^[2-3]推导了有限能量艾里光束表达式并通过实验观察到了空间自弯曲传播现象。有限能量艾里波束仍受到近轴条件的约束，限制了其进一步发展。为了克服近轴条件的限制，学者们从无近似的亥姆霍兹方程入手，利用亥姆霍兹方程在不同坐标系下的表现形式，理论推导并获得了Bessel波束^[4-5]、Weber波束^[6-7]和Mathieu波束^[8]。这些波束均为亥姆霍兹方程的解析解，并且在传播时具有空间自弯曲特性，对应主峰轨迹分别为圆、抛物线和椭圆。Greenfield等^[9]进一步理论研究了空间任意凸轨迹自弯曲波束。此外，自弯曲波束还被发现具有另一个至关重要的特性——自愈性^[10]，即便主峰被吸收或截断，上述自弯曲波束仍会在几个波长后重构主峰。自弯曲特性及自愈性使得自弯曲波束在目标绕射、激光微操、弯曲等离子体细丝、强抗干扰光学显微镜以及光(声)镊子等领域具有重大应用潜力^[11]。现有空间自弯曲波束依赖于解析手段，推得的波束轨迹受到频率和尺度缩放因子等参数的严格约束，限制了自弯曲波束的应用范围。而在优化声传播问题相关研究中，当含有损散射体波导内发生全透射时，声波会绕过散射体，形成一定的空间波束^[12]。

本文以此提出一种间接构建声波导内自弯曲波束的方法。通过在波导中虚构散射体，人为设计几何参数，并求解全透射声场，获得近似以散射体边界为轨迹的类自弯曲波束，包括类Bessel波束、类Weber波束以及类Mathieu波束。所得的类自弯曲波束具有自弯曲特性和自愈性，而且具有能量有限特性，具备物理可实现性。此外，基于同样方法，本文构建了声道轴高汇聚波束以及浅海自弯曲波束。

1 含散射体波导最大声透射问题

本文从含散射体波导最大声透射问题入手阐述空间类自弯曲波束的构建方法。考虑含散射体波导(图 1)中的声传播问题。波导高度为h，上、下均为刚硬边界。散射区域为(x, y)∈([0, L]×[0, h])，内部包含多个可穿透液态散射体，以“O”表示。规定x < 0和x>L区域内介质参数水平均匀。波导主介质与散射体介质密度和声速分别记为ρ₀、c₀和ρ₁、c₁，其中c₁可为复数，代表散射体内存在损耗。任意简谐入射波p_i从x=0处输入，经过散射区域产生透射波和反射波，省略时间因子exp(-iωt)，总声场满足Helmholtz方程和边界条件：

$ \left( {\mathit{\Delta }{\rm{ + }}\frac{{{\omega ^2}}}{{c_j^2}}} \right)p{\rm{ }} = 0 $

(1)

$ \left\{ \begin{array}{l} {\partial _y}p(y{\rm{ }} = 0,h) = 0\\ {p_{\partial {\varOmega ^ + }}} = {\rm{ }}{p_{\partial {\varOmega ^ - }}}\\ {\left. {\rho _0^{ - 1}{\partial _n}p} \right|_{\partial {\varOmega ^ + }}} = {\left. {\rho _1^{ - 1}{\partial _n}p} \right|_{\partial {\varOmega ^ - }}} \end{array} \right. $

(2)

式中：p为声压；ω为角频率；c为声速；ρ为密度；j=0, 1分别对应波导主介质和散射体内部；∂Ω为所有散射体边界的集合；n代表法线方向；Δ为拉普拉斯算符。

该波导中声传播问题可通过耦合简正波理论求解^[13-16]，基本思想是将声压表示为局部基函数加权求和。对于图中的波导，局部基函数为刚硬波导内本征函数：

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{\psi _n}(y) = \sqrt {(2 - {\delta _{n0}})/h} {\rm{cos}}(n{\rm{ \mathsf{ π} }}y/h)} \end{array} $

(3)

声压可表示为：

$ p(x,y) = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{p_n}(x){\psi _n}(y)} $

(4)

式中：p_n为声压在基函数上的展开系数；N为截断数。本文考虑的最大声透射问题在于分析并计算能流透射率的上界及对应所需的入射波条件。能流定义为：

$ {E_f} = \frac{1}{{2\omega }}{\rm{Im}}(\int_0^h {{\rho ^{ - 1}}} {p^ * }{\partial _x}p{\rm{d}}y) $

(5)

根据能流的定义式及本征函数的正交性，可获得透射波和入射波的能流分别为：

$ \begin{array}{c} {E_{ft}} = \frac{1}{{2\omega {\rho _0}}}\mathit{\boldsymbol{p}}_t^{\rm{H}}(L){\rm{Re}}(\mathit{\boldsymbol{K}}(L)){\mathit{\boldsymbol{p}}_t}(L)\\ {E_{fi}} = \frac{1}{{2\omega {\rho _0}}}\mathit{\boldsymbol{p}}_i^{\rm{H}}(0){\rm{Re}}(\mathit{\boldsymbol{K}}(0)){\mathit{\boldsymbol{p}}_i}(0) \end{array} $

(6)

式中：K(0)和K(L)分别为x=0, L处各阶模态对应水平波数构成的对角阵；p_i(0)和p_t(L)分别为入射波和透射波的模态展开系数组成的向量。入射波和透射波的模态展开系数可由透射矩阵T连接：

$ {\mathit{\boldsymbol{p}}_t}(L) = \mathit{\boldsymbol{T}}{\mathit{\boldsymbol{p}}_i}(0) $

(7)

文献[13-14]通过引入导纳矩阵和传播算子构建透射矩阵并求解含散射体波导内的声传播问题。波导内的能流最大透射率为^[12]：

$ {G_{{\rm{max}}}} = \mathop {{\rm{max}}}\limits_{{\mathit{\boldsymbol{p}}_i}} \frac{{{E_{ft}}}}{{{E_{fi}}}} = {\rm{max}}{[\sigma (\mathit{\boldsymbol{M}}(L)\mathit{\boldsymbol{T}}{\mathit{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}(0))]^2} $

(8)

式中：σ代表奇异值；$ \mathit{\boldsymbol{M}}\left( x \right) = \sqrt {{\rm{Re}}(\mathit{\boldsymbol{K}}\left( x \right))} $，矩阵的逆对应将主对角线非零元素直接取倒数。产生最大透射的最佳入射波表达式为p_i^opt=M^-1(0)v₁，其中v₁为矩阵M(L)TM^-1(0)最大奇异值对应的右奇异矢量。将最佳入射波输入波导，利用耦合简正波理论可直接求取对应声场^[13]。

图 2为基于耦合简正波理论^[13]和优化透射理论^[12]计算得到的图波导可实现的最大透射声场结果。参数选取如下：波导高度设为h=1，无量纲频率为：

$ k = \omega h/{c_0} = 90.{\rm{ }}1{\kern 1pt} {\rm{ \mathsf{ π} }} $

(9)

10个圆形散射体随机分布在散射区域([0, L=4.5h]×[0, h])内，散射体半径为r为h/16，彼此不重叠，散射区域最大距离L为4.5h。波导介质和散射体密度的关系为ρ₀/ρ₁为0.3，声速关系为：

$ {c_0}/{c_1} = 1 + 0.{\rm{ }}1{\kern 1pt} i $

(10)

式中c₀为实数。

波导中可传播模态数为N_p(0)=N_p(L)=91，截断数取为N=120。图 2(a)给出矩阵M(L)TM^-1(0)奇异值平方分布，可以发现最大奇异值接近1，表明存在全透射声场。将最佳入射波p_i^opt=M^-1(0)v₁(v₁为右奇异矢量)作为输入，得到全透射声场，如图 2(b)所示。从图中可以看出，最佳入射波产生的全透射声场中出现了一道空间波束，它巧妙地绕过了散射体所在区域，实现了能量的最大透射。空间波束绕过散射体的行为，意味着该最佳入射波在无散射体的均匀波导中也会保持原有的传播行为。图 2(c)给出最佳入射波在均匀波导中的声场结果。可以看出，将最佳入射波输入至均匀波导时，对应声场与在含散射体波导中的声场几乎一致。

2 类自弯曲波束

基于实现全透射的入射波可以绕过含吸收散射体传播的特性，本节在声波导中人为引入不同形状的散射体，求解其中的最大声透射声场，从而构建出空间类自弯曲波束。

选取波导高度h=1，无量纲波数k=90.1π，对应可传播模态数为91，截断数选为N=130。散射体一边紧贴上边界，另一边设定为弯曲轨迹，设为y=a(x)。考虑到发生全透射时散射体对声波无作用，在参数选取方面可直接令密度ρ₀=ρ₁。有损散射体要求Im(c₀/c₁)>0，此处设为：

$ {c_0}/{c_1} = 1 + 0.{\rm{ }}1{\kern 1pt} i $

(11)

式中c₀为实数。

考虑构建波导中的类Bessel波束、类Weber波束和类Mathieu波束，散射体边界a(x)分别设为：

$ a(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{ll}} {h - \sqrt {{{\left( {\frac{h}{2}} \right)}^2} - {{\left( {x - \frac{h}{2}} \right)}^2}} ,}&{{\rm{类Bessel波束}}}\\ {\frac{h}{2} - \frac{h}{{50k}} + \frac{{kh}}{{400}}{{\left( {x - 20\sqrt {\frac{1}{k}\left( {\frac{h}{2} + \frac{h}{{50k}}} \right)} } \right)}^2},}&{{\rm{类Weber波束}}}\\ {h - \frac{h}{2}\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{x - h}}{h}} \right)}^2}} ,}&{{\rm{类Mathieu波束}}} \end{array}} \right. $

(12)

对应轨迹为圆、抛物线和椭圆。散射区域最大距离分别为：

$ L = \left\{ {\begin{array}{*{20}{ll}} {h,}&{{\rm{类Bessel波束}}}\\ {40\sqrt {\frac{1}{k}\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{50k}}} \right)} ,}&{{\rm{类Weber波束}}}\\ {2h,}&{{\rm{类Mathieu波束}}} \end{array}} \right. $

(13)

在包含设定散射体的波导中，利用耦合简正波理论^[13]和优化透射理论^[12]分别计算最佳入射波和全透射声场，结果分别如图 3所示。选取的入射波在传播时紧贴散射体边界，并发生空间自弯曲现象。将这些类自弯曲波束对应的入射波直接输入进均匀波导中，结果如图 4所示。可以看出，选取的入射波在均匀波导中传播时依然保留了自弯曲特性，且由于波导高度有限，声波自动满足能量有限要求，具有物理可实现性。然而，从图 3中可以看到构建出的类自弯曲波束轨迹与设定的散射体边界并非完美契合，产生该现象的原因主要是频率限制了声波弯曲传播时的最大曲率。当频率升高时，自弯曲波束能够与设定的轨迹更加匹配。若改变散射体的边界参数，重复上述步骤，可构建出多种参数下的自弯曲波束。因而本文所提出的构建类自弯曲波束的方法，在一定程度上打破了原有精确的自弯曲波束轨迹受到的频率和尺度缩放比例因子等参数的严格限制。使用本节中的方法，可通过改变散射体边界参数对应构建不同的自弯曲波束，甚至进一步地可构建任意(凸)轨迹自弯曲波束。

空间自弯曲波束的另一个重要特性为自愈性。为了验证本方法构建的类自弯曲波束是否具有自愈性，在均匀波导中放置一个全吸收的散射体，选择合适的位置使得该散射体能够全吸收波束主峰，接着将图 4中获得的类自弯曲波束输入至含全吸收散射体的波导中，结果如图 5所示。尽管自弯曲波束的主峰被散射体吸收，但是波束在传播一定距离后，自动重构了主峰并继续保持自弯曲传播特性。因此本文所构建的类自弯曲波束在具备空间自发弯曲特性的基础上，保留了自愈性，在目标绕射、保密声通信或稳健声通信方面具备一定的应用潜力。

3 声道轴高汇聚波束及浅海自弯曲波束

浅海波导是一类典型的声波导，含声速剖面是浅海波导的一大特点。在多种声速变化情况中，含声道轴声速分布为较特殊的情况，原因在于声道轴是实现声波远距离传播的天然“通道”。声道轴出现在先减小后增大的声速剖面中，为声速“拐点”对应的深度。本节寻找浅海波导中声道轴附近可能存在的特殊波束。需要注意的是，对于浅海波导，海面为水-空气绝对软边界，所以选取的基函数应变为：

$ {\psi _n}(y) = \sqrt {2/h} {\rm{sin}}((n{\rm{ }} + 0.{\rm{ }}5){\rm{ \mathsf{ π} }}y/h) $

(14)

含声速剖面非均匀波导中的声传播问题可参考文献[15]。

考虑波导深度h=400 m，频率选取为f为500 Hz，声速表达式设为：

$ c(y) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{ll}} {1{\kern 1pt} {\kern 1pt} 500 \times (1 - {{10}^{ - 4}}y),}&{y < 100{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{m}}}\\ {1{\kern 1pt} {\kern 1pt} 485 \times (1 + 2.5 \times {{10}^{ - 5}}(y - 100)),}&{100 \le y \le 400{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{m}}} \end{array}} \right. $

(15)

在此参数条件下，波导内对应存在285阶可传播模态。散射体位于声道轴下方，一边紧贴下边界，另一边界设为：

$ a(x) = {\rm{ }}h - \frac{h}{2}{\rm{sin}}\left( {\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{{6h}}(x{\rm{ }} - 3h)} \right),x \in [3h,9h] $

(16)

波导介质与散射体介质的密度比设为ρ₁/ρ₂=1，声速比为c₀/c₁=1+0.1i，其中c₀为实数。散射区域最大距离x_max=9h，截断数N=400。对最大声透射的分析和计算过程仍与前述一致，能流最大透射率的计算参照式(8)。对所有的全透射入射波及其对应声场进行观察，可以发现2组特殊的全透射解。

第1组如图 6(a)所示(内插图为声速分布)，声波在绕过散射体的同时形成了声道轴高汇聚波束。从入射波形分析，该波束类似于高斯波束，其发散特性被声速剖面抑制。根据射线理论，声波会向声速小的区域传播，而声道轴附近的类高斯波束又会向声速大区域的发散，二者相互抵消，最终形成了声道轴附近高汇聚波束。该波束是从无近似的亥姆霍兹方程推导计算得到，在传播时，声波的所有能量均被限制在声道轴附近，且可以传播至无穷远。更重要的是，该波束在传播时与上、下边界以及散射体均无任何接触，因而即便去掉边界和散射体，该波束依然为亥姆霍兹方程的解，相当于该声道轴高汇聚波束可在无散射体波导中存在。而且只要声速剖面不变，在Pekeris波导、变截面波导等结构中，该波束仍应存在，故可应用于超远距离通信。值得强调的是，该波束是通过二维亥姆霍兹方程推得，在考虑三维情况时，可能受波阵面扩张影响，随着传播距离的增加会逐渐衰减，但并不改变其适用于超远距离通信的特性。

第2组全透射解为浅海波导自弯曲波束，如图 6(b)所示。该波束亦为类自弯曲波束，波束传播时紧贴散射体边界并绕过散射体，实现能流的全透射。由于散射体左右对称，对应产生的波束也具有了一定的空间对称性。当去掉散射体，并将对应的入射波输入至波导中，该波束将依然保留了原有的空间自弯曲特性。图 6(b)中波束的自弯曲传播特性受到声波本身的弯曲特性及声速剖面共同影响。此外，若改变散射体的边界形状，会对应得到不同(凸)轨迹的自弯曲波束。图 6(a)中的声道轴高汇聚波束与散射体的几何形状无关，但图 6(b)中的自弯曲波束与散射体的边界形状密切相关。至此，利用本文中的方法，可以构建均匀波导或浅海波导中的自弯曲波束，也为更多复杂波导中的自弯曲波束构建提供可行性。

4 结论

1) 本文通过分析波导中能流最大透射问题，发现了含吸收散射体波导中声波发生全透射时会绕过有损散射体传播。利用这一现象，通过合理设计散射体边界参数和物理参数，将边界视为波束轨迹，并利用耦合简正波理论计算全透射声场，构建了波导中的类Bessel、类Weber和类Mathieu波束。这些类自弯曲波束在一定程度上打破了自弯曲波束原有严格轨迹的限制，并保留了自弯曲特性和自愈性，能够用于目标绕射和声保密通讯等。

2) 同样构建了声道轴高聚焦波束。该波束能够使能量高度汇聚在声道轴附近，并且在传播时与边界无作用，适用于超远距离声通信。通过合理设定散射体几何形状并分析其中的全透射声场，可发掘更多特殊的空间波束。

3) 文中所述方法和所获波束对更全方位地理解非均匀波导内声传播和声散射问题、为实现非均匀介质内大尺度目标绕射及稳健声通信提供可行性。