实际海底介质中的断层多为不平整的连续曲面^[1]，通常海洋学方法多使用沿测线测量方法，效率不高；若需要了解一定海区范围内海底断面情况，需要设计往返多次的测量航线，既费时又耗资不菲，有必要考虑有效的改进方法。若采用水声学中的层析术进行勘探，则可以一次性地完成一定海区面积内各点处海底断面的深度和形状探测，不仅大大提高了探测效率，还可节约所需海试费用。

1 原理方法介绍

利用坐底声呐阵, 按照层析术方法进行海底断层测量的原则方法如图 1所示，在预定海域周边不同点处布设矢量坐底声呐阵, 并在海域范围内不同位置点投放爆炸信号。设海深为H、各坐底声呐位置S_i=(x_i, y_i, H)、各爆炸点位置B_j=(x_j, y_j, z_j)等均为已知。海水中不同点处声速可利用其平均值及带有待定系数的各阶经验正交函数之和表示。

若海底介质中断层曲面的函数表示为z=Γ(x, y)，海底介质密度与纵波波速和横波波速均可设定为待求的坐标函数。根据地震观测所得海底介质中断层的常见形式，为适当减少利用层析术测定断层曲面形状进行最优化计算时的待定参数数目，可建议采用以下2种可能形式之一:

1) 将探测海域中断层设想为若干块不同断面，每块均具有空间平面形式:a_kx+b_ky+z_k=0；为分割各断层区间，可再利用若干设定的空间点(x_l, y_l, z_l)，以每个空间平面的四顶角坐标点划定该断层所在区域。这种断层一般位于海底介质中相对较深位置。

2) 将探测海域中断层设想为具有波动界面形式，因而可表示为不同周期和不同幅度正弦(余弦)函数之和: $z = {z_0} + \sum\limits_k {{A_k}} \sin \left[ {{\sigma _k}\left( {{a_k}x + y} \right)} \right]$，这种断层一般位于海底介质中相对较浅位置。

利用爆炸声信号进行实验时，此时各接收点一般至少可接收到:1)自爆炸点传来的直达脉冲；2)经一次海面反射后到达海底的脉冲；3)经海底反射后又经一次海面反射最终到达接收点的脉冲、以及经海底界面折射，并再经海底介质中断层界面反射后，最终到达海底界面的纵波和横波脉冲, 共计5个信号。为计算简便起见, 具体分析时可采用射线声学方法。设自爆炸点发出的声线为L₀(α, β), 其中(α, β)为表征声线射出方向的空间角的量, 则声程方程的完全解可写为^[2]:

$ V(L,x,y,z,\alpha ,\beta ) = 0 $

(1)

且有声线的空间方程式为:

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\partial V}}{{\partial \alpha }} = 0}\\ {\frac{{\partial V}}{{\partial \beta }} = 0} \end{array}} \right. $

(2)

式中:x_j为爆炸点坐标；x_p为自爆炸点出发的声线到达海底或海面点处的坐标。对于自爆炸点出发；直达接收点x_i的声线，可取x_p=x_i，其中x_i为接收点坐标值，由式(1)与式(2) 3个方程式联立求解, 即可得出相应的声程数值、自爆炸点出发到达接收点的声线的出射角(L₁, α₀, β₀)。

而对于经一次海面反射后到达接收点的声线，则首先可由爆炸点坐标x_j与设想的海面处声反射点位置x_p=(x_p, y_p, 0)，列出相应的声程方程式与声线方程式:

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{V_1}({L_p},{x_j},{x_p},{\alpha _p},{\beta _p}) = 0}\\ {\frac{{\partial {V_1}}}{{\partial {\alpha _p}}} = 0,\frac{{\partial {V_1}}}{{\partial {\beta _p}}} = 0} \end{array}} \right. $

(3)

注意到此时该声线在海面x和y方向的入射角大小, 将分别正比于$\frac{\partial L_{p}}{\partial x}、\frac{\partial L_{p}}{\partial y}$，且根据反射定理，声线在海面反射时其反射角将等于入射角; 因而可使用$\frac{\partial L_{p}}{\partial x}、\frac{\partial L_{p}}{\partial y}$代替声程方程中的α、β，记作为α′_p、β′_p。这时对于自海面反射到达接收点x_i处的声线来说，可直接写出类似形式的声程方程式及声线方程式:

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{V_2}({L_1},{\mathit{\boldsymbol{x}}_p},{\mathit{\boldsymbol{x}}_i}, - \alpha _p^\prime , - \beta _p^\prime ) = 0}\\ {\frac{{\partial {V_2}}}{{\partial \alpha _p^\prime }} = 0,\frac{{\partial {V_2}}}{{\partial \beta _p^\prime }} = 0} \end{array}} \right. $

(4)

此时共计6个方程式，6个未知量L_p、L₁、x_p、y_p、α_p、β_p，即可联立求解得到各未知量数值，而声波传播时间，则可由声程L_p+L₁求得。

同理，对自爆炸点经海底反射后又经一次海面反射最终到达接收点的脉冲，可假设声线在海底的反射点为x_p=(x_p, y_p, H)，而声线射出方向为(α₁, β₁)，当该声线在海底反射后，到达海面坐标点x_q=(x_q, y_q, 0)处又经海面反射，最终到达接收点x_i。此时可写出各段的声程方程和声线方程式:

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{V_1}({L_1},{\mathit{\boldsymbol{x}}_j},{\mathit{\boldsymbol{x}}_p},{\alpha _1},{\beta _1}) = 0}\\ {\frac{{\partial {V_1}}}{{\partial {\alpha _1}}} = 0,\frac{{\partial {V_1}}}{{\partial {\beta _1}}} = 0} \end{array}} \right. $

(5)

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{V_2}\left( {{L_2},{\mathit{\boldsymbol{x}}_p},{\mathit{\boldsymbol{x}}_q}, - \frac{{\partial {L_1}}}{{\partial x}}, - \frac{{\partial {L_1}}}{{\partial y}}} \right) = 0}\\ {\frac{{\partial {V_2}}}{{\partial {\alpha ^\prime }}} = 0,\frac{{\partial {V_2}}}{{\partial {\beta ^\prime }}} = 0} \end{array}} \right. $

(6)

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{V_2}\left( {{L_3},{\mathit{\boldsymbol{x}}_q},{\mathit{\boldsymbol{x}}_i}, - \frac{{\partial {L_2}}}{{\partial x}}, - \frac{{\partial {L_2}}}{{\partial y}}} \right) = 0}\\ {\frac{{\partial {V_3}}}{{\partial {\alpha ^{\prime \prime }}}} = 0,\frac{{\partial {V_3}}}{{\partial {\beta ^{\prime \prime }}}} = 0} \end{array}} \right. $

(7)

以上共计9个方程式，未知数L₁、L₂、L₃、x_p、y_p、x_q、y_q、α₁、β₁也一共9个，不难联立求解各未知数，而总传播时间可由3段的声程和求得。式(5)~(7)中α′、β′、α″、β″系为书写简便，仿前节用以分别代表对应声程的坐标偏导数。

对经过海底界面折射或进入海底介质的声波, 由于纵波和横波的折射系数不同, 因而需要分别讨论。设海底介质密度和拉米参数分别为ρ₂、λ、γ，各参数均可为深度的函数，为简单计，不妨设为随深度线形变化。首先考虑纵波的传播，虽然当介质随深度变化时纵波和横波将会产生耦合，但只要耦合系数不大, 并不会引起解算上的困难。另外, 由于对纵波的分析方法与对横波的分析方法完全相同, 下文中为书写简便计，将采用肩标“单撇”来表示对纵波分析的各量, 而采用肩标“双撇”表示对横波分析的各量, 不再分别重复书写。

若声波在海底界面处的反射点为(x′_p, y′_p, H)，仿式(3)，可求得自爆炸点射向海底的声线，而到达海底时其x和y方向入射角的正切将分别为:$\tan \vartheta_{x}^{\prime}=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{x}_{p}^{\prime}}{\mathrm{d} H}, \tan {\vartheta}_{y}^{\prime}=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{y}_{p}^{\prime}}{\mathrm{d} H} $，因而可知，其x和y方向入射角的正弦值将分别为:

$ \sin \vartheta _x^\prime = \frac{{\tan \vartheta _x^\prime }}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\vartheta _x^\prime } }},\sin \vartheta _y^\prime = \frac{{\tan \vartheta _y^\prime }}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\vartheta _y^\prime } }} $

已知海底介质中断层曲面方程为z=Γ(x, y), 并设其在断层上下的介质密度与Lame参数分别表示为:

$ {{\rho _2} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rho _{21}},}&{H < z < \varGamma }\\ {{\rho _{22}},}&{{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \varGamma < z} \end{array}} \right.} $

(8)

$ {\lambda = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\lambda _1},}&{H < z < \varGamma }\\ {{\lambda _2},}&{{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \varGamma < z} \end{array}} \right.} $

(9)

$ {\mu = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mu _1},}&{H < z < \varGamma }\\ {{\mu _2},}&{{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \varGamma < z} \end{array}} \right.} $

(10)

仿照前述方法，此时按声程方程与声线方程式并取二次声源位于海底界面折射点，可同样获得在上层海底介质中纵波的声程方程完全解V′(L′, x, y, z, α′, β′)，其中α′, β′则依折射定理，有:

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\alpha ^\prime } = c(H)\sqrt {\frac{{{\rho _{21}}}}{{{\lambda _{21}} + 2{\mu _1}}}} \sin \vartheta _x^\prime = \sin {\vartheta _{1x}},}\\ {{\beta ^\prime } = \sin {\vartheta _{1y}}} \end{array}} \right. $

(11)

由于考虑到希望在海底介质中断面上反射的纵波，能直接到达接收点，因而此时爆炸脉冲入射海底界面上的点，将不同于经一次海底、海面反射到达接收点的爆炸脉中的反射点，而将是x_r=(x_r, y_r, H)。故有:

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{L}}_r^\prime = \mathit{\boldsymbol{L}}_r^\prime ({\alpha ^\prime },{\beta ^\prime }),\mathit{\boldsymbol{x}}_r^\prime = \mathit{\boldsymbol{x}}_r^\prime ({\alpha ^\prime },{\beta ^\prime })}\\ {\mathit{\boldsymbol{y}}_r^\prime = \mathit{\boldsymbol{y}}_r^\prime ({\alpha ^\prime },{\beta ^\prime })} \end{array}} \right. $

(12)

若此纵波射到海底介质断层上(x′_t, y′_t, z′_t)点处，则该点处法线方向为:

$ \mathit{\boldsymbol{N}}_t^\prime = \frac{{\frac{{\partial \varGamma }}{{\partial x_t^\prime }}{\rm{i}} + \frac{{\partial \varGamma }}{{\partial y_t^\prime }}{\rm{j}} - {\rm{k}}}}{{\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{\partial \varGamma }}{{\partial \mathit{\boldsymbol{x}}_t^\prime }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial \varGamma }}{{\partial \mathit{\boldsymbol{y}}_t^\prime }}} \right)}^2}} }} $

(13)

注意到纵波声线在非均匀海底介质中传播时, 将随介质空间中声速变化而产生弯曲, 若其到达海底介质断面上的入射点为(x′_t, y′_t, z′_t)，则此时射线方向为$\boldsymbol \nabla \boldsymbol{L}_{t}^{\prime}$, 故在海底介质断面上反射后，其射线方向将改为$\boldsymbol \nabla \boldsymbol{L}_{t1}^{\prime}$, 此反射方向可按由入射方向与断层法线方向计算求得。按照反射定理此时:

$ \boldsymbol \nabla \mathit{\boldsymbol{L}}_t^\prime \cdot \mathit{\boldsymbol{N}}_t^\prime = - \boldsymbol \nabla \mathit{\boldsymbol{L}}_{t1}^\prime \cdot \mathit{\boldsymbol{N}}_t^\prime ,\boldsymbol \nabla \mathit{\boldsymbol{L}}_t^\prime \times \mathit{\boldsymbol{N}}_t^\prime = \boldsymbol \nabla \mathit{\boldsymbol{L}}_{t1}^\prime \times \mathit{\boldsymbol{N}}_t^\prime $

(14)

所以

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\boldsymbol \nabla {L_{1x}} = \left( {1 - 2\frac{{n_x^2}}{{{n^2}}}} \right)\boldsymbol \nabla {L_x} - 2\frac{{{n_x}{n_y}}}{{{n^2}}}\boldsymbol \nabla {L_y} - 2\frac{{{n_x}{n_z}}}{{{n^2}}}\boldsymbol \nabla {L_z}}\\ {\boldsymbol \nabla {L_{1y}} = - 2\frac{{{n_x}{n_y}}}{{{n^2}}}\boldsymbol \nabla {L_x} + \left( {1 - 2\frac{{n_y^2}}{{{n^2}}}} \right)\boldsymbol \nabla {L_y} - 2\frac{{{n_y}{n_z}}}{{{n^2}}}\boldsymbol \nabla {L_z}}\\ {\boldsymbol \nabla {L_{1z}} = - 2\frac{{{n_z}{n_x}}}{{{n^2}}}\boldsymbol \nabla {L_x} - 2\frac{{{n_z}{n_y}}}{{{n^2}}}\boldsymbol \nabla {L_y} + \left( {1 - 2\frac{{n_z^2}}{{{n^2}}}} \right)\boldsymbol \nabla {L_z}} \end{array}} \right. $

(15)

将各声程梯度项转化为空间方向角α′₁、β′₁, 自断层上反射点发出的声线出射角即为α′₁、β′₁, 根据此反射声应直接到达接收点x_i条件, 由海底介质中的声程方程和声线方程, 以及x_i点坐标值, 可直接解出自断层反射点至接收点的声程, 及此声线在断层面上反射点处的出射角数值:

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{L_3} = {L_3}({x_i},{y_i},{z_i}),\alpha _1^\prime = \alpha _1^\prime ({x_i},{y_i},{z_i}),}\\ {\beta _1^\prime = \beta _1^\prime ({x_i},{y_i},{z_i});} \end{array}} \right. $

(16)

至此问题即已完全解决。自爆炸点经海底介质中断层反射到达接收点的传播时间，可由从爆炸点至海面，由海面至断层反射点及自断层反射点至接收点的声程之和计算得到。

对于在海底界面折射并经海底介质中断层反射后到达接收点的横波信号，因为计算方法完全类似，在此即不重复。若使用4个坐底声呐，施行5次爆炸，各坐底声呐可接收到沿5条不同路径由爆炸点到接收点的爆炸脉冲，则共有100个信号，可列出100个方程式，此时若取描述介质空间参数变化的30个参数，描述海底介质断面位置的20个参数，则将有共50个待定系数，不难借助最优化方法，求得各待定系数的最可几值，完成借助层析术对断层位置的勘探结果。

2 结论

利用层析术进行海底断层探测, 可以同时测定一定海区范围内断层所在深度和形状, 因而具有较高的探测效率。文中原则性的给出方法建议和基本数据处理公式，但由于数学方法上的困难，所介绍的方法对断崖式断层的探测无效。