在声呐、雷达、通信以及语音工程等领域常常需要利用传感器阵列接收宽带目标信号，并利用波束形成技术以达到抑制噪声和干扰、提高输出信噪比、改善方位估计精度等目的。在应用常规波束形成方法处理接收到的宽带信号时，常常会造成信号畸变，且指向性较小。针对这个问题，超指向性频率不变响应波束形成方法能够在宽带范围提高指向性^[1-4]，且可保证在一定频率范围内保证信号无失真。在实际应用中，常常把圆环阵安装固定在某些水下平台上，而平台产生的散射声场会使阵元处接收声场发生畸变，进而影响波束方法的性能。

近年来，很多学者研究了障板条件下基阵波束形成方法和性能分析。针对刚性圆球表面的球形传感器阵列，Elko等^[5]提出了相位模态域波束形成方法，利用阵型的对称性，将入射声场进行正交分解，得到正交的球谐波分量，然后乘以相应的系数，获得所需要的指向性。鄢社锋等^[6-7]提出了多约束优化方法，可以在不同的性能指标之间合理折中，进而获得想要的波束。Rafael^[8]提出的相位模态域波束形成方法也可以在性能指标间进行折中。此外，对于弹性圆柱表面圆环阵；Zou等^[9]利用相位模态理论研究了此时圆环形矢量水听器阵列的方位估计方法；杨德森等^[10]也在相位模态域对柱形弹性障板表面圆环形矢量水听器阵列的方位估计性能进行了研究，并给出了实验结果；汪勇等^[11]利用噪声协方差矩阵的循环矩阵特性，最小化期望波束和合成波束的均分误差，得到了合成宽带频率不变响应波束各个频率下的权值向量，进而获得合成频率不变响应波束。

考虑障板对波束方法性能的影响，Daigle等^[12]对刚性和阻抗性球体及无限长柱体表面圆环阵的常规方法进行了深入研究，结果表明散射界面可以改善常规方法的性能；Bertilone等^[13]求解了无限长刚性柱形障板影响下几种类型的噪声互谱矩阵，并将其应用于MVDR波束形成器中，同时对其性能进行了分析。然而这些工作只针对常规和MVDR波束形成器，没有给出障板影响下圆环阵的稳健超指向性方法下的性能变化。

本文主要研究圆环阵安装在不同圆柱表面时频率不变响应波束方法的性能变化。首先考虑声透明和刚性圆柱障板下的频率不变响应波束形成，并对获得的仿真结果进行分析。实际中，只有当界面材料的声特性阻抗远大于介质声特性阻抗时，刚性假设才能近似成立，而这虽在空气中容易做到，但在水下则不易满足。因此本文构建了弹性双层圆柱障板声场模型，并给出相应的散射声场仿真结果，进而获得圆柱障板在不同材质和厚度时的频率不变响应波束，并分析不同情况下的性能变化。

1 信号模型

考虑如图 1所示半径为a的无限长声透明圆柱表面M元圆环阵，阵元均为无指向性传感器，且θ_m=90°。单位幅度平面波从方向(θ, ϕ)入射，基于声散射理论，圆环阵第m号传感器接收到的声压：

$ p_{m}(\theta, \phi)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} ka \sin \theta \cos \left(\phi-\phi_{m}\right)} $

(1)

式(1)可展开为：

$ p_{m}(\theta, \phi)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} b_{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\left(\phi-\phi_{m}\right)} $

(2)

式中：ϕ_m=mβ, β=2π/M, b_n=iⁿJ_n(kr_m)；r_m是m号阵元到圆心间距；J_n是第n阶柱形Bessel函数。

当圆环阵位于无限长刚性圆柱表面时有：

$ b_{n}=i^{n}\left[\mathrm{~J}_{n}\left(k r_{m}\right)-\frac{\mathrm{J}_{n}^{\prime}(k a)}{\mathrm{H}_{n}^{(1)^{\prime}}(k a)} \mathrm{H}_{n}^{(1)}\left(k r_{m}\right)\right] $

(3)

波束响应是指波束形成器对某方位入射单位功率平面波信号的响应，表达式为^[14]：

$ \begin{array}{c} B(\theta, \phi)=\boldsymbol{w}^{\mathrm{H}}\left(\theta_{0}, \phi_{0}\right) \boldsymbol{P}(\theta, \phi)=\\ \boldsymbol{\omega}^{H}\left(\theta_{0}, \phi_{0}\right) \boldsymbol{E}(\theta, \phi) \end{array} $

(4)

式中：w(θ, ϕ)是阵元域权值向量; E是变换后的新阵列流形向量且E=CP，ω(θ, ϕ)是变换后的新权值向量，有：

$ \boldsymbol{w}=\boldsymbol{C}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{\omega}, $

式中：

$ \begin{gathered} \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{lllll} \boldsymbol{v}_{0} & \cdots & \boldsymbol{v}_{m} & \cdots & \boldsymbol{v}_{M-1} \end{array}\right]^{\mathrm{H}} \\ \boldsymbol{v}_{m}=M^{-1 / 2}\left[\begin{array}{llll} 1 & \mathrm{e}^{\mathrm{i} m \beta} & \cdots & \mathrm{e}^{\mathrm{i}(M-1) m \beta} \end{array}\right]^{\mathrm{T}} \end{gathered} $

指向性因子(DF)可用来描述阵列对空间各向同性均匀噪声的抑制能力，可表示为：

$ \mathrm{DF}=\frac{\left|\boldsymbol{w}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{P}\left(\theta_{0}, \phi_{0}\right)\right|}{\boldsymbol{w}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{R} \boldsymbol{w}}=\frac{\left|\boldsymbol{\omega}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{E}\left(\theta_{0}, \phi_{0}\right)\right|}{\boldsymbol{\omega}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{\varLambda} \boldsymbol{\omega}} $

(5)

且指向性指数DI=10lg(DF)，其中R是二维各向同性均匀噪声场的归一化噪声互谱矩阵，其元素为：

$ \rho_{m m^{\prime}} =\mathrm{J}_{0}\left(2 {\rm{ \mathsf{ π} }} d_{m m^{\prime}} / \lambda\right) $

(6)

$ \boldsymbol{\varLambda}=\boldsymbol{C} \boldsymbol{R} \boldsymbol{C}^{\mathrm{H}} =\operatorname{diag}\left(\lambda_{0}, \lambda_{1}, \cdots \lambda_{M-1}\right) $

(7)

式中：$\lambda_{m}=\sum\limits_{s=0}^{M-1} \rho_{s} \mathrm{e}^{\mathrm{i} s m \beta}$是归一化噪声互谱矩阵R的特征值。

白噪声增益(WNG)可以用来衡量波束形成方法的稳健性，其定义为：

$ \mathrm{WNG}=\|\boldsymbol{w}\|^{-2}=\|\boldsymbol{\omega}\|^{-2} $

(8)

2 合成波束权值向量

在二维各向同性均匀噪声场时，仅考虑水平范围内的性能水平，俯仰角为90°，此时期望波束可以表示为：

$ B_{d}(\phi)=\sum\limits_{n=-N}^{N} a_{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\left(\phi-\phi_{0}\right)}=\boldsymbol{a}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{P}_{d} $

(9)

式中：

$ \begin{aligned} \boldsymbol{P}_{d}=&\left[\begin{array}{lllll} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} N\left(\phi-\phi_{0}\right)} & \cdots & 1 & \cdots & \mathrm{e}^{\mathrm{i} N\left(\phi-\phi_{0}\right)} \end{array}\right]^{\mathrm{T}} \\ &\boldsymbol{a}=\left[\begin{array}{lllll} a_{-N} & \cdots & a_{0} & \cdots & a_{N} \end{array}\right]^{\mathrm{T}} \end{aligned} $

N是选取的最大阶数，为正整数。

通过最小化合成波束与期望波束之间的均方误差，可推导获得合成波束所需权值向量元素，合理选取最大阶数N，当N < M/2时，有^[14]：

$ \omega_{m}= \begin{cases}\sqrt{M} \lambda_{m}^{-1} a_{-m} b_{-m} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} m \phi_{0}}, & m<M / 2 \\ \sqrt{M} \lambda_{m}^{-1} a_{M-m} b_{M-m} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(M-m) \phi_{0}}, & m>M / 2\end{cases} $

(10)

不显示的值取零。

3 弹性双层介质圆柱声场模型

在实际应用中，圆环阵经常安装在金属制球体或柱体表面。在空气中时，障板刚性假设容易满足(金属的声特性阻抗一般远大于空气特性阻抗)，然而在水下，刚性假设很难成立。而且当传感器固定在障板外时，其位置很容易发生改变，因此可考虑如图 2所示的弹性柱形障板结构。

该弹性柱体由内外2个覆盖层组成。外层材料是粘弹性的，一般是橡胶之类，可以固定传感器；内层材料是弹性的，一般是金属质地；内腔中介质为空气。此时对于传感器距圆心的距离大小近似等于圆柱的外径长度R_c。

考虑平面波入射在图 2所示的双层介质圆柱体上的情况。圆柱体垂直放置在圆柱坐标系的原点，整体没入水中，用ρ和c分别表示水的密度和水中的声速。半径为R_c的外覆盖层由密度为ρ_c的粘弹性材料制成，其弹性和粘性Lamé常数分别为λ_e2、μ_e2、λ_v2、μ_v2。圆柱框架由半径为R_b密度为ρ_b弹性Lamé常数为λ_e3、μ_e3的弹性材料制成。半径为R_a的圆筒内腔充满了密度为ρ_air和声速为c_air的空气。

由弹性体散射的相关理论可得，柱体表面圆环阵的第m号阵元接收到的平面波信号仍如式(2)所示，此时的b_n表达式发生了改变，有^[15]：

$ b_{n}=\mathrm{J}_{n}\left(k r_{m}\right)+F_{n, 1} \mathrm{H}_{n}^{(1)}\left(k r_{m}\right) $

(11)

式(11)中F_{n, 1}是向量的第1个元素：

$ \boldsymbol{F}=\left[\begin{array}{llll} F_{n, 1} & F_{n, 2} & \cdots & F_{n, 10} \end{array}\right]^{\mathrm{T}} $

(12)

且有：

$ \boldsymbol{G} \boldsymbol{F}=\boldsymbol{A} $

(13)

式中G和A的元素由文献[15]给出

声场中任意点位置散射声压为：

$ p(\theta, \phi)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n\left(\phi_{0}-\phi\right)} $

(14)

此时该点位置有(θ, ϕ)，入射平面波方位角为ϕ₀。刚性圆柱有c_n=-(J′_n(ka)/H_n^(1)′(ka)) H_n⁽¹⁾(kr)，弹性柱体有c_n=F_{n, 1}H_n⁽¹⁾(kr)。a为圆柱障板半径，r为任意点到圆心的距离，对于弹性圆柱有半径等于外覆盖层的半径，即a=R_c。

弹性圆柱参数如表 2所示，材质选取为不锈钢，有：R_c=0.5 m, R_b=0.40 m, R_a=0.35 m。

圆柱障板周围散射声场如图 3所示。圆柱半径有a=0.5 m，4幅图分别表示不同障板和频率条件下的散射声场，图(a)、(b)为ka=2时，刚性圆柱和弹性圆柱周围散射场，图(c)、(d)为ka=4时，刚性圆柱和弹性圆柱周围散射场。由图 3(a)和(b)可得，低频时，刚性障板和弹性障板周围散射场大致相同。由图 4(c)和(d)可得，在高频时，刚性障板和弹性障板周围散射场是有着出入的，水下双层弹性圆柱不能近似看作是刚性的。

4 不同圆柱障板表面圆环阵频率不变响应波束形成性能分析

以12元均匀圆环阵为例进行仿真，考虑声透明、刚性圆柱和弹性圆柱障板3种情况。

期望权值向量和期望波束如表 1和图 4所示。

对于圆柱障板表面圆环阵，归一化噪声互谱矩阵的元素为^[12]：

$ \rho_{m m^{\prime}}=\rho_{s}=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\left|b_{n}\right|^{2} \cos (n s \beta) $

(15)

本文仿真所研究的弹性双层圆柱界面材料参数如表 2所示，界面尺寸半径与第3小节弹性圆柱相同，且材质为不锈钢。由式(10)可得声透明圆柱、刚性圆柱和弹性圆柱表面圆环阵合成波束权值向量，进而获得宽带合成波束，如图 5、6、7所示。

由图 5~8和图 9可知，不同圆柱障板表面圆环阵所得到的波束均有较好的频率不变性。由图 8可知，频率越低，稳健性越差，而声透明圆环阵在较高频率范围内，白噪声增益具有很多零点，当刚性圆柱障板或者弹性圆柱障板存在时可以解决零点存在问题。相较声透明圆环阵，弹性双层障板与刚性障板在给定频率范围内均可提升稳健性。

5 弹性圆柱内覆盖层不同材质时频率不变响应波束形成性能分析

本文仿真研究的弹性双层圆柱界面材料参数如表 2所示，选取不锈钢，铝合金和钛合金作为内覆盖层的材料，进行频率不变响应波束形成，并观察分析性能变化。此时频率不变响应波束形成方法的指向性指数在频率范围内均稳定在7.2dB左右。

白噪声增益，指向性指数随频率变化如图 10所示。界面尺寸为：

$ R_{a}=0.25 \mathrm{~m}, R_{b}=0.35 \mathrm{~m}, R_{c}=0.50 \mathrm{~m} $

由图 10(a)可得，当内覆盖层材质为铝合金时，白噪声增益的极小值最小，下降趋势最快，钛合金其次，相比之下材质为不锈钢时，白噪声增益随频率变化相对更稳定。且白噪声增益极小值点频率向更高的频率偏移。内覆盖层材质选取为不锈钢时，可以获得略好的白噪声增益，更贴近刚性障板情况下的白噪声增益。由图 10(b)可知，当材质不同时，频率不变响应波束形成方法在给定频率内保持着良好的频率不变性，指向性指数稳定在7.2 dB。

6 弹性圆柱覆盖层不同厚度时频率不变响应波束形成性能分析

本节弹性双层圆柱障板外覆盖层半径有R_c=0.5 m，改变内覆盖层半径R_b和内腔半径R_a，材料参数如表 2所示。分析外覆盖层和内覆盖层厚度对频率不变响应波束形成方法性能的影响。内覆盖层材质选取为不锈钢，外覆盖层材质为橡胶。

只改变内覆盖层半径R_b，此时内腔和外径有R_a=0.3 m, R_c=0.5 m，此时弹性圆柱中不锈钢和橡胶的厚度在发生变化，白噪声增益变化如图 11(a)所示。随着不锈钢层厚度的增加和橡胶层厚度的减小，白噪声增益在频率范围的极小值点向更高的频率偏移，且白噪声增益幅度变化越来越大。在低频段，白噪声增益与刚性圆柱的基本相同，表明在低频段，弹性圆柱材料参数的改变对频率不变响应波束方法稳健性影响较小。内腔大小确定时，橡胶厚度越大，稳健性越好。由图 11(b)可知改变弹性圆柱的内外覆盖层厚度大小，频率不变响应波束形成方法都有很好的频率不变性。

只改变内腔半径R_a，弹性圆柱的不锈钢层厚度发生变化，此时R_b=0.42 m, R_c=0.50 m，橡胶厚度固定为0.08 m。白噪声增益如图 12(a)所示。当不锈钢层厚度逐渐增加时，白噪声增益的变化趋势逐渐平缓，高频处极小值点向高频偏移且数值变大。当不锈钢层厚度越小时，在极小值点频率向右偏移，白噪声增益变化幅度越大，入射波频率对频率不变响应波束形成方法稳健性影响越大。当橡胶厚度固定时，不锈钢厚度的适当增加可以使适用频率范围内的白噪声增益更加稳定。由图 12(b)可知改变弹性圆柱的内腔和内覆盖层厚度大小，频率不变响应波束形成方法都有着很好的频率不变性。

维持不锈钢层厚度为0.1 m，改变内腔半径R_a值，R_b=R_a+0.1 m, R_c=0.5 m，白噪声增益随频率变化如图 13(a)所示。由图 13(a)可知，当不锈钢厚度固定时，橡胶越薄，使得白噪声增益在频率范围内的极小值越小，白噪声增益对频率的变化越敏感，在一定频率范围内使得频率不变响应波束方法稳健性变差。由图 13(b)可得，改变弹性圆柱的外覆盖层和内腔尺寸大小，频率不变响应波束形成方法都有很好的频率不变性。

从本节白噪声增益随频率变化的3幅图中，可以看到刚性障板条件下和弹性圆柱障板条件下的白噪声增益在一定频率范围内是相吻合的。整体上刚性障板可以看作是理想情况下的弹性障板条件，但实际在较高频，弹性圆柱障板的白噪声增益受圆柱参数影响较大，很难达到刚性障板时的白噪声增益，因此研究分析弹性障板条件下传感器阵列频率不变响应波束形成方法的性能是有意义的。

7 结论

1) 在给定频率范围内，弹性双层障板与刚性障板均可保证频率不变响应波束形成方法良好的频率不变性，且弹性双层障板覆盖层总的尺寸固定时厚度和材料的改变对频率不变性影响不大。且整体上刚性障板可以看作是理想的弹性障板条件，但在水下弹性圆柱障板很难达成刚性假设下的性能。

2) 在较低频率范围内，弹性双层障板与刚性障板均可改善频率不变响应波束形成方法的稳健性，且弹性双层障板的参数对性能的影响可以忽略，此时信号频率越高，圆环阵频率不变响应波束方法稳健性越好，且白噪声增益随频率增加迅速提升。

3) 在较窄的高频范围内，不锈钢层和橡胶层的加厚，均有利于改善频率不变响应波束形成方法的整体稳健性，减小了白噪声增益极小值和该点频率左右变化幅度。当不锈钢层和橡胶层总的厚度确定时，此时橡胶层的加厚更能提升频率不变响应波束形成方法的稳健性，减小白噪声增益极小值和该点频率左右变化幅度。

总之，当使用本文中尺寸确定的弹性障板表面传感器阵列时，在允许的范围内，内腔应尽可能小，橡胶层应尽可能厚，不锈钢层厚度应尽可能薄，但其强度需足以支撑和固定整体框架。