张拉整体结构是一种由索和杆组成的空间结构，其索构件相互连接形成索网，杆构件由内部支撑形成预期的空间形状。其以拉力构件为主的设计思路，一改传统的设计思想，构建出的结构具有许多传统结构不具备的特性。在航天领域，研究人员主要研究把张拉整体结构转化为桁架式空间可展结构^[1-2]。

桁架式空间可展结构是一种可由折叠状态自动展开，形成预期桁架结构的机构。近年来，许多机构和研究人员都对桁架式空间可展结构进行了研究探索。美国已研制出多种桁架式空间可展结构，例如AstroMesh类网状天线，这些结构都已经应用于实际。梁笑天^[3]针对一种桁架类空间可展结构，推导了用于该结构控制中的结构响应灵敏度线性控制理论计算公式。郭王策^[4]针对桁架变形引起网面张力均匀性和形面精度恶化的问题，提出一种考虑桁架变形的天线形态设计优化方法，改善网面张力均匀性及形面精度。日本宇宙航空研究开发机构^[5]研制了一种用于通信服务的构架式天线，该天线反射面为口径19 m×17 m的椭圆形收拢后直径为4 m，天线形面精度、收纳率和刚度都较高。

随着天线口径增大，环形桁架天线在展开过程中会呈现柔性构件的大范围运动和大变形相互耦合，这极易引起整个系统的振动。构件运动副中的间隙和摩擦等因素也会造成展开过程的不同步现象以及运动副的意外卡死或滑动。

星型张拉整体结构实现结构折展所需的驱动构件少，具有构件运动耦合度高和不存在传统运动副的特点，本文将研究将其转化为空间可展结构的方法，并利用运动分析和仿真研究对所提出的展开方案的正确性进行验证。基于刚度矩阵，分析外载荷对此结构折展运动的影响。

1 星型张拉整体结构

三杆星型张拉整体结构如图 1所示，它包括1根中心杆、6条径向索、3条斜索以及3根周向分布的杆构件。此结构具有较好的结构对称性，同类构件的长度和受力都相同。图 1中，H是结构高度，h是中心杆端点到对应端面距离，上下端面圆周半径为r_u和r_d。同一个杆两端点在同一底面的投影与底面形心连线所夹的角，这里称为扭转角φ，它也是2个端面的相位角。

径向索总会有一个端点连于中心构件的端部。当中心构件的长度变化时，可通过径向索带动其他构件运动，从而实现整体结构外廓尺寸的变化。为了适应整体结构改变对构件长度变化的要求，这里用弹簧代替3根斜索。这样，此三杆星型张拉整体结构就转化为可展结构，其可以通过中心杆的伸缩实现整体结构的折展。

2 三杆星型张拉整体结构的数学建模 2.1 节点坐标

如图 1所示，下端面节点坐标求取公式为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{n}}_i} = {{\left[ {{r_d}\cos \frac{{2{\rm{ \mathit{ π} }}(i - 1)}}{3}\quad {r_d}\sin \frac{{2{\rm{ \mathit{ π} }}(i - 1)}}{3}0} \right]}^{\rm{T}}}, }\\ {i = 1, 2, 3} \end{array} $

扭转角可表示为^[1]：

$ \varphi = \frac{{\rm{ \mathit{ π} }}}{3}j + \arccos \frac{{h{r_d}\cos \left( {\frac{{\rm{ \mathit{ π} }}}{3}j} \right)}}{{{r_u}(h + H)}} $

式中j取值1或2。

上端面节点坐标可写为：

$ {\mathit{\boldsymbol{n}}_i} = {\left[ {{r_u}\cos \left( {\frac{{2{\rm{ \mathit{ π} }}(i - 4)}}{3} + \varphi } \right)\quad {r_u}\sin \left( {\frac{{2{\rm{ \mathit{ π} }}(i - 4)}}{3} + \varphi } \right)\quad H} \right]^{\rm{T}}}, i = 4, 5, 6 $

中心杆的端点n₇坐标可写为:

$ {\mathit{\boldsymbol{n}}_7} = {[0\quad 0\quad - h]^{\rm{T}}} $

另一个端点n₈坐标可表示为:

$ {\mathit{\boldsymbol{n}}_8} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 0&0&{H + h} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $

把以上节点坐标组合，即可形成整个结构的节点矩阵：

$ \mathit{\boldsymbol{N}} = [{n_1}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {n_2}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {n_3}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {n_4}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {n_5}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {n_6}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {n_7}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {n_8}] $

2.2 构件矢量

图 1所示结构中，杆构件和节点的连接关系如表 1所示。

杆构件矩阵可写为：

$ {\mathit{\boldsymbol{B}}_{3 \times 4}} = [{b_1}\quad {b_2}\quad {b_3}\quad {b_4}] = {\mathit{\boldsymbol{N}}_{3 \times 8}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{C}}_{B8 \times 4}} $

式中：b_i(i=1, 2, 3, 4)是第i根杆构件的矢量；C_B是杆连接矩阵为：

$ \boldsymbol{C}_{B}=\left[\begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $

同理，索构件矩阵可表示为：

$ \boldsymbol{S}_{3 \times 9}=\left[\begin{array}{lllllllll} s_{1} & s_{2} & s_{3} & s_{4} & s_{5} & s_{6} & s_{7} & s_{8} & s_{9} \end{array}\right]=\boldsymbol{N}_{3 \times 8} \cdot \boldsymbol{C}_{S 8 \times 9} $

式中：S_l(l=1，2，…，9)是第l根索的矢量；C_S是索连接矩阵。

3 折展过程运动分析 3.1 初始位置

图 2(a)是三杆星型张拉结构模型图，其中，中心杆l_z长度等于结构高度H₀，即h=0，φ=150°，r_d=r_u=r。图 2(b)为该结构的实物图, 设图 2所示的状态为此星型可展结构的运动初始状态。

此时上下端面径向索长度为:

$ {l_J} = r $

杆长可表示为:

$ {l_B} = \sqrt {r_d^2 + r_u^2 + {H^2} - 2{r_u}{r_d}\cos \varphi } $

(1)

斜索长度可表示为:

$ {l_x} = \sqrt {{H^2} + r_d^2 + r_u^2 - 2{r_u}{r_d}\cos \left( {\varphi + \frac{{4{\rm{ \mathit{ π} }}}}{3}} \right)} $

(2)

3.2 中心构件长度与其他参数关系

在星型结构折展过程中，径向索长和杆长保持不变。设替代斜索的弹簧刚度为K₁。当中心构件伸长时，中心构件长变为l_z=H₀+2h₁(2h₁为中心构件伸长量)，此时中心杆节点到端面的高度差h=(l_z-H)/2(如图 1所示)，此时结构端面半径为:

$ {\rm{ }}r = \sqrt {l_J^2 - {{\left( {\frac{{{l_z} - H}}{2}} \right)}^2}} $

(3)

杆长l_B为:

$ {l_B} = {\left\{ {2\left[ {l_J^2 - {{\left( {\frac{{{l_Z} - H}}{2}} \right)}^2}} \right] + {H^2} - 2\left[ {l_J^2 - {{\left( {\frac{{{l_Z} - H}}{2}} \right)}^2}} \right]\cos \varphi } \right\}^{1/2}} $

(4)

斜索长l_x可写为:

$ {l_x} = {\left\{ {{H^2} + 2\left[ {l_J^2 - {{\left( {\frac{{{l_z} - H}}{2}} \right)}^2}} \right] - 2\left[ {l_J^2 - {{\left( {\frac{{{l_z} - H}}{2}} \right)}^2}} \right]\cos \left( {\varphi + \frac{{4{\rm{ \mathit{ π} }}}}{3}} \right)} \right\}^{1/2}} $

(5)

结构高度H可表示为:

$ H = {\left\{ {l_B^2 - 2\left[ {l_J^2 - {{\left( {\frac{{{l_z} - H}}{2}} \right)}^2}} \right] + 2\left[ {l_J^2 - {{\left( {\frac{{{l_z} - H}}{2}} \right)}^2}} \right]\cos \varphi } \right\}^{1/2}} $

(6)

扭转角变为:

$ \varphi = \frac{{\rm{ \mathit{ π} }}}{3}j + \arccos \frac{{\left( {\frac{{{l_z} - H}}{2}} \right){r_d}\cos \left( {\frac{{\rm{ \mathit{ π} }}}{3}j} \right)}}{{{r_u}\left( {\frac{{{l_z} - H}}{2} + H} \right)}} $

此时下端面节点坐标可写为:

$ {\mathit{\boldsymbol{n}}_i} = {\left[ {\sqrt {l_J^2 - {{\left( {\frac{{{l_z} - H}}{2}} \right)}^2}} \cos \frac{{2{\rm{ \mathit{ π} }}(i - 1)}}{3}\quad \sqrt {l_J^2 - {{\left( {\frac{{{l_z} - H}}{2}} \right)}^2}} \sin \frac{{2{\rm{ \mathit{ π} }}(i - 1)}}{3}\quad 0} \right]^{\rm{T}}} $

式中i=1, 2, 3。

上端面节点坐标可表示为:

$ {\mathit{\boldsymbol{n}}_i} = {\left[ {\sqrt {l_J^2 - {{\left( {\frac{{{l_z} - H}}{2}} \right)}^2}} \cos \left( {\frac{{2{\rm{ \mathit{ π} }}(i - 4)}}{3} + \varphi } \right)\quad \sqrt {l_J^2 - {{\left( {\frac{{{l_z} - H}}{2}} \right)}^2}} \sin \left( {\frac{{2{\rm{ \mathit{ π} }}(i - 4)}}{3} + \varphi } \right)\quad H} \right]^{\rm{T}}} $

式中i=4, 5, 6, 节点n₇和n₈坐标不变。

由式(1)~(6)可知，初始状态的高度H₀和r给定，星型可展结构的初始状态即确定，其他结构参数也可以确定。中心构件的伸长量给定，此结构变形后的其他结构参数也能够相应确定，变形后的构型也随之确定。

3.3 星型张拉整体可展结构运动分析思路

此星型张拉整体可展结构的折展过程分析流程如下:

1) 给定r、H₀、φ，确定初始状态的N、B、S，以及构件长度l_J、l_B、l_x。

2) 令中心杆长度l_z=H₀+2h₁，计算r、h、l_J、l_B、l_x并求得相应的N、B、S。

3) 重复步骤2)，进行迭代，至r为0时结束。

3.4 数值分析和仿真验证

令此结构初始的端面半径r=100 mm，H₀=200 mm，扭转角φ=150°，代替斜索的弹簧刚度为K₁=1 N/mm。根据3.3节所述的折展分析思路，得到机构折叠过程中中心构件长度和斜索长度的关系曲线(如图 3所示)。由图可知，随着中心构件长度的增加，斜索的长度也增大。当中心构件长度增大到最大值478.1 mm时，端面半径r减小到0，斜索的长度也增大到最大值278.1 mm，此时斜索的长度和杆的长度相同。而中心构件和斜索的长度差值的一半正好为100 mm，等于径向索长l_J。

在仿真软件中建立此星型张拉整体结构的仿真模型。图 4显示了三杆星型结构折叠过程中，随着中心构件的伸长，星型结构形状的变化。由图 4可知，此机构在中心构件的驱动下能够实现折展，从而证明了此折展方案是正确的。

在此折叠过程中，中心杆长l_z和斜索长l_x的变化曲线如图 5所示, 从初始状态到完全折叠，斜索伸长了71.5 mm，最后l_x达到278.1 mm，等于杆长l_B。

由图 5中l_z的变化曲线可知，中心杆长由200 mm伸长至477.6 mm，与理论分析获得的中心杆最大长度为478.1 mm，两者间有0.5 mm的误差，这是由于仿真分析需要考虑杆构件的截面尺寸造成的，由此验证模型仿真与理论计算的一致性，证明3.3节中的折展思路是正确的。

4 外载荷对折叠过程的影响 4.1 理论分析

单个构件的弹性刚度矩阵可表示为：

$ {\mathit{\boldsymbol{E}}_i} = \mathit{\boldsymbol{T}}_i^{\rm{T}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{e}}_i} \cdot {\mathit{\boldsymbol{T}}_i} $

式中：e_i是构件i在其局部坐标里的弹性刚度矩阵，此刚度矩阵为6×6矩阵；T_i为构件i对应的协调矩阵，它将把e_i扩展成与整个结构广义坐标对应的形式。所有构件的弹性刚度矩阵相加，即可得到整个结构的弹性刚度矩阵：

$ \mathit{\boldsymbol{E}} = \sum\limits_{i = 1}^{13} {{\mathit{\boldsymbol{E}}_i}} $

单个构件的几何刚度矩阵可表示为:

$ {\mathit{\boldsymbol{G}}_i} = \mathit{\boldsymbol{T}}_i^{\rm{T}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{g}}_i} \cdot {\mathit{\boldsymbol{T}}_i} $

式中：g_i是构件i在其局部坐标里的几何刚度矩阵，此刚度矩阵同样为6×6矩阵，由T_i把g_i扩展成与整个结构广义坐标对应的形式。所有构件的几何刚度矩阵相加，即可得到整个结构的几何刚度矩阵：

$ \mathit{\boldsymbol{G}} = \sum\limits_{i = 1}^{13} {{\mathit{\boldsymbol{G}}_i}} $

此结构整体的刚度矩阵可表示为：

$ \mathit{\boldsymbol{K}} = \mathit{\boldsymbol{E}} + \mathit{\boldsymbol{G}} $

式中：E为弹性刚度矩阵；G为几何刚度矩阵。

结构的受力变形可表示为：

$ \Delta \mathit{\boldsymbol{\delta }} = {\mathit{\boldsymbol{K}}^{ - 1}} \cdot \mathit{\boldsymbol{F}} $

式中：Δδ节点位移量；F为作用于结构所有节点的外力向量。

4.2 考虑外载荷的星型张拉整体可展结构折展思路

设杆的横截面积A_B=2×10^-5 m²，索的横截面积A_s=0.08×10^-5 m²，杆的密度P_B=1 500 kg/m³，索的密度P_s=1 100 kg/m³，杆的弹性模量为E_B=2.66×10¹¹ Pa，索的弹性模量为E_s=1.33×10¹¹ Pa，弹簧刚度K₁=1 N/mm。在考虑外载荷的情况下，所修正的结构折展步骤如下：

1) 给定r、H、φ，确定初始状态的N、B、S，得到构件长度l_J、l_B、l_x。

2) 根据N、B、S创建刚度矩阵K，将杆索构件的重力及所受外载荷分担在构件连接的节点上，即对节点施加作用，求得节点位移δ，对N进行修正，得到N′和中心杆位移为Δh。

3) 令中心杆长度l_z=H₀+2h₁ mm，计算r、h、l_J、l_B、l_x并求得相应的N、B、S。

4) 创建星型结构变形后刚度矩阵K，求得节点位移δ，对N进行修正，得到N′。

5) 重复步骤3)、步骤4)，进行迭代，至r为0时结束。

4.3 数值仿真分析

1) 轴向载荷。

分别在上端面节点n₄、n₅、n₆、n₈上施加与重力方向、大小相同的轴向力，并且下端面节点n₁、n₂、n₃的z坐标保持不变，机构折叠过程中上下端面半径r_u和r_d的变化曲线如图 6所示。

由图可知，中心杆在伸长至460 mm之前，上下端面半径变化曲线处于明显的分离状态，也就意味着上下端面运动不同步。但是中心杆长度超过460 mm之后，随着中心构件的继续伸长，上下端面半径的变化曲线开始重合，即在折叠的后半段，上下端面运动同步。而且外力越大，这种上下端面不同步现象越为明显，但是无论外力多大，折叠的后半段，两者都会同步。当外力增大至4 N时，虽然端面半径曲线分离程度较大，但2条曲线仍然连续变化。当外力增大至5 N时，下端面半径的变化曲线已经开始出现波动。外力增大至6 N时，两条端面曲线不仅严重分离，而且均出现明显的波动。这说明外载荷越大，运动的前半段不同步现象越严重，而且整体也会发生振动。

2) 径向载荷。

除中心构件两端节点外的其他6个节点上施加径向载荷F=1 N，在机构折叠过程中上下端面半径变化曲线如图 7所示。由图可知，径向载荷会使机构在折叠过程中出现端面收缩不同步现象，而且这一不同步现象存在于机构的整个运动过程中。在运动完成时，下端面先完成折叠。随着径向载荷的增大，上下端面半径完成折叠所需的时间差会加大。

5 结论

1) 中心杆能够驱动的星型张拉整体结构实现折展。

2) 当此结构承受轴向载荷时，结构会出现运动不同步现象，这种不同步现象主要出现在运动的前半段，随着结构完成折叠，不同步现象逐渐减弱，上下端面同时完成折叠。

3) 结构承受径向载荷时，折叠过程中会一直存在不同步现象，而且下端面先完成折叠。载荷越大，不同步现象越严重。