海面作为海洋波导的上边界，对声传播有重要的影响^[1-3]，尤其是浅海有表面波导的情况。海面边界特性实际上也是水下声场计算所需要的一个关键性环境参数。没有风浪影响的平整海面，通常认为是一个绝对软的理想边界，对水下声波有良好的反射作用，几乎没有边界反射损失。但由于海面风浪的影响，海面经常是起伏不平整的，粗糙海面边界对入射声波既有反射也有散射作用，造成海面反射损失；同时风浪搅动形成的海面气泡混合层，对声波具有散射和吸收作用，还会改变原有的声速剖面结构，从不同程度上影响着海面反射损失。因此在高海况条件下，水下声场计算需要同时考虑风浪引起的粗糙海面和气泡混合层的影响，二者都不能忽视。随着研究方法和技术手段的进步，文献[4-5]研究风浪引起的粗糙海面对声传播的影响，但很少同时考虑风浪引起的气泡混合层因素的影响。考虑粗糙海面下的声场计算模型，一般采用修正的PE算法，Jones^[2]以Ramsurf模型为基准，比较了不同风速下的海面反射损失模型，文献[6-8]利用修正的PE算法研究了不同风速的起伏海面下浅海声场的波动特性。但是他们均没有考虑气泡层的影响。本文献[9]工作的基础上，考虑了气泡混合层引起的衰减系数对频率的依赖关系，给出了粗糙海面和气泡混合层对海面反射系数及海面反射损失的影响。

1 风浪引起的粗糙海面建模和气泡混合层建模 1.1 起伏海面建模

文献[10]给出了基于不同海浪谱利用蒙特卡洛方法对一维起伏海面进行建模的方法。本文采用PM谱^[11]，其功率谱S(k)为：

$ S(k) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_0}/4|k{|^3}{\rm{exp}}[ - \beta {g^2}/{k^2}{v_{19.5}}^4],}&{k \ne 0}\\ {0,}&{k = 0} \end{array}} \right. $

(1)

式中：a₀=8.1×10^－3；β=0.74；g是重力加速度；v_19.5为海面上方19.5 m高处的风速，m/s。图 1为不同风速下的PM谱一维起伏海面的仿真实现。

1.2 风浪引起的气泡混合层建模

本文采用Hall-Novarini (HN)气泡分布模型^[12]，文献[6]对该模型进行了修正。在Hall-Novarini(HN)气泡分布模型中，假设气泡半径a为10~1 000 μm。海面附近水层中，不同深度上、不同半径大小气泡数量的分布函数为：

$ n(a) = (1.6 \times {10^{10}})G(a,z){\left( {\frac{{{v_{10}}}}{{13}}} \right)^3} \times {\rm{exp}}\left[ { - \frac{z}{{L({v_{10}})}}} \right] $

(2)

式中：a为气泡半径，μm；z为深度，m；v₁₀为海面上方10 m处的风速，m/s；函数L(v)和G(a, z)分别为：

$ L(v) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0.4,}&{v \le 7.5{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{m/s}}}\\ {0.4 + 0.115(v - 7.5),}&{v > 7.5{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{m/s}}} \end{array}} \right. $

(3)

$ G(a,z) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{[{a_{{\rm{ref}}}}/a]}^4},}&{{a_{{\rm{min}}}} \le a \le {a_{{\rm{ref}}}}(z)}\\ {{{[{a_{{\rm{ref}}}}/a]}^{x(z)}},}&{{a_{{\rm{ref}}}}(z) < a \le {a_{{\rm{max}}}}} \end{array}} \right. $

(4)

G(a, z)中的参考半径a_ref(z)和x(z)均是深度的函数：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_{{\rm{ref}}}}(z) = 54.4 + 1.984 \times {{10}^{ - 6}}z}\\ {x(z) = 4.37 + {{(z/2.55)}^2}} \end{array}} \right. $

给定半径的气泡的总数量n(a)随深度的增加而减少，气泡的参考半径a_ref(z)随水深的增加而增加。不同风速下气泡层中气泡总数在深度h上的分布如图 2所示。气泡的总数量随深度的增加而减少；不同风速下，同一深度上的气泡总数随着风速的增加而增大。

1.2.1 气泡层对海面附近声速剖面分布的影响

修正后的含气泡的水中声速为^[6]：

$ \frac{{c_w^2}}{{c_m^2(z)}} = 1 + \frac{{{\rho _w}c_w^2}}{{{\kappa _0}(z)P(z)}}U(z) $

(5)

式中：c_w是不含气泡的水中声速; c_m是修正后的水中声速; κ₀(z)是与频率有关的多方指标^[9]，在频率小于4 kHz时，κ₀(z)可近似取1，P(z)是水中的绝对流体静力压强，U(z)为单位体积内气泡的总体积：

$ U(z) = \int_{{a_{{\rm{min}}}}}^{{a_{{\rm{max}}}}} V (a)n(a){\rm{d}}a $

(6)

文献[6]仅给出了风速为10 m/s时的U(z)表达式，本文改进不同风速下的U(z)为：

$ \begin{array}{*{20}{l}} {U(z) = 1.6 \times {{10}^{10}} \times {{\left( {\frac{{{v_{10}}}}{{13}}} \right)}^3} \times \exp \left( { - \frac{z}{L}} \right) \times }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{4}{3}\pi a_{{\rm{ref}}}^4(z)\left\{ {{\rm{ln}}\frac{{{a_{{\rm{ref}}}}(z)}}{{{a_{{\rm{min}}}}}} + \frac{{1 - {{[{a_{{\rm{ref}}}}(z)/{a_{{\rm{max}}}}]}^{x(z) - 4}}}}{{x(z) - 4}}} \right\}} \end{array} $

(7)

由式(5)和(7)即可计算出气泡层引起的声速剖面分布变化。图 3为不同风速情况下水中气泡层分布对声速剖面分布的改变，其中不含气泡的水中声速c_w为1 490 m/s(温度取10 ℃，盐度取35‰)，深度上均匀分布。不同风速引起了单位体积内气泡的总体积U(z)的改变，含气泡的水体压缩系数和密度都发生了改变^[12]，进而引起了声速剖面的改变。海表面风速分别为7、10、13 m/s时，海面附近0~10 m以内的水中声速有不同程度的改变；在风速为13 m/s时，海面表层水中声速的改变达到32 m/s左右。气泡层对背景声速剖面性质的改变，会显著影响到水下声波传播行为。

1.2.2 气泡层的声散射和吸收引起的水层声衰减系数变化

水中气泡对声能量具有散射和吸收的作用，引起声波能量的衰减。衰减系数的计算方法为^[7]：

$ {\alpha _b}(z) = 4.34\int_{{a_{{\rm{min}}}}}^{{a_{{\rm{max}}}}} {\frac{{4\pi {a^2}n(a)(\delta /ka)}}{{{{({Y^2} - 1)}^2} + {\delta ^2}}}} {\rm{d}}a $

(8)

式中：Y=f_r/f，f是声波频率，f_r是半径为a的气泡在水深为z处的共振频率；k是波数；δ是阻尼常数，它包含了气泡层的热效应、辐射效应和黏性效应。气泡分布函数由式(2)计算得到。图 4是频率为2 000 Hz时不同海表风速下风浪引起的气泡层的声波衰减系数计算结果。

如图 3和图 4所示，在海表面处，因为气泡的总数在海表面处最大，气泡层引起的声速剖面的改变和声波的衰减系数最大；随着深度增加，气泡层引起的声速剖面的改变和声波的衰减系数都减小，这是因为气泡的总数随着深度的增加而减小。

2 考虑粗糙海面和气泡混合层影响的声场计算模型

本文采用修正的可计算包含水中吸收的Ramsurf模型，建立一种能够同时考虑大风浪下起伏海面和气泡混合层影响的声传播计算方法。

数值仿真采用可考虑水平变化环境的声场模型Ramsurf。根据该模型声压场p(r, z)采用分裂步进的方式求解，其Padé近似展开可以表示为：

$ p(r + \Delta r,z) = {\rm{exp}}({\rm{i}}{k_0}\Delta r)\prod\limits_{j = 1}^n {\frac{{1 + {\alpha _{j,n}}X}}{{1 + {\beta _{j,n}}X}}} p(r,z) $

(9)

式中：k₀=ω/c₀，c₀为参考声速；α_{j, n}、β_{j, n}为n阶Padé近似展开系数；深度算子X表示为：

$ X = k_0^{ - 2}\left( {\rho \frac{\partial }{{\partial z}}\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{z} + {k^2} - k_0^2} \right) $

(10)

式中：ρ为密度；深度算子X在垂直方向使用Galerkin有限差分方法求解。对于起伏海面的处理，将z=0处的海面压力释放边界条件扩展到海面随距离的起伏高度。修正的Ramsurf模型考虑水中衰减系数的方法与处理海底衰减系数类似方法，即将声速变为复声速：

$ \frac{1}{{{{\bar c}_w}(z)}} = \frac{{(1 + {\rm{i}}\delta \kappa )}}{{{c_w}(z)}} $

(11)

式中：c_w为复声速；c_w为水中声速；δ=1.0/(40.0πlge); κ为气泡层引起的水中衰减系数，dB/λ，相比于气泡层引起的衰减系数，按照海水吸收系数的Thorp公式计算海水本身的固有衰减系数较小，因此可以忽略。

数值模拟海水深度为80 m，未考虑气泡层声速剖面修正的水中声速分布如图 5所示，包括风浪搅动形成的0~20 m的等温层以及这个等温层以下未受风浪搅动影响的负梯度层。经过式(5)修正的含气泡层的水中声速如图 3所示(气泡层只改变了0~10 m处的声速，10 m以下的声速未发生改变)，以此作为Ramsurf的声速剖面输入。一维PM谱起伏海面由Monte-carlo方法计算获取作为Ramsurf的海面参数输入；气泡层对声波的吸收衰减由式(8)计算得到，作为Ramsurf的水体吸收衰减参数输入，最后的声场计算结果是100次Monte-Carlo的平均。

图 6是频率为2 000 Hz时不同风速下的传播损失比较，风速分别为7、10和13 m/s，图 6分别是不同的声源深度和接收深度下的传播损失比较；以18 m表示等温层处近海面的深度，以65 m表示负跃层处远离海面的深度。

通过图 6可见，近海面等温层发射或近海面等温层接收的情况下(图 6(a)、(b)和(c))，起伏海面及气泡混合层对声传播的影响较大，不但改变了传播损失的大小，也改变了传播损失曲线的相干峰和相干谷的水平位置，这是因为起伏海面引起了海面反射系数的变化，而气泡层的折射效应也引起了入射声波的入射角的改变，因此，声场的幅度和相位都发生了改变。并且随着风速的增加，传播损失减小的更快；随着距离的增加，不同风速下的传播损失差别更大。而在负跃层处远离海面发射且远离海面接收的情况下(图 6(d))，传播损失的大小和相干位置基本没有随风速发生改变。这是因为在负跃层处远离海面发射且远离海面接收的情况下，声能量基本集中在负跃层传输，受起伏海面及气泡混合层的影响较小。

为了更清晰的展现起伏海面及气泡混合层对声场的影响，图 7给出了风速为10 m/s时100次Monte-Carlo方法下的声场相位直方图和传播损失TL值的直方图；图 7(a)和(b)分别是水平距离为10.5 km处SD=18 m, RD=18 m时的相位起伏直方图和TL值起伏直方图：中心相位为300°左右，相位在250°~360°波动，波动范围为110°；传播损失(transmissity losing, TL)中心值在69 dB左右，TL值在66~72 dB波动，波动范围为6 dB。图 7(c)和7(d)分别是水平距离为10.5 km处SD=65 m, RD为65 m时的相位起伏直方图和TL值起伏直方图：中心相位为255°左右，相位在246°~262°波动, 波动范围为16°；TL中心值在63 dB左右，TL值在62~64 dB波动，波动范围是2 dB。可见在等温层处近海面发射和接收时；声场受到起伏海面和气泡混合层的影响较大，声场相位和传播损失值的波动较大，而在负跃层处远离海面发射和接收时，声场相位和传播损失的波动值较小。

3 考虑粗糙海面和气泡混合层影响的海面反射损失建模

本文基于微扰法推导了PM谱下适用于小掠射角入射的海面反射系数，并在此基础上分析了气泡混合层对海面反射损失的影响。

3.1 粗糙海面的反射系数求解

首先基于微扰法推导了PM谱下适用于小掠射角入射的海面反射系数计算方法，该计算方法相对简单。根据文献[13]中公式(9.6.6)给出了海面平均相干反射系数表达式，将粗糙海面波谱G(u)与频谱s(ω)的关系代入到公式(9.6.6)，得到：

$ |{V_c}| = 1 - 4\pi \sqrt 2 {k^{3/2}}{\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\theta _0}E({\varphi _0})\int_0^\infty s (\omega )\omega {\rm{d}}\omega $

(12)

式中：u为波数；ω为表面波的频率。对于各项同性波谱：

$ {K(u,\alpha ) = {{(2\pi )}^{ - 1}}} $

(13)

$ {E = \varGamma (3/4){{[2\sqrt \pi \varGamma (5/4)]}^{ - 1}} = 0.381{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 4} $

(14)

式中Γ是伽马函数。将PM谱海面的频谱表达式：

$ s(\omega ) = {a_0}{g^2}/{\omega ^5}{\rm{exp}}[ - \beta {g^4}/{(\omega {v_{19.5}})^4}] $

(15)

代入到式(12)，得到海面反射系数为：

$ R| = 1 - \frac{{8E\varGamma (3/4)}}{{{\beta ^{3/4}}}}\frac{{{a_0}}}{{{g^{3/2}}}}{\left( {\frac{\pi }{{{c_w}}}} \right)^{3/2}}{f^{3/2}}v_{19.5}^3{\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\theta _0} $

(16)

$ E = \varGamma \left( {\frac{3}{4}} \right){\left[ {2\sqrt \pi \varGamma \left( {\frac{5}{4}} \right)} \right]^{ - 1}} = 0.381{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 4 $

(17)

式中：f为声波的频率；θ₀为声波的入射角。

3.2 气泡混合层的反射系数求解

考虑粗糙海面和气泡层对海面反射损失的影响时，由于气泡层对声波的折射效应和消减效应随水深而变化，因此将气泡层划分为垂直方向上的多层结构，这里需要用到一种求解多层结构反射系数的递归方法。

如图 8所示，考虑1个m层系统，它包括最底层的半空间1和最顶层的半空间m，以及中间的m-2个隔层，这里最顶层的半空间m的下界面就是起伏海面，根据文献[14]中可推导最上面3层的反射系数为：

$ {R_{(m - 2)m}} = \frac{{{R_{(m - 2)(m - 1)}} + {R_{(m - 1)m}}{\rm{exp}}(2{\rm{i}}{\phi _{m - 1}})}}{{1 + {R_{(m - 2)(m - 1)}}{R_{(m - 1)m}}{\rm{exp}}(2{\rm{i}}{\phi _{m - 1}})}} $

(18)

计算出R_(m－2)m，下移一层至m-3层，计算下一个反射系数，即：

$ {R_{(m - 3)m}} = \frac{{{R_{(m - 3)(m - 2)}} + {R_{(m - 2)m}}{\rm{exp}}(2{\rm{i}}{\phi _{m - 2}})}}{{1 + {R_{(m - 3)(m - 2)}}{R_{(m - 2)m}}{\rm{exp}}(2{\rm{i}}{\phi _{m - 2}})}} $

(19)

由此递归算法，最后可求得总的反射系数为：

$ {V_c} = {R_{1m}} = \frac{{{R_{12}} + {R_{2m}}{\rm{exp}}(2{\rm{i}}{\phi _2})}}{{1 + {R_{12}}{R_{2m}}{\rm{exp}}(2{\rm{i}}{\phi _2})}} $

(20)

式中ϕ_j≡k_jh_jsin θ_j是声场穿过厚度为h_j的薄层的路径产生的与角度有关的垂直相移。其中k_j是第j层的波数；h_j是第j层的厚度；θ_j是第j层的入射波的掠射角。式(15)中的R_(m－1)m就是基于粗糙海面谱计算的平均海面反射系数。

考虑小掠射角入射的声波，风速为10 m/s，水中声速为1 490 m/s，图 9是以－ln|V_c|计算的海面反射损失, 其中图 9(a)是由式(13)计算。图 9(b)在图 9(a)的基础上加入了气泡层对声波的吸收和散射作用，气泡层引起的声波衰减系数如图 4中绿色虚线所示；图 9(c)在图 9(a)的基础上加入了气泡层对声波的折射效应，气泡层引起的声速剖面的变化如图 3中所示，将海表以下0~10 m的水体分为100层，利用上述递归方法逐层计算，最顶层的反射系数是由式(13)计算得到；图 9(d)是在图 9(a)的基础上全面考虑了气泡层对声波的折射作用和吸收及散射作用。

从图 9中可见，小掠射角下，在频率大于2 000~2 500 Hz时，气泡混合层对海面反射损失的影响已非常显著，因此，大风浪下需要同时考虑起伏海面和气泡混合层对声传播的影响，二者缺一不可。

4 结论

1) 浅海负跃层环境中，在近海面等温层中发射或者接收的情况下，声场受到起伏海面和气泡混合层的影响较大；而对于远离海面风浪搅动的负梯度层中发射和接收的情况下，由于声能量基本集中在负跃层传输，声场受起伏海面和气泡混合层的影响较小。

2) 在小掠射角下，当风速大于10 m/s时，频率大于2 000 Hz时，近海面风生气泡层改变了海水声速剖面结构和引起了声波散射，其对海面反射损失和声传播的影响已经不容忽视。

对于不同频率时粗糙海面和气泡层对声传播的影响规律是下一步的研究方向。