在互联网及通信等有关领域中，用户对优质服务需求的逐渐增长，催生了海量数据应用^[1-2]。此类应用一般需要针对海量数据进行处理，为方便数据的计算与处理，存储形式一般为矩阵形式。图像降噪作为机器学习和计算机视觉等众多领域的热点内容，对高噪声图像进行矩阵重建是降噪方法之一。特别是在大数据提出之后，面临矩阵重建以及更多矩阵元素结构性缺失的问题^[3]。因此，针对高噪声图像的结构性元素缺失矩阵进行重建研究意义重大。

目前低秩矩阵被广泛应用到信息处理中，当图像存在结构性缺失情况时，再次处理图像信息时需要进行矩阵修复或填充。杨帅锋等^[4]提出利用低秩矩阵和字典学习方法保留图片信息，采用双三线性插值方法进行矩阵重建；由于稀疏性和矩阵秩的替代函数是非凸的和不连续的特性，Chen^[5]通过非凸和不可分离的正则化同时进行稀疏和低秩矩阵重构，该方法的收敛性较好；Zhang等^[6]估计低秩矩阵的列子空间，利用子空间信息进行低秩矩阵重建，使低秩矩阵的表示适应噪声水平；Ongie等^[7]利用傅里叶数据构建的卷积结构矩阵，引用泛型迭代重加权湮没滤波器算法恢复低秩矩阵。为了优化图像高效去噪、图像填充等效果，提出基于重加权的高噪声图像的结构性缺失低秩矩阵重建算法。

1 高噪声图像的结构性缺失低秩矩阵重建 1.1 高噪声图像初步处理

在高噪声图像进行结构性缺失低秩矩阵重建过程中，为了得到重建之后的高精度图像。利用优化后的邻域平均方法处理低频子带图像，利用中值滤波和阈值处理以及小波系数法对高频子带图像中的脉冲噪声进行处理。针对处理之后的各个子带图像利用小波逆变换获取恢复图像，实现高噪声图像初步处理。

1) 低频子带图像处理。

引入优化后的邻域平均方法针对低频子带图像实行滤波操作。假设图像像素灰度值是w(i, j)，为了减少去噪过程中的模糊失真情况，将窗口中原本的像素灰度值定义为：

$ \bar{w}(i, j)=\left\{\begin{array}{ll} w^{\prime}(i, j), & \left|w(i, j)-w^{\prime}(i, j)\right|>T \\ w(i, j), & \text { 其他 } \end{array}\right. $

(1)

式中：w′(i, j)代表以像素w(i, j)为中心，且大小是M×N窗口范围内的像素均值；T代表自适应阈值，阈值取决于像素中心点到窗口范围的像素定点距离。

2) 高频子带图像处理。

综合考量各个子带图像存在一定方向性，由此针对水平方向的高频子带图像根据水平窗口实现滤波，而垂直方向的高频子带图像通过垂直窗口实现滤波，斜高方向上的子带图像通过十字形窗口实现滤波。引入像素邻域局部能量方法识别脉冲噪声点，将较局部能量大的点当作脉冲噪声点。

例3×3窗口，像素w(i, j)邻域存在图 1所示2种情形。当像素w(i, j)邻域是图 1(a)中的情形，则像素w(i, j)邻域范围内局部能量表达式为：

$ E_{1}(i, j)=\left\{\begin{array}{l} 2\left[w(i, j)-w^{\prime}(i, j)\right]^{2}-[w(i-1, j)- \\ \ \ \ \ \left.w^{\prime}(i, j)\right], \quad w(i, j)>T \\ {\left[w(i+1, j)-w^{\prime}(i, j)\right]-[w(i, j-1)-} \\ \ \ \ \ \left.w^{\prime}(i, j)\right]-\left[w(i, j+1)-w^{\prime}(i, j)\right], \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ w(i, j) \leqslant T \end{array}\right. $

(2)

邻域窗口内的中心像素局部能量值E(i, j)取E₁(i, j)、E₂(i, j)最大值，表达式为：

$ E(i, j)=\max \left[E_{1}(i, j), E_{2}(i, j)\right] $

假设邻域窗口中局部能量的阈值表达式为：

$ \mathrm{Th}=\frac{K}{M \times N} \sum\limits_{i}^{M} \sum\limits_{j}^{N} E(i, j) $

(3)

式中K代表经验常量。由此识别某点为脉冲噪声点与否的条件可表示为：

$ E(i, j)>\mathrm{Th} $

(4)

将能够满足式(4)的脉冲噪声根据中值滤波器进行处理。根据各个尺度下各子窗口范围内小波系数为：

$ \sigma_{k}=\left\{\frac{1}{M \times N} \sum\limits_{i}^{M} \sum\limits_{j}^{N} w^{\prime}(i, j)-E\left[w_{k}{}^{\prime}(i, j)\right]\right\}^{1 / 2} $

式中：E[w′_k(i, j)]代表各个子窗口内的小波系数取均值。根据小波软阈值函数实现位数可以获得：

$ \begin{array}{l} {\eta _T}[w(i,j)] = {\mathop{\rm sgn}} [w(i,j)]\left[ {|w(i,j){|_k} - {\rm{T}}{{\rm{h}}_{k,l}}} \right] = \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\begin{array}{*{20}{l}} {|w(i,j){|_k} - {\rm{T}}{{\rm{h}}_{k,l}},} \end{array}}&{{{[w(i,j)]}_k} \ge {\rm{T}}{{\rm{h}}_{k,l}}}\\ {0,}&{|[w(i,j)]{|_k} < {\rm{T}}{{\rm{h}}_{k,l}}}\\ {|[w(i,j)]{|_k} + {\rm{T}}{{\rm{h}}_{k,l}},}&{{{[w(i,j)]}_k} \le - {\rm{T}}{{\rm{h}}_{k,l}}} \end{array}} \right. \end{array} $

(5)

以获取增强图像满足视觉需求为目的，将各个尺度下子带图像实行系数增强操作。将分解后经滤波的各个子带图像实行小波逆变换，以此获取滤除噪声的图像。

1.2 结构性缺失低秩矩阵重建

基于上述高噪声图像初步处理，引入重加权策略，实现结构性缺失低秩矩阵重建。

1) 重建模型构建。

依据低秩与稀疏2种特性，结合重加权策略，获取一个性能优越的结构性缺失低秩矩阵重建模型：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\min {{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{A}}^\prime }} \right\|}_*} + \gamma {{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{B}}^\prime }} \right\|}_1}}\\ {{\rm{s}}.{\rm{t}}.{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\mathit{\boldsymbol{A}}^\prime } = \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}{\mathit{\boldsymbol{B}}^\prime },}\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {P_\mathit{\Omega }}\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^\prime }} \right) = {P_\mathit{\Omega }}\left( {{\mathit{\boldsymbol{D}}^\prime }} \right)} \end{array}} \right. $

(6)

式中：B′代表系数矩阵，即原始的低秩矩阵A′基于字典Φ的系数矩阵。在重建模型中观测矩阵D′仅存在元素缺失情况，不存在元素受到噪声干扰的情况。在此，采用重加权对模型式(6)进行处理，获取重加权下矩阵填充模型：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\min {\mathop{\rm tr}\nolimits} \left( {{\mathit{\boldsymbol{W}}_a} \circ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varSigma} }}} \right) + \gamma {{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{W}}_b} \circ {\mathit{\boldsymbol{B}}^\prime }} \right\|}_1}}\\ {{\rm{s}}.{\rm{t}}.{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\mathit{\boldsymbol{A}}^\prime } = \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}{\mathit{\boldsymbol{B}}^\prime },}\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {P_\mathit{\Omega }}\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^\prime }} \right) = {P_\mathit{\Omega }}\left( {{\mathit{\boldsymbol{D}}^\prime }} \right)} \end{array}} \right. $

(7)

式中：○为哈德蒙德积，即矩阵相应的元素乘积；W_a为背景权重矩阵；W_b为特征变换矩阵；Σ为对角矩阵^[8]。针对高斯噪声，融合Frobenius范数对噪声项进行抑制，可获取高斯噪声下重加权矩阵的重建模型：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\min {\mathop{\rm tr}\nolimits} \left( {{\mathit{\boldsymbol{W}}_a} \circ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varSigma} }}} \right) + \gamma {{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{W}}_b}^\circ {\mathit{\boldsymbol{B}}^\prime }} \right\|}_1} + \lambda \left\| {{P_\mathit{\Omega }}\left( {{\mathit{\boldsymbol{W}}_e} \circ {\mathit{\boldsymbol{E}}^\prime }} \right)} \right\|_F^2}\\ {{\rm{s}}.{\rm{t}}.{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\mathit{\boldsymbol{A}}^\prime } = \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}{\mathit{\boldsymbol{B}}^\prime },}\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {P_\mathit{\Omega }}\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^\prime } + {\mathit{\boldsymbol{E}}^\prime }} \right) = {P_\mathit{\Omega }}\left( {{\mathit{\boldsymbol{D}}^\prime }} \right)} \end{array}} \right. $

(8)

式中：W_e为噪声重加权权重。矩阵受到的噪声为随机的脉冲噪声，E′代表阶梯矩阵，则通过l₁范数针对噪声进行约束^[9]，获取脉冲噪声下重加权矩阵的重建模型：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\min {\mathop{\rm tr}\nolimits} \left( {{\mathit{\boldsymbol{W}}_a} \circ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varSigma} }}} \right) + \gamma \left\| {{\mathit{\boldsymbol{W}}_b} \circ {\mathit{\boldsymbol{B}}^\prime }} \right\|\lambda {{\left\| {{P_\mathit{\Omega }}\left( {{\mathit{\boldsymbol{W}}_e} \circ {\mathit{\boldsymbol{E}}^\prime }} \right)} \right\|}_1}}\\ {{\rm{s}}.{\rm{t}}.{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\mathit{\boldsymbol{A}}^\prime } = \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}{\mathit{\boldsymbol{B}}^\prime },}\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {P_\mathit{\Omega }}\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^\prime } + {\mathit{\boldsymbol{E}}^\prime }} \right) = {P_\mathit{\Omega }}\left( {{\mathit{\boldsymbol{D}}^\prime }} \right)} \end{array}} \right. $

(9)

综上，式(7)~(9)就是为了对结构性缺失低秩矩阵进行重建的3个模型。3个模型的整体求解过程较为相似，均能够划分成2层结构完成求解，也就是对重加权框架进行求解与每次重加权迭代过程中优化子问题进行求解。

2) 模型求解。

对重加权框架进行求解的方法与普通迭代优化法求解程序大致相同，均为给定初始值之后，依据一定方案持续更新一直到算法收敛，或是达到预先设定的迭代次数。每一次迭代过程中均需依据以上一次迭代结果，在该过程中最为关键的即为重加权权重值更新。在每次迭代过程中，当重加权权重值确定之后，那么能够将此次迭代过程当成对一个子优化问题进行求解即可。重加权更新方案为：将初始值定义为1，之后每次值与前一次迭代计算结果中对应项元素幅值倒数相等。利用n′代表迭代次数，Σ^(n′)、B′^(n′)、E′^(n′)描述的是第n′^th次迭代之后的结果值。由于上述模型中有着很多需要进行求解的变量参数，因此通过交替方向法进行求解，也就是每次增广拉格朗日算子计算时，一旦求解目标变量，则将其他变量固定住。由于3个模型求解方式相似，只是在对误差项进行求解时存在差异。由此，针对模型式(12)和模型式(13)，仅对误差项求解流程进行分析。

模型1：假设将矩阵中所有缺失的元素均当成0进行处理，则能将矩阵的填充问题转换为具有特殊性的矩阵恢复问题，将模型重写为：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\min {\mathop{\rm tr}\nolimits} \left( {{\mathit{\boldsymbol{W}}_a} \circ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varSigma} }}} \right) + \gamma {{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{W}}_b} \circ {\mathit{\boldsymbol{B}}^\prime }} \right\|}_1}}\\ {{\rm{s}}.{\rm{t}}.{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\mathit{\boldsymbol{A}}^\prime } = \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}{\mathit{\boldsymbol{B}}^\prime },}\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\mathit{\boldsymbol{A}}^\prime } + {\mathit{\boldsymbol{E}}^\prime } = {\mathit{\boldsymbol{D}}^\prime },{P_\mathit{\Omega }}\left( {{\mathit{\boldsymbol{E}}^\prime }} \right)\xi = 0} \end{array}} \right. $

(10)

式中：ξ为缺失的元素，在此将缺失的元素当成噪声^[10]。对式(10)进行求解，能够利用迭代计算式序列完成：

$ \left\{\begin{array}{l} \left(\boldsymbol{A}^{\prime k^{\prime}+1}, \boldsymbol{B}^{\prime k^{\prime}+1}, \boldsymbol{E}^{\prime k^{\prime}+1}\right)=\arg \min \limits_{\boldsymbol{A}^{\prime}, \boldsymbol{B}^{\prime}, \boldsymbol{E}^{\prime}} \boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{A}^{\prime}, \boldsymbol{B}^{\prime}, \boldsymbol{E}^{\prime}, \boldsymbol{Y}_{1}^{k^{\prime}}, \boldsymbol{Y}_{2}^{k^{\prime}}\right) \\ \boldsymbol{Y}_{1}^{k^{\prime}+1}=\boldsymbol{Y}_{1}^{k^{\prime}}+\boldsymbol{\mu}_{1}^{k^{\prime}}\left(\boldsymbol{A}^{\prime k^{\prime}+1}-\boldsymbol{\varPhi} \boldsymbol{B}^{\prime k^{\prime}+1}\right) \\ \boldsymbol{Y}_{2}^{k^{\prime}+1}=\boldsymbol{Y}_{2}^{k^{\prime}}+\boldsymbol{\mu}_{2}^{k^{\prime}}\left(\boldsymbol{A}^{\prime k^{\prime}+1}-\boldsymbol{E}^{\prime k^{\prime}+1}\right) \\ \boldsymbol{\mu}_{1}^{k^{\prime}+1}=\zeta_{1} \boldsymbol{\mu}_{1}^{k^{\prime}} \\ \boldsymbol{\mu}_{2}^{k^{\prime}+1}=\zeta_{2} \boldsymbol{\mu}_{2}^{k^{\prime}} \end{array}\right. $

(11)

式中：ζ₁、ζ₂为大于1的常数，以此保障在每一次迭代过程中，μ₁^k′、μ₂^k′这2个惩罚因子能够一直呈递增的趋势发展。(A′^k′+1, B′^k′+1, E′^k′+1)难以同时进行求解，为此将式(11)的求解转换为：

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{B}^{\prime k^{\prime}+1}=\arg \boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{A}^{\prime k^{\prime}}, \boldsymbol{B}^{\prime}, \boldsymbol{E}^{\prime k^{\prime}}, \boldsymbol{Y}_{1}^{k^{\prime}}, \boldsymbol{Y}_{2}^{k^{\prime}}\right) \\ \boldsymbol{A}^{\prime k^{\prime}+1}=\arg \boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{A}^{\prime}, \boldsymbol{B}^{\prime k^{\prime}+1}, \boldsymbol{E}^{\prime k^{\prime}}, \boldsymbol{Y}_{1}^{k^{\prime}}, \boldsymbol{Y}_{2}^{k^{\prime}}\right) \\ \boldsymbol{E}^{\prime k^{\prime}+1}=\arg \boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{A}^{\prime k^{\prime}+1}, \boldsymbol{B}^{\prime k^{\prime}+1}, \boldsymbol{E}^{\prime}, \boldsymbol{Y}_{1}^{k^{\prime}}, \boldsymbol{Y}_{2}^{k^{\prime}}\right) \\ \boldsymbol{Y}_{1}^{k^{\prime}+1}=\boldsymbol{Y}_{1}^{k^{\prime}}+\boldsymbol{\mu}_{1}^{k^{\prime}}\left(\boldsymbol{A}^{\prime k^{\prime}+1}-\boldsymbol{\varPhi} \boldsymbol{B}^{\prime k^{\prime}+1}\right) \\ \boldsymbol{Y}_{2}^{k^{\prime}+1}=\boldsymbol{Y}_{2}^{k^{\prime}}+\boldsymbol{\mu}_{2}^{k^{\prime}}\left(\boldsymbol{A}^{\prime k^{\prime}+1}-\boldsymbol{E}^{\prime k^{\prime}+1}\right) \\ \boldsymbol{\mu}_{1}^{k^{\prime}+1}=\zeta_{1} \boldsymbol{\mu}_{1}^{k^{\prime}} \\ \boldsymbol{\mu}_{2}^{k^{\prime}+1}=\zeta_{2} \boldsymbol{\mu}_{2}^{k^{\prime}} \end{array}\right. $

(12)

针对式(12)中的B′^k′+1，将原式中和B′不存在相关性的常量去除，同时配方之后，就能够获取：

$ \begin{array}{c} \boldsymbol{B}^{\prime k^{\prime}+1}=\operatorname{argmin} \gamma\left\|\boldsymbol{W}_{b} {\circ} \boldsymbol{B}^{\prime}\right\|_{1}+ \\ \left\langle\boldsymbol{Y}_{1}^{k^{\prime}}, \boldsymbol{A}^{\prime k^{\prime}}-\boldsymbol{\varPhi} \boldsymbol{B}^{\prime}\right\rangle+\frac{\boldsymbol{\mu}_{1}^{k^{\prime}}}{2}\left\|\boldsymbol{A}^{\prime k^{\prime}}-\boldsymbol{\varPhi} \boldsymbol{B}^{\prime}\right\|_{F}^{2} \end{array} $

(13)

根据式(13)可知假设字典Φ为正交形式，即ΦΦ^T=E′为一个单位矩阵，由此式(13)可以作为一个收缩算子求解的形式，其解为：

$ {B^{\prime {k^\prime } + 1}} = {\rm{soft}}\left( {\frac{1}{{\mathit{\boldsymbol{\mu }}_1^{{k^\prime }}}}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Y}}_1^{{k^\prime }} + {\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\prime {k^\prime }}},\frac{\lambda }{{\mathit{\boldsymbol{\mu }}_1^{{k^\prime }}}}{\mathit{\boldsymbol{W}}_b}} \right) $

(14)

式(14)的求解方式主要针对Φ为正交形式，下文分析Φ不为正交形式，仅为一般矩阵时的情况。

在Φ不为正交形式时，则无法通过收缩算子进行求解，因此采用以下方法进行求解。由此就能够将问题转换为对Q(ξ, Z_j)最小值进行求解，进而获取一个有关Z的序列，便可近似获取F(Z)最小值。针对式(12)中的第一行B′^k′+1，以泰勒展开，接着取前若干项配方获取一个收缩因子能够解的形式：

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{B}_{j+1}^{\prime k^{\prime}}=\arg \min \limits_{B^{\prime}} Q\left(\xi, Z_{j}\right)= \\ \arg \min \limits_{B^{\prime}} \gamma\left\|\boldsymbol{W}_{b} \circ \boldsymbol{B}^{\prime}\right\|_{1}+\frac{L_{f}}{2}\left\|\xi-U_{j+1}\right\|_{F}^{2} \end{array}\right. $

(15)

针对式(12)中的第二行A′^k′+1，同样可以利用式(15)中所用到的技巧，将其转换成求解式优化方程：

$ \boldsymbol{A}^{\prime k^{\prime}+1}=\arg \min \limits_{\boldsymbol{A}^{\prime}}{\rm{tr}}\left(\boldsymbol{W}_{a} \circ \boldsymbol{\varSigma}\right)+\frac{\boldsymbol{\mu}_{1}^{k^{\prime}}+\boldsymbol{\mu}_{2}^{k^{\prime}}}{2}\left\|\boldsymbol{A}^{\prime}-\boldsymbol{W}^{k^{\prime}}\right\|_{F}^{2} $

(16)

此时对式(16)进行求解能够得到：

$ \boldsymbol{A}^{\prime k^{\prime}+1}=\boldsymbol{U}^{k^{\prime}} \operatorname{soft}\left(\boldsymbol{\varSigma}^{k^{\prime}}, \frac{\boldsymbol{W}_{a}}{\boldsymbol{\mu}_{1}^{k^{\prime}}+\boldsymbol{\mu}_{2}^{k^{\prime}}}\right)\left(\boldsymbol{V}^{k^{\prime}}\right)^{\mathrm{T}} $

(17)

式中U^k′、V^k′为左右奇异向量。

针对式(12)中的子问题E′^k′+1进行求解，即对E′进行求解。在该过程中，仅需求解空间域Ω以外的空间，将其记作空间Ω。由于P_Ω(E′)=P_Ω(0)，因此Ω中元素值均为0，无需求解。在Ω中，E′Ω^k′+1可以根据一阶求导直接得到：

$ P_{\bar{\varOmega}}(\bf{0})=P_{\bar{\varOmega}}\left(-\boldsymbol{Y}_{2}^{k^{\prime}}+\boldsymbol{\mu}_{2}^{k^{\prime}}\left(\boldsymbol{A}^{\prime k^{\prime}+1}+\boldsymbol{E}^{\prime k^{\prime}+1}-\boldsymbol{D}^{\prime}\right)\right) $

(18)

由此E′完整迭代解可表示为：

$ \boldsymbol{E}^{\prime k^{\prime}+1}=\boldsymbol{E}_{\varOmega}^{\prime k^{\prime}+1}+\boldsymbol{E}_{\bar{\varOmega}}^{\prime k^{\prime}+1}=P_{\varOmega}(\boldsymbol{0})+P_{\bar{\varOmega}}\left(\frac{\boldsymbol{Y}_{2}^{k^{\prime}}}{\boldsymbol{\mu}_{2}^{k^{\prime}}}-\boldsymbol{A}^{\prime k+1}\right) $

其余子问题均为简单一阶加减法，容易求解。综上，就能够获得结构性缺失低秩矩阵填充结果。

模型2：模型2的增广拉格朗日函数表达式为：

$ \begin{array}{c} \boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{A}^{\prime}, \boldsymbol{B}^{\prime}, \boldsymbol{E}^{\prime}, \boldsymbol{Y}_{1}, \boldsymbol{Y}_{2}\right)=\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{W}_{a} \circ \boldsymbol{\varSigma}\right)+\gamma\left\|\boldsymbol{W}_{b} \circ \boldsymbol{B}^{\prime}\right\|_{1}+ \\ \lambda\left\|P_{\varOmega}\left(\boldsymbol{W}_{e} \circ \boldsymbol{\varSigma}\right)\right\|_{F}^{2}+\left\langle\boldsymbol{Y}_{1}, \boldsymbol{A}^{\prime}-\boldsymbol{\varPhi} \boldsymbol{B}^{\prime}\right\rangle+ \\ \left\langle\boldsymbol{Y}_{2}, \boldsymbol{D}^{\prime}-\boldsymbol{A}^{\prime}-\boldsymbol{E}^{\prime}\right\rangle+\frac{\boldsymbol{\mu}_{1}}{2}\left\|\boldsymbol{A}^{\prime}-\boldsymbol{\varPhi} \boldsymbol{B}^{\prime}\right\|_{F}^{2}+ \\ \frac{\boldsymbol{\mu}_{2}}{2}\left\|\boldsymbol{D}^{\prime}-\boldsymbol{A}^{\prime}-\boldsymbol{E}^{\prime}\right\|_{F}^{2} \end{array} $

(19)

式中：模型2中A′、B′矩阵更新求解方法和模型1相同，由此仅需对不同E′进行求解就可以。E′的求解能够划分成2个部分：其中一部分为Ω中的E′_Ω^k′+1，另一部分为空间Ω中的E′_Ω^k′+1。其中，这2个部分的E′均能够根据一阶求解直接求解：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{E}}_{\mathit{\bar \Omega }}^{\prime {k^\prime } + 1} = {P_{\mathit{\bar \Omega }}}\left( {\frac{{\mathit{\boldsymbol{Y}}_2^{{k^\prime }}}}{{\mathit{\boldsymbol{\mu }}_2^{{k^\prime }}}} + {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\prime {k^\prime } + 1}}} \right)}\\ {\mathit{\boldsymbol{E}}_\mathit{\Omega }^{\prime {k^\prime } + 1} = {P_\mathit{\Omega }}\left( {\frac{1}{{\mathit{\boldsymbol{\mu }}_2^{{k^\prime }} + 2\lambda {\mathit{\boldsymbol{W}}_e}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{Y}}_2^{{k^\prime }} + \mathit{\boldsymbol{\mu }}_2^{{k^\prime }} - \mathit{\boldsymbol{\mu }}_2^{{k^\prime }}{\mathit{\boldsymbol{A}}^{\prime {k^\prime } + 1}}} \right)} \right)} \end{array}} \right. $

(20)

根据式(20)计算，将E′_Ω^k′+1、E′_Ω^k′+1计算结果相加可以获取完整更新结果，由此E′最终更新方式表示为：

$ \begin{array}{c} \boldsymbol{E}^{k^{\prime}+1}=P_{\varOmega}\left(\frac{1}{\boldsymbol{\mu}_{2}^{k^{\prime}}+2 \lambda \boldsymbol{W}_{e}}\left(\boldsymbol{Y}_{2}^{k^{\prime}}+\boldsymbol{\mu}_{2}^{k^{\prime}} \boldsymbol{D}^{\prime}-\boldsymbol{\mu}_{2}^{k^{\prime}} \boldsymbol{A}^{\prime k^{\prime}+1}\right)\right)+ \\ P_{\bar{\varOmega}}\left(\frac{\boldsymbol{Y}_{2}^{k^{\prime}}}{\boldsymbol{\mu}_{2}^{k^{\prime}}}+\boldsymbol{D}^{\prime}-\boldsymbol{A}^{\prime k^{\prime}+1}\right) \end{array} $

模型3：模型3的增广拉格朗日函数为：

$ \begin{array}{c} L\left(\boldsymbol{A}^{\prime}, \boldsymbol{B}^{\prime}, \boldsymbol{E}^{\prime}, \boldsymbol{Y}_{1}, \boldsymbol{Y}_{2}\right)=\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{W}_{a} \circ \boldsymbol{\varSigma}\right)+\gamma\left\|\boldsymbol{W}_{b} \circ \boldsymbol{B}^{\prime}\right\|_{1}+ \\ \lambda\left\|P_{\varOmega}\left(\boldsymbol{W}_{e} \circ \boldsymbol{\varSigma}\right)\right\|_{1}+\left\langle\boldsymbol{Y}_{1}, \boldsymbol{A}^{\prime}-\boldsymbol{\varPhi} \boldsymbol{B}^{\prime}\right\rangle+ \\ \left\langle\boldsymbol{Y}_{2}, \boldsymbol{D}^{\prime}-\boldsymbol{A}^{\prime}-\boldsymbol{E}^{\prime}\right\rangle+\frac{\boldsymbol{\mu}_{1}}{2}\left\|\boldsymbol{A}^{\prime}-\boldsymbol{\varPhi} \boldsymbol{B}^{\prime}\right\|_{F}^{2}+ \\ \frac{\boldsymbol{\mu}_{2}}{2}\left\|\boldsymbol{D}^{\prime}-\boldsymbol{A}^{\prime}-\boldsymbol{E}^{\prime}\right\|_{F}^{2} \end{array} $

与上述相同，仅需求解与模型1求解过程存在差异性的E′即可。E′更新方式还是划分成2个部分，则Ω与Ω中有：

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{E}_{\bar{\varOmega}}^{\prime k^{\prime}+1}=P_{\bar{\varOmega}}\left(\frac{\boldsymbol{Y}_{2}^{k^{\prime}}}{\boldsymbol{\mu}_{2}^{k^{\prime}}}+\boldsymbol{D}^{\prime}-\boldsymbol{A}^{k^{\prime}+1}\right) \\ \boldsymbol{E}_{\varOmega}^{\prime k^{\prime}+1}=P_{\varOmega}\left(\operatorname{soft}\left(\frac{\boldsymbol{Y}_{2}^{k^{\prime}}}{\boldsymbol{\mu}_{2}^{k^{\prime}}}+\boldsymbol{D}^{\prime}-\boldsymbol{A}^{\prime k^{\prime}+1}, \frac{\lambda}{\boldsymbol{\mu}_{2}^{k^{\prime}}} \boldsymbol{W}_{e}\right)\right) \end{array}\right. $

(21)

将式(21)中的2部分相加获取E′最终解：

$ \begin{aligned} \boldsymbol{E}^{\prime k^{\prime}+1}=P_{\varOmega}(&\left.\operatorname{soft}\left(\frac{\boldsymbol{Y}_{2}^{k^{\prime}}}{\boldsymbol{\mu}_{2}^{k^{\prime}}}+\boldsymbol{D}^{\prime}-\boldsymbol{A}^{\prime k^{\prime}+1}, \frac{\lambda}{\boldsymbol{\mu}_{2}^{k^{\prime}}} \boldsymbol{W}_{e}\right)\right)+\\ & P_{\bar{\varOmega}}\left(\frac{\boldsymbol{Y}_{2}^{k^{\prime}}}{\boldsymbol{\mu}_{2}^{k^{\prime}}}+\boldsymbol{D}^{\prime}-\boldsymbol{A}^{\prime k^{\prime}+1}\right) \end{aligned} $

至此，完成高噪声图像的结构性缺失低秩矩阵重建，具体流程如图 2所示。

首先初步处理高噪声图像，为后续矩阵重建过程降低计算复杂程度，引入优化后的邻域平均方法降低低频子带图像噪声，引入像素邻域局部能量方法降低高频子带图像噪声，利用小波逆变换获取滤除噪声后的图像。引入重加权策略构建重建模型，求解重加权框架迭代过程中的优化子问题，完成高噪声图像结构性缺失低秩矩阵重建。

2 实验结果与分析

为验证基于重加权的高噪声图像的结构性缺失低秩矩阵重建算法运行性能，进行一次相关性测试。验证所提方法的去噪效果，在实验原图中分别加入高斯噪声与脉冲噪声，对比高斯噪声加入后所提算法的去噪效果，在脉冲噪声噪声加入后对比所提方法与现有方法的峰值信噪比(peak signal to noise ratio, PSNR)和平均绝对误差(mean absolute error, MAE)。PSNR即峰值信噪比，是一种评价图像的客观标准。MAE是评价图像细节保持效果的指标，MAE值越小, 图像细节处理效果越好。将实验平台搭建在Matlab上，利用如图 3所示的3幅标准图像作为实验图像。

对图 3中的3幅图像进行加噪处理，运用所提方法对加入高斯噪声后的图片进行去噪处理，以此验证所提算法高斯噪声滤除效果。图 4为加入高斯噪声后图像及所提算法的图像去噪效果。

根据图 4去噪结果显示，所提方法可以有效去除高噪声图像的噪点。去噪后图像可以较完整恢复原图像细节，能保持图像中的纹理信息，实现了高噪声图像结构性缺失低秩矩阵的高精度重建。

为验证所提方法在脉冲噪声情况下的运行性能，对比通过非凸和不可分离的正则化同时进行稀疏和低秩矩阵重构(文献[5])、利用子空间信息重构低秩矩阵(文献[6])和卷积结构低秩矩阵快速恢复(文献[7])3种方法的PSNR值和MAE。实验使用Matlab中自带的imnoise函数在图像中添加10%~90%概率密度的脉冲噪声。设定自适应阈值T为125，设定噪声重加权权重W_e为0.55。图 5和图 6为加入脉冲噪声后，不同方法PSNR指标与MAE指标的变化情况。其中，PSNR值越大表示失真越小；MAE值越小，保留的纹理细节越多，图像质量越好。

由图 5可知，随脉冲噪声概率密度的增加，4种方法的峰值信噪比逐渐降低；但在实验总过程中，所提方法最高峰值信噪比为29.05 dB，高于对比的3种方法，图像复原效果较好。不同概率密度脉冲噪声分布下不同研究方法MAE对比结果如图 6所示。

由图 6可知，随脉冲噪声概率密度的增加，4种方法的平均绝对误差值逐渐增加，在20%概率密度之前，4种方法的MAE值相差较小，在此之后，所提算法的MAE值均小于对比的3种方法，说明运用所提算法对图像去噪后保留的图像纹理细节较多。因为所提方法对图像进行了预处理，在低秩与稀疏特性先验信息的基础上，构建结构性缺失低秩矩阵重建模型，克服了仅可以对随机缺失矩阵进行处理的缺陷。

3 结论

1) 在高斯噪声加入情况下，利用所提算法去噪后的图像清晰度与原图相近，纹理信息等细节保持比较完整。因为所提算法在构建结构性缺失矩阵前，对高噪声图像进行了预处理，增强了图像去噪的效果。

2) 在脉冲噪声加入情况下，所提算法的峰值信噪比均高于对比方法，平均绝对误差值低于18，2组实验结果较优于对比方法。由于所提算法根据低秩与稀疏先验对重建矩阵进行了约束，获得了较好的实验结果，表明该算法在图像去噪方面有较好的实用价值，提高了重建精度。

3) 为了更好地满足实际需求，更好地将低秩矩阵重建应用至图像背景恢复和人工智能图像识别中，下一步将针对降低算法复杂性进行研究。