基于势流的数值分析方法已成功用于带定子导管桨的水动力性能预报，例如Hughes等^[1]和Kawakita等^[2]分别采用升力面涡格法和面元法构建了推进器的数值模型及相应的尾涡模型来进行计算。但是，泵喷转子和导管之间存在间隙，间隙尺寸通常为转子顶端半径的1%~3%，细小间隙区域的流动表现为真实的粘性流动^[3-9]，使用势流假设会导致转子梢部载荷接近于零，这不符合实际情况，且泵喷推进器布局形式紧凑，使间隙流动所带来的影响不仅局限在转子梢部^[10-14]，甚至会导致泵喷整个系统的流场发生变化^[15]。基于以上存在的问题，王超等^[16]开展了泵喷导管的变参数分析，给出了泵喷导管参数的取值范围，为泵喷导管的设计奠定了基础; 在此基础上，采用面元法建立了一种模拟泵喷推进器间隙泄露涡的梢部泄露涡模型^[17]，该模型已经被成功应用到泵喷的水动力性能预报。泄露涡模型大大提高了泵喷的水动力性能预报精度，特别是在低进速系数下的计算结果与粘流的计算结果保持高度的一致性，但是梢部泄露涡模型对间隙流动处粘性的影响并没有很好地处理。

因此，本文在已有的泵喷推进器梢部泄露涡模型以及考虑粘性耗散方程的基础上，构建了一套考虑间隙流动处粘性影响的间隙流动模型，采用双片网格延伸的方式，扩大了间隙流动模型的影响范围，并将面元法的计算结果与CFD计算结果进行对比分析，进而讨论分析间隙流动模型对泵喷推进器水动力性能的影响。

1 间隙流动数值模型 1.1 泵喷数值模型

本文采用的势流理论面元法，构建了泵喷推进器的数值计算模型，并在原有泵喷数值计算模型的基础上引入间隙流动模型。具体的泵喷数值计算模型可参考文献[17]。

1.2 间隙流动模型

由于转子端面和导管内壁边界层的粘性作用，间隙区域的流体速度产生衰减，这会改变叶梢的载荷分布，同时影响叶片整体的环量分布。Mchugh^[2]建立的渗透薄片方法是将通过间隙区域的粘性流体近似为通过一排孔洞的衰减的无粘性流体，将孔洞视为封闭间隙的曲面面元，并假定面元存在法向速度，即流体可穿过间隙面元。

根据孔口流动方程，通过间隙面元的通量Q可表示为叶片压力面和吸力面在梢部的压力差Δp的线性函数，方程式为:

$ Q = {C_Q}A\frac{{\sqrt {2\Delta p} }}{\rho } $

(1)

式中：C_Q为通量系数，且0≤C_Q≤1，当C_Q=0时，表示面元不可渗透，Mchugh根据导管桨的试验研究，取值0.84；A表示间隙单元的面积。结合伯努利方程，由通量方程(1)可得通过间隙单元的渗透平均速度V_gap为：

$ {V_{{\rm{gap}}}} = \frac{Q}{A} = {C_Q}\sqrt {\frac{{2\Delta p}}{\rho }} = {C_Q}\left| {{\boldsymbol{V}_{{\rm{in}}}}} \right|\sqrt {\Delta {C_p}} $

(2)

$ \Delta {C_p} = \frac{{\Delta p}}{{0.5\rho {{\left| {{\boldsymbol{V}_{{\rm{in}}}}} \right|}^2}}} $

(3)

式中：V_in为相对进流速度；ΔC_p为压力跳跃Δp的无量纲系数。

为满足面元法的基本方程，将间隙面元作为叶片梢部面元的径向延伸，连接至导管内壁面，如图 2所示。根据间隙面元可渗透的假设条件，结合渗透速度方程(2)和运动边界条件，间隙面元的源点强度可表示为：

$ \frac{{\partial \phi }}{{\partial n}} = - {\boldsymbol{V}_{{\rm{in}}}} \cdot \boldsymbol{n} + {C_Q}\left| {{\boldsymbol{V}_{{\rm{in}}}}} \right|\sqrt {\Delta {C_p}} \left( {\boldsymbol{n} \cdot {\boldsymbol{n}_{{\rm{camber}}}}} \right) $

(4)

式中：n为面元法向向量; n_camber为相同弦向位置处的中曲面面元的法向向量。压力系数ΔC_p通过迭代过程获得，初次求解时，间隙面元采用不可穿透壁面条件式(3)，获得ΔC_p近似初始解；再次求解时，间隙面元采用方程(4)，通过不断迭代更新叶片面元的压力值以及梢部压力差ΔC_p，直至满足收敛条件。

2 数值计算方法及其验证

关于泵喷数值方法的验证，文献[17]已经对CFD数值计算方法进行了验证，计算结果表明CFD方法能够较为精准地进行带定子导管类推进器的性能预报^[18]，可用于泵喷推进器的水动力性能计算和面元法计算结果验证。文献[17]中还进一步表明势流理论能够较为精确地预报泵喷的水动力性能，同时也验证了梢部泄露涡模型的合理性。基于以上的研究，本文将有无间隙模型的计算结果与CFD计算结果进行对比分析，此处根据Mchugh^[10]导管桨的试验研究提供的经验值C_Q的取值为0.84，对间隙流动模型的合理性进行验证。

2.1 数值计算模型

本文选取的泵喷模型为后置定子式泵喷，泵喷模型参数如表 1所示，模型如图 3所示。

2.2 后置定子式泵喷敞水特性分析

为了分析后置定子式泵喷间隙流动模型的影响，将考虑间隙流动模型和未考虑间隙流动模型的2种计算结果进行对比分析，分析间隙流动模型对泵喷转子、定子以及导管各部件水动力性能的影响，文献[17]中已经验证了面元法和CFD能够对泵喷模型进行准确的水动力性能预报，本文将在此基础上将有无间隙流动模型以及CFD的计算结果进行对比分析，来开展间隙流动模型的可行性分析，图 4为转子的推力及扭矩曲线图。

从图 4的计算结果可以看出，当考虑间隙流动模型的影响时，泵喷推进器的转子、定子、导管以及整体的推力、扭矩都有所增加，但整体的变化范围内趋势仍然趋于稳定，且有无间隙流动模型的各项水动力性能的变化趋势是一致的。同时，间隙模型的引入使得泵喷推进器转子、定子以及导管的推力及扭矩都更加接近于粘流的计算结果，泵喷整体及各部件的水动力性能预报精度都有所增加。但从图 4中也可以看出，间隙模型对泵喷推进器整体及各部件的水动力性能预报仅仅起到了改善的作用。以上结果还表明，泵喷转子的推力占总推力的75%以上，说明泵喷推进器的主要推力是由转子产生的，同时泵喷的总扭矩接近于0，说明定子很好地平衡了泵喷推进器的扭矩，使得航行器不会出现横滚现象，这与采用基于粘流的CFD计算得出的结论是一致的^[19]。

图 5为泵喷推进器的效率曲线，从图 5中的计算结果可以看出，有无间隙流动模型的效率曲线的变化差值随着进速的增加越来越小，这是因为当来流较低时，间隙流动处的流动更加剧烈，此时流体粘性的影响更加显著，所以在引入间隙流动模型之后效率增大得最为明显，这也符合理论推导的结果。有无间隙流动模型的效率曲线变化趋势基本一致，最高效率点也基本相同，说明间隙模型的引入是合理的。

综上所述，从泵喷各项水动力性能和效率曲线的计算结果中可以看出，间隙流动模型的构造是合理可行的，能够用来对泵喷推进器进行水动力性能进行预报。

3 压力环量计算结果分析

为分析间隙流动模型对计算结果的影响，在泵喷数值模型的基础上，引入间隙流动模型，并将压力分布、环量分布等计算结果与基于粘流的CFD仿真结果进行对比。本文选取了J=1.94和J=3.24工况下的计算结果进行对比分析。

图 6为转子的径向环量分布图，从图中的环量分布可以看出，间隙模型的引入使得转子在叶梢处的环量值增加，这表明叶片沿径向的做功范围增加，转子的推力及扭矩也会逐渐增大，这更加符合平顶式叶片的做功规律。同时，从计算结果中可以看出，当进速系数较低时，考虑间隙流动影响的叶片在叶梢处的环量变化更加明显，这是因为当进速较低时，雷诺数越小，此时转子顶端间隙处流体的粘性影响更加剧烈，而间隙模型正是考虑了间隙处粘性的影响，使得势流计算结果更加符合流体在间隙流动处的真实能量损耗。

图 7为转子剖面压力分布图，分别选取了0.98和0.88半径处的压力分布。从图中的压力分布可以看出，间隙模型的引入使得转子剖面的压力变化更加显著。在相同的进速系数下，间隙模型使得转子叶面与叶背的压差力明显增大，这是因为在实际流体中，当流体流经转子顶端的间隙区域时会受到转子顶端以及导管内壁面边界层的影响即流体的粘性会产生影响，而在势流中没有考虑间隙流动的影响导致叶面、叶背的压差力几乎为零，这种现象是不合理的；间隙模型的引入正好弥补了势流中的这一缺点，使得叶面与叶背压差力的计算结果与粘流的计算结果更加吻合。同时，间隙流动模型的引入对转子靠近叶梢处的影响更大，且靠近叶梢随边处的压力值也逐渐增大，更加接近于粘流的计算结果。

图 8为导管剖面的弦向压力分布，从计算结果中可以看出，间隙模型对导管外壁面的影响不大，仅对导管内壁面产生影响。尤其是当处于低进速下时，此时泵喷转子的顶端与导管内壁面之间存在的间隙流动状态更加紊乱，由于间隙流动的存在，导管内壁面在弦向0.25~0.4处会出现压力下降的变化趋势，而在势流计算中导管内壁面的压力分布一直趋于平缓，无显著的压力变化，间隙模型的引入使得势流的计算结果与粘流的计算结果变化趋势更为接近。以上结果表明，当泵喷处于重载工作状态下时，间隙模型的影响会更加显著。

4 结论

1) 本文通过对间隙流动模型进行验证计算分析，发现有无间隙流动模型两者之间的水动力性能变化趋势一致，两者之间的计算结果吻合良好，验证了本文提出的间隙流动模型是合理可行的。

2) 间隙模型真实地模拟了泵喷推进器转子顶端间隙处流体的能量损耗，充分考虑了间隙流动处流体粘性的影响，真实地反映了转子叶片的环量和压力分布以及叶面与叶背的压差力分布。

3) 间隙模型使得泵喷推进器整体以及各部件的水动力性能预报精度有所改善，但改善效果有限。间隙流动模型的影响更多是体现在考虑了间隙流动处粘性的影响，使得势流的计算结果更加接近于真实流体的流动状态。