混流泵具有内部流动复杂，设计参数众多且设计参数相互关联等特点，对混流泵的设计及优化造成了极大困扰。传统的混流泵叶轮设计通过改变叶片角分布来修改叶片形状，最终结果的好坏依赖于设计人员的个人经验^[1]，是经验与试错法相结合的产物。然而这种方法没有为如何修改叶片形状从而提高叶片性能提供有效的建议^[2]，从根本上限制了设计人员去探索更大的设计空间的可能性。设计人员只能在已有的、过程得到验证的、较小的范围内对叶片性能进行改进。

近年来，各种优化策略被广泛应用于旋转机械的设计中^[3-8]，其优点在于节省人工，最终优化结果依赖于优化系统而非个人经验。裴吉^[9]和王文杰等^[10]基于神经网络模型和改进后粒子群算法对离心泵的叶轮和导叶分别进行了优化设计，成功的扩大了离心泵的高效区。孟凡等^[11]以单向轴流泵为基础，结合拉丁超立方抽样、神经网络模型和非支配遗传算法，在不降低正向性能的前提下，成功的提高了其反向性能，使其满足双向运行要求。虽然上述优化取得了令人满意的结果，然而计算量大，计算资源消耗多成为其致命缺点，降低了其在工业系统中的应用价值。这主要与传统设计中叶片形状由几何参数描述且各参数互相制约有关。基于以上考虑，本研究采用反问题设计法对叶片进行参数化造型^[12-17]。反问题设计是1种可以从给定的叶片载荷分布逆向迭代计算出叶片形状的设计方法。其优点是可以使用较少的设计参数来描述叶片复杂的空间形状；缺点是只能在设计点处取得较好的结果，而在偏离设计点处，效率下降较快，即高效区较窄。

本文提出了1种设计方法，以三维反问题设计方法为基础，结合拉丁超立方抽样法、克里金模型和非支配遗传算法，以叶片载荷分布为设计参数，以0.7Q_des和1.1Q_des处效率为目标参数，以1.0Q_des处效率和扬程为约束条件，构建了一个多参数多目标优化系统，对导叶式混流泵进行多目标优化以提高泵段效率，扩宽高效区范围。

1 优化方法 1.1 反问题设计方法

在三维反问题设计方法中，流场的计算和叶片形状的计算是迭代进行的。本文采用ZANGENE^[18]提出的三维反问题设计方法，假定来流定常、无旋、无粘且不可压缩。叶片由无限薄涡片代替，其强度由周向平均角动量表示：

$r\overline {{V}}_\theta = \frac{B}{{2\pi }}\int\limits_0^{\frac{{2\pi }}{B}} {r{V_\theta }{\rm{d}}\theta } $

(1)

式中：r为半径；B为叶片数；V_θ为切向速度；θ为角度。

叶间通道处压力分布由周向平均角动量沿流线方向的偏导数确定：

${P^ + }{\rm{ - }}{P^ - } = \frac{{{\rm{2}}\pi }}{B}\rho {W_{{\rm{mbl}}}}\frac{{\partial r{{\overline V }_\theta }}}{{\partial m}} $

(2)

式中：P⁺为叶片工作面静压；P^-为叶片背面静压；ρ为流体密度；W_mbl为轴面相对速度；∂rV_θ/∂m为叶片载荷。

由周向平均角动量沿流线方向确定叶轮扬程为：

${H_t} = \frac{1}{g}({u_2}{v_{u2}} - {u_1}{v_{u1}}) = \frac{\omega }{{2\pi g}}({\mathit{\Gamma }_2} - {\mathit{\Gamma }_1}) $

(3)

式中：H_t为叶轮理论扬程；ω为转速；u_n为牵连速度；u_un为绝对速度在周向的分量；Γ_n为环量；下标1、2分别表示叶轮进口边与出口边。

在反问题设计的迭代求解过程中，流场中流速分布的求解为正命题求解，流体的运动分为周向平均运动及周期脉动速度2部分；叶片形状的计算过程为反命题求解，叶片表面满足速度无滑移及不可穿透条件；叶片的阻塞效应由连续性方程中的叶片厚度参数确定。在三维反问题设计中，可固定的设计参数为：1)叶片轴面投影图；2)叶片厚度；3)叶片数；4)流量；5)转速; 6)轮毂及轮缘处环量分布(扬程)。

1.2 多目标多参数优化法

多参数多目标优化的发展离不开算法、几何参数化和性能评估这3方面的发展和影响。

对于旋转机械而言，因其复杂的空间形状，几何参数化成为其最大的挑战。为克服该缺陷，本研究使用参数较少的叶片载荷对其进行参数化。载荷分布由图 1所示的“三段式”曲线控制，该曲线由2段抛物线及1段直线构成。相比于其他载荷分布形式，三段式分布具有控制简单、参数数量合理、可实现的载荷分布形式较多的优点。

图中LE控制叶片的预加载，与叶片进口冲角有关；NC为中间直线的起点；ND为中间直线的终点；K为中间直线的斜率，当其为正值时，表示前加载，当其为负值时，表示后加载。图中竖线为确认交点位置而设置的辅助线；为满足龙格-库塔条件，在叶片出口边处载荷分布均为零。因此，单条流线的载荷分布由上述4个设计参数共同完成。研究表明，通过给定轮毂与轮缘处载荷分布，其他位置载荷由线性插值确定的方法可有效控制叶片上的载荷分布。因此，叶片的参数化由8个设计参数共同完成。

衡量水力机械性能优劣的指标较多，本文选取0.7Q_des和1.1Q_des处效率作为优化目标，以期优化出的混流泵具有较高的泵段效率及较宽的高效区。效率为：

$\eta = \frac{{Q({P_{{\rm{out}}}} - {P_{{\rm{in}}}})}}{{M\omega }} $

(4)

式中：Q为流量；P_out和P_in分别为进口与出口总压；M为泵轴上的力矩；ω为叶轮旋转角速度。

由于本次优化涉及多个目标函数，故其最优解与单目标函数的求解存在较大差别。在多目标求解过程中，目标互相冲突，难以寻找到对所有的目标函数均为最优解的方案。大量的寻优研究工作表明，NSGA-Ⅱ(非支配排序遗传算法)在多目标、非连续、非线性的优化问题中具有良好的适用性。在NSGA-Ⅱ中，交叉和变异被用来确保最终解为全局最优解，拥挤距离和非支配排序被用来减少计算的复杂性和提升策略的精英性，各目标函数被单独求解，最终解集以帕累托前沿呈现，设计者可根据需要进行折中选择^[19-20]。

在本研究中，实验设计由拉丁超立方抽样算法完成，其可以在多元参数空间进行近似随机抽样。在样本空间内，使用反问题设计对样本点逐一建立几何模型，采用CFX计算各个设计方案下的混流泵效率，评估叶轮性能，再利用克里金插值法构建目标参数与设计变量之间的近似模型，最终辅以NSGA-Ⅱ在构建的近似模型上进行全局寻优。NSGA-Ⅱ的人口数和代数均设置为100，交叉率与突变率分别设置为0.9和0.088，因此，共计生成了10 000中不同配置的叶轮。优化流程如图 2所示。

2 数值模拟准确性验证

在本研究中，计算域的建立与网格划分分别由Cero和ICEM完成，性能评估由商业软件CFX完成。以设计点处原始模型泵段效率及扬程作为网格无关性验证标准，计算结果如表 1所示。综合考虑计算成本与计算准确性，最终确定整体计算域网格数为450万。

湍流模型选用SST模型，其可跳过壁面函数，较好的模拟粘性底层流动；叶轮与固定部件间交界面选用冻结转子模型进行数据传输，固定部件与固定部件间交界面选用普通连接；进口条件采用质量流量；出口条件采用开发性边界，允许回流存在，使其与实际条件相符合。

以比转速为530的模型泵作为计算对象，该泵叶轮直径为320 mm，叶片数为4，转速为1 450 r/min；导叶的叶片数为7；进水段采用直管，长度为5倍叶轮直径；出水段采用弯管，弯管半径为1.5倍叶轮直径。最终计算模型如图 3所示。

以泵段扬程和效率作为对比标准，模拟结果与试验结果对比如图 4所示。

从图 4可以看出，当流量处于泵段可靠运行范围内时(0.6Q_des~1.3Q_des)，试验扬程与模拟扬程基本一致；试验效率略小于模拟效率，2者差值最大处不超过2.5%，且变化趋势基本一致。与文献[21]的研究结论相一致，在数值模拟中，未考虑机械损失、容积损失以及壁面粗糙度。

对比结果表明，计算域的建立及网格剖分，湍流模型的选择及边界条件的设置均符合计算要求。

3 叶轮的多目标多参数优化 3.1 优化过程

基准叶轮选用比转速为530的模型泵叶轮，优化对象为叶片的载荷分布，力求在不改变轴面投影图、叶片数、叶片厚度分布、转速、扬程、设计流量点等前提下，使其具有更高的效率及较宽的高效区。基准叶轮轴面投影图及叶片外形如图 5所示。

由1.2节可知，设计参数总数为8个，因此，在本研究中使用拉丁超立方抽样总计生成了70个不同配置的样本点。当设计变量与样本空间数固定时，参数范围对构建的近似模型精度具有较大影响，各参数适当的范围为：-0.1 < LE < 0.1, 0.2 < NC < 0.5, 0.5 < ND < 0.8, -1 < K < 1^[22]。

样本空间确定后，对样本空间内各参数组使用反问题设计法逐一构建叶轮，计算每个叶轮3个工况点，分别为0.7Q_des、1.0Q_des和1.1Q_des，共计210(3×70)组。其中1.0Q_des处的计算结果将作为设计点处效率和扬程不降低的约束条件，0.7Q_des和1.1Q_des处的计算结果将作为目标参数与对应的设计变量构建近似模型。

不同的设计参数对于目标函数的影响程度各不相同，因此，对各参数进行敏感性分析，结果如表 2所示。表中下标h和s分别表示轮毂和轮缘：

由表 2可知，设计变量对0.7Q_des和1.1Q_des处效率具有互斥性，不存在某一参数对两者均具有正效应或负效应。其中叶片进口边轮缘处初始值LE_s对0.7Q_des和1.1Q_des处效率值的影响最大，且与0.7Q_des处效率负相关，与1.1Q_des处效率正相关；K_h对0.7Q_des处效率影响最小；NC_h和ND_s对1.1Q_des处效率影响最小。

在ADT优化求解器中，各近似模型的误差由交叉验证确定。在本研究中，样本点数为70，因此，每个优化目标的近似模型均由这70个样本点及其对应的目标函数值所构建。在优化模型构建完成后，使用每一组数据对其进行准确性验证，重复该过程70次，得到各模型误差值，结果如表 3所示。由表 3可知，各优化目标所对应的近似模型的误差均较小，满足计算精度要求。

在目标参数与设计变量之间的函数关系建立后，由于为多目标优化问题，故使用NSGA-Ⅱ对构建的近似模型进行全局寻优，并构建帕累托前沿。图中0.7Q_des和1.1Q_des处均具备较高效率的设计点以黑线标出，结果如图 6所示。

为使优化后模型在0.7Q_des和1.1Q_des处的泵段效率均高于原始模型，最终设计方案定为：LE_h=0.08；NC_h=0.376；ND_h=0.684；K_h=1；LE_s=-0.1；NC_s=0.286；ND_s=0.597；K_s=0.851。载荷分布如图 7所示。

3.2 优化结果与分析

优化后最终设计的叶轮外形及网格剖分结果如图 8所示。

图 9为最终设计与基准设计泵段外特性模拟值对比图，计算设置及网格剖分与前文保持一致。由图 9可知，相较于原始模型，经多参数多目标优化后的叶轮在外形没有改变的前提下，泵段性能提升明显。相比于过往研究中基于反问题设计的单目标优化，在本研究中，通过多目标优化后，泵段效率在较大的流量范围内均有提高，且设计点处泵段扬程基本不变，满足约束条件，这无疑是一个巨大的进步。

通过分析可知在相同流量下，泵段效率的改变一般由以下2部分组成：1)叶轮效率的变化；2)除叶轮外，其他部件损失的改变。对本优化作类似分析，并且将其他部件损失聚焦于导叶处，结果如表 4所示。由表 4可知，针对叶轮的优化在大流量区取得了较好的成果，而在小流量区提升较小，甚至比原有叶轮效率更低。但优化后的叶轮出水更为光滑均匀，减小了后续段的混合损失，从而使得总泵段效率得到提升。

以设计点(1.0Q_des)为例，最终设计相对于基准设计泵段效率提升为4.17%。以翼展50%跨度处周向展开图及轴面图做内流场分析，结果如图 10所示。在叶轮处，基准设计与最终设计叶轮内部流场分布都较为均匀合理，无明显流动分离现象发生。然而在基准设计的导叶入口处出现了明显的低速区，并伴随着较为明显的流动分离现象，方向由轮缘指向轮毂，如图 10(a)所示；在导叶出口处的叶片背面出现了较大范围的低速区，该区域的流体与高速区流体相互作用将形成漩涡区，从而增加了流动损失，如图 10(c)所示。以上不利流动在优化后的设计中均得以削弱或消除，如图 10(b)和(d)所示。

叶轮出口处质量平均轴向速度分布如图 11所示，横坐标中0表示轮毂，1表示轮缘。从图中可以看出基准叶轮从轮毂到轮缘轴向速度逐渐增大，优化设计与之相反，这表明基准叶轮轮缘处做工能力大于轮毂，优化后轮毂处做工能力大于轮缘。由于轮毂半径小于轮缘半径，因此，当流体经过叶轮时，轮毂处摩擦损失大于轮缘处，轮缘处流体碰撞引起的混合损失大于轮毂处。在小流量区，摩擦损失占据主导地位，故当轮缘处做工能力大于轮毂处时，叶轮拥有较高的效率；在大流量区，混合损失占据主导地位，故当轮毂处做工能力大于轮缘处时，叶轮拥有较高的效率，这与图 9与表 4的结果对比相一致。

4 结论

1) 以三维反问题设计方法为基础，结合拉丁超立方抽样算法、克里金算法及非支配排序遗传算法，可以构建起有效的混流泵多目标优化系统。相较于单目标优化，其可以有效的处理多个互相冲突的优化目标。

2) 相较于初始模型，优化后泵段效率在较大流量范围内均有明显提升。分析各部件效率变化原因可知，在实际应用中，优化后叶轮对整体泵装置效率的提升将更为明显，因为泵段前后将连接更长的管段或更为复杂的流道。

3) 由基线模型和优化模型效率对比分析可知，叶轮已相当完善，提升空间较小。然而，导叶或叶轮与导叶的耦合优化还具有较大的研究价值。此外，在泵站工程中，由于进出水流道较为复杂，考虑他们与泵段的相互作用，对其整体进行优化将会成为下一阶段的研究重点。