2. 南京航空航天大学 航天学院, 江苏 南京 210016
2. College of Astronautics, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China
高超声速飞行器复杂的飞行环境以及自身特殊的外形结构,导致其呈现出强非线性、强耦合、模型不确定以及快速时变等复杂的系统特征,因而给飞行器外形和控制系统设计带来了诸多困难与挑战[1-2]。相比于传统先外形后控制的设计思路,本体-控制一体化在设计初期就考虑了控制系统的性能优化,反向指导了飞行器的外形设计,节约了参数反复迭代的成本,设计效率高,成为了飞行器外形、控制等研究领域的热点[3-4]。文献[5]提出了融合控制的多学科优化设计思想,并以X-29的初始设计为例说明了控制对飞行器设计的限制。文献[6]考虑了仅有操纵面大小一个本体参数的一体化设计问题,对飞行器进行了本体和控制器的一体化优化。文献[7]涉及了高超声速飞行器一体化设计的实例,研究了多个外形参数变化对本体设计和控制设计的影响。众多的研究表明本体-控制一体化思想在飞行器的初期设计阶段,对结构外形的优化设计具有重要的意义[8]。
高超声速飞行器由于具有更强的非线性特性及参数不确定性,从实际工程应用的角度来看,在飞行器一体化设计优化框架中融入参数化建模是必要的。同时,进一步考虑气动、隐身、控制等多学科需求的参数化建模必然需要引入更多的参数,参数的增加会使优化设计任务增大并降低优化效率[9-11]。因此,随着本征系统模型复杂度的增加,引入代理模型技术是本体-控制一体化优化设计的必经之路。文献[12]针对高超声速飞行器后体/尾喷管进行一体化设计,通过试验数据计算、代理模型建立和智能算法优化3个过程,完成了对飞行器的优化建模。文献[13]关注系统建模、不确定性和本体系统参数间的耦合问题,分析了其对系统建模和控制系统设计的影响。文献[3]分别采用灵敏度分析的数据拟合方法和基于机理推导方法建立高超声速飞行器的代理模型并进行了变参性能分析。目前,许多的系统优化设计问题中使用的代理模型,都存在对本征系统动力学的大量简化或是完全忽略动态特性的静态分析,例如在固定巡航点的配平线性化模型进行优化设计,这类简单的线性模型无法反映飞行条件的变化对设计参数带来时变影响,也不能适应优化设计中本征系统的变化[14]。
综上,本文提出了一种高超声速飞行器面向一体化的变参代理建模方法。该方法从一体化设计的需求出发,综合考虑高超声速飞行器大包线飞行的特点,建立包含飞行条件、外形结构等多参数的变参代理模型。所建立的模型在高超声速飞行器设计前期可以为面向本体-控制一体化的优化设计服务,在设计中后期使得增益调度控制、鲁棒控制等线性系统设计方法能够应用于非线性系统设计[15-16],为后续的控制性能分析、控制系统设计提供基础。
1 面向一体化的变参代理建模方法本文提出面向一体化的高超声速飞行器变参代理建模方法,方法包括3个步骤,如图 1所示。
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对于高超声速飞行器这一复杂的动力学系统,其系统状态与本体参数、飞行条件之间存在复杂的耦合关系。这些参数与飞行器运动状态之间的关系是通过作用在飞行器上的力和力矩建立的。故而要在高超声速飞行器的力和力矩计算中包含所研究的参数,假设高超声速飞行器有n个可变的调度参数ϑ1, ϑ2, …, ϑn,n≥2,则高超声速飞行器的动力学模型可表示为:
$ {f_{{\rm{ model }}}}(G,L,D,M,T) = f({\vartheta _1},{\vartheta _2}, \cdots ,{\vartheta _n}) $ | (1) |
式中:调度参数ϑ1, ϑ2, …, ϑn既可以是飞行器本体设计参数p1, p2, …,如飞行器质量、质心位置、操纵面大小、前体压缩角等,也可以是研究对象的飞行条件,如高度h和马赫数Ma。
1.2 高超声速飞行器线性变参代理模型建立对高超声速飞行器结合间隙度量理论建立线性变参代理模型的过程中,本文提出调度参数的分类策略,以解决模型参数数量多而带来的参数高维和计算复杂的问题。
利用间隙度量理论建立线性变参代理模型在理论上对调度参数数量并没有限制[18],但随着调度参数维数的增加,区域维度和区域内状态点数量也在增加,进而导致使用该方法建立飞行器变参模型时的计算量大大增加。为了解决这一问题,通过对系统间间隙度量值随单个调度参数的变化趋势进行分析,探索飞行器对象特性的特异性,并通过机理推导验证个别调度参数对模型系统影响呈现出的规律性,以此分析形成分类策略,将调度参数分成了规律性参数和无规律性参数2类。即在之后的建模过程中可以省去规律性参数的计算过程,达到参数降维,减小计算量的目的,进而扩大建模方法的适用范围。
图 2展示了建立线性变参代理模型的流程,这一过程主要又可以分为建立全包线线性时不变(LTI)系统、调度参数分类决策和建立线性变参代理模型3个部分,将在下文具体阐述。
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1) 确定各个调度参数的变化区间[ϑimin, ϑimax],i=1, 2, …, n。
2) 对各参数在对应参数变化区间内进行均匀采样,得到一个由所有不同参数的状态点组成的n维参数变化区域,区域内的状态点数量为:
$ {N_t} = \prod\limits_i^n {{N_{{\vartheta _i}}}} $ | (2) |
3) 对各采样状态点进行线性化得到一系列线性时不变(LTI)系统集合,记作{Se|e=1, 2, …, Nt}。
1.2.2 调度参数分类决策取单个调度参数ϑi,分析系统间间隙度量值随该参数的变化趋势是否呈现出规律性,对变化趋势呈现明显规律的调度参数,推导线性系统量纲导数关于该调度参数的偏导数,判断调度参数对模型的影响能否分离,若能,即为规律性参数,反之或间隙度量值随参数的变化趋势无明显规律,该调度参数划为无规律性参数。规律性参数的数量记为x。
下面以高度参数为例进一步说明调度参数分类决策及确定规律性参数的过程。平衡状态点处飞行器小扰动线性化模型为:
$ \Delta \mathit{\boldsymbol{\dot X}} = \mathit{\boldsymbol{A}}\Delta \mathit{\boldsymbol{X}} + B\Delta \mathit{\boldsymbol{U}} $ |
式中:X=[V α h q θ]T;U=[δe ϕ]T; ΔX=X-Xeq; ΔU=U-Ueq; 下标“eq”表示平衡点处的值。
$ \mathit{\boldsymbol{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_V}}&{{X_\alpha }}&{{X_h}}&0&{ - g}\\ {\frac{{{Z_V}}}{{{V_{{\rm{eq}}}}}}}&{\frac{{{Z_\alpha }}}{{{V_{{\rm{eq}}}}}}}&{\frac{{{Z_h}}}{{{V_{{\rm{eq}}}}}}}&1&0\\ 0&{ - {V_{{\rm{eq}}}}}&0&0&{{V_{{\rm{eq}}}}}\\ {{M_V}}&{{M_\alpha }}&{{M_h}}&0&0\\ 0&0&0&1&0 \end{array}} \right],\mathit{\boldsymbol{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_{{\delta _e}}}}&{{X_\phi }}\\ {\frac{{{Z_{{\delta _e}}}}}{{{V_{{\rm{eq}}}}}}}&{\frac{{{Z_\phi }}}{{{V_{{\rm{eq}}}}}}}\\ 0&0\\ {{M_{{\delta _e}}}}&{{M_\phi }}\\ 0&0 \end{array}} \right] $ | (4) |
高度的变化主要影响矩阵A中的Xh、Zh/Veq和Mh 3项,计算式分别为:
$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{X_h} = \frac{1}{m}\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial h}}{\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\alpha _{{\rm{eq}}}} - \frac{{\partial D}}{{\partial h}}} \right)}\\ {\frac{{{Z_h}}}{{{V_{{\rm{eq}}}}}} = - \frac{1}{{m{V_{{\rm{eq}}}}}}\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial h}}{\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\alpha _{{\rm{eq}}}} + \frac{{\partial L}}{{\partial h}}} \right)}\\ {{M_h} = \frac{1}{{{I_{yy}}}}\left( {\frac{{\partial M}}{{\partial h}} + \frac{{\partial T}}{{\partial h}}} \right)} \end{array}} \right. $ | (5) |
若高超声速飞行器模型的气动导数CL、CD、Cm、CT均与高度参数无关,则高度参数变化对模型气动力和力矩的改变仅是影响了动压Q,则式变为:
$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{X_h} = \frac{1}{m}({C_T}{S_r}{\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\alpha _{{\rm{eq}}}} - {C_D}{S_r})\frac{{\partial Q}}{{\partial h}} = {K_{X{\rm{eq}}}} \cdot \frac{{\partial Q}}{{\partial h}}}\\ {\frac{{{Z_h}}}{{{V_{{\rm{eq}}}}}} = - \frac{1}{{m{V_{{\rm{eq}}}}}}({C_T}{S_r}{\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\alpha _{{\rm{eq}}}} + {C_L}{S_r})\frac{{\partial Q}}{{\partial h}} = {K_{Z{\rm{eq}}}} \cdot \frac{{\partial Q}}{{\partial h}}}\\ {{M_h} = \frac{1}{{{I_{yy}}}}({C_m}{S_r}{c_r} + {C_T}{S_r})\frac{{\partial Q}}{{\partial h}} = {K_{h{\rm{eq}}}} \cdot \frac{{\partial Q}}{{\partial h}}} \end{array}} \right. $ | (6) |
式中:Sr为飞行器机翼的参考面积; cr为飞行器机翼的平均弦长; 由于高超声速飞行器的转动惯量大导致Kheq数值很小;而高超声飞行器模型的质量及飞行速度也均较大,故系数KXeq与KZeq数值也较小且随配平状态的变化不大。因此,对于不同高度平衡点处的线性化系统,它们矩阵A之间的差异及系统间的间隙度量值δgap受上述3个量纲的影响就呈现与∂Q/∂h相关的变化规律:
$ \Delta \mathit{\boldsymbol{A}}(\Delta {X_h},\Delta {Z_h},\Delta {M_h}) \propto \Delta \frac{{\partial Q}}{{\partial h}} \Rightarrow {\delta _{{\rm{ gap }}}} \propto \Delta \frac{{\partial Q}}{{\partial h}} $ | (7) |
故而,对气动导数与高度参数关联较小的高超声速飞行器模型,可以将高度参数划归为规律性参数。参考上述分析,对于调度参数与气动力、推力之间关联简单的特殊模型,亦或是无动力再入等特殊飞行过程,都可以参考上述思路。针对具体模型分析,提出调度参数的分类策略,寻找规律性参数简化建模过程。
1.2.3 建立线性变参模型1) 再次遍历参数集,若调度参数ϑi为无规律性参数:
① 遍历其余调度参数ϑj,j≠i计算相邻状态点l:(ϑi, ϑj)和l+1:(ϑi+Δϑi, ϑj)间线性系统的间隙度量值,记作δgap, ϑi(Sl, Sl+1),其中l=1, 2, …, Nϑi-1。
② 获得随调度参数ϑi变化的状态点系统间间隙度量值序列,计算每组序列中间隙度量值的累加和:
$ \sum\nolimits_l = \sum\nolimits_{l - 1} + {\delta _{{\rm{gap}},{\vartheta _i},{\vartheta _j}}}({S_l},{S_{l + 1}}) $ | (8) |
③ 确定衡量指标τ,每次当序列累加和满足式要求时,取对应的ϑi, j, k作为参考区间边界。其中,取值次数k=1, 2, …, Nd, ϑi。
$ \sum\limits_{{\vartheta _i} = \vartheta _{i,j,k}^l} \ge \tau $ | (9) |
④ 按取值次数k遍历取出的参数集合,取最小值ϑiM=min{ϑi, j, k}作为参数边界,划分参数区间[ϑimin, ϑimax]。
⑤ 对无规律性参数构建新的n-x维参数变化区域,并根据各参数区间内的边界划分整个n-x维区域,结果可得参数变化子区域的数量为:
$ N = \prod\limits_1^n {{N_{d,{\vartheta _i}}}} $ | (10) |
⑥ 为保证标称点线性系统与子区域内其他状态点处线性系统的差异最小,遍历参数变化子区域φm,m=1, 2, …, N,子区域内包含Nm个状态点。计算子区域内每个状态点与其他状态点系统间的间隙度量值并求和,再对总和取均值作为衡量指标:
$ {\bar \delta _{{\rm{ gap }}}}({S_P}) = {\rm{min}}\left\{ {\frac{1}{{{N_m}}}[\sum\limits_{a = 1,b \ne a}^{{N_m}} {{\delta _{{\rm{ gap }}}}} ({S_a},{S_b})]} \right\} $ | (11) |
选取指标最小的状态点的调度参数值即为标称点对应该参数的值ϑi, P。
若调度参数ϑi为规律性参数:
① 按1.2.2节中分析出的间隙度量值随该参数的变化规律,将参数变化范围[ϑimin, ϑimax]划分为Nd, ϑi个子区间。
b) 取各子区间的中点作为参数变化子区域中标称点对应该调度参数的值ϑi, P。
② 确定整个n维参数变化区域的区域划分及区域内的标称点,标称点记作Pm=(ϑ1, P, ϑ2, P, …, ϑn, P)。绘制所确定的标称点线性系统的伯德图,比较对应参数变化子区域内各状态点的动态特性是否相似,判断子区间和标称点选取的合理性;若不合理,则减小的采样间隔或指标τ,重复之前的流程。
3) 运用最小二乘法对标称点处的线性系统的状态矩阵(Ai, Bi)进行拟合得到关于调度参数的多项式矩阵为:
$ \mathit{\boldsymbol{A}}({\delta _{{\vartheta _i}}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}&0&{{a_{15}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_2}}&{{a_{23}}}&1&0\\ 0&{{a_{32}}}&0&0&{{a_{35}}}\\ {{a_{41}}}&{{a_{42}}}&{{a_{43}}}&0&0\\ 0&0&0&1&0 \end{array}} \right],\mathit{\boldsymbol{B}}({\delta _{{\vartheta _i}}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_{11}}}&{{b_{12}}}\\ {{b_{21}}}&{{b_2}}\\ 0&0\\ {{b_{41}}}&{{b_{42}}}\\ 0&0 \end{array}} \right] $ | (12) |
最终建立高超声速飞行器的线性变参代理模型:
$ \Delta \mathit{\boldsymbol{\dot X}} = \mathit{\boldsymbol{A}}({\delta _{{\vartheta _i}}})\Delta \mathit{\boldsymbol{X}} + \mathit{\boldsymbol{B}}({\delta _{{\vartheta _i}}})\Delta \mathit{\boldsymbol{U}} $ |
式中δϑi∈[-1, 1]为各调度参数归一化表示为:
$ {\delta _{{\vartheta _i}}} = \frac{{2{\vartheta _i} - ({\vartheta _{i{\rm{max}}}} + {\vartheta _{i{\rm{min}}}})}}{{{\vartheta _{i{\rm{max}}}} - {\vartheta _{i{\rm{min}} }}}} $ | (13) |
本体设计参数是一体化设计关注的重点,代理模型的准确度,尤其是关于本体设计参数变化规律的保真度,对面向一体化设计进行变参代理建模工作具有重要的意义。因此,提出以下步骤对建立的变参代理模型进行一系列校验。
1) 验证建立的代理模型是否准确反映了原模型的开环非线性特性。绘制高超声速飞行器非线性模型及变参代理模型在相同参数下的阶跃响应曲线,比较各模型开环响应是否一致。
2) 验证建立的模型是否保留了原模型随本体参数变化的系统特性。绘制高超声速飞行器非线性模型与变参代理模型随本体参数变化下的配平状态量,比较各模型随本体参数的变化趋势是否一致。为保证校验准确,需要改变本体参数的采样间隔,以确认在建模过程中未采样的本体参数状态下,模型之间是否仍呈现相似的特性。
3) 验证建立的代理模型是否可以替代原模型进行控制设计。设计经典的闭环控制结构用于高超声速飞行器非线性模型与变参代理模型,绘制闭环阶跃响应曲线,比较各模型在相同控制器作用下的闭环响应是否一致。
2 变参代理建模方法应用高超声速飞行器的质心位置与飞行器的纵向静稳定性有着密切的关系,将质心位置作为设计变量进行本体-控制一体化设计十分必要[19]。在此按照本文所提出的面向一体化的变参代理建模方法对参考文献[20]中的高超声速飞行器模型建立以马赫数、高度和质心位置为调度参数的变参代理模型,并仿真校验建立的代理模型,说明了此代理建模方法的准确性和适用性。
2.1 高超声速飞行器代理模型建立所采用的高超声速飞行器非线性动力学模型中包含马赫数Ma, 高度h和质心位置Xcg3个调度参数。
首先,高度和马赫数是2个飞行条件调度参数,确定了所研究的高超声速飞行器一体化优化设计问题覆盖的包线范围,取马赫数范围为[5, 10],高度范围为[25 km,30 km],文献给出的模型参考质心位置在-16.8 m附近,确定模型质心位置的变化范围为[-15.8 m, -17.8 m],取平均采样间隔ΔMa=0.5,Δh=0.5 km,ΔXcg=-0.2 m。计算相邻系统间的间隙度量值,分析其随马赫数、高度及质心位置的变化趋势,如图 3~5所示
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通过对趋势图的分析可知,系统间间隙度量值主要受马赫数变化的影响,随高度和质心位置的变化较小。结合式,马赫数参数和质心位置参数与气动力、力矩关联复杂,变化规律难以推导,划归为无规律性参数;而参考1.2.2节中的分析,系数KXeq与KZeq均为负值,动压的变化率随高度增加而增大,验证了系统间间隙度量值随高度增加而减小,故将高度参数划归为规律性参数。
因此,根据规律性参数参考间隙度量值的变化规律将飞行区域的高度划分为[25 km,26.5 km]和[26.5 km,30 km]2个区间,标称点高度参数的确定以高度区间的中点为原则选取。马赫数和质心位置2个无规律性参数选取指标τ=0.2作为划分准则进行参数变化区域的划分。最终将整个3维的参数变化区域划分为16个子区域,各个分区的区域范围及标称点如图 6所示。其中,实线代表了整个参数变化区域的边界,圆点对应的是平均化采样的状态点,虚线划分了子区域,星号标记点为子区域内的标称点。
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接着对每个子区域验证标称点选取的合理性,以第14个子区域为例,标称点各参数分别为Ma=9.5、h=26 000 m、Xcg=-17.6 m。图 7中的圆圈表示子区域内任一状态点与其他所有状态点线性系统间间隙度量值的加和平均值,质心位置不同的状态点在图中同一高度和马赫数位置叠加显示,可以发现圆点对应的均值最小,该状态点即为对应子区域的标称点。
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图 8为第14个子区域标称点与参数变化区域内其他状态点线性系统单输入单输出通道的频域特性对比。标称点线性系统频域特性为红色曲线,其他状态点线性系统频域特性为蓝色曲线,可以看出红色曲线位于蓝色曲线包络的中间位置,说明其他状态点的线性系统与标称点的线性系统有相似的动态特性,故而验证选取的标称点可以替代整个参数变化子区域。
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将马赫数、高度及质心位置参数归一化表示为δMa、δh和δXcg。图 6中的16个标称点组成了整个参数变化区域的平衡点集合,其分别对应16个线性系统(Ai, Bi),其中i=1, 2, …, 16。采用最小二乘法拟合得到状态矩阵关于δMa、δh和δXcg的解析表达式,最终得到高超声速飞行器纵向运动的线性变参代理模型
$ \Delta \mathit{\boldsymbol{\dot X}} = \mathit{\boldsymbol{A}}({\delta _{Ma}},{\delta _h},{\delta _{{X_{cg}}}})\Delta \mathit{\boldsymbol{X}} + \mathit{\boldsymbol{B}}({\delta _{Ma}},{\delta _h},{\delta _{{X_{cg}}}})\Delta \mathit{\boldsymbol{U}} $ | (5) |
式中:A(δMa, δh, δXcg)、B(δMa, δh, δXcg)均是由归一化的调度参数δMa、δh和δXcg确定的矩阵。
2.2 高超声速飞行器代理模型检验 2.2.1 开环特性检验比较非线性模型与线性变参代理模型的开环响应,选取部分状态点,以Ma=7、h=26 000 m的飞行状态为例。调度参数中的质心位置作为本体设计参数在Xcg=-16 m、Xcg=-16.5 m、Xcg=-17 m、Xcg=-17.5 m之间变化时,非线性模型与线性变参代理模型在指定参数下的单通道阶跃响应如图 9所示。
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由图 9可得所建立的线性变参代理模型与非线性模型虽然存在由线性化方法产生的特性差异,但开环响应的变化趋势相同,这保证所建立的变参代理模型具有与原对象一致的开环非线性特性。
2.2.2 随本体参数变化的系统特性检验针对研究的质心位置这一本体设计参数,比较非线性模型和变参代理模型的配平状态随质心位置的变化趋势。不同于之前的建模过程,为保证变参代理模型能够捕捉到质心位置在区间未采样部分变化的变化规律,在质心位置变化区间[-15.8 m, -17.8 m]取更小的间隔ΔXcg=-0.1 m。配平舵面偏转角随质心位置的变化如图 10所示。
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可以看出非线性模型与变参代理模型的配平舵面偏转角随质心位置的变化趋势一致,反映变参代理模型能够有效表征本体参数在原模型中的特性。
2.2.3 闭环特性检验参考文献[18]对建立的变参代理模型取短周期部分,采用经典PI控制结构,以极点配置法设计了纵向增稳控制器。将控制器分别用于变参代理模型和原非线性模型,效果对比如下:
由图 11控制器阶跃响应曲线的比较,非线性模型和变参代理模型在相同的控制器作用下的响应具有一致性。
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综合上述校验,表明所建立的变参代理模型具有良好的保真度,可以代替原模型很好地用于本体-控制一体化方面的设计研究。此外,本文的变参建模方法优先考虑模型保真度的要求对确定性系统进行建模,没有对系统不确定性因素作详细分析。然而,不确定性系统可以由确定系统加上不确定性因素后扩维形成的确定性系统表示[21]。针对具有强不确定性的高超声速飞行器,考虑不确定性作为模型参数使系统的维度增加,但本文的变参代理建模方法依旧适用。
3 结论1) 本文提出的高超声速飞行器变参代理建模方法面向本体-控制一体化优化设计,兼顾了本征系统的特性变化和大包线飞行的特点,拓展了线性变参代理模型反映本征参数对系统动态特性影响的能力,使模型既能适应本体参数优化设计迭代又能用于控制系统的分析与设计,具有工程实用价值。
2) 针对面向一体化的多参数建模带来的参数高维问题,结合间隙度量理论的分析和机理推导,对调度参数进行决策分类,改进了多参数代理建模过程中计算量大的问题,扩展多参数建模的适用范围。
3) 建模方法包含完整的模型校验流程,通过实例验证,证实该方法能够保证模型具有较好的保真度,尤其是能良好地反映出本体特征参数的特性。
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