在“一带一路”倡议的背景下，我国对外贸易不断发展。“21世纪海上丝绸之路”建设使得各沿线国家对开发利用海洋资源和海洋空间更加重视，尤其是海洋油气资源的开发。我国积极开展海洋工程装备、港口机械等的对外贸易活动。但这些装备、机械往往体积或重量较大，需要通过半潜船等特殊船舶运输。半潜船通常采用潜浮装卸的方式将这些重大件承载在主甲板上运输，避免了重大件起吊装卸的困难，但这一技术存在一定的安全风险，需要针对具体运输任务详细论证装载方案的可行性。

随着重大件运输的兴起与发展，专家学者们开始关注半潜船运输重大件的问题。由于海工装备等重大件往往重量、尺度、形状各异，半潜船运输重大件的过程中，安全性是非常关键的影响因素^[1]。然而半潜船的适运货物特殊，完成运输任务后往往压载回程。与集装箱船、散货船比，半潜船运输空载率较高。考虑到半潜船载货甲板面积限制以及运输过程中满载与压载的燃油消耗差异，学者们研究了重大件运输的货物分配问题^[2]以及船舶调度问题^[3]。其中多以成本最小为目标，对于运输问题中的安全性研究有待进一步深入。因此半潜船运输重大件时，在追求高安全性的前提下多运货物，实现承运货物与安全性的双目标最优是十分必要的。目前多目标优化方面主要有2种方法：1)采用合理的方式将多目标转化为单目标计算，如Veluscek等^[4]介绍了多目标求解的策略，发现将多目标通过目标合成的方法转化为单目标求解^[5-6]是使用最多的策略；2)设计多目标算法求解Pareto解集^[7-8]，在获得多目标优化问题的Pareto解集之后，可通过理想点法等方法^[9-10]选择出一个最满意的方案。

在海洋装备等重大件的大型化发展趋势下，半潜船的新造船型承载重量不断增大，相应的其压载舱的压载能力与舱室数量不断增加。在选择承运货物的总重量时，初稳性值等安全性指标的计算更加复杂。本文基于上述分析，在半潜船选择重大件运输任务时，将半潜船的承载重量以及安全性综合考虑，建立半潜船潜浮作业承载重量与初稳性双目标优化模型，通过离散承载重量的方法求得该双目标优化模型的Pareto解集。

1 双目标优化模型建立 1.1 问题描述

半潜船通常通过压载水的调节，实现对所要承运的如海洋工程装备等重大件货物的潜浮装卸。然而这些重大件货物在重量、尺寸上具有较大的差异，需要对承运的特定货物制定详细的半潜船装载手册。而且对于需要长距离运输的海洋工程装备，如果一艘半潜船仅运输一座海洋工程装备可能导致半潜船承载能力的浪费。但运输多座海洋工程装备，就需要在保证安全的前提下合理选择承运的海洋工程装备，如半潜船“振华34”同时将2座钻井平台从烟台运输至非洲。这就涉及到在保证安全的前提下，在半潜船承载能力范围内合理选择承运货物的问题，即在保证较高的安全性水平的同时追求最大的半潜船承载重量。在解决该问题之前，作出如下假设：1)半潜船开展潜浮作业的水域条件满足规范要求；2)货物在半潜船上绑扎牢固，不会出现侧滑等状况；3)计算中半潜船承运的货物记为一个整体。

1.2 参数与变量

为便于说明压载舱的信息，建立船舶坐标系，以尾垂线与基平面的交点为坐标原点o，基平面与中线面的交线为x轴，指向船艏为正；尾垂线为z轴，向上为正；过坐标原点且垂直于xoz面的直线为y轴，指向右舷为正。记B为N个压载舱的集合，第n个压载舱B_n的最大压载量为W_Bⁿ，满舱压载水的重心坐标为[x_Bⁿ, y_Bⁿ, z_Bⁿ]。为准确表述涉及到的变量，作出如下定义：

定义    将压载舱的压载重量与压载舱的最大压载量的比值记为压载系数。

根据以上定义，第n个压载舱的压载系数记为θ_n，为决策变量。

1.3 目标函数

半潜船潜浮装卸货物时，先下潜至浮装吃水，移航至货物下方后再上浮至设计吃水，从而托举货物出水。整个过程中，半潜船承载货物后在设计吃水处排水量最小，因此考虑设计吃水处的承载重量与安全性水平为优化目标。其中半潜船承载重量按式计算公式为：

$ {W_c} = \sum\limits_{m = 1}^M {W_c^m} $

(1)

式中：W_c为半潜船承运货物的重量；W_c^m为承运的货物m的重量；M为承运的货物总数。

考虑到规范要求一般半潜船应在规定的风、浪外界环境条件下进行半潜作业，如基本无浪的平静水域，或蒲氏风级、有义波高限制下的水域，此时船舶受风、浪影响倾斜角度较小。因此以初稳性高度值作为衡量船舶安全性的指标，计算公式为：

$ {G_M} = {K_B} + {B_M} - {K_G} - {\delta _{G{M_f}}} $

(2)

式中：G_M为经自由液面修正后的初稳性高度；K_B为船舶浮心高度；B_M为船舶横稳心半径；K_G为船舶重心高度；δ_GMf为自由液面对初稳性高度的修正值。

K_B、B_M的值由船体在相应吃水处的浮心与稳心确定。K_G的计算较为复杂，除空船、各种负载等重量外，需要重点计算压载舱的重量，计公式算为：

$ {K_G} = \frac{{\sum\limits_{n = 1}^N {W_B^n} {\theta _n}[(z_B^n - z_{B'}^n){\theta _n} + z_{B'}^n] + M_c^z + M_0^z}}{{\sum\limits_{n = 1}^N {W_B^n{\theta _n}} + {W_c} + {W_0}}} $

(3)

式中：W_Bⁿ为第n个压载舱的最大压载量；z_B′ⁿ为第n个压载舱的舱底z坐标值；M_c^z为货物的z向力矩；M₀^z为空船的z向力矩；W₀为空船的重量。

δ_GMf只与自由液面的大小、船舶排水量有关。为便于计算，各舱室的自由液面大小取舱室不同水位下自由液面大小的平均值。故δ_GMf计算公式为：

$ {\delta _{G{M_{\rm{f}}}}} = \sum\limits_{n = 1}^N {\left\lceil {{\theta _n}(1 - {\theta _n})} \right\rceil } \;I_n^x\rho /\Delta $

(4)

式中：$\left\lceil \cdot \right\rceil $为向上取整函数，当空舱或满舱时，${\left\lceil {{\theta _n}(1 - {\theta _n})} \right\rceil }$为0，其他状态为1；I_n^x为n舱自由液面面积对其倾斜轴线的横向惯性矩；ρ为海水密度；Δ为设计吃水下的排水量。

1.4 双目标优化模型

为了在保证较高的安全性水平的同时追求最大的承载重量，建立了以半潜船潜浮作业承载重量与初稳性为目标的双目标优化模型^[11]为：

$ \max {W_c} $

(5)

$ \max {G_M} $

(6)

$ {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}\;\;\;\;\sum\limits_{n = 1}^N {W_B^n{\theta _n}} + {W_c} + {W_0} \le \Delta $

(7)

$ \sum\limits_{n = 1}^N {W_B^n{\theta _n}x_B^n} + M_c^x + M_0^x = \Delta {x_{\rm{F}}} $

(8)

$ \sum\limits_{n = 1}^N {W_B^n{\theta _n}y_B^n} + M_c^y + M_0^y = 0 $

(9)

$ {G_M} \ge {G_M} $

(10)

$ T_R^{\min } \le {T_R} \le T_R^{\max } $

(11)

$ {\theta _n} \in \left[ {0,1} \right],\forall n = 1,2, \cdots ,N $

(12)

式中：W₀为空船重量；M_c^x、M_c^y为承运货物的x、y向力矩；M₀^x、M₀^y为空船的x、y向力矩；x_F为设计吃水下的浮心x坐标值；$\underline {{G_M}} $为G_M的最低限值；T_R为船舶横摇固有周期，T_R=2k_r/$\sqrt {{G_M}} $(k_r为横摇转动半径)。式(5)、(6)同为目标函数，其中式(5)表示半潜船的承载重量，式(6)表示初稳性高度；式(7)为排水量限制，即压载水重量、货物重量与空船重量之和不能超过船舶排水量；式(8)~(9)为保证船体正浮的x、y向平衡约束；式(10)为G_M值最低限值约束；(11)为船舶横摇周期约束；(12)为变量约束。

2 算法设计

上述双目标优化模型的特殊性在于承载重量W_c既是目标函数又是决策变量之一。当选择承运的货物确定之后，即W_c确定，设计吃水下所需的压载水量即为定值。由于G_M与W_c、θ_n均有关，在W_c确定的情况下，可将双目标优化模型转化为由式(6)~(12)构成的单目标优化模型，进而求得该W_c下最大的G_M值。这一模型可通过非线性优化软件求解。下面说明一下此种方法求得的解(W_c, G_M)在双目标优化模型的Pareto前沿上。

由于设计吃水下船舶的排水量是固定的，因此当半潜船承运越多的货物，即承载重量越大，保持船体稳态的压载水的可携带量则越少。货物通常固定在甲板上，具有较高的重心高度。当半潜船承载重量较大、压载水量较少时，由式(2)、(3)可知，会导致船舶重心高度升高、船舶G_M值降低。因此半潜船W_c与G_M两目标之间相互冲突，见图 1。

图 1的横轴为W_c，纵轴为G_M，其中“ ● ”为Pareto前沿，P₁(W′_c, G′_M)、P₂(W″_c, G″_M)、P₃(W′_c, G″_M)分别为3组优化目标值对应的点。双目标优化模型Pareto前沿可通过以下2种方法探寻：1)当半潜船承运货物的W_c=W′_c时，通过上述单目标优化模型可求得其G_M=G′_M。半潜船内压载水按照不同的方案压载会求得不同的G_M值，如G″_M，但均不超过G′_M，当且仅当压载方案与单目标优化模型求得的压载方案相同时，G_M达到最大值G′_M。因此，在W_c=W′_c的情况下，(W′_c, G′_M)是处于支配地位的目标值，故P₁在Pareto前沿上；2)当半潜船的G_M=G″_M时，会存在多种半潜船承载重量与压载水重量的组合满足设计吃水下船舶排水量以及保持船舶稳态的要求，如(W′_c, G″_M)、(W″_c, G″_M)等。因此在众多组合中必定存在一个最大的W_c=W″_c，使得(W″_c, G″_M)在上述多组目标值中处于支配地位，即P₂在Pareto前沿上。该W″_c可由式(5)、式(7)~(12)构成的模型求解。以上2种方法均能求得双目标优化模型的Pareto前沿上的点，但方法1在求解上相较于方法2便捷。

综上所述，按照实际需求将承载重量W_c离散化处理，将双目标优化问题分解成已知W_c的情况下由式(6)~(12)构成的单目标优化模型的多个子问题。该子问题可通过一般非线性最优化方法搜索全局最优解。通过求解每个子问题得到处于支配地位的目标值，从而求得双目标优化模型的Pareto解集。

3 算例分析

以一型船长228 m、船宽43 m、型深13 m、设计吃水10.3 m的半潜船为例，其中W₀=28 869 t，Δ=82 206 t。压载舱共85个，采取由下而上、从后至前、先中间后左右舷的编号方式分别对压载舱进行顺序编号，各舱的参数已知。$\underline {{G_M}} $取0.5 m，T_R^min、T_R^max分别取9 s、20 s。假定货物重心高度为5 m，且与船体浮心在一条铅垂线上，船体浮心坐标为(112.79, 0.00, 5.45)。根据实际作业需求，对承载重量取1 000 t的精度进行离散，计算结果见图 2。

从图 2可以看出随着承载重量W_c的增加，G_M呈下降趋势，即承载重量与G_M值呈负相关的关系，决策者可结合实际运输过程中的海况等影响对安全性的要求，根据这一关系确定承运的货物。通过拟合发现，双目标优化求得的Pareto解满足式G_M=-0.148 7W_c+8.236 3，R²=0.996 0，且拟合效果较好。其中，在W_c=40×10³ t时对应的G_M=2.1 m，该解的压载方案见表 1。

半潜船在承运重大件时，货物的重心高度、装载位置变化，都会对半潜船承载重量及承运货物后的初稳性高度值产生影响。为了进一步探究货物重心高度、装载位置对优化结果的影响，通过改变货物重心的z、x、y坐标值，计算新的Pareto解集，见图 3。

图 3(a)是在其他条件保持不变的情况下通过改变承运货物重心的z坐标值计算得到的Pareto解集。从图中可以看出，在相同的承载总重量下，当承运货物的重心高度升高时，其初稳性高度值呈下降趋势；在相同的初稳性高度值下，当承运的货物重心高度升高时，承运货物的总重量呈下降趋势。综上，当承运的货物重心高度升高时，Pareto解集向两目标值均减小的方向移动。因此，选择承运的货物重心高度越高，对半潜船可承载的总重量以及承运货物后的初稳性高度值存在不利影响。图 3(b)是在其他条件保持不变的情况下通过改变承运货物重心的x坐标值计算得到的Pareto解集。从图中可以看出，在相同的承载总重量下，当承运货物重心的x坐标值在一定范围内增大时，其初稳性高度值呈下降趋势；在相同的初稳性高度值下，当承运的货物重心的x坐标值在一定范围内增大时，承载的总重量呈下降趋势。因此，在一定范围内，增大货物装载位置的x坐标值，Pareto解集向两目标值均减小的方向移动。由于船体是左右对称的，因此承运货物重心在船舶横向两侧偏移的情况相同。图 3(c)分析的是承运货物重心向船舶右舷侧偏移的情况，即在其他条件保持不变的情况下通过改变承运货物重心的y坐标值计算得到Pareto解集。从图中可以看出，在相同的承运货物总重量下，当承运货物重心的y坐标值增大时，其初稳性高度值呈下降趋势；在相同的初稳性高度值下，当承运货物重心的y坐标值增大时，承运货物的总重量呈下降趋势。因此，当承运货物的重心向船舶横向一侧偏移时，Pareto解集向两目标值均减小的方向移动。

通过观察图 3可以发现，随着承载重量W_c的增加，其重心对初稳性值影响越来越大。因此选择W_c=40 000 t的情况进行分析，探究其重心的z、x、y坐标值变化对初稳性值的影响，见图 4。

从图 4(a)可以看出，在承载重量不变的情况下，初稳性高度值与承运货物重心高度呈线性关系。从式(3)可知，货物重心高度的变化只改变了M_c^z，对压载方案、K_B、B_M等未造成影响，因此，G_M与承运货物重心高度线性相关。从图 4(b)可以看出，在承载重量不变的情况下，初稳性高度值随着承运货物重心x坐标值的增大呈现先增大后减小的趋势，存在一个区域，如[100, 115]，使得初稳性高度值维持在较高的水平。从图 4(c)可以看出，在承载重量不变的情况下，初稳性高度值随着承运货物重心y坐标值的增大呈现下降的趋势，且随着承运货物重心在船舶横向一侧偏移的程度越大，初稳性值降低的越快。

综上可知，半潜船承运货物时，货物总重量的重心高度越低，其在主甲板上放置位置横向上越居中，纵向上越接近或保持在一定区域内，对船舶的承运货物能力及初稳性值越有利。

4 结论

1) 建立的半潜船潜浮作业承载重量与初稳性双目标优化模型能够较好的描述该问题，计算得到的Pareto解集可为决策者提供承载重量与初稳性均较好的方案，以及相对应的压载方案；

2) 通过对选择承运货物重心位置的敏感性分析，发现承运货物重心高度对Pareto解集的影响较大，即重心越高，使得Pareto解集朝着2个目标值均减小的方向移动，承运货物重心的x、y坐标值在一定范围内对Pareto解集的影响具有相似的规律；

3) 随着承载重量的增加，其重心位置变化对初稳性值影响程度呈上升趋势，并在承载重量为4×10⁴ t时，探究了承运货物重心的z、x、y坐标值变化对初稳性值的影响规律，从而提出承运货物在半潜船甲板上最优装载位置的建议。