作为一种新型的复合材料, 功能梯度梁(functionally graded material, FGM)^[1]能够将2种或2种以上的材料按照人为的设计意愿, 使其在某一方向上进行连续的物理量属性变化, 避免结构之间的不连续变化和应力集中现象, 使得梁具备更优良的物理或化学性能, 满足实际工程的需求。对于轴向功能梯度梁结构, 诸多学者对其开展了广泛的研究。Huang^[2]采用Fredholm积分方程方法对变截面轴向功能梯度梁的自由振动进行分析。Hozhabrossadati^[3]采用理论分析方法和数值方法分别对双轴向功能梯度梁的固有频率和模态振形进行对比分析。Ghayesh等^[4]采用Galerkin模态分解的方法对轴向功能梯度梁的弯曲和振动进行了分析, 并与文献中的结果进行对比。由于轴向功能梯度梁的振动控制方程是变系数的微分方程, 直接求解困难, 因此文献[5-13]采用有限元或者曲线拟合的方式。由于正交多项式具有高精度性, 故在曲线插值拟合和数值积分方面, 正交多项式得到了很好的应用^[14-15]。因此, 本文基于Legendre多项式的基本理论^[16], 将Gauss点的高精度数值积分和曲线的最佳平方逼近相结合, 得到Legendre多项式的最佳平方逼近方法。将本方法的计算结果与相关文献中的计算结果进行对比, 验证本方法的正确性, 并且合理地评价本方法的优缺点。

1 Legendre多项式

在[-1, 1]上, Legendre多项式可由一系列幂函数xⁿ正交化得到, 它的权函数为q(x)≡1。采用递推公式形式, 可将其表示为：

$ {P_{n + 1}}(x) = \frac{{(2n + 1)x}}{{n + 1}}{P_n}(x) - \frac{n}{{n + 1}}{P_{n - 1}}(x) $

(1)

用Φ(x)表示Legendre多项式基函数的集合：

$ \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}(x) = {[\begin{array}{*{20}{c}} {{P_0}(x)}&{{P_1}(x)}& \cdots &{{P_n}(x)} \end{array}]^{\rm{T}}} = \mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{T}}_n}(x) $

(2)

式中：A为系数矩阵；T_n(x)=[1 x … xⁿ]^T。

由于A是可逆矩阵, 故式(2)可反转为：

$ {\mathit{\boldsymbol{T}}_n}(x) = {\mathit{\boldsymbol{A}}^{{\rm{ - 1}}}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}(x) $

(3)

定义在[-1, 1]上的可积函数f(x)可用Legendre多项式进行最佳平方逼近：

$ f(x) \approx \sum\limits_{i = 0}^n {{a_i}} {P_i}(x) = {\mathit{\boldsymbol{a}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}(x) = {\mathit{\boldsymbol{a}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{T}}_n}(x) $

(4)

其中, 系数矩阵a中的元素a_i可由内积确定：

$ {a_i} = \frac{{({P_i},f(x))}}{{({P_i},{P_i})}} = \frac{{2i + 1}}{2}\int_{ - 1}^1 {{P_i}} (x)f(x){\rm{d}}x $

(5)

第n+1项Legendre多项式基函数的全部零点均为Gauss点。以Gauss点作为离散点, 对可积函数F(x)进行离散, 离散内积矩阵为：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{a}} = (\mathit{\boldsymbol{P\tau }})\mathit{\boldsymbol{F}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{F}} = {{(\mathit{\boldsymbol{P\tau }})}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{a}}} \end{array}} \right. $

(6)

式中：P为基函数矩阵；τ为内积对角系数矩阵；F为离散点函数值矩阵。

可积函数f(x)在[-1, 1]上的一阶导数为：

$ {f^\prime }(x) \approx \sum\limits_{i = 0}^n {{b_i}} {P_i}(x) = {\mathit{\boldsymbol{b}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}(x) $

(7)

同时, Φ(x)的一阶导数可转化为：

$ {\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}^\prime }(x) = \mathit{\boldsymbol{A}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0\\ 1&0& \cdots &0\\ 0&2& \cdots &0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0& \cdots &n \end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{B \boldsymbol{\varPhi} }}(x) = \mathit{\boldsymbol{D \boldsymbol{\varPhi} }}(x) $

(8)

式中：B=[A_[1]^－1 A_[2]^－1 … A_[n]^－1]^T；D称为一阶微分算子。

因此, 可积函数f′(x)可进一步化简为：

$ {f^\prime }(x) \approx \sum\limits_{i = 0}^n {{b_i}} {P_i}(x) = {\mathit{\boldsymbol{b}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}(x) = {\mathit{\boldsymbol{a}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{D \boldsymbol{\varPhi} }}(x) $

(9)

由式(9), 可得向量a和b的关系：b=D^Ta。

同理, 可求得可积函数f(x)的n阶导数多项式系数向量a⁽ⁿ⁾：

$ {\mathit{\boldsymbol{a}}^{(n)}} = {({\mathit{\boldsymbol{D}}^{\rm{T}}})^n}\mathit{\boldsymbol{a}} $

(10)

最后, 根据式(6)和式(10)的表达, 可得到f(x)的n阶导数关于Gauss点的函数值：

$ {\mathit{\boldsymbol{F}}^{(n)}} = {(\mathit{\boldsymbol{P\tau }})^{ - 1}}{({\mathit{\boldsymbol{D}}^{\rm{T}}})^n}(\mathit{\boldsymbol{P\tau }})\mathit{\boldsymbol{F}} = \mathit{\boldsymbol{D}}_n^*\mathit{\boldsymbol{F}} $

(11)

式中：D_n^*表示第n阶Legendre多项式的导数矩阵。

2 离散控制方程及边界条件 2.1 Timoshenko离散控制方程

如图 1所示的轴向功能梯度梁, 长度为l, 它的材料属性随着轴向x坐标变化, 包括弹性模量E(x), 材料密度ρ(x), 截面面积S(x)和截面转动惯量I(x), 它们均为x的函数。根据Timoshenko梁理论, 考虑转动惯量和剪切变形的作用, 梁的应变能和动能可表示为^[17]：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {U = \frac{1}{2}\int_0^{{l_0}} {\int_s {({\sigma _{xx}}{\varepsilon _{xx}} + {\tau _{xz}}{\gamma _{xz}})} } {\rm{d}}S{\rm{d}}x}\\ {T = \frac{1}{2}\int_0^{{l_0}} {\int_s \rho } (x)({{\dot u}^2} + {{\dot w}^2}){\rm{d}}S{\rm{d}}x} \end{array}} \right. $

(12)

式中：l₀表示梁分析单元长度；u和w分别表示梁的轴向和横向的位移；σ_xx、ε_xx、τ_xz和γ_xz分别表示梁的应力、应变、切应力和切应变。

运用Hamilton原理^[18], 可得到Timoshenko梁的微分控制方程：

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {E(x)I(x)\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}} \right) + \kappa G(x)S(x)\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial x}} - \theta } \right) - \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \rho (x)I(x)\frac{{{\partial ^2}\theta }}{{\partial {t^2}}} = 0\\ \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\kappa G(x)S(x)\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial x}} - \theta } \right)} \right) - \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {p\frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right) - \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \rho (x)S(x)\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {t^2}}} = 0 \end{array} \right. $

(13)

式中：G(x)为材料的剪切弹性模量；κ为剪切修正系数；p为作用于梁上的轴向力。由于本文仅考虑Timoshenko梁的自由振动, 将Timoshenko梁挠度和转角的空间项与时间项分离开来：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {w(x,t) = W(x){{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega t}}}\\ {\theta (x,t) = \alpha (x){{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega t}}} \end{array}} \right. $

(14)

可化简得：

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {E(x)I(x)\frac{{\partial \alpha }}{{\partial x}}} \right) + \kappa G(x)S(x) \times \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {\frac{{\partial W}}{{\partial x}} - \alpha } \right) + \rho (x)I(x){\omega ^2}\alpha = 0\\ \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\kappa G(x)S(x)\left( {\frac{{\partial W}}{{\partial x}} - \alpha } \right)} \right) + \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \rho (x)S(x){\omega ^2}W = 0 \end{array} \right. $

(15)

材料属性和截面变化的相关函数取为：E(x)=E₀f₁(x), ρ(x)=ρ₀f₂(x), S(x)=S₀h₁(x), I(x)=I₀h₂(x), 下标0代表x=－l/2处(梁的左端)。对变量归一化处理, 常量进行无量纲化处理, s=2(1+υ)r/κ, ξ=2x/l－1, Z=W/l, r=I₀/S₀l²和$\bar \omega = \omega \sqrt {{\rho _0}{S_0}{l^4}/\left( {{E_0}{I_0}} \right)} $, υ为泊松比, r为影响梁横截面转动惯量的无量纲回转半径, s为影响梁剪切变形的无量纲量, ω表示梁的无量纲固有频率。

可化简式(15), 得：

$ \left\{ \begin{array}{l} {Z^{\prime \prime }}(\xi ) + {k_{11}}{Z^\prime }(\xi ) - {\alpha ^\prime }(\xi ) - {k_{12}}\alpha (\xi ) + \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {{\bar \omega }^2}{k_{13}}Z(\xi ) = 0\\ {\alpha ^{\prime \prime }}(\xi ) + {k_{21}}{\alpha ^\prime }(\xi ) - {k_{22}}\alpha (\xi ) + {k_{23}}{Z^\prime }(\xi ) + \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {{\bar \omega }^2}{k_{24}}\alpha (\xi ) = 0 \end{array} \right. $

(16)

$ {{\rm{其中}}:{k_{11}} = {k_{12}} = {{[{f_1}(\xi ){h_1}(\xi )]}^\prime }/({f_1}(\xi ){h_1}(\xi ))} $

$ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {k_{13}} = s{f_2}(\xi )/(4{f_1}(\xi )),{k_{24}} = r{f_2}(\xi )/4{f_1}(\xi )} $

$ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {k_{21}} = {{[{f_1}(\xi ){h_2}(\xi )]}^\prime }/{f_1}(\xi ){h_2}(\xi )} $

$ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {k_{22}} = {k_{23}} = {h_1}(\xi )/(4s{h_2}(\xi ))} $

以Gauss点ξ=[ξ₀ ξ₁ … ξ_n]为离散点, 对挠度和转角曲线进行Legendre多项式最佳平方逼近。在未考虑边界条件时, 结合式(11)和式(16), 可得到变截面轴向功能梯度Timoshenko梁自由振动的离散控制方程：

$ \mathit{\boldsymbol{KV}} - {\bar \omega ^2}\mathit{\boldsymbol{MV}} = 0 $

(17)

式中:$\boldsymbol{K}=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{D}_{2}^{*}+\boldsymbol{K}_{11} \boldsymbol{D}_{1}^{*} & -\boldsymbol{D}_{1}^{*}-\boldsymbol{K}_{12} \\ \boldsymbol{K}_{23} \boldsymbol{D}_{1}^{*} & \boldsymbol{D}_{2}^{*}+\boldsymbol{K}_{21} \boldsymbol{D}_{1}^{*}-\boldsymbol{K}_{22} \end{array}\right], \boldsymbol{V}=\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{Z} & \boldsymbol{\alpha} \end{array}\right]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{M}=-\operatorname{diag}\left(\boldsymbol{K}_{13} \quad \boldsymbol{K}_{24}\right), \boldsymbol{K}_{i i}=\operatorname{diag}\left(K_{i i}\left(\xi_{0}\right)\right.\left.K_{i i}\left(\xi_{1}\right) \quad \cdots \quad K_{i i}\left(\xi_{n}\right)\right)$。

2.2 Timoshenko梁边界条件

采用投影矩阵的方法将各边界条件施加到离散控制方程式(17)中。各边界条件的数学离散形式(i=0或i=N-1)可表示为：

简支Hinged(H):

$ {\alpha ^\prime }({\xi _i}) = 0,Z({\xi _i}) = 0 $

(18)

固支Clamped (C):

$ \alpha ({\xi _i}) = 0,Z({\xi _i}) = 0 $

(19)

自由Free (F):

$ {\alpha ^\prime }({\xi _i}) = 0,{Z^\prime }({\xi _i}) - \alpha ({\xi _i}) = 0 $

(20)

在确定梁两端的边界条件之后, 便可得到边界条件的矩阵为：

$ {\mathit{\boldsymbol{B}}_b}\mathit{\boldsymbol{V}} = 0 $

(21)

式中：B_b矩阵的行数j表示边界条件的个数, 以两端固支的梁为例：

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e_1}}&0\\ 0&{{e_1}}\\ {{e_n}}&0\\ 0&{{e_n}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} \mathit{\boldsymbol{Z}}\\ \mathit{\boldsymbol{\alpha }} \end{array}} \right] = {\mathit{\boldsymbol{B}}_b}\mathit{\boldsymbol{V}} = 0 $

(22)

式中：e_i表示第i个元素为1, 其余为0的N维行向量。

当离散方程式(17)满足式(18)中的j个边界条件时, 式(17)的2N维解向量可以由2N-j维向量表示：

$ \mathit{\boldsymbol{V}} = \mathit{\boldsymbol{R\tilde V}} $

(23)

式中：$\mathit{\boldsymbol{\tilde V}}$为2N-j维列向量, R为从2N维空间到2N-j维空间的2N×(2N－j)维投影矩阵。R可由矩阵B_b的奇异值分解求得。将式(20)代入式(17)中, 可得到施加边界条件后的离散控制方程：

$ \mathit{\boldsymbol{\tilde K\tilde V}} - {\bar \omega ^2}\mathit{\boldsymbol{\tilde M\tilde V}} = 0 $

(24)

其中:$\tilde{\boldsymbol{K}}=\boldsymbol{R}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{K} \boldsymbol{R}, \tilde{\boldsymbol{M}}=\boldsymbol{R}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{M R}$, 两者均为(2N－j)×(2N－j)矩阵。

采用QR分解求解出特征值ω和特征向量$\mathit{\boldsymbol{\tilde V}}$, 再将特征向量$\mathit{\boldsymbol{\tilde V}}$通过投影矩阵变换回V, 可得出Timoshenko梁的挠度曲线和转角曲线。

3 梁固有频率和挠度转角曲线分析

取一长度为l的Timoshenko梁, 无量纲回转半径r为0.01, 剪切系数κ为5/6, 泊松比υ为0.3, 材料的横截面面积和物理属性沿轴向变化规律：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {S(x) = {S_0}(1 - cx/l)}\\ {I(x) = {I_0}{{(1 - cx/l)}^3}}\\ {E(x) = {E_z} + ({E_a} - {E_z}){{(x/l)}^m}}\\ {\rho (x) = {\rho _z} + ({\rho _a} - {\rho _z}){{(x/l)}^m}} \end{array}} \right. $

(25)

式中：c表示截面变化率；m表示材料梯度指数；下标z和a分别代表材料Z_rO₂和Al, E_a=70 GPa, ρ_a=2 702 kg/m³, E_z=200 GPa, ρ_z=5 700 kg/m³。

3.1 Legendre多项式最佳平方逼近的收敛性分析

取材料梯度m=2, 截面变化率c=0.2, 采用两端固支的计算模型, 对Legendre多项式的最佳平方逼近方法进行收敛性分析, 无量纲化的固有频率变化如图 2所示。从图 2中可看出, 在梁两端固支的情况下, 随着选取的Legendre多项式项数的增加, 固有频率变化曲线基本趋于平缓, 趋近于一个稳定的值。针对两端固支的情况, 当Legendre多项式项数取到第15项之后, Timoshenko梁前4阶固有频率的变化幅度变得很小, 基本趋于稳定。同理可计算得到在不同材料梯度系数、截面变化率和边界条件下的Legendre多项式曲线拟合所需项数, 可为本文后续的诸多算例提供收敛性依据。

3.2 截面变化率和材料梯度系数对固有频率的影响

在不同边界条件下, 分析截面变化率c和材料梯度系数m对Timoshenko梁固有频率的影响。为对比计算结果, 本文选取与文献[13, 17]中相同的参数：材料梯度系数m=2, 分析不同截面变化率c对梁前4阶固有频率的影响, 结果如表 1所示；截面变化率c=0.2, 分析不同材料梯度系数m对梁前4阶固有频率的影响, 结果如表 2所示。

从表 1, 2中数据对比结果可看出：在不同边界条件下, 截面变化率对固有频率的影响是不一样的；不同边界条件对Legendre多项式的项数需求是不一样的, 求解出的结果准确度也是不一致的；在同一边界条件下, Legendre多项式求解出的固有频率和文献[17]中FEM计算出的结果变化趋势是一致的。

从表 2中可看出：Legendre方法计算出的固有频率和IMM方法的结果相差不大, 且变化趋势是一致的。相比于IMM方法, Legendre多项式方法计算需求的项数较少, 但准确度有所下降。

采用Legendre方法求解梁的固有频率时, 在梁上需要选取的控制点数目相对较少, 但固有频率的准确度存在一定的损失, 主要原因是边界条件的近似处理。同时, 计算出的固有频率还受到梁边界约束形式、截面变化率和材料梯度系数的影响。因为“C-C”的约束强度相对较强, 所以计算其固有频率需要选取的多项式数目相对较少。“C-F”的约束强度较弱, 需要的多项式项数较多, 主要是增加端点附近的Gauss点数目, 以改善端点处的近似处理。

如果边界约束条件的强度较弱, 材料梯度系数和截面变化率对Legendre方法计算的固有频率也有比较大的影响。从表 1和表 2中可看出：在3种边界条件中, 材料梯度系数和截面变化率对“C-C”条件下固有频率的影响是最小的, 计算误差较小, 对“C-F”条件下固有频率的影响是最大的, 计算误差相对较大。

采用Legendre多项式方法计算功能梯度梁的固有频率时, 固支约束条件下的拟合效果是最好的, 自由约束的拟合效果比较差。对于自由约束的梁, 要提高固有频率的精确度, 须增加离散Gauss点的数目, 加强对端点附近振型曲线的控制。

3.3 Legendre多项式项数对振型拟合的影响

本文以两端固支的Timoshenko梁为例, 分析Legendre多项式方法选取的项数对梁振型拟合的影响。选取Timoshenko梁的前4阶振型, 截面变化率c=0.2, 材料梯度系数m=2, 拟合振型随多项式项数的变化如图 3所示。

从图 3中的前4阶曲线结果可得到：对于低阶固有振型, 只需少量的项数N即可较好的拟合出梁的挠度和转角曲线；Legendre多项式拟合的曲线精度比较高, 但是在端点处边界条件处理得很差；同一阶模态振型下, 选取相同的项数, 挠度曲线的拟合结果要比转角曲线的拟合结果好；端点处的挠度和转角值存在误差, 随着选取多项式项数的增加, 会减小误差, 但无法完全消除。在图 3(d)中, 由于分析振型达到4阶, 原本选取的十项多项式已不能满足该振型需求, 故拟合准确度相对较差。

因为Legendre正交多项式方法拟合出的曲线是一条连续且高阶可导的曲线, 所以相对于常规的分段线性或者分段抛物线方法, Legendre方法得到的曲线精度是比较高的。拟合曲线的高精度性也是由正交多项式本身的性质决定的。同时, 由于离散点取为Gauss点, 故该方法不能完全的满足边界条件, 只能对其进行近似处理。Gauss点是根据所选取的正交多项式本身的性质得到的, 一般不包括2个端点。采用投影矩阵的方式处理边界条件, 仅仅是在最靠近端点的Gauss点上施加边界条件, 并不是将边界条件施加在真实的端点上。

4 结论

1) 采用Legendre正交多项式的最佳平方逼近方法可求解出轴向功能梯度Timoshenko梁的固有频率以及挠度和转角的振型曲线, 且得到的拟合曲线是一条连续并高阶可导的曲线。

2) 随着选取的Legendre多项式项数的增加, 拟合得到的挠度曲线和转角曲线的准确度也得到提高, 端点处的误差有所改善。

3) 采用Legendre方法计算功能梯度梁的固有频率时, 固支约束条件下的拟合效果是最好的, 自由约束的拟合效果相对较差。

4) 在Legendre方法中, 截面变化率和材料梯度系数对梁固有频率的影响要依据边界约束条件来定。边界约束条件越强, 截面变化率和材料梯度系数对梁固有频率的影响越小。