港湾振荡是指半封闭水体内(如港湾和海湾)波能的捕捉和放大现象^[1]。港湾振荡会严重影响港内船舶的系泊及货物的装卸，世界上许多港口都曾受这一问题的侵扰。由于受欧亚大陆西北季风和太平洋台风的影响，我国也曾多次遇到这一灾害。相比于一些发达国家，我国对这一问题的研究相对较少，因此有必要加强对该问题的研究。

港湾振荡的诱因大致可以分为4种，即气象波、次重力波、海啸波及地震波^[2]。Lepelletier等^[3-4]通过理论和实验的方法，研究了瞬变长波诱发的港内非线性瞬变共振现象。为了预报风暴潮和海啸诱发的海洋灾难，Sobey^[5]提出了正交模态分解法，该方法可以预报港湾的本征频率和本征模态。Gao等^[6]对正交模态分解法进行了改进，使得该方法在不流动边界条件下对港内响应波幅的预报精度显著提高，随后使用该方法及FUNWAVE 2.0模型^[7]研究了港内地形和孤立波波高对港内波能分布及爬高的影响^[8]。Gao等^[9-11]基于FUNWAVE-TVD模型研究了N波波幅对港内瞬变共振的影响及基于FUNWAVE 2.0模型研究了岸礁及低频波波幅对港内低频振荡的影响，却未考虑折点对瞬变共振的影响。

正交模态分解法由Sobey^[5]提出，用于计算港湾的本征频率、本征模态和风暴潮及海啸诱发的自然港内不同模态的响应波高。数值实验的港内波况均由正交模态分解法来分析处理。近期，Gao等^[6]对该方法进行了改进，使之在预测本征频率和本征模态时更加精确。随后，Gao等^{[1, 8]}使用正交模态分解法系统地分析了不同波高的单孤立波诱发的瞬变港湾共振的港内相对波能分布。由于正交模态分解法的局限性，本文仅采用该方法对入射孤立波波幅较小的部分实验进行了分离，随后研究了相应港湾共振的港内波能。由于FUNWAVE-TVD模型模拟孤立波诱发的港湾振荡的能力已得到Gao等^{[1, 8, 12]}的验证，故本文未再进行方法验证。

本文引入折线型地形，将系统地研究不同波高的孤立波及不同折线型港内地形对港内最大波面及波能的影响，对水底波动暂未考虑。

1 数值实验布置

FUNWAVE-TVD为完全非线性Boussinesq波浪模型^[13]，控制方程被整理为一个平衡的守恒形式:

$ {\eta _{\rm{t}}} + \nabla \cdot \mathit{\boldsymbol{M = }}{\rm{0}} $

(1)

$ \begin{array}{l} {\mathit{M}_{\rm{t}}} + \nabla \cdot \left[ {\frac{{\mathit{\boldsymbol{MM}}}}{H}} \right] + \nabla \left[ {\frac{1}{2}g\left( {{\eta ^2} + 2h\eta } \right)} \right] = \\ \;\;H\left\{ {{{\mathit{\boldsymbol{\bar u}}}_{2, {\rm{t}}}} + {\mathit{\boldsymbol{u}}_{\rm{a}}} \cdot \nabla {{\mathit{\boldsymbol{\bar u}}}_2} \cdot \nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}_\mathit{a}} - {\mathit{\boldsymbol{V}}_1} - {\mathit{\boldsymbol{V}}_2}} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left. {{\mathit{\boldsymbol{V}}_3} - \mathit{\boldsymbol{R}}} \right\} + g\eta \nabla h \end{array} $

(2)

式中:η为局部波面位移；ηt为t时刻波面位移；H=h+η为总局部水深；h为局部静止水深；R为扩散及耗散项；V₁、V₂、V₃为色散Boussingsq项。$ \nabla = \left( {\left( {\partial /\partial x} \right)} \right), \left( {\left( {\partial /\partial y} \right)} \right)$为水平梯度运算符；M为水平体积通量，其表达式为

$ \mathit{\boldsymbol{M = }}\mathit{H}\left\{ {{\mathit{\boldsymbol{u}}_\mathit{a}} + {{\mathit{\boldsymbol{\bar u}}}_2}} \right\} $

(3)

式中:u_a为参考面Z_α=ξh+βη处ξ=-0.53、β=0.47时的速度，u₂为水平速度场上平均水深的O(μ²)分布。

为反应本文数值实验的布置情况，图 1显示了数值实验所使用的狭长型矩形港口及坐标系布置。各组实验中港口长L均为1 000.0 m，宽2b均为20 m；坐标系为笛卡尔坐标系，x、y轴布置在静水面上，x轴位于港口长度方向的中心线上，y轴位于港口门处，z轴竖直向上。本文共考虑4种折线型港内地形:凹型、斜坡型、凸型及平台型。本文将前3种地形概括为两段折线型地形(斜坡型也视为一种特殊的两段折线型地形)，最后一种则视为三段折线型地形。对于两段折线型地形来说，折点位于港口长度方向中心处，折点两侧地形均呈直线；对于三段折线型地形来说，水平平台位于港口中部且中心处左右两侧平台的长度相等，平台两侧地形同样呈直线。图中h₁为港口口门处水深及外海水深，实验中为14.0 m；h₀为港口底墙处水深，其值为3.0 m；h为折点处水深；h_p为平台基高；l为平台总长度。平均水深h为:

$ \bar h = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{3{h_1} - 2h + {h_0}}}{4}, \;\;\;\;两段折线型\\ \frac{{3{h_1} - 2{h_{\rm{p}}} + {h_0}}}{4}, \;\;\;三段折线型 \end{array} \right. $

(4)

本文共模拟了A~F 6组数值实验。其中，A~E组为主要实验组。为了更深入地对比研究折线型地形对港内最大波面及波能的影响，本文另外考虑了三段折线型地形，即F组的平台型。各组实验的底部剖面形状不同。港内平均水深可由式(4)求得。A组和B组对应凹型底，其港口中部水深h分别为4.0和5.0 m，港内平均水深h分别为9.25及8.75 m。C组为对照组，对应斜坡型底，其港口中部水深h和港内平均水深h分别为5.5 m及8.50 m。D组和E组对应凸型底，其港口中部水深h分别为6.0 m和7.0 m，港内平均水深h分别为8.25 m及7.75 m。F组对应平台型底，其平台基高h_p为5.5 m，港内平均水深h为8.50 m，平台长l为200 m。各组实验的入射孤立波波高均从0.05 m逐渐增加到0.5 m，增幅为0.05 m。

图 2显示了各组数值实验所使用的数值波浪水槽。由于港湾的几何图形关于x轴对称，故本文只模拟了一半区域以提高计算效率。101个测点等间距地布置在港口的中心线上，间距均为10 m。测点G₀₁位于港口口门处，G₁₀₁位于港口底墙处。整个水槽的尺度为3 000 m×60 m，所有边界均设为全反射边界。造波机位于距港口口门1 000 m的外海中。为确保从港口左墙反射的波不会传播到港口内，水槽左侧距造波机的距离设为1 000 m。整个水槽的网格尺寸Δx和Δy均设为1.0 m。网格的节点总数为93 031，矩形单元总数为90 000。总模拟时间为350 s，时间步长为0.05 s。

2 模拟结果与波面及波能分析 2.1 波面时间序列

图 3为入射孤立波波高A₀=0.05 m时各组实验中测点G₀₁、G₅₁和G₁₀₁处的波面时间序列。图中的波面时间序列通过A₀进行了无因次化。A_ni和A_nr(n=1和51时)分别指第n个测点处入射波和从底墙处反射回来的波的波高。由于入射孤立波波高相同，港外水深也相同，各组实验在测点G₀₁处均于约t₁=85.8 s达到最大值。随着入射波逐渐传播到港口内部，各组实验波面的不同逐渐显现。从A组到E组港内平均水深逐渐减小，港内波浪传播的平均速度也相应减小。因此，t₂~t₅的值从A组到E组逐渐增加。由于入射波在港口底墙处发生全反射，故t₃时刻即对应于港内最大波面。以t₃和A_m/A₀为例，由于浅水作用，t₃逐渐从A组的194.7 s增大到E组的205.55 s，增幅为10.85 s。同样，入射孤立波的放大因子A_m/A₀逐渐从A组的3.95增大到E组的4.03。从G₀₁和G₅₁处的波面时间序列上可以看出，反射波的波高明显小于入射波。这是由于各组实验中港内水深均逐渐变浅，波浪在时刻发生着反射并向外海传播，反射波传播到此处时已失去了一部分波能，故波高减小。此外，从A组到E组港内平均水深逐渐减小，波能反射则逐渐变强，而且反射波的波峰到达港口口门处时浅水作用消失，故t₅时刻对应的波高从A组到E组略微减小。

2.2 港内最大波面

图 4展示了各组实验中测点G₁₀₁处的港内最大波面随入射波波高变化的曲线。可以看出，当入射波波高小于0.25 m时，A~F组实验的港内最大波面较为接近。C组与F组的港内平均水深相等，但F组实验的港内最大波面略低于C组，这可能是由2个折点处发生较强的波能反射导致的。此外，当波高小于0.25 m时，各组实验的最大波面均可近似视为随入射波波高的增加线性增加，这是因为当入射波波幅较小时，不同波浪成份间的非线性相互作用较弱。然而，随着入射波波高的增加，波浪间的非线性相互作用逐渐增强，且在地形的影响下波浪更容易产生非线性变形，因而最大波面与入射波波高便不再是线性关系。此外，港内水深逐渐变浅对波浪非线性也有促进作用。这一现象与文献[14]采用有限水深边界元法模拟得到数值结果相一致。根据Gao等^[1]的相关研究，本文同样采用三次多项式对各组实验数据进行了拟合，即:

$ {A_\rm{m}} = {K_0}{A_0} + {K_1}A_0^2 + {K_2}A_0^3 $

(5)

式中K₀、K₁、K₂分别为拟合系数。

图 5呈现了A、C、E及F 4组实验数据的三次多项式拟合曲线。可以看出，拟合结果的吻合程度很高，故当波浪非线性较强时，无论两段折线型还是平台型地形，三次曲线均能很好地预测港内的最大波面。为了定量地分析式(5)拟合结果的准确性，表 1列举了各组实验的拟合结果。可以看出，各组实验的相关系数R²均接近于1，且残差平方和也较小。因此对于本文所研究的两段及平台型地形，三次多项式对港内最大波面的拟合结果是足够精确的。

2.3 港内波能

由于正交模态分解法将港内自由波面视为所有模态成分线性叠加的结果，并没有考虑各成分之间的非线性相互作用，故其只适用于港内波浪为线性波和弱非线性波的情况^[1]。在浅水区域，当波浪波高较小时可认为其非线性较弱，故本文仅分析了波高A₀为0.05、0.10和0.15 m时各组实验的港内波能。

图 6显示了波高A₀=0.05 m时使用FUNWAVE-TVD模型模拟的自由波面和使用正交模态分解法拟合的自由波面的对比。本文共考虑了最低的20个共振模态。可以看出，模拟和拟合自由波面的十分吻合。B组实验中模拟和拟合的自由波面均于198.1 s达到最大波面，爬高值分别为0.199和0.198 m。D组实验中二者均于201.6 s达到最大波面，爬高值均为0.200 m。由于港内最大波面的典型性，本文以此来检验正交模态分解法的数值拟合误差N_NFE:

$ {N_{{\rm{NFE}}}} = \left| {\frac{{{{\left( {{A_{\rm{m}}}} \right)}_{{\rm{fitted}}}} - {A_{\rm{m}}}}}{{{A_{\rm{m}}}}}} \right| \times 100\% $

(6)

式中:(A_m)_fitted为拟合自由波面的最大波面。为了保证各模态幅值预报的精确性，本文将所有数值实验的数值拟合误差均控制在5%以内(如表 2)。表中波高A₀为0.05、0.10和0.15 m时，A~E组实验中数值拟合误差大体上随港内平均水深的减小而增大，这是由于水深的减小使港内共振的非线性变强，从而使正交模态分解法的拟合误差增大。F组由于存在两个折点，故此处不对其进行归纳。与之类似，各组实验中随着波高的增大，拟合误差也逐渐增大。

本文将相对幅值定义为各模态幅值与入射波波高之比，即A_i/A₀，其中，A_i(i=1, 2, …, 20)为第i个共振模态的响应幅值。为了更直观地显示平台型地形对港内波能的影响，图 7显示了波高为0.05、0.10和0.15 m时C组和F组港内最低的20个共振模态的相对幅值的对比情况。由于F组2个折点的存在，其港内波浪在此两点发生反射，但其地形较C组变化并不十分明显，故F组实验低模态的相对幅值略微低于C组。因此，相比于斜坡型港口，本文所研究的平台型港口内的波浪反射较强，这也印证了图 4中F组实验的最大波面始终低于C组的现象。

为了研究折线型地形对港内波能的影响，图 8展示了A~F组实验中波高A₀为0.05、0.10和0.15 m时使用正交模态分解法求得的最低的20个共振模态的响应幅值。由于港内自由波面可视为不同共振模态线性叠加的结果，故港内总波能为:

$ E = \sum\limits_{i = 1}^{20} {\frac{1}{2}A_i^2} $

(7)

图 9呈现了同一波高下各组实验港内总波能随平均水深的变化情况以及A~E组数据的线性拟合结果。C、F两组实验的港内平均水深相等，但F组实验的港内总波能均略低于C组，这与图 4及图 7中的现象也是一致的。此外，对于波高A₀为0.05、0.10和0.15 m时A~E组的实验来说，港内总波能均随着平均水深的增加而增加，而在Gao等^[1]对曲线型港内地形的研究中却没有这一现象。为了更直观地反映两者的变化关系，本文对其进行了线性拟合(如图 9中的直线)。拟合关系式如下:

$ E = {C_0} + {C_1}\bar h $

(8)

式中C₀、C₁为拟合系数。

表 3列举了两条直线的拟合系数及拟合结果精度。可以看出，拟合结果与实验值吻合良好。因此，在本文研究的港内平均水深范围内，两段折线型港口的港内总波能随平均水深的增加线性增加。

3 结论

1) 在本文研究的入射孤立波波高范围内，港口内的最大波面随着入射孤立波波高的增加而增加，并且二者呈三次变化关系。

2) 在相同港内平均水深条件下，平台型港口内的波能反射比斜坡型稍强，总波能略微降低。对于本文所研究的两段折线型港口及港内平均水深范围来说，港内总波能随平均水深的增加线性递增。

后续的工作将会对不同尺度的平台型港口对港内波能的影响作进一步研究。