联合循环余热锅炉已广泛应用于陆地，且随着船舶节能要求的实施，会越来越多地应用在船舶上，并具有广阔的发展前景。联合循环余热锅炉烟气阻力计算除具有保证锅炉安全经济运行的要求外^[1]，由于其大小影响主机和联合循环的功率和热效率，因此为与国际接轨，我国对以燃气轮机为主机的联合循环余热锅炉烟气阻力限值已根据ISO标准进行了规定^[2]。可见，虽然未见以柴油机为主机的联合循环余热锅炉烟气阻力限值的报道，但是联合循环余热锅炉烟气阻力计算及其在实际工程中的准确性具有重要的理论和实际意义已是无疑。

现行的联合循环余热锅炉烟气阻力计算如同国内外其他型式锅炉烟气阻力计算一样，采用的结构尺寸都是公称尺寸^[3-4]。显然，这种计算方法未考虑原材料误差、制造误差和安装误差对烟气阻力计算及其结果的影响及其程度，无法确切回答产生烟气阻力计算结果不准确的原因。为克服上述不足，本文将现行计算方法未考虑的上述因素视为随机变量，计算某一燃气轮机为主机的联合循环余热锅炉在ISO大气环境和100%负荷时的烟气阻力计算实际结果所需的各随机变量变异系数，并用来检验和确定其概率密度分布类型，在此基础上计算出该余热锅炉烟气阻力计算实际结果小于允许值的可靠度和误差范围。

1 正态分布数理统计与概率计算模型 1.1 “3倍标准差原则”处理法

根据文献[5]，使用3倍标准差原则，可近似确定x的均值$ {\bar x}$、标准差S_x和变异系数C_x。

1) 已知数据的最大值x_max和最小值x_min，有

$ \bar x = \frac{{{x_{\max }} + {x_{\min }}}}{2} $

(1)

$ {S_x} = \frac{{{x_{\max }} - {x_{\min }}}}{6} $

(2)

并由给定的${C_x} = {S_x}/\bar x $，得

$ {C_x} = \frac{{{x_{\max }} - {x_{\min }}}}{{3\left( {{x_{\max }} + {x_{\min }}} \right)}} $

(3)

2) 已知数据为x₀±Δx，则

$ \bar x = {x_0} $

(4)

$ {S_x} = \frac{{\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - \left( {{x_0} - \Delta x} \right)}}{6} = \frac{{\Delta x}}{3} $

(5)

并由给定的${C_x} = {S_x}/\bar x $，得

$ {C_x} = \frac{{\Delta x}}{{3{x_0}}} $

(6)

1.2 Taylor级数展开法

设计量Z为n维解析函数Z=f(x₁, x₂, …, x_n)，其中的函数变量为相互独立的随机变量，当x_i的变异系数C_xi很小，并忽略Taylor级数展开式中余项后，则函数均值、标准差和变异系数可分别表示为

$ \bar Z \approx f\left( {{{\bar x}_1},{{\bar x}_2}, \cdots ,{{\bar x}_n}} \right) $

(7)

$ {S_Z} \approx {\left[ {{{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{\partial Z}}{{\partial {x_i}}}\left| {_{{x_i} = {{\bar x}_i}}} \right.} \right)} }^2}S_{{x_i}}^2} \right]^{0.5}} $

(8)

根据${C_{{x_i}}} = {S_{{x_i}}}/{{\bar x}_i} $和${C_Z} = {S_Z}/\bar Z $，有

$ {C_Z} \approx \frac{1}{\bar Z}{\left[ {{{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{C_{{x_i}}}{{\bar x}_i}\frac{{\partial Z}}{{\partial {x_i}}}\left| {_{{x_i} = {{\bar x}_i}}} \right.} \right)} }^2}} \right]^{0.5}} $

(9)

文献[6]指出，如果C_xi < 0.10，上述计算结果足够精确，可认为各均值和标准差为正态分布。

1.3 可靠度计算

设Δh表示锅炉烟气阻力计算结果，其均值和允许值分别为Δ ${\bar h} $和[Δh]，且以f(Δh)表示锅炉烟气阻力计算实际结果的概率密度函数。则当Δ${\bar h} $＜[Δh]时的可靠R即为图 1中阴影部分的面积。

当每一随机变量变异系数小于0.10时，可以认为f(Δh)为正态分布^[6-7]。利用标准正态分布积分表，有

$ {R_h} = \varphi \left( {{\beta _h}} \right) $

(10)

式中φ(β)为标准正态分布函数。

$ {\beta _h} = \frac{{\left[ {\Delta h} \right] - \Delta \bar h}}{{{S_{\Delta h}}}} $

(11)

式中S_Δh为烟气阻力计算结果的标准差。

文献[8]指出，当随机变量变异系数小于0.3时，随机变量及其概率密度函数可近似处理为正态分布。可见，本文给出的随机变量变异系数界限值更易判断出各随机变量变异系数和可靠度计算结果的准确程度。

2 变异系数计算公式 2.1 锅炉结构变异系数计算公式

以文献[9]计算公式为基础，对文献[10]中的计算锅炉结构变异系数公式整理如下：

1) 每节距翅片内周长变异系数

计算公式$ {l_B} = \sqrt {{{({\rm{ \mathsf{ π} }}d)}^2} + {s^2}} $，则变异系数为

$ {C_{{l_B}}} = \frac{1}{{\bar l_{B}^2}}{\left( {{{\rm{ \mathsf{ π} }}^4}{{\bar d}^4}C_d^2 + {{\bar s}^4}C_s^2} \right)^{0.5}} $

(12)

式中：${{\bar l}_B} $为l_B的均值，m；d为光管外径，m；${\bar d} $为d的均值，m；C_d为${\bar d} $的变异系数；s为翅片节距，m；${\bar s} $为s的均值，m；C_s为${\bar s} $的变异系数。

2) 每节距翅片外周长变异系数:

计算公式${l_H} = \sqrt {{{({\rm{ \mathsf{ π} }}D)}^2} + {s^2}} $，则变异系数为

$ {C_{{l_H}}} = \frac{1}{{\bar l_H^2}}{\left( {{{\rm{ \mathsf{ π} }}^4}{{\bar D}^4}C_D^2 + {{\bar s}^4}C_s^2} \right)^{0.5}} $

(13)

式中：D为翅片管直径，m；$ {\bar D}$为D的均值，m；C_D为$ {\bar D}$的变异系数；${{\bar l}_H} $为l_H的均值，m；

3) 每节距翅片平均长度变异系数:

计算公式${l_{cp}} = \frac{1}{2}({l_B} + {l_H}) $，则变异系数为

$ {C_{{l_{cp}}}} = \frac{1}{{2{{\bar l}_{{\rm{cp}}}}}}{\left( {\bar l_B^2C_{{l_B}}^2 + \bar l_H^2C_{{l_H}}^2} \right)^{0.5}} $

(14)

式中${{\bar l}_{cp}} $为l_cp的均值，m。

4) 每米管翅片平均长度变异系数:

计算公式l₀=l_cp/s，则变异系数为

$ {C_{{l_0}}} = {\left( {C_{{l_{cp}}}^2 + C_s^2} \right)^{0.5}} $

(15)

式中l₀为每米管翅片平均长度，m。

5) 每米管翅片受热面积变异系数:

计算公式H₁=hl₀，则变异系数为

$ {C_{{H_1}}} = {\left( {C_h^2 + C_{{l_0}}^2} \right)^{0.5}} $

(16)

式中：H₁为每米管翅片受热面积，m²；h为翅片高度，m；C_h为${\bar h} $的变异系数。

6) 每米光管受热面变异系数

计算公式${H_2} = {\rm{ \mathsf{ π} }}d - {l_B}\delta /s $，则变异系数为

$ {C_{{H_2}}} = \frac{1}{{{{\bar H}_2}}}{\left[ {{{\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}\bar d{C_d}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{{\bar l}_B}\bar \delta }}{{\bar s}}} \right)}^2}\left( {C_{{l_B}}^2 + C_\delta ^2 + C_s^2} \right)} \right]^{0.5}} $

(17)

式中：${{\bar H}_2} $为H₂的均值，m²；δ为翅片厚度，m；$ {\bar \delta }$为δ的均值，m；C_δ为$ {\bar \delta }$的变异系数。

7) 光管烟气流通截面变异系数:

计算公式f′=bl-ndl，且在具体的锅炉中，每排管子数n是一常数，则变异系数为

$ {C_{f'}} = {\left\{ {{{\left( {\frac{{\bar b\bar l}}{{\bar f'}}{C_b}} \right)}^2} + {{\left[ {\left( {\frac{{\bar b\bar l}}{{\bar f'}} - 1} \right){C_d}} \right]}^2} + C_l^2} \right\}^{0.5}} $

(18)

式中：${\bar f'} $是f′的均值，m²；l是光管计算长度，m；${\bar l} $是l的均值，m；C_l是${\bar l} $的变异系数；b为烟道宽度，m；${\bar b} $是b的均值，m；C_b是的变异系数。

8) 翅片占有流通截面变异系数:

计算公式f″=2 hδnl_p/s，则变异系数为

$ {{C''}_f} = {\left( {C_h^2 + C_\delta ^2 + C_{{l_p}}^2 + C_s^2} \right)^{0.5}} $

(19)

式中：l_p是翅片管计算长度，m；C_lp是${{\bar l}_p} $的变异系数。

9) 烟气流通截面变异系数

计算公式f=f′-f″，则变异系数为

$ {C_f} = {\left[ {{{\left( {1 + \frac{{\bar f''}}{{\bar f'}}} \right)}^2}C{{_f^2}^\prime } + {{\left( {\frac{{\bar f''}}{{\bar f'}}} \right)}^2}C{{_f^2}^{\prime \prime }}} \right]^{0.5}} $

(20)

式中${\bar f} $是f的均值，m²。

2.2 锅炉烟气阻力变异系数计算公式

1) 平均烟速变异系数：

$ w = \frac{{V\left( {{\theta _{cp}} + 273} \right)}}{{3600f \times 273}} $

式中：V是锅炉进口烟气体积流量，Nm³/h；θ_cp是平均烟温，℃。

在计算变异系数时，V和θ_cp为常数，则

$ {C_w} = {C_f} $

(21)

2) 每米管节距数变异系数：

计算公式n′=1/s，则变异系数为

$ {C_{n'}} = {C_s} $

(22)

3) 每米管翅片表面积变异系数：

计算公式${H_{1, D}} = {H_1} + n\prime {\rm{ \mathsf{ π} }}D\delta $，则变异系数为

$ {C_{{H_{1,\delta }}}} = {\left[ {{{\left( {\frac{{{{\bar H}_1}{C_{{H_1}}}}}{{{{\bar H}_{1,\delta }}}}} \right)}^2} + {{\left( {1 - \frac{{{{\bar H}_1}}}{{{{\bar H}_{1,\delta }}}}} \right)}^2}\left( {C{{_n^2}^\prime } + C_D^2 + C_\delta ^2} \right)} \right]^{0.5}} $

(23)

式中：$ {{\bar H}_1}$是H₁的均值，m²；$ {{\bar H}_{1, \delta }}$是H_{1, δ}的均值，m²。

4) 每米管全表面积变异系数：

计算公式H=H₂+H_{1, δ}，则变异系数为

$ {C_H} = {\left\{ {{{\left( {\frac{{{{\bar H}_2}}}{{\bar H}}{C_{{H_2}}}} \right)}^2} + {{\left[ {\left( {1 - \frac{{{{\bar H}_2}}}{{\bar H}}} \right){C_{{H_{1,\delta }}}}} \right]}^2}} \right\}^{0.5}} $

(24)

式中：${\bar H} $是H的均值，m²。

5) 定性尺寸变异系数：

计算公式${l_{\rm{l}}} = \frac{{{H_2}}}{H}d + \frac{{{H_{1, \delta }}}}{H}\sqrt {\frac{{{H_1}}}{{2n\prime }}} $，变异系数为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{C_{{l_l}}} = \frac{1}{{{{\bar l}_l}}}\left\{ {{{\left( {\frac{{{{\bar H}_2}}}{{\bar H}}\bar d} \right)}^2}\left( {C_{{H_2}}^2 + C_H^2 + C_d^2} \right) + } \right.}\\ {{{\left. {\left( {4C_H^2 + 4C_{{H_{1,\delta }}}^2 + C_{{H_1}}^2 + C{{_n^2}^\prime }} \right)\left( {\frac{{{{\bar H}_{1,\delta }}}}{{2\bar H}}\sqrt {\frac{{{H_1}}}{{2\bar n'}}} } \right)} \right\}}^{0.5}}} \end{array} $

(25)

式中：${{\bar l}_{\rm{l}}} $是l_l的均值，m；${\bar n'} $是n′的均值。

6) 当量直径变异系数：

计算公式${d_{\rm{ \mathsf{ ε} }}} = \frac{{2[s({s_1}-d)-2\delta h]}}{{2{\rm{ }}h + s}} $，变异系数为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{C_{{d_\varepsilon }}} = \frac{1}{{{{\bar d}_\varepsilon }}}\left\{ {{{\left( {\frac{2}{{2\bar h + \bar s}}} \right)}^2}\left[ {{{\left( {\bar s{{\bar s}_1}{C_{{s_1}}}} \right)}^2} + {{\left( {2\bar h\bar \delta {C_\delta }} \right)}^2} + } \right.} \right.}\\ {{{\left. {\left. {{{\left( {\bar s\bar d{C_d}} \right)}^2}} \right] + \left( {C_s^2 + C_h^2} \right)\frac{{{{\left[ {4\bar h\bar s\left( {{{\bar s}_1} - \bar d + \bar \delta } \right)} \right]}^2}}}{{{{\left( {2\bar h + \bar s} \right)}^4}}}} \right\}}^{0.5}}} \end{array} $

(26)

式中：${{\bar d}_{\rm{ \mathsf{ ε} }}} $是${d_{\rm{ \mathsf{ ε} }}} $的均值，m；s₁是受热面横向节距，m；$ {{\bar s}_1}$是s₁的均值，m；C_s1是$ {{\bar s}_1}$的变异系数。

7) 雷诺数变异系数：

$ \mathit{Re} = \frac{{w{l_1}}}{\nu } $

式中：ν为烟气运动粘度，m²/s。计算雷诺数变异系数时，ν是常数。所以

$ {C_{\mathit{Re}}} = {\left( {C_{{l_1}}^2 + C_w^2} \right)^{0.5}} $

(27)

8) 管束形状系数的变异系数：

计算公式${k_{\rm{S}}} = 5.4{\left( {\frac{{{l_{\rm{l}}}}}{{{d_{\rm{ \mathsf{ ε} }}}}}} \right)^{0.3}} $，则变异系数为

$ {C_{{k_{\rm{S}}}}} = 0.3{\left( {C_{{l_1}}^2 + C_{{d_\varepsilon }}^2} \right)^{0.5}} $

(28)

9) 单排管阻力系数的变异系数：

计算公式ξ₀=k_Zk_SRe^-0.25，本实例的管排数修正系数k_Z是常数，则变异系数为

$ {C_{{\xi _0}}} = {\left( {C_{{k_{\rm{S}}}}^2 + 0.0625C_{\mathit{Re}}^2} \right)^{0.5}} $

(29)

10)管束阻力系数的变异系数：

计算公式ξ=Zξ₀，对具体的锅炉来说，管子排数Z为常数，则变异系数为

$ {C_\xi } = {C_{{\xi _0}}} $

(30)

11)管束烟气计算阻力的变异系数：

$ \Delta h' = \xi \frac{{\rho {w^2}}}{2} $

式中ρ为烟气实际密度，kg/m³。

在计算变异系数时，ρ为定值。所以

$ {C_{\Delta h'}} = {\left( {C_\xi ^2 + 4C_w^2} \right)^{0.5}} $

(31)

12)管束烟气阻力的变异系数：

计算公式Δh=KΔh′，且阻力修正系数K为常数，则变异系数为

$ {C_{\Delta h}} = {C_{\Delta h'}} $

(32)

3 计算所需数据

原材料、制造和安装允许误差范围如下：

1) 光管外径误差为Δd=±0.32 mm^[11]；

2) 根据文献[12]，翅片管直径误差为ΔD=_-1.0^+0.5 mm；翅片高度误差为Δh=₀^+0.3 mm；翅片厚度误差为Δδ=±0.05 mm；翅片节距误差为Δs=±0.2 mm；光管和翅片管计算长度误差分别为Δl=Δl_p=₀^+0.006 m；

3) 烟道宽度误差为Δb=_-0.004^+0.002 m^[13]；

4) 过热器横向节距误差为Δs₁=±5 mm，其他受热面横向节距误差为Δs₁=±3 mm^[14]。

锅炉结构数据、烟气阻力计算结构数据、余热锅炉在ISO大气环境和100%负荷时的烟气阻力如表 1~3所示^[9]。

4 变异系数和可靠度计算结果

给出的锅炉结构变异系数计算结果如表 4所示^[10]。

锅炉烟气阻力变异系数计算结果如表 5所示。

可靠度计算结果如下：

1) 概率密度函数分布类型检验

由第1.2节知，表 4和表 5计算结果远小于0.10，所以各随机变量计算结果是足够精确的；

由第1.3节进一步可知，可以认为f(Δh)为正态分布概率密度函数。

2) 利用表 3，锅炉烟气阻力标准差为

$ \begin{array}{l} {S_{\Delta h}} = \sum\limits_1^4 {{C_{\Delta {h_i}}}\Delta {{\bar h}_i}} = \\ \;\;\;\;\;\;0.01363 \times 594.9 + 0.01434 \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {1159.5 + 557.6 + 273.2} \right) = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;36.65{\rm{Pa}} \end{array} $

3) 锅炉烟气阻力计算可靠度计算

给定的整台锅炉允许烟气阻力Δh=2 600 Pa。由式(11)，计算可得β=0.404，由文献[15]知，可靠度R=0.670 0。

5 结论

1) 给出的随机变量变异系数界限数值更易判断出各随机变量与可靠度计算结果的准确程度，具有适用的普遍性；

2) 采用现行烟气阻力计算方法对工程实例的计算结果给出一个确定的数值，且小于允许值，因而可以认为计算结果小于允许值的可靠度达到了100%，而当考虑工程实际后，采用本文法对工程实例烟气阻力计算结果小于允许值的可靠度下降约33%(正态分布误差约为±3×36.65≈±110 Pa)；

3) 本文法考虑了原材料误差、制造误差和安装误差及其对锅炉烟气阻力计算和结果的影响，符合工程实际，弥补了现行计算方法的不足；

4) 建议在工程设计和计算过程中，在降低原材料标准、制造标准和安装标准中误差范围或采用更加先进标准的同时，运用本文法进行校核，以达到优化锅炉设计之目的。