机械噪声是水下航行器主要噪声源之一。机械噪声的产生一方面是艇上机械设备振动通过隔振系统和管路系统的基座和支撑件激励艇体振动并向水中辐射噪声，另一方面是机械设备直接辐射空气噪声通过艇体透射引起水下声辐射。随着减振、隔振技术发展和安静型机电设备的应用，空气噪声引起水下辐射噪声的问题愈发突出，将成为水下航行器声学设计不可忽视的问题。

圆柱壳体是潜艇、鱼雷等水下航行器的主要结构形式。该结构形式的物理数学模型相对简单，便于研究其声辐射规律。Laulagnet等针对这种结构形式在机械点力源作用下振动特性和外辐射声场进行了大量的理论研究，详细分析了外部流体介质对壳体振动的耦合作用^[1-2]。对空气声源作用下壳体外辐射声场问题，壳体结构的振动不仅与外部流体介质耦合, 而且与内部有限区域的声介质耦合。Dowell等研究了封闭空间内部声场固有频率以及单、双层圆柱壳体内部声场分布，但没有考虑外辐射声场问题^[3-6]。Ali El Hafid等对声腔与结构模态的截断问题进行了详细分析^[7]。C R Fuller研究了内部声源激励下无限长圆柱壳声辐射特性^[8]。彭旭则从Flügge薄壳理论和Helmholtz波动方程出发，推导了有限长加筋圆柱壳在内部声源激励下壳体振动的耦合方程，对比了机械点力源和内部点声源激励下圆柱壳的传递损失和外辐射声场的指向性^[9]，但没有对两种激励方式下壳体结构振动模态的差异进行分析。陈美霞通过单、双层环肋圆柱壳模型试验，研究了在不同激励方式下圆柱壳内部介质与壳体振动以及外辐射声场的关系^[10]。此外，针对实际工程预报问题，陈明等建立了一种较简单的空气噪声传递产生水下辐射噪声的工程估算方法。到目前为止，关于内部声激励下圆柱壳的声辐射问题，主要集中在辐射声功率和外辐射声场指向性的讨论，而很少从激励力能量输入的角度去讨论声腔对声源辐射能量的损耗作用，以及声激励下能量可以有效输入到壳体的模态分量^[11-12]。

由于环肋结构对壳体的低频声辐射特性影响很小，本文采用了较为简单的单层有限长圆柱壳模型，讨论内部声腔对声源辐射能量的损耗作用，通过数值仿真分析内部点声源激励下能量从声源到壳体再到辐射声场的传递过程，给出了点声源激励下作用到壳体内表面声压的模态分量与壳体振动模态的关系，并比较了不同激励方式下低阶周向模态对壳体声振特性以及传递特性的影响。

1 圆柱壳声透射基本理论

本文研究的力学模型为有限长薄壁圆柱壳，假设壳体两端简支在无限长的刚性圆柱障板上，其坐标系和几何参数如图 1所示。结构响应在线性范围内，流体满足线性声学条件。F为径向机械激励力，Q为点声源，内、外场流体均为无粘、无旋、各向同性的可压缩理想流体。外流场密度ρ₁，声速c₁，外流场密度ρ₂，声速c₂。

1.1 壳体的运动方程

壳体的运动方程采用较为精细的Flügge薄壳振动方程^[13-14]，外流场满足无源波动方程，内流场满足有源波动方程，壳体受机械力以及内、外流场声压分布力作用，其振动方程如下

$\begin{array}{l} \quad \quad \quad {\mathit{\boldsymbol{L}}_{jk}}{\left\{ {u\quad v\quad w} \right\}^{\rm{T}}} = \\ \frac{{{R^2}\left( {1 - {v^2}} \right)}}{{Eh}}\left\{ { - {\mathit{\boldsymbol{F}}^{\rm{T}}} - \mathit{\boldsymbol{p}}_{{\rm{in}}}^{\rm{T}} - \mathit{\boldsymbol{p}}_f^{\rm{T}}} \right\} \end{array}$

(1)

式中: L_jk为Flügge壳体理论的微分算子，u、v、w分别表示柱坐标下壳体轴向、周向、径向三个方向的位移，F^T为作用在壳体上的机械激励力向量，p_in^T为作用于壳体内表面的声压矩阵，p_f^T是外部流场声压向量。外流场对壳外表面的压力推导过程见文献[1]。

1.2 壳体运动方程的求解

壳体运动方程中机械力激励可写成

$F = \sum\limits_{k = 1}^{{N_k}} {{F_k}} \delta \left( {x - {x_k}} \right)\delta \left( {\theta - {\theta _k}} \right)/R$

(2)

式中：F_k表示第k个激励力的幅值，x_k和θ_k分别表示第k个激励力的轴向位置和周向位置。本文只考虑径向激励力，利用Fourier级数展开后的模态分量矩阵为[0 0 F_mn]^T，其中

${F_{mn}} = \sum\limits_{k = 1}^{{N_k}} {{F_k}} \cdot \sin {k_m}{x_k}\cos \left( {n{\theta _k}} \right)/R$

(3)

圆柱壳腔体中包含Q个点声源，声腔内部某点的声压P_in(r, θ, z, ω)可以认为是由圆柱壳受激振动向内产生的辐射声压P_in1(ω)和由声源直接到达以及经壳体反射到达该点所产生的声压P_in2(ω)两部分组成^[8]。则声激励下圆柱壳声腔内表面的声压分布可以写成

$\begin{align} & \quad \quad {{p}_{\text{in}}}\left( R,\theta ,z \right)=\sum{{{\phi }_{{\tilde{n}}}}}\left( R,\theta ,z \right){{Z}_{{\tilde{n}}}}\left( \omega \right)\cdot \\ & \left[ \sum\limits_{k=1}^{Q}{\iiint\limits_{V}{{{\phi }_{{\tilde{n}}}}\left( r,\theta ,z \right)\left| _{r=R}\cdot \delta \left( {{r}_{k}},{{\theta }_{k}},{{z}_{k}} \right){{Q}_{k}}\left( r,\theta ,z \right)\text{d}V \right.}} \right] \\ \end{align}$

(4)

式中：${Z_{\tilde n}}$(ω)是未耦合的声模态阻抗，Q_k(r, θ, z)为第k个点源的单位体积速度分布函数，(r_k, θ_k, z_k)表示为第k个点源的坐标，${\phi _{\tilde n}}$(R, θ, z)表示刚性封闭圆柱声腔第阶声模态函数

$\begin{array}{l} \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\phi _{\tilde n}}\left( {r,\theta ,z} \right){\rm{ = }}\\ {J_{{n_1}}}\left( {q\left( {{n_1},{n_3}} \right){\rm{ \mathsf{ π} }}r/R} \right)\cos \left( {{n_2}{\rm{ \mathsf{ π} }}z/L} \right)\cos \left( {{n_1}\theta } \right) \end{array}$

(5)

式中：${\tilde n}$为n₁、n₂、n₃的组合，${\tilde n}$=1, 2, 3, …, n₁n₂n₃，n₁、n₂分别为声腔周向波数和轴向半波数，q(n₁, n₃)为($\partial $ J_n1(q(n₁, n₃)πr/R)/ $\partial $r)_r=R=0的第n₃个根。

利用Fourier级数展开后的模态分量矩阵为[0 0 P_mn]^T，其中

$\begin{array}{l} {P_{mn}} = \sum {\sum\limits_{k = 1}^Q {\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}{Q_k}{\delta _{{n_1}n}}}}{{{\varepsilon _n}}}} } {\phi _{\tilde n}}\left( {{r_k},{\theta _k},{z_k}} \right).\\ \quad \quad \quad {Z_{\tilde n}}\left( \omega \right)\frac{{mL\left[ {1 - {{\left( { - 1} \right)}^{{n_2} + m}}} \right]}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}\left( {{m^2} - n_2^2} \right)}} \end{array}$

(6)

由式(6) 可以看出，当n₁≠n时，P_mn=0，即声激励下壳体第n阶周向声腔模态只引起第n阶周向模态壳体振动，而轴向方向则相互耦合。

将式(3)、(6) 代入式(1)，可以得到壳体振动控制方程的模态系数矩阵的解[U_mn V_mn W_mn]^T。

$\begin{array}{l} \left[ {{L_{mn}}} \right]{\left[ {{U_{mn}}\quad {V_{mn}}\quad {W_{mn}}} \right]^{\rm{T}}} = \frac{{{R^2}\left( {1 - {v^{}}} \right)}}{{Eh}}.\\ \quad \left\{ - \right.{\left[ {0\quad 0\quad {F_{mn}}} \right]^{\rm{T}}} - {\left[ {0\quad 0\quad {P_{mn}}} \right]^{\rm{T}}} - \\ \left. {\quad \quad \quad \quad {{\left[ {0\quad 0\quad \sum\limits_q {{Z_{mnq}}{W_{qn}}} } \right]}^{\rm{T}}}} \right\} \end{array}$

(7)

式中: Z_mnq表示壳体的辐射阻抗。

由式(7) 可以看到，流体负载导致不同轴向模态耦合，而各阶周向模态之间相互独立，进一步分析可知第n阶周向声腔模态只引起第n阶的周向模态声辐射，机械力激励模态系数F_mn有同样的特性。

2 壳体声振特性的数值分析

为了分析在机械力激励和声激励下，壳体各阶周向模态的声振特性，对一个有限长单层圆柱壳进行数值分析，着重讨论其在环频以下频段的声振特性。壳体参数为：L/R=2.74，R/h=125；L、R、h，分别是圆柱壳的长、半径和厚度；壳体的弹性杨氏模量E=2.1×10¹¹ N/m²，泊松比ν=0.3，密度ρ_s=7 800 kg/m³，损耗因子为0.01，环频247.3 Hz，壳体外部流体为水介质，密度ρ₁=1 000 kg/m³，声速c₁= 1 500 m/s。壳体内部流体为空气介质，密度ρ₂=1.29 kg/m³，声速c₂=340 m/s，声腔阻尼因子为0.01。

两种激励方式分别为：机械点力源作用于内壳体表面，幅值1 N，作用位置(R, 0, L/2)；内部点声源激励位于(R/2, 0, L/2)，在自由场中距离该点声源1 m远处的声压幅值为1 Pa。径向均方振速级参考值取5×10^-8 m/s，声压参考值取1 μPa。

2.1 振动特性分析

对机械点力源和内部点声源激励下圆柱壳振动特性进行分析，用壳体表面均方振速描述壳体振动的强弱。为了直观对比，用幅值大小不同的机械点力源激励，使得壳体的均方振速在各1/3倍频程频带内和点声源激励下相同，由图 2可以看到在不同频段点力源的大小各不相同，在环频以下频段点声源引起整体振动强度和4 N点力源激励相近。

进一步分析，对两种激励下圆柱壳低阶周向振动模态分析，如图 3所示，机械点力源激励下，周向0、1阶模态(包括了轴向所有模态，下同)对壳体的均方振速贡献较小，甚至在100 Hz以下对壳体均方振速的贡献可以忽略不计；点声源激励下，周向波数n=0, 1时壳体的振动模态对壳体的均方振速贡献较大，不同周向波数对壳体均方振速的贡献在不同频点略有差别。

为了说明在不同激励形式下低阶周向模态对壳体振动贡献不同的原因，对两种激励形式在各周向波数下的模态力分量进行讨论。从能量输入角度由图 4可知，机械点力源的各周向模态力幅度相同且和频率无关，从结构响应角度，由于环频以下频段，各周向振动模态均参与壳体振动^[14]，导致周向波数n为0和1的振动模态对壳体均方振速的贡献较小。

与机械点力源激励不同，点声源激励下只有部分周向模态力可以通过声腔耦合输入到壳体中，且随着频率的变化而变化。如图 5所示，当频率为40 Hz时，周向波数n为0和1阶模态力输入远大于其他周向模态力，随着频率的升高，越来越多的周向模态力能够加载到壳体上。

2.2 声辐射特性分析

对机械点力源和内部点声源激励下圆柱壳声辐射特性进行分析，在各1/3倍频程频带内，用幅值大小不同的机械点力源激励，使得壳体的辐射声功率和点声源激励下相同，如图 6所示，在环频以下频段，点声源引起总辐射声功率和20 N点力源激励相近。

把壳体振动各辐射模态沿周向展开，由图 7可以发现，50 Hz以下，机械点力源和点声源分别激励下周向波数n为0、1阶模态是其声辐射的主导模态，2阶以上的周向辐射模态可以忽略；随着频率升高，周向波数n为0、1阶模态的主导作用开始减弱，一直到环频以下频段，周向0、1阶模态对辐射声功率的贡献显著。

图 8(a)对比了机械点力源激励和内部点声源激励下壳体辐射效率。整个环频以下，点声源激励下辐射效率高于点力激励，在低于100 Hz频段尤为显著；进一步对不同激励方式下周向0、1阶模态进行分析，由图 8(b)可以发现辐射效率大小没有显著差异，只是点声源激励下辐射效率曲线比机械点力源激励下起伏略大。

通过对比图 8(a)和(b)可知，由于辐射效率是辐射声功率和均方振速的比值，在机械点力源激励下，均方振速由各阶振动模态构成，但高阶周向模态的声辐射能力较弱；在内部点声源激励下，壳体均方振速主要由低阶周向模态构成，其声辐射能力较强，导致点声源激励下辐射效率更高。

2.3 能量传递损失

点声源和点力源两种激励方式对壳体作用的表现形式是不同的。点力源激励下，点力作为局部力直接作用于壳体内表面；点声源辐射能量经由空气传播到壳体，声压作为一种分布力作用于壳体内表面激励壳体振动。

定义系统的输入功率与外场辐射声功率的比值为传递损失TL，即

${\rm{TL}} = 10\lg \frac{{{W_{{\rm{input}}}}}}{{{W_{{\rm{output}}}}}}$

(8)

机械点力源激励下，W_input=$\sum\limits_k {} $Re(F_k·w_rk^*)/2，k为机械点力源个数，F_k为第k个径向机械点力，w_rk为第k个机械点力处壳体的径向振速；点声源激励下，由于声腔的作用，点声源无法将全部能量有效输入到壳体中，为了便于讨论这种影响，把点声源辐射声功率和点声源输入到壳体的能量分别作为系统的输入功率进行讨论。点声源的辐射声功率为

${W_{{\rm{input}}}} = {\sum\limits_{{k_2}} {{Z_{{k_2}}}\left| {{S_{{k_2}}}} \right|} ^2}/2$

式中: Z_k=ρ₂ω²/(4πc₂)，S_k=4πp_kr/(iρ₂c₂k)，p_k为自由场中距离第k个点声源r处的声压。点声源输入到壳体中的能量为

${W_{{\rm{input}}}} = \frac{1}{2}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {\int_s {{p_{{\rm{in}}}}\left( R \right) \cdot w_r^*{\rm{d}}s} } \right\}$

(9)

式中: p_in(R)是声激励下壳体内表面压力分布。

图 9(a)为机械点力源和点声源激励下壳体的能量传递损失，可以看到点声源激励下的能量传递损失更大，点声源激励下声压分布力作为系统输入时能量传递损失却最小，由此可以看出，点声源作为系统输入时，由于声腔结构改变了点声源的辐射阻抗，导致能量无法有效输入到壳体中并辐射出去，但输入到壳体中的能量能更有效的辐射出去，与文献[10]中的结果类似。

进一步分析，只考虑两种激励方式下，周向0、1阶模态系统输入和辐射声功率，由图 9可以看到，两种激励方式下周向0、1阶模态的能量传递损失基本一致，且均小于总的能量传递损失。

4 结论

1) 点声源激励下，壳体的振动主要由低阶周向模态主导；机械点力源激励下，各阶周向模态均影响壳体的振动特性。

2) 两种激励方式下，低阶周向模态对壳体声辐射贡献较大。点声源激励下壳体的辐射效率更高，是由于机械点力源激励下高阶周向模态振动能力较强，但辐射能力较弱，导致点力源激励下总辐射效率偏低。

3) 与机械点力源相比，点声源激励下，由于声腔模态与结构模态周向耦合导致只有低阶周向模态能量可以有效输入到壳体中，使得能量从声源到壳体的传递损失较大。

本文主要研究内部点声激励下有限长单层圆柱壳的声振特性和传递损失，由于模型简支在无限长的刚性圆柱障板上，忽略了圆柱壳端盖的声透射问题。此外，对双层圆柱壳模型以及舷间结构和流体介质对能量的传递作用需要在以后的工作中进一步分析。