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  哈尔滨工程大学学报  2017, Vol. 38 Issue (8): 1179-1189  DOI: 10.11990/jheu.201612063
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引用本文  

赵春晖, 田明华, 李佳伟. 光谱相似性度量方法研究进展[J]. 哈尔滨工程大学学报, 2017, 38(8), 1179-1189. DOI: 10.11990/jheu.201612063.
ZHAO Chunhui, TIAN Minghua, LI Jiawei. Research progress on spectral similarity metrics[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2017, 38(8), 1179-1189. DOI: 10.11990/jheu.201612063.

基金项目

国家自然科学基金项目(61405041,61571145);黑龙江省自然科学基金重点项目(ZD201216);哈尔滨市优秀学科带头人基金项目(RC2013XK009003)

通信作者

赵春晖, E-mail:zhaochunhui@hrbeu.edu.cn

作者简介

赵春晖(1965-), 男, 教授, 博士生导师

文章历史

收稿日期:2016-12-19
网络出版日期:2017-04-28
光谱相似性度量方法研究进展
赵春晖, 田明华, 李佳伟    
哈尔滨工程大学 信息与通信工程学院, 黑龙江 哈尔滨 150001
摘要:为了进一步分析光谱相似性度量在高光谱图像处理中的应用,从距离、投影等角度充分归纳总结了现有二元光谱相似度量方法,并分析讨论了二元光谱相似度量存在的问题。重点介绍了一种多元光谱相似性测量方法,也称N维立体光谱角(N-dimensional solid spectral angle,NSSA)方法。NSSA方法从本质上突破了传统的二元光谱角(spectral angle mapping,SAM)仅能计算两个光谱之间夹角的局限性,具备联合计算多元光谱欧氏空间夹角的能力,为评价多元光谱联合相似性提供了一种定量化的度量手段。最后,对NSSA方法在高光谱波段选择及端元提取领域的潜在研究价值和应用现状进行了分析和展望。通过分析表明NSSA方法所具备的特性可更好地实现光谱相似性度量,在高光谱图像处理领域具有较高的研究价值。
关键词高光谱图像    光谱相似性度量    二元光谱角    N维立体光谱角方法    多元光谱相似性度量    波段选择    端元提取    
Research progress on spectral similarity metrics
ZHAO Chunhui, TIAN Minghua, LI Jiawei    
College of Information and Communication Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China
Abstract: Spectral similarity metrics are important in the field of hyperspectral data analysis. To further analyze their application in hyperspectral image processing, the current binary spectral similarity metrics method based on distance or projection was summarized. The problems in the binary spectral similarity metrics were analyzed and discussed. Then, this study chiefly introduced a multiple spectral similarity metric called N-dimensional solid spectral angle (NSSA). The NSSA method breaks through the limitation of the traditional binary spectral angle mapping in essence, which can not only calculate the angle between two spectra but also the angle constructed by multiple spectra jointly in Euclidean space. The method provides a quantitative measure to evaluate the joint similarity of multivariate spectra. The potential research value and applications of the NSSA method in hyperspectral band selection and endmembers extraction were analyzed and forecasted. The analysis indicates that the NSSA method can better realize the spectral similarity measure and has high research value in the field of hyperspectral imaging process.
Key words: hyperspectral imagery    spectral similarity metrics    binary spectral angle mapping    N dimensional solid spectral angle    multiple spectra similarity metric    band selection    endmember extraction    

随着成像光谱仪的发展,高光谱遥感成像技术得到了广泛的关注。该技术兼顾了成像技术与光谱技术的优点,主要特点为光谱分辨率“高”,其光谱分辨率达到纳米数量级[1]。典型的高光谱成像光谱仪如美国NASA研制的机载可见光/红外成像光谱仪(airborne visible/infrared imaging spectrometer, AVIRIS)[2]和Hyperion成像光谱仪[3],这两种成像光谱仪的光谱分辨率均可达到10 nm左右,波段数目分别为224个和242个。光谱分辨率的提升和波段数目的增多,使高光谱遥感成像技术能够获取连续型的、具有诊断性的地物光谱特征,并使得独立依赖光谱特征对地物进行解译成为了可能[4]。目前,高光谱遥感技术已被广泛应用到农林、环境、军事、医学和食品等诸多领域[5-8]

光谱相似性度量在高光谱数据解译领域发挥着重要的作用。该技术的主要目的在于:依托某一特定的光谱相似性度量函数判定测试光谱(未知类别光谱)与参考光谱(已知类别光谱)之间的相似性并根据相似性大小对测试光谱的类别属性进行划分。从某种意义上讲,高光谱数据分析的几个主要研究领域,如异常目标检测、地物分类、混合像元分解等,均以光谱相似性度量为基础。因而,对现有的光谱相似性度量方法的研究进展进行概括和总结是具有重要参考价值的。

按照可操作光谱数目的不同,光谱相似性度量方法可以划分为:二元光谱相似性度量方法和多元光谱相似性度量方法。二元光谱相似性度量方法,操作对象为两个光谱,能够实现一个测试光谱sx与一个参考光谱sy之间“一对一”的相似性评价问题;对应地,多元光谱相似性度量方法的可操作对象为n个光谱,其中,n≥2,且n为整数。本质上,多元光谱相似性度量方法具备通过单次运算衡量多个光谱之间联合相似度的能力。从某种意义上讲,二元光谱相似性度量方法可视为多元光谱相似性度量方法在n=2时的特殊情况。

目前,光谱相似性度量方法多为二元光谱相似性度量方法。这类方法应用广泛,同时也显现出了局限性。相比较而言,多元光谱相似性度量方法逐渐获得了人们的关注。

本文首先对一些当前主流的、具有代表意义的光谱相似性度量方法进行了归纳,重点介绍了一种多元光谱相似性度量方法——广义光谱角方法,该方法又称N维立体光谱角(N-dimensional solid spectral angle, NSSA)方法。此外,阐述了若干NSSA方法的重要特性,这些特性将为继续深入挖掘NSSA方法在遥感数据分析领域的应用提供理论依据。最后,对NSSA方法的应用现状和潜在研究价值进行了分析与展望。

1 二元光谱相似性度量方法

二元光谱相似性度量方法旨在通过某一特定的准则函数,定量地计算出一个测试光谱sx与一个参考光谱sx之间的相似程度。

一般来说,一个光谱相似性度量函数d(·)需满足以下几个基本条件[9],此处以二元光谱相似性度量函数为例。

设待比较的两个光谱向量分别为sxsysx=[sx1sx2sxisxL],sy=[sy1sy2syisyL],其中,sxisyi分别为光谱向量sxsy在第i个波段的光谱响应幅值,L为波段总数目。

1) 自反性:d(sx, sx)=0或d(sy, sy)=0;

2) 非负性:d(sy, sx)≥0;

3) 对称性:d(sy, sx)≥d(sx, sy);

4) 可识别性:d(sy, sx)=0 $\Leftrightarrow $sy=sx

5) 不等式特性:d(sy, sx)≤d(sy, sz)+d(sx, sz)。其中,sz为与sxsy维度相同的光谱向量。

在上述约束条件下,二元光谱相似性度量方法主要可以划分为:基于距离的光谱相似性度量方法、基于投影的光谱相似性度量方法、基于信息测度的光谱相似性度量方法、基于统计特性的光谱相似性度量方法等。

1.1 基于距离的光谱相似性度量方法

基于距离的光谱相似性度量方法以向量范数为理论基础。这类方法将光谱特征假定为欧式空间中的高维向量,维数等于光谱的波段数目。进而,光谱相似性大小的度量问题转化为高维向量之间距离大小的度量问题。两个高维向量之间的几何距离越大,则光谱之间相似性越低;反之,几何距离越小,光谱之间相似性越高。

一些典型的基于距离的光谱相似性测度主要包括:

1) 曼哈顿距离[10](Manhattan distance,又称city block distance, CBD):

$ {{d}_{\rm{CBD}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}}_{x}},{{\mathit{\boldsymbol{s}}}_{y}} \right)={{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{s}}}_{x}}-{{\mathit{\boldsymbol{s}}}_{y}} \right\|}_{{{L}_{1}}}}=\sum\limits_{i=1}^{L}{\left| s_{x}^{i}-s_{y}^{i} \right|} $ (1)

曼哈顿距离旨在测量两个向量在标准坐标系上绝对轴距离之间的累加和。该距离与坐标轴的变动有关,与两个向量之间采取何种路径无关。曼哈顿距离属于L1范数,基于该距离的衍生距离有多种,如:Canberra距离[11]、Gower距离[12]、Soergel距离[13]、Kulczynski距离[11]等。表 1给出了上述距离对应的具体计算方法。

表 1 基于L1范数衍生的相似性测度 Tab.1 Similarity metrics based on L1 norm

2) 欧几里德距离[14](Euclidean distance, ED):

$ {{d}_{\rm{ED}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}}_{x}},{{\mathit{\boldsymbol{s}}}_{y}} \right)={{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{s}}}_{x}}-{{\mathit{\boldsymbol{s}}}_{y}} \right\|}_{{{L}_{2}}}}=\sqrt{\left[ \sum\limits_{i=1}^{L}{{{\left( s_{x}^{i}-s_{y}^{i} \right)}^{2}}} \right]} $ (2)

欧几里德距离是光谱相似性度量方法中较常用的一种距离。欧几里德距离的计算结果与光谱的幅值差异直接相关,对光谱形状差异并不敏感。这一特点成为ED方法在高光谱数据分析应用中的主要障碍[15]

有时为了便于分析,也常常使用归一化的欧几里德距离(normalized Euclidean distance, NED)[16]

NED方法将光谱sx及光谱sy分别归一化为N(sx)=sx/norm(sx)及N(sy)= sy/norm(sy)。此后,计算N(sx)与N(sy)之间的欧几里德距离。NED的数值变化区间规范到[0, 1]。研究显示,ED及NED方法的光谱相似性度量结果接近,NED具有更强的鲁棒性[17]

为了改进ED对光谱幅值过于敏感的缺点,L. Ming等提出了加权形式的ED[18]方法,给出了若干种加权矩阵的选取方式,包括:基于样本均值逆矩阵的加权矩阵、基于光谱方差逆矩阵的加权矩阵和基于Gardner矩阵的加权矩阵;A Rammal等利用Davies-Bouldin指数[19]对感兴趣的波段特征进行加权[20]。Davies-Bouldin指数描述了两个类别之间的可分性指数,加权指数与可分性指数成正比;B. Lu等指出可以利用图像的空间信息对ED距离进行加权[21],空间信息的计算依赖于像素之间的位置关系。研究显示,加权形式的ED光谱相似性度量方法的准确度优于传统ED的光谱相似度量方法[22]

本质上,欧几里德距离属于L2范数。基于L2范数进一步衍生了均方根距离[23]、卡方距离[11]、German-McClure函数等,具体计算方法如表 2所示。

表 2 基于L2范数的衍生的相似性测度 Tab.2 Similarity metrics based on L2 norm

3) 切比雪夫距离[24](Tchebyshev distance, TD):

$ {{d}_{\rm{TD}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}}_{x}},{{\mathit{\boldsymbol{s}}}_{y}} \right)={{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{s}}}_{x}}-{{\mathit{\boldsymbol{s}}}_{y}} \right\|}_{{{L}_{\infty }}}}=\underset{i=\left[ 1,L \right]}{\mathop{\max }}\,\left( \left| s_{x}^{i}-s_{y}^{i} \right| \right) $ (3)

4) 闵可夫斯基距离[25](Minkowski distance, MiD):

$ {{d}_{\rm{MiD}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}}_{x}},{{\mathit{\boldsymbol{s}}}_{y}} \right)={{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{s}}}_{x}}-{{\mathit{\boldsymbol{s}}}_{y}} \right\|}_{{{L}_{p}}}}=1/{{L}_{p}}\sum\limits_{i=1}^{L}{{{\left| s_{x}^{i}-s_{y}^{i} \right|}^{1/{{L}_{p}}}}} $ (4)

闵可夫斯基距离属于欧式距离的推广形式。曼哈顿距离、欧几里德距离、切比雪夫距离实际上可视为闵可夫斯基距离中p=1、p=2及p=∞时的特殊形式。

5) 马氏距离[26](Mahalanobis distance, MaD):

$ {{d}_{\rm{MaD}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}}_{x}},{{\mathit{\boldsymbol{s}}}_{y}} \right)=\left[ {{\mathit{\boldsymbol{s}}}_{x}}-u\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}}_{x}} \right) \right]{{\mathit{\boldsymbol{ }}\!\!\Sigma\!\!\rm{ }}^{-1}}{{\left[ {{\mathit{\boldsymbol{s}}}_{y}}-u\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}}_{y}} \right) \right]}^{\rm{T}}} $ (5)

MaD本质上可以看成协方差加权形式的ED距离。当协方差矩阵Σ为对角阵时,MaD距离转变为正规化的ED距离。ED距离在数据先验概率相等的情况下能够得到理想的结果。相比较而言,MaD引入的协方差矩阵客观上承认了数据的先验概率不均等时的差异性。

6) 汉明距离[27](Hamming distance, HD)

汉明距离属于一种基于编码的距离方法。它描述了两个等长字符串之间差异字符的数目。汉明距离满足非负、唯一、对称性及三角不等式特性。两个光谱之间汉明距离越大,其相似度越低。

基于距离的光谱相似性度量方法与光谱幅值大小直接相关,对光谱形状差异变化不敏感。两个存在形状差异的光谱,其距离测度可能相近[28]

理论上,欧几里德空间中不同坐标轴(维度)之间是相互正交的。然而,高光谱不同波段之间通常具有较高的相关性,无法达到正交关系。因而,高光谱数据波段之间的相关性是造成这类光谱相似性度量方法误差的主要原因。

1.2 基于投影的光谱相似性度量方法

在遥感数据分析中,相比于光谱幅值差异,研究者更加关心光谱的形状差异。基于投影的光谱相似性度量方法在一定程度上能够反映出光谱形状差异,这一特性对高光谱数据分析是十分重要的。

光谱角(spectral angle metric,SAM)相似性测度是一种最具代表性的基于投影的光谱相似性度量方法[29]。SAM应用广泛,该算法目前已经被集成到ENVI (environment for visualizing images)软件[30]及ArcGIS软件[31]中被研究者普遍使用。

SAM值对应测试光谱向量sx和参考光谱向量sy之间的余弦夹角,计算公式为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{d_{{\rm{SAM}}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_x},{\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right) = }\\ {\arccos \left( {\left\langle {{\mathit{\boldsymbol{s}}_x},{\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right\rangle /\left\| {{\mathit{\boldsymbol{s}}_x}} \right\| \times \left\| {{\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right\|} \right) = }\\ {\arccos \left\{ {\sum\limits_{i = 1}^L {s_x^is_y^i} /{{\left[ {\sum\limits_{i = 1}^L {{{\left( {s_x^i} \right)}^2}} } \right]}^{1/2}} \times {{\left[ {\sum\limits_{i = 1}^L {{{\left( {s_y^i} \right)}^2}} } \right]}^{1/2}}} \right\}} \end{array} $ (6)

值得注意的是,SAM方法具有乘性因子不变性,即存在:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{d_{{\rm{SAM}}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_x},{\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right) = }\\ {\arccos \left( {\left\langle {\alpha {\mathit{\boldsymbol{s}}_x},\beta {\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right\rangle /\left\| {\alpha {\mathit{\boldsymbol{s}}_x}} \right\| \times \left\| {\beta {\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right\|} \right) = }\\ {{d_{{\rm{SAM}}}}\left( {\alpha {\mathit{\boldsymbol{s}}_x},\beta {\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right)} \end{array} $ (7)

式中:αβ为乘性因子,且0<α, β≤1。

由于光谱曲线的幅值及形状分别对应向量在欧几里德空间中的长度和方向,乘性因子仅引起向量长度的变化并不改变向量的方向。因而,SAM方法对光谱形状差异敏感,但对光谱幅值差异不敏感。该特点使得SAM能够克服遥感数据中来自光照强度差异、地形(斜坡)、阴影、物质形状及颗粒大小等因素引起的光谱幅值变异。

SAM方法被广泛应用于光谱角填图研究中。T. Arvelyna等将SAM方法与神经网络方法相结合,对纳米比亚南部地区的矿物分布进行了反演[32];M. A. Cho等使用多端元光谱角填图方法对萨瓦纳地区的热带树种进行了类别分析[33];此外,Z. B. Rabah等建立了基于SAM测度的高光谱混合像元分析模型,从而降低来自阴影、光照不均匀等因素在光谱解混研究中造成的误差[34]

为了进一步利用SAM方法挖掘高光谱数据的非线性,G. Camps-Valls提出了核光谱角填图(kernel spectral angle mapper, KSAM)方法[35]。KSAM通过引入核函数,利用向量的高阶统计特性对光谱之间的相似程度进行衡量。KSAM方法一方面继承了光谱向量在原始特征空间中的特性,同时,挖掘了光谱之间的非线性特征。此外,KSAM方法可以设定多种核函数,具有较高的可适应性;X. Liu等分别运用SAM及KSAM方法对真实地物数据进行了分类。结果显示,KSAM方法的分类精度高于SAM方法的分类精度[36]

以SAM方法为核心,E. Angelopoul等提出了光谱梯度角(spectral gradient angle,SGA)测量方法[37]。该方法首先需要计算测试光谱向量sx及目标光谱向量sy对应的梯度向量,具体表示为

$ \left\{ \begin{array}{l} {\rm{grad}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_x}} \right) = \left[ {s_x^2 - s_x^1,s_x^3 - s_x^2, \cdots ,s_x^i - s_x^{i - 1},} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left. { \cdots ,s_x^L - s_x^{L - 1}} \right]\\ {\rm{grad}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right) = \left[ {s_y^2 - s_y^1,s_y^3 - s_y^2, \cdots ,s_y^i - s_y^{i - 1},} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left. { \cdots ,s_y^L - s_y^{L - 1}} \right] \end{array} \right. $ (8)

式中:sxisyi分别对应光谱向量sxsyi个波段的光谱响应。

衡量两个梯度向量之间的夹角大小:

$ {d_{{\rm{SGA}}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_x},{\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right) = {d_{{\rm{SA}}}}\left[ {{\rm{grad}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_x}} \right),{\rm{grad}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right)} \right] $ (9)

SGA方法考虑了不同波段之间光谱反射率的倾斜程度,对光谱的几何畸变、入射光强度的变异具有较强的鲁棒性[37]

C. I. Chang等提出了基于正交投影散度(orthogonal projection divergence, OPD)的光谱相似性测度[38]。OPD算子通过衡量两个光谱之间投影的残余误差判定光谱之间的相似性,具体计算为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{d_{{\rm{OPD}}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_x},{\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right) = \left( {\mathit{\boldsymbol{s}}_x^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{P}}_{{\mathit{\boldsymbol{s}}_x}}^ \bot + \mathit{\boldsymbol{s}}_y^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{P}}_{{\mathit{\boldsymbol{s}}_y}}^ \bot {\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right)1/2}\\ {\left\{ {\mathit{\boldsymbol{s}}_x^{\rm{T}}\left[ {{\mathit{\boldsymbol{I}}_{L \times L}} - {\mathit{\boldsymbol{s}}_y}{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}^{\rm{T}}}y{\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right)}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{s}}_y^{\rm{T}}} \right]{\mathit{\boldsymbol{s}}_x} + } \right.}\\ {\left. {\mathit{\boldsymbol{s}}_y^{\rm{T}}\left[ {{\mathit{\boldsymbol{I}}_{L \times L}} - {\mathit{\boldsymbol{s}}_x}{{\left( {\mathit{\boldsymbol{s}}_x^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{s}}_x}} \right)}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{s}}_y^{\rm{T}}} \right]{\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right\}1/2} \end{array} $ (10)

两个光谱之间的OPD值越大,其光谱相似性越低。

H. Su等将OPD算法应用于波段选择领域,对相似度较高的波段进行移除,从而降低波段之间的冗余[39];I. Haq等将OPD与波段的标准差(standard deviation, STD)相结合,对遥感数据中的异常目标与测试像元光谱进行相似性评价,提升了目标检测精度[40]

1.3 基于信息测度的光谱相似性度量方法

另一种典型的光谱相似性度量方法为基于信息测度的光谱相似性度量方法。其中,具有代表性的为光谱信息散度(spectral information divergence,SID)方法。

SID方法由C. I. Chang等提出[41-42]。该方法将光谱相似性评价问题转换为两个光谱向量概率之间的冗余度评价问题。每个光谱向量均可以视为具有概率统计特性的信息源。具体地,测试光谱sx与参考光谱sy的概率可以描述为

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{p}}_x} = \left[ {p_x^1\;p_x^2\; \cdots \;p_x^i\; \cdots \;p_x^L} \right] = \\ \;\;\;\;\;\left[ {s_x^1/\sum\nolimits_{i = 1}^L {s_x^i} \; \cdots \;s_x^i/\sum\nolimits_{i = 1}^L {s_x^i} \; \cdots \;s_x^L/\sum\nolimits_{i = 1}^L {s_x^i} } \right]\\ {\mathit{\boldsymbol{p}}_y} = \left[ {p_y^1\;p_y^2\; \cdots \;p_y^i\; \cdots \;p_x^L} \right] = \\ \;\;\;\;\;\left[ {s_y^1/\sum\nolimits_{i = 1}^L {s_y^i} \; \cdots \;s_y^i/\sum\nolimits_{i = 1}^L {s_y^i} \; \cdots \;s_y^L/\sum\nolimits_{i = 1}^L {s_y^i} } \right] \end{array} \right. $ (11)

式中:光谱向量sxsy位于第i个波段的信息量大小分别为:Ii(sx)=-log pxiIi(sy)=-log pyi

从光谱的概率描述角度出发,单个光谱的熵可以通过求取各个波段信息量的均值给出,描述为

$ \left\{ \begin{array}{l} H\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_x}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^L {{I_i}\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_x}} \right)p_x^i} = - \sum\limits_{i = 1}^L {p_x^i\log p_x^i} \\ H\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^L {{I_i}\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right)p_y^i} = - \sum\limits_{i = 1}^L {p_y^i\log p_y^i} \end{array} \right. $ (12)

进一步,可计算出概率统计量sx与概率统计量sy的相对熵(relative entropy, RE),又称KL散度(Kullback-Leibler divergency, KLD),表示为

$ D\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_x}\left\| {{\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right.} \right) = - \sum\limits_{i = 1}^L {p_x^i\ln \frac{{p_x^i}}{{p_y^i}}} $ (13)

对应地,概率统计量sy与概率统计量sx的相对熵表示为

$ D\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_y}\left\| {{\mathit{\boldsymbol{s}}_x}} \right.} \right) = - \sum\limits_{i = 1}^L {p_y^i\ln \frac{{p_y^i}}{{p_x^i}}} $ (14)

最后,根据光谱之间的互熵可得到光谱的信息散度(spectral information divergency)。

$ {d_{{\rm{SID}}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_x},{\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right) = D\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_x}\left\| {{\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right.} \right) + D\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_y}\left\| {{\mathit{\boldsymbol{s}}_x}} \right.} \right) $ (15)

可以看出,光谱之间的相对熵不满足对称性,即D(sxsy)≠D(sysx)。然而,光谱之间的SID值满足对称性,即存在:dSID(sx, sy)=dSID(sy, sx)。从上述分析中可以看出,SID方法通过衡量光谱之间的互信息大小确定两条光谱之间的相似程度。SID值越高,则光谱之间的相似性越低;反之,则光谱之间的相似性高。研究显示,基于SID方法的光谱相似性度量效果优于SAM及ED方法的光谱相似性度量效果[49]

近年来,一些学者提出了改进形式的SID方法,其中比较典型的有:Y. Du等提出了SID方法与SAM方法相结合的光谱相似性测度手段[43]。具体的结合方式为两个光谱向量SID值与SAM值的简单乘积形式。实验结果显示,这种将SID与SAM混合的光谱相似性测量效果优于独立使用SAM或SID方法;张修宝等提出了SID与SGA相混合的光谱相似性测量方法[44],该方法兼顾了SGA反映光谱局部差异特性的能力和SID反映光谱整体形状相似特性的优势;张修宝等进一步挖掘了基于梯度的信息散度的光谱识别方法[45]。该方法使用梯度向量之间的SID值替换光谱向量之间的SID值。研究显示,这种混合式的SID方法具有较高的光谱区分能力;类似地,吴浩等将光谱相关角与SID相结合,完成了遥感图像的蚀变信息进行提取[46],得到了较好的效果。

1.4 基于统计特性的光谱相似性度量方法

一类光谱相似性度量方法从统计变量的角度出发。其中,光谱相关系数测度(spectral correlation measure, SCM)属于该类型中具有代表性的光谱相似性度量方法。

SCM方法以随机变量的统计特性为理论基础,借助光谱之间的相关性大小对光谱相似性进行评价[47-48],具体的计算公式表示为

$ {d_{{\rm{SC}}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_x},{\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right) = \sqrt {\frac{{1 - r\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_x},{\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right)}}{2}} $ (16)

式中:r(sx, sy)=σ(sx, sy)/σ(sx)σ(sy),σ(sx, sy)为光谱向量sxsy的协方差,σ(sx)与σ(sy)分别对应sxsy的标准差。

SCM值的大小反映了两个光谱之间的独立程度:dSC(·)值越低,测试光谱与参考光谱之间的差异性越强;反之,dSC(·)值越高,两个光谱之间的相似度越高。SCM方法在光谱相似性测量中并不常用,这是由于两个幅值差异较大、轮廓接近的光谱其SCM值可能较高,致使光谱识别效果不理想。有时,为了降低噪声的影响,归一化的光谱相关性系数也被用于光谱相似性度量中[42]

此外,F. V. D. Meer等提出了交叉相关光谱匹配(cross correlogram spectral matching, CCSM)方法[49]。不同于传统的光谱相似性度量方法,CCSM方法引入了光谱之间相对滑动的概念。

记参考光谱sy沿波长数值减小的方向移动一个波长为K=-1,沿波长数值增大的方向移动一个长记为K=+1。dCCSM(sx, sy, K)的取值为两个光谱在波长重叠区域内的交叉相关系数,计算公式为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{d_{{\rm{CCSM}}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_x},{\mathit{\boldsymbol{s}}_y},K} \right) = \frac{{{\mathop{\rm cov}} \left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_x},{\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right)}}{{\sigma \left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_x}} \right)\sigma \left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right)}} = }\\ {\frac{{K\sum\limits_{i = 1}^L {s_x^is_y^i} - \sum\limits_{i = 1}^L {s_x^i} \sum\limits_{i = 1}^L {s_y^i} }}{{\sqrt {\left[ {K\sum\limits_{i = 1}^L {{{\left( {s_x^i} \right)}^2}} - {{\left( {\sum\limits_{i = 1}^L {s_x^i} } \right)}^2}} \right]\left[ {K\sum\limits_{i = 1}^L {{{\left( {s_x^i} \right)}^2}} - {{\left( {\sum\limits_{i = 1}^L {s_x^i} } \right)}^2}} \right]} }}} \end{array} $ (17)

式中:cov(sx, sy)为光谱向量sxsy的协方差,σ(sx)与σ(sy)分别对应sxsy的标准差。

CCSM方法计算出一系列K取不同光谱相对位移时的交叉相关系数,将这些dCCSM(sx, sy, K)值进行连线,可以得到测试光谱与参考光谱之间的交叉相关特性曲线。CCSM方法对光谱幅值变异不敏感,具有良好的抗噪声性能。重要的是,交叉相关曲线的峰值点常常指示了光谱吸收特征的位置[49]。这一特点是其他相关性相似度量方法不具备的。

1.5 二元光谱相似性度量方法的新思想

近年来,为了进一步提高光谱相似性度量的准确性,学者们挖掘了多种光谱相似性度量策略[50],典型的包括:D. Peijun等提出了基于集合操作(set operations)和光谱多边形(spectral polygon)操作的光谱相似性度量方法[51]。该方法将光谱相似性比较问题转化为两个光谱多边形之间的相似性比较问题。文献[51]指出,物质的光谱特征曲线与波长坐标轴围成不规则光谱多边形。其中,每两个相邻波段与波长坐标轴围成子多边形。将这些多边形的面积假定为集合,通过使用集合操作对光谱多边形的相似性进行识别。该方法运算复杂度低,在精度要求不高的情况下能够实现光谱相似性快速判定;S. Feng等使用小波理论对光谱特征进行识别[52]。研究指出,小波变换的低频分量显示了光谱的细节特征,高频分量则对应了光谱的轮廓特征。据此,可以根据小波变换后的系数矩阵对光谱相似性进行识别;此外,Gabor变换[53]、流形分析[54]等理论也被应用到光谱相似性研究中。

1.6 二元光谱相似性度量方法存在的主要问题

从上述分析可以看出,目前主流的光谱相似性测度均为二元光谱相似性测度(binary spectra similarity metric, BSSM)方法。这些二元光谱相似性测度能够定量地评价一个测试光谱与一个参考光谱之间的相似性,完成“一对一”的评价任务。

二元光谱相似性度量方法在处理多元光谱相似性评价问题时,均不能通过单次运算给出定量评价结果。这类方法不得不采用多次计算,采用穷尽式的方式对光谱进行两两比较。这种方式本质上属于一种间接性的评价方式,得到的评价结果与真实的多元光谱相似性存在差距,未从根本上解决多元光谱相似性评价问题。

在高光谱数据分析领域,用于度量光谱之间相似性的二元光谱相似性度量方法易于推广到描述两个类别之间可分性的研究及应用中。图 1(a)展示了两个类别在不同波段空间中的类别可分性。二元光谱相似性测度通过计算类别之间的几何距离或张角,判定类别之间的相似性。相似性越低,可分性越好,也更加利于高光谱数据分析。图 1中,第二行各子图的类别可分性(相似性)明显高于(低于)第一行各子图之间的类别可分性(相似性)。

图 1 类别可分性示意图 Fig.1 Class separability schematic

然而,当类别数目为3或者更多时,多元光谱相似性测度的需求便显现出来,如图 1(b)(c)所示,即一个多元光谱相似性测度需要联合度量多个光谱之间的相似程度。对应地,这种多元光谱相似性度量方法可以推广到多个类别之间可分性的描述。图 1显示了在不同波段空间中,类别之间的可分性存在差异。这也进一步揭示出,多元光谱相似性测度方法的潜在价值。

2 多元光谱相似性度量方法

一个性能优良的多元光谱相似性测度方法不仅需要满足上文中指出的自反性、非负性、对称性、可识别性等基础特性,还应该具备如下能力:

1) 物理意义简明;

2) 对光谱形状差异敏感;

3) 能够通过单次运算定量衡量多元光谱之间的联合相似性。

其中,一个光谱相似性测度物理意义越简明,其可接受程度越高,从而便于推广使用;对光谱形状差异敏感则指示了该光谱相似性测度在高光谱数据解译领域的应用潜力。由于高光谱数据中不同类别物质的光谱主要表现为光谱形状上的差异。因而,识别出形状上存在差异的光谱比识别出幅值上存在差异的光谱在遥感数据处理领域显得更加重要。经典的SAM方法也正是凭借该特点,在高光谱数据分析领域得到了广泛应用;通过单次运算给出定量结果指示出多元光谱相似性测度的结果应该是直接求解,而非间接求解。这也揭示出多元光谱相似性测度的计算结果反映的是光谱之间的联合相似性。

近年来,M. Tian等提出了一种多元光谱相似性测度(multiple spectra similarity metric, MSSM)方法,即将SAM推广成广义光谱角形式,又称N维立体光谱角(N-dimensional solid spectral angle, NSSA)[55]。与二元光谱相似性测度明显不同的是,NSSA反映了光谱之间的联合相似度,具有特殊的物理意义和参考价值。本节对NSSA方法进行了介绍,并归纳了NSSA方法的具有代表性的物理属性。这些重要特性将为NSSA在遥感数据分析领域的深入研究提供理论依据。

2.1 N维立体光谱角方法

设端元矩阵E=[e1e2eiejen],其中,eiej分别为第i个与第j个端元列向量,则该n个端元矩阵构成的N维立体光谱角(N-dimensional solid spectral angle, NSSA)表示为[55-56]

$ {\rm{NSSA}}\left( {{\vartheta _n},E} \right) = \left| {\det \left( \mathit{\boldsymbol{E}} \right)} \right|\int\limits_s {{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{EV}}} \right\|}^{ - n}}{\rm{d}}s} $ (18)

式中:n=2, 3, 4, …; NSSA(${{\vartheta }_{n}}$, E)表示由n个端元构成的矩阵E对应的立体光谱角;积分区域S为单位超球面Sn-1对应的正象限区域;V=[v1v2v3vivn]Tvi>0为笛卡尔极坐标系中单位超球面上的n维球面参数向量,表示为

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{v}}_1} = \cos {\theta _1},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \le {\theta _1} \le {\rm{ \mathsf{ π} /2}}\\ {\mathit{\boldsymbol{v}}_2} = \sin {\theta _1}cos{\theta _2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \le {\theta _2} \le {\rm{ \mathsf{ π} /2}}\\ {\mathit{\boldsymbol{v}}_3} = \sin {\theta _1}\sin {\theta _2}\cos {\theta _3},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \le {\theta _3} \le {\rm{ \mathsf{ π} /2}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\; \vdots \\ {\mathit{\boldsymbol{v}}_{n - 1}} = \sin {\theta _1}\sin {\theta _2} \cdots \sin {\theta _{n - 2}}\cos {\theta _{n - 1}},0 \le {\theta _{n - 1}} \le {\rm{ \mathsf{ π} /2}}\\ {\mathit{\boldsymbol{v}}_n} = \sin {\theta _1}\sin {\theta _2} \cdots \sin {\theta _{n - 2}}\sin {\theta _{n - 1}},\;\;\;\;0 \le {\theta _{n - 1}} \le {\rm{ \mathsf{ π} /2}} \end{array} \right. $ (19)

dsn-1维单位超球面Sn-1上的面积微元,具体展开式为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{d}}s = {{\sin }^{n - 2}}\left( {{\theta _1}} \right){{\sin }^{n - 3}}\left( {{\theta _2}} \right), \cdots ,}\\ {\sin \left( {{\theta _{n - 2}}} \right){\rm{d}}{\theta _1}{\rm{d}}{\theta _2} \cdots {\rm{d}}{\theta _{n - 1}}} \end{array} $ (20)

综上,式(20) 可以进一步推导得以下形式:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{NSSA}}\left( {{\vartheta _n},E} \right) = }\\ {\left| {\det \left( \mathit{\boldsymbol{E}} \right)} \right|\int\limits_s {{{\left( {{{\left\| {\mathit{EV}} \right\|}^2}} \right)}^{ - n/2}}{\rm{d}}s} = }\\ {\left( {\det \left( {{\mathit{\boldsymbol{E}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{E}}} \right)} \right)1/2\int\limits_s {{{\left( {1 + 2\sum\limits_{i < j} {\left\langle {{\mathit{\boldsymbol{e}}_i},{\mathit{\boldsymbol{e}}_j}} \right\rangle {\mathit{\boldsymbol{v}}_i}{\mathit{\boldsymbol{v}}_j}} } \right)}^{ - n/2}}{\rm{d}}s} = }\\ {\left( {\det \left( {{\mathit{\boldsymbol{E}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{E}}} \right)} \right)1/2\int_0^{{\rm{ \mathsf{ π} /2}}} \cdots \int_0^{{\rm{ \mathsf{ π} /2}}} {\psi \left( \theta \right){\rm{d}}{\theta _1}{\rm{d}}{\theta _2} \cdots {\rm{d}}{\theta _{n - 1}}} } \end{array} $ (21)

式中ψ(θ)=(1+2$\sum\limits_{i<j}{{}}$<ei, ej>vivj) n/2J(θ)。

可以看出:1) 数学上,NSSA(${{\vartheta }_{n}}$, E)对应于n-1维欧式空间单位超球面Sn-1上的多重积分,积分重数为n-1;2) 几何上,NSSA(${{\vartheta }_{n}}$, E)描述了多元向量矩阵E=[e1e2eiejen]构成的凸面锥Cnn-1维欧式空间单位超球面Sn-1的交集大小;3) 光谱分析角度,NSSA(${{\vartheta }_{n}}$, E)描述了光谱矩阵E=[e1e2eiejen]中各个光谱向量之间形状上的差异。与二元光谱相似性度量方法显著不同的是,NSSA的计算结果描述了参与计算的n个光谱之间的联合相似度。

2.2 NSSA方法的主要特性

N维立体光谱角本质上属于多元光谱相似性度量准则(multiple spectral similarity metric, MSSM)。对应于二元光谱相似性度量准则,NSSA满足以下基本性质:

1) 非负性:d(e1, e2, …, ei, …, ej, …, en)≥0,当且仅当ei=ejij时等号成立;

2) 对称性:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {d\left( {{\mathit{\boldsymbol{e}}_1},{\mathit{\boldsymbol{e}}_2}, \cdots ,{\mathit{\boldsymbol{e}}_i}, \cdots ,{\mathit{\boldsymbol{e}}_j}, \cdots ,{\mathit{\boldsymbol{e}}_n}} \right) = }\\ {d\left( {{\mathit{\boldsymbol{e}}_1},{\mathit{\boldsymbol{e}}_2}, \cdots ,{\mathit{\boldsymbol{e}}_j}, \cdots ,{\mathit{\boldsymbol{e}}_i}, \cdots ,{\mathit{\boldsymbol{e}}_n}} \right)} \end{array} $

其中ij

3) 不等式关系:

$ \begin{array}{l} d\left( {{\mathit{\boldsymbol{e}}_1},{\mathit{\boldsymbol{e}}_2}, \cdots ,{\mathit{\boldsymbol{e}}_i}, \cdots ,{\mathit{\boldsymbol{e}}_j}, \cdots ,{\mathit{\boldsymbol{e}}_n}} \right) \le \\ d\left( {\mathit{\boldsymbol{m}},{\mathit{\boldsymbol{e}}_2}, \cdots ,{\mathit{\boldsymbol{e}}_i}, \cdots ,{\mathit{\boldsymbol{e}}_j}, \cdots ,{\mathit{\boldsymbol{e}}_n}} \right) + \cdots + \\ d\left( {{\mathit{\boldsymbol{e}}_1},{\mathit{\boldsymbol{e}}_2}, \cdots ,\mathit{\boldsymbol{m}}, \cdots ,{\mathit{\boldsymbol{e}}_j}, \cdots ,{\mathit{\boldsymbol{e}}_n}} \right) + \cdots + \\ d\left( {{\mathit{\boldsymbol{e}}_1},{\mathit{\boldsymbol{e}}_2}, \cdots ,{\mathit{\boldsymbol{e}}_i}, \cdots ,{\mathit{\boldsymbol{e}}_j}, \cdots ,\mathit{\boldsymbol{m}}} \right) \end{array} $

式中m为与ei维数相等的光谱列向量。

除了上述基本性质外,NSSA还具有以下重要性质[57]

2.2.1 乘性因子不变性

一般地,二元光谱相似性测度SAM具有乘性因子不变性,即对参考光谱向量sx和测试光谱向量sy存在:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{d_{{\rm{SAM}}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{s}}_x},{\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right) = }\\ {\arccos \left( {\left\langle {{\mathit{\boldsymbol{s}}_x},{\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right\rangle /\left\| {{\mathit{\boldsymbol{s}}_x}} \right\| \times \left\| {{\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right\|} \right) = }\\ {\arccos \left( {\left\langle {\alpha {\mathit{\boldsymbol{s}}_x},\beta {\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right\rangle /\left\| {\alpha {\mathit{\boldsymbol{s}}_x}} \right\| \times \left\| {\beta {\mathit{\boldsymbol{s}}_y}} \right\|} \right) = } \end{array} $ (22)

式中:αβ分别为光谱sxsy对应的乘性因子,且α>0,β>0。

与SAM相似,NSSA具有乘性因子不变性,即满足:

$ {\rm{NSSA}}\left( {{\vartheta _n},E} \right) = {\rm{NSSA}}\left( {{\vartheta _n},\mathit{\boldsymbol{\tilde E}}} \right) $ (23)

式中:${\mathit{\boldsymbol{\tilde{E}}}}$==[α1e1α2e2αieiαjejαnen],α=diag(α1, …, αi, …, αj, …, αn),αi>0。

乘性因子不变性是NSSA的重要特征之一。NSSA的乘性因子不变性表明:当光谱集合E中任意光谱向量{ei}i=1n的光谱幅值受乘性因子αi(αi>0) 影响时,该光谱集合构成的n维立体光谱角大小不发生改变。换而言之,在n维欧式空间中,多元光谱向量构成的光谱角大小与向量自身的方向有关,改变任意向量的长度,对立体光谱角大小不产生任何影响。该性质与欧式空间SAM的乘性因子不变性保持一致。该特性使NSSA方法区别于其他对光谱幅值敏感的相似性测度,并揭示出NSSA对光谱幅值变异具备鲁棒性,能够准确识别形状存在差异的光谱。

2.2.2 非可加性

NSSA的非可加性描述了不同波段集合构成的n维立体光谱角之间的不可加关系,具体表示为

$ {\rm{NSSA}}\left( {{\vartheta _n},{\mathit{\boldsymbol{E}}_{a + b}}} \right) \ne {\rm{NSSA}}\left( {{\vartheta _n},{\mathit{\boldsymbol{E}}_a}} \right) + {\rm{NSSA}}\left( {{\vartheta _n},{\mathit{\boldsymbol{E}}_b}} \right) $ (24)

需指出的是,此处引入波段描述符号。光谱矩阵E=[e1e2eiejen]中各光谱列向量的波段数目为L。将该L个波段划分为不重叠、无交集的两个波段集合,每个波段集合分别由a个波段和b个波段组成,且满足a+b=L。将对应的端元矩阵分别表示为Ea=[e1ae2aeiaejaena]和Eb=[e1be2beibejbenb]。全波段端元矩阵表示为EL=Ea+b=[Ea; Eb]=[e1Le2LeiLejLenL]。

从式(24) 可以看出:对于同一端元矩阵而言,波段集合a与波段集合b共同构成的立体光谱角NSSA($\vartheta _{n}^{a+b}$, Ea+b)与两个波段集合分别构成的光谱角NSSA(${{\vartheta }_{n}}$, Ea)与NSSA(${{\vartheta }_{n}}$, Eb)并不存在直接的线性相加关系。

2.2.3 非单调性

数学上,如果一个相似性测度函数d(·)的值不随操作光谱向量维数的增加而增加,则称该相似性测度函数是非单调的。

$ {\rm{NSSA}}\left( {{\vartheta _n},{\mathit{\boldsymbol{E}}_{a + 1}}} \right) \ne {\rm{NSSA}}\left( {{\vartheta _n},{\mathit{\boldsymbol{E}}_a}} \right) + {\rm{NSSA}}\left( {{\vartheta _n},{\mathit{\boldsymbol{E}}_1}} \right) $ (25)

式中:E1=[e11e21ei1ej1en1],光谱矩阵E1中的光谱向量含有仅含1个波段且该波段区别于波段集合a中的任一波段。对应地,光谱向量集合Ea+1=[e1a+1e2a+1eia+1eja+1ena+1]表示含有a+1个波段的光谱矩阵。

2.2.4 波段序列无关性

NSSA另一个重要的特性为波段序列无关性,即对光谱矩阵E=[e1Le2LeiLejLenL]而言,其构成的立体光谱角大小与该矩阵中光谱向量的波段顺序无关。这一特性可以从几何角度解释为:向量间的夹角大小与观测角度无关。

光谱矩阵E中每个光谱向量{eiL}i=1n均由L个波段组成,第i个光谱向量表示为eiL=[ei, 1ei, 2ei, kei, L]T(k=[1, …, L])。其中,ei, k为光谱向量eiL在第k个波段的光谱反射特征。此处考虑光谱向量eiL中的波段排序逆序的情况。光谱向量eiL对应的波段逆序光谱列向量为

$ \mathit{\boldsymbol{\tilde e}}_i^L = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e_{i,L}}}&{{e_{i,L - 1}}}& \cdots &{{e_{i,k}}}& \cdots &{{e_{i,2}}}&{{e_{i,1}}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $ (26)

进一步,光谱矩阵E=[e1Le2LeiLejLenL]对应的波段逆序光谱矩阵可以表示为${{{\mathit{\boldsymbol{\tilde{E}}}}}_{L}}=\left[ \mathit{\boldsymbol{\tilde{e}}}_{1}^{L}\mathit{\boldsymbol{\tilde{e}}}_{2}^{L}\cdots \mathit{\boldsymbol{\tilde{e}}}_{i}^{L}\cdots \mathit{\boldsymbol{\tilde{e}}}_{j}^{L}\cdots \mathit{\boldsymbol{\tilde{e}}}_{n}^{L} \right]$的形式。光谱矩阵${{{\mathit{\boldsymbol{\tilde{E}}}}}_{L}}$E之间的广义光谱角存在下述关系

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{NSSA}}\left( {{{\tilde \vartheta }_n},{{\mathit{\boldsymbol{\tilde E}}}_L}} \right) = }\\ {{\eta _1}\int_0^{{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} { \cdots \int_0^{{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} {\psi \left( {\tilde \theta } \right){\rm{d}}{\theta _1}{\rm{d}}{\theta _2} \cdots {\rm{d}}{\theta _{n - 1}}} } = }\\ {{\eta _2}\int_0^{{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} { \cdots \int_0^{{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} {\psi \left( \theta \right){\rm{d}}{\theta _1}{\rm{d}}{\theta _2} \cdots {\rm{d}}{\theta _{n - 1}}} } = {\rm{NSSA}}\left( {{\vartheta _n},{\mathit{\boldsymbol{E}}_L}} \right)} \end{array} $ (27)

式中:ψ(θ)=(1+2$\sum\limits_{i<j}{{}}$eiL, ejL>vivj) n/2J(θ),ψ(${\tilde{\theta }}$)=(1+2$\sum\limits_{i<j}{{}}$$<\tilde{e}_{i}^{L},\tilde{e}_{j}^{L}>$vivj) n/2J(θ)。

2.3 NSSA方法的物理意义及潜在的应用价值

从上述分析中可以看出,NSSA将传统的二元光谱向量相似性测度SAM方法推广到了高维欧氏空间,突破了SAM仅能度量二元光谱相似性的局限性。NSSA方法不受测试光谱向量数目n及波段数目L的限制,能够通过单次运算求解n元光谱向量在高维欧几里德空间的夹角,并将此夹角大小作为n元光谱向量的相似性评价指标。NSSA方法为联合评价多元光谱相似性评价提供了参考手段,其所具备的乘性因子不变性也指示出该方法对形状存在差异的光谱敏感,因而,其在高光谱遥感数据解译领域具备较高的可研究价值。

M. Tian等以NSSA方法为理论基础,提出了以光谱为面向对象的波段选择方法[57-58]。这种以光谱为面向对象的波段选择方法充分挖掘了NSSA的非可加性、非单调性和波段序列无关性,在兼顾了光谱吸收特征提取的同时,去除了冗余波段,提升了数据解译的精度。赵春晖等进一步提出了基于最大化广义光谱角的端元提取方法[59]。获益于NSSA方法的乘性因子不变性,该方法能够准确找到幅值存在变异的端元。

3 结论与展望

1) 研究核函数形式\多核函数形式的广义光谱角方法。核函数能够将低维空间线性不可分的数据集通过某种非线性映射到高维特征空间实现线性可分。高光谱数据本身存在维数灾难问题,核函数能够提升数据在高维空间的可区分性。另外,由于NSSA的计算过程中涉及了向量之间的内积运算,该特点使其更容易推广到核空间形式。因而,研究核函数形式的广义光谱角具有一定的潜在价值。可以预见,核广义光谱角相比于现有的广义光谱角将具有更强的光谱区分性能。

2) 挖掘人工智能搜索策略相结合的基于NSSA的波段选择策略。高光谱数据的波段选择问题本质上属于海量数据的寻优问题。人工智能方法涉及了信息论、计算机科学、数学、控制理论、不定性理论、推理、机器学习等多学科,其本质是对人的思维信息过程的模拟。因而,挖掘人工智能搜索与NSSA方法相结合的波段选择方法,一方面能够解决搜索过程中的收敛问题、局部最优问题;另一方面,能够充分发挥NSSA方法同时处理多元光谱相似性的优点。

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