越浪堤包括允许少量越浪的出水堤，也包括淹没在水中的潜堤^[1-2]。修建越浪堤能对近岸工程区起到消浪掩护的作用，因此在实际工程中有着较为广泛的应用。在实际工程中，堤后波高和周期是确定堤顶高程的重要因素^[2-3]。然而，已有的大多数研究主要是针对波高。除了波高，堤后透射波周期的估算在设计中也是非常必要的^[4]。事实上，堤后平均波周期受高频谐波生成的影响与堤前平均波周期相比会发生变化，因此寻求一种实用有效的方法估算越浪堤后的波周期具有重要价值。

经验公式法是估算光滑堤后波参数的简单有效的方法。已有研究集中于在大量模型实验数据的基础上拟合得到波高透射系数^[5-6]。Van der Meer等提出了一种波浪越过光滑结构物后的波谱预测方法^[2]。这种方法假定频率低于1.5倍主频的波谱与入射波谱的波谱类型相似，且这部分低频谱能量占到了总能量的60%；而频率在1.5~3.5倍主频之间的波能量则被假定为均匀分布。Carevic等研究发现高频区的透射波能量随堤顶相对淹没深度的增加线性递减，从而进一步改进了该波谱预测模型^[7]。Zhang等基于非静压数值波浪水槽模拟结果建立了光滑潜堤有效波高与平均波周期透射系数的预测公式，提高了预测精度，但该公式中没有包含允许越浪的出水堤^[8]。

为此，本文将进一步利用近岸波浪传播变形非静压波浪模型对光滑越浪堤(包括淹没堤和允许越浪的出水堤)进行模拟，并在大量模拟数据分析的基础上针对平均波周期的透射系数(堤后透射平均波周期与堤前入射平均波周期的比值)建立经验预测公式^[9-13]。

1 数值模拟方法

非静压波浪模型的控制方程为包含非静压项的浅水方程，其笛卡尔坐标系统的垂向二维控制方程为

$\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial w}}{{\partial z}} = 0$

(1)

$\frac{{\partial u}}{{\partial t}} + \frac{{\partial {u^2}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial wu}}{{\partial z}} + \frac{g}{\rho }\frac{{\partial \zeta }}{{\partial x}} + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial q}}{{\partial x}} = \frac{{\partial {\tau _{xx}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {\tau _{xz}}}}{{\partial z}}$

(2)

$\frac{{\partial w}}{{\partial t}} + \frac{{\partial uw}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {w^2}}}{{\partial z}} + \frac{1}{\rho }\frac{{\partial q}}{{\partial z}} = \frac{{\partial {\tau _{zz}}}}{{\partial z}} + \frac{{\partial {\tau _{zx}}}}{{\partial x}}$

(3)

式中：t表示时间，x为水平坐标，u和w分别为x方向和z方向上的流速，ζ为自由表面，ρ是密度常数，g是重力加速度，q是非静水压力，τ_ij是水平湍流应力。

湍流应力可表示为

${\tau _{xx}} = 2{v_t}\frac{{\partial u}}{{\partial x}},{\tau _{xz}} = {v_t}\frac{{\partial w}}{{\partial x}},{\tau _{zx}} = {v_t}\frac{{\partial u}}{{\partial z}},{\tau _{zz}} = 2{v_t}\frac{{\partial w}}{{\partial z}}$

(4)

式中v_t是由于波浪破碎引起的水平涡粘系数。

自由表面位移可通过对式(1)进行沿水深方向的积分并结合自由表面运动学条件获得，最终的自由表面方程为

$\frac{{\partial \zeta }}{{\partial t}} + \frac{\partial }{{\partial x}}\int_{ - d}^\zeta {u{\rm{d}}z} = 0$

(5)

式中d是静水深。

底部摩擦力采用曼宁粗糙度系数表示

${c_f} = \frac{{{n^2}g}}{{{h^{1/3}}}}$

(6)

式中：c_f是无量纲的底部摩擦系数；n是曼宁粗糙度系数，m^-1/3·s；总水深h=ζ+d。

在入流处采用域内源造波，并在入流和出流边界的位置设置了海绵层用于消波^[12]。具体的边界条件、方程离散及数值计算方法详见文献[9]。

2 模型验证

非静压波浪模型已经被证实能够准确模拟不规则波与光滑越浪堤相互作用过程中的破碎、越浪、增减水等传播变形现象^[10]。本文在此基础上进一步利用物理模型实验对不规则波作用下的光滑越浪堤后波参数进行验证。

2.1 物理模型实验布置

验证数据来自Carevic等^[7]开展的关于光滑潜堤堤后波参数的物理模型实验。实验水槽宽1 m，高1.1 m。潜堤建在平底上，由光滑木板护面。堤顶宽度0.2 m，堤身高度0.35 m，前后坡坡度均为1:2(图 1)。采用具有主动吸能装置的活塞式造波机造波，入射不规则波谱为JONSWAP谱(γ=3.3, σ_a=0.07, σ_b=0.09)。

2.2 数学模型参数

与Carevic等^[7]的物理模型实验水槽基本一致，数值波浪水槽的长度是60 m。网格步长0.02 m，垂向平均划分为2层。初始时间步长0.005 s，模拟时长20 min。波高和波谱基于300个波进行统计分析，底摩阻系数c_f取为0。水槽两端各设置了海绵层用来消除波浪反射的影响，海绵层宽度至少为每组波长的3倍。

2.3 数学模型验证

采用2.1节的一组实验用于数值模拟验证。入射有效波高(H_m0-i)为0.105 m，入射平均波周期(T_{0, 2-i})为0.92 s，入射谱峰波周期(T_p-i)为1.10 s，水深是0.45 m。与图 1一样，G₁和G₄用于计算入射和透射波参数。入射波参数是基于空槽率而定，使得G₁点测得的波谱与理论入射波谱一致，最大相对误差不超过2%。透射波参数是在水槽中设置了光滑堤之后测量得到的。堤前入射波的理论谱和模拟谱的对比如图 2(a)，堤后实测波谱和模拟谱的对比如图 2(b)所示。结果表明，模拟谱与实测谱(理论谱)吻合较好。模拟的透射谱和实测谱的f_p分别为0.91 Hz和0.93 Hz。高频部分的谱能量分布在1.5f_p~3.5f_p。模拟的透射有效波高(H_m0-t)、透射平均周期(T_{0, 2-t})以及谱峰周期(T_p-t)与实测值的对比见表 1。模拟值与实测值的最大相对误差不超过3.53%。其中波高误差产生的原因是物理模型实验中，无论堤表面再光滑仍然存在一定摩阻，所以物理模型的数据(实测值)与模拟值相比略偏小是正常的。误差结果表明建立的非静压数值波浪水槽能够准确地模拟不规则波越过光滑潜堤之后的波参数。

3 越浪堤波浪周期变化影响因素分析

除了G₁和G₄用于分析入射和透射波参数，数值波浪水槽在堤身附近增加了5个测点(P₁~P₅)用于分析波浪越过光滑越浪堤的时空演化过程(图 3)。根据文献[6]，相对淹没深度(R_c/H_m0-i，其中B是堤顶到静水面的垂向距离)，相对堤顶宽度(B/H_m0-i，其中B是堤顶宽度)，波陡(S_op，其中S_op=2πH_m0-i/gT_p²)和斜坡坡度是影响波高透射系数(K_t)的主要因素。本文基于非静压数值波浪模拟结果讨论以上因素对光滑越浪堤平均波周期透射系数K_p(T_{0, 2-t}/T_{0, 2-i})的影响，数值模拟组次的水力参数如表 2所示。

3.1 相对淹没深度R_c/H_m0-i的影响

图 4给出了R_c/H_m0-i与K_p的关系曲线。图 4(a)显示了当R_c/H_m0-i从0.5变到-1.5时，K_p＜1，即越过光滑堤之后的透射平均波周期要小于入射平均波周期。这主要是由于波浪越过光滑堤之后产生高频谐波，部分能量从低频转移到高频。为进一步说明高频谐波的产生原理，采用Briganti等^[14]定义的能量分布参数e.d.p.来表示f>1.5f_p的高频波能在入射波谱和透射波谱能量之间的转换。当e.d.p.值大于0时，说明透射谱的高频部分能量(f>1.5f_p)向低频部分发生了转移。图 4(b)表明，R_c/H_m0-i从-1.5变化到0.5，对于S_op=0.01，e.d.p.值从0.39变为4.44，说明随着水深变浅，波谱能量逐渐从低频部分转移到高频部分，导致平均波周期的减小。这与Carevic等^[7]的结论一致。

图 4也表明，随着R_c/H_m0-i从0.5变化到-1.5时，对于S_op分别为0.04、0.03、0.02、0.01，K_p分别增加37%、38%、41%和48%。因此R_c/H_m0-i是影响K_p的一个重要参数。K_p与R_c/H_m0-i之间存在较强的负相关，相关系数为-0.79。

3.2 深水波陡S_op的影响

图 5显示了S_op-K_p的关系曲线。由图 5可知，K_p随着S_op的增大而增大。在波高和水深相同的情况下，S_op越大则对应的波长L越小，根据Ursell数^[15](U_r=HL²/h³)，L越小则波浪的非线性越弱，堤后谐波分离越不明显，高频谐波对平均周期的影响也就越小，因此K_p也就越大。

当S_op从0.01变到0.06时，对于R_c/H_m0-i=0.5，0.0，-0.5，-1.0，-1.5时，K_p分别增加了42%、37%、34%、29%和27%。表明S_op也是影响K_p的一个重要因素。K_p与S_op之间存在较强的正相关，相关系数为0.72。

3.3 相对堤顶宽度B/H_m0-i的影响

图 6显示了B/H_m0-i与K_p的关系曲线。结果表明，对于R_c/H_m0-i=0.5，当B/H_m0-i从1变到8，对于S_op分别为0.01、0.02、0.03和0.04，K_p分别减小了17.0%、15.0%、13.6%和12.5%。对于R_c/H_m0-i=-0.5，当B/H_m0-i从1变到8，对于S_op分别为0.01、0.02、0.03和0.04，K_p分别减小了10.8%、9.8%、9.1%和6.0%。对比结果表明在出水堤时，B/H_m0-i对于K_p变化的影响要大于淹没堤。

3.4 坡度的影响

由图 7可知，K_p随着坡度的增加而减小。当坡度从1变到3时，K_p仅减小了5%，表明相对于R_c/H_m0-i和S_op，坡度对于K_p变化的影响较小。这是由于当波浪沿着缓坡越过光滑堤的过程中，相比于陡坡有更多的波能从低频转移到高频。图 7中的T_{0, 2}空间演化可较好的解释K_p随坡度的增加而减小的现象。

4 周期变化经验公式的建立

根据第3节的影响因素分析可知，R_c/H_m0-i和S_op是K_p的主要影响因子。B/H_m0-i的影响次之，且出水堤时对于K_p的影响大于淹没堤。前坡坡度对K_p的影响最不明显。为此，基于R_c/H_m0-i、S_op和B/H_m0-i，采用最小二乘法拟合建立光滑越浪堤K_p的透射系数经验公式^[16]。

根据上一节的分析可知，K_p与R_c/H_m0-i和S_op都具有较好的线性相关关系，因此K_p的待拟合公式可表示为

${K_p} = {a_1}{R_c}/{H_{m0 - i}} + {a_2}{S_{op}} + {a_3}B/{H_{m0 - i}} + {a_4}$

(7)

式中：K_p是光滑越浪堤平均波周期的透射系数，K_p的取值范围：[0.50, 1.00]。该经验公式的适用范围为-1.6≤R_c/H_m0-i≤0.8，并且ξ_op＜4.5。其中ξ_op是波浪破碎参数， ${\xi _{op}} = {\rm{tan}}\;\alpha {\rm{/}}\sqrt {{s_{op}}} $ ，α为前坡角度。系数分别为：a₁=-0.104 7，a₂=3.974 4，a₃=-0.012 4和a₄=0.609 2。

图 8比较了K_p的拟合(预报)值与模拟(实测)值。为了进一步说明拟合(预报)值与模拟(实测)值的吻合程度，引入确定性系数R_Cor^2[17]。K_p的拟合值与模拟值之间的R_Cor²为0.96，表明式(7)中的变量R_c/H_m0-i、S_op和B/H_m0-i对K_p的解释能力较强。

应用Carevic等^[7]和Van der Meer等^[2]的实测数据进一步验证经验公式(7)的有效性，如图 8(b)所示。预测值与实测值的R_Cor²为0.95，表明两者吻合良好。因此，本文开发的经验模型能有效预测光滑越浪堤平均波周期的透射系数。

5 结论

1) 根据数值模拟的结果分析，波浪越过光滑越浪堤后的平均波周期会小于入射值，这主要是由于波浪越堤过程中产生的高频谐波引起的。R_c/H_m0-i和S_op是K_p的主要影响因子，且与其线性相关。B/H_m0-i的影响次之，且出水堤时对于K_p的影响大于淹没堤。前坡坡度对K_p的影响最不明显。

2) 基于数值模拟的结果，利用最小二乘法建立了K_p的经验预报模型，预测值与Carevic和Van der Meer等的实验值吻合较好，R_Cor²为0.95，表明本文所建立的经验公式可有效预测光滑越浪堤(包括淹没堤和允许越浪的出水堤)的平均波周期透射系数。

该成果可为越浪堤工程设计提供依据，并为进一步研究带有护面的越浪堤波参数演化奠定基础。