风帆助航船舶运动系统具有强不确定性和时变非线性特点，数学模型比较复杂，精确建模困难。滑模控制对系统模型或参数不确定性、外界干扰都具有不变性特点，是一种带有强鲁棒性的非线性控制方法，可以尝试用于风帆助航船舶运动非线性系统的控制研究。文献[1-3]针对船舶航迹跟踪问题，设计滑模控制器，并仿真验证了它们的有效性。为改善控制效果，文献[4]改用指数趋近律，在非线性模型基础上设计了滑模控制器。文献[5]利用微分单调性与高阶滑模构造二阶航迹跟踪控制器，应用于气垫船的控制仿真，控制输出曲线平稳光滑，且具有较强鲁棒性能。

滑模控制具有良好控制特性的同时，也伴随着抖振问题。近年来，随着智能控制技术的发展，学者们探索将先进智能技术应用于滑模控制中，以抑制切换振颤提高滑模控制性能。文献[6]结合模糊控制和指数滑模控制两种方法的优点，当信号误差较大时采用指数趋近律形式以加大控制响应速度，而误差变小时，则转换为模糊滑模控制，以达到减小控制抖振的目的。文献[7]利用径向基神经网络逼近船舶运动模型的不确定项和外界扰动，在Serret-Frenet坐标系下，提出一种船舶路径跟踪神经网络滑模控制器。但针对风帆助航船舶的运动控制，以上控制方法存在参数较多、处理复杂等问题，实际工程应用较为困难。为减少控制算法的复杂度，文献[8]提出一种线性递归滑模控制方法，采用高效递推公式计算出控制量，但该方法仅适用于仿射线性系统，对于MMG分离型船舶运动非仿射非线性系统，则需要对数学模型进行线性处理。文献[9-11]则提出一种非线性迭代滑模控制方法，并应用于欠驱动船舶和水下航行器的航向、航迹跟踪等控制问题，仿真验证了控制器有效性，该方法无需对模型进行线性化处理，但该方法中的控制滑模参数是人为设定的，控制器缺乏自适应特性。为此，文献[12]采用模糊逻辑对控制器主要参数进行在线优化，设计出一种模糊自适应非线性迭代滑模控制器，但该控制器的模糊系统规则是采用专家经验事先确定的静态模糊规则，存在一定局限性。

本文将针对风帆助航船舶航向保持控制问题，在文献[12]基础上，利用模糊系统对迭代滑模控制器参数进行自适应调节，并借鉴文献[13]的启发评价学习方法，提出一种带自适应启发评价的模糊非线性迭代滑模控制器。将以远洋散货船“文竹海”号为控制对象，在海洋环境扰动下进行船舶自启发评价迭代滑模航向控制仿真，并与PID控制器、迭代滑模控制器的仿真结果进行对比分析。

1 风帆助航船舶运动模型描述

基于MMG分离模型思想^[14]，结合文献[15-16]中的四自由度帆船模型，将风帆助航船舶运动惯性数学模型描述为

$ \left\{ \begin{array}{l} \left( {m + {m_x}} \right)\dot u - \left( {m + {m_y}} \right)vr = {X_{\rm{H}}} + {X_{\rm{P}}} + \\ \;\;\;\;\;\;\;{H_{\rm{R}}} + {X_{{\rm{wind}}}} + {X_{{\rm{wave}}}} + {X_{\rm{S}}}\\ \left( {m + {m_y}} \right)\dot v - \left( {m + {m_x}} \right)ur = {Y_{\rm{H}}} + {Y_{\rm{P}}} + \\ \;\;\;\;\;\;\;{Y_{\rm{R}}} + {Y_{{\rm{wind}}}} + {Y_{{\rm{wave}}}} + {Y_{\rm{S}}}\\ \left( {{I_{zz}} + {J_{zz}}} \right)\dot r + {N_{\rm{H}}} + {N_{\rm{P}}} + {N_{\rm{R}}} + {N_{{\rm{wind}}}} + {N_{{\rm{wave}}}} + {N_{\rm{S}}}\\ \left( {{I_{xx}} + {J_{xx}}} \right)\dot p = {L_{\rm{H}}} + {L_{\rm{R}}} + + {L_{{\rm{wind}}}} + {L_{{\rm{wave}}}} + {L_{\rm{S}}} \end{array} \right. $

(1)

式中：X、Y表示船在X、Y方向上的受力，N表示艏摇力矩，L表示横摇力矩，下角标H、P、R、wind、wave、S分别表示裸船体、螺旋桨、舵、风、波浪以及风帆。u、v分别为纵荡和横荡速度，r、p为艏摇和横摇角速度。m为船舶质量，m_x、m_y为附体坐标系中x轴和y轴的附加水质量。I_xx、I_zz为惯性坐标系中x轴和z轴的转动惯量。J_xx、J_zz则为附体坐标系中x轴和z轴的附加转动惯量。

由文献[15]可知，式(1)中风帆前进方向推力X_S、横漂方向受力Y_S、艏摇力矩N_S、横摇力矩L_S均与风帆特性及环境因素密切相关，因此风帆的引入对船舶运动模型的时变性与不确定性等产生影响，进而使模型描述进一步复杂化。为了方便描述风帆助航船舶航向的控制问题，可以将式(1)中的数学模型描述为如下非仿射系统：

$ \left\{ \begin{array}{l} \dot \psi = r\\ \dot r = \left( {{N_H} + {N_P} + {N_R} + {N_{wind}} + {N_{wave}} + {N_S}} \right) \cdot \\ \;\;\;\;\;{\left( {{I_{zz}} + {J_{zz}}} \right)^{ - 1}} = f\left( {r,\delta ,t} \right) + d\left( {\psi ,t} \right)\\ y = \psi \end{array} \right. $

(2)

式中：ψ为航向角，δ为舵角，d(ψ, t)表示风浪、风帆等环境和不确定干扰项，f(r, δ, t)为对控制舵角δ可连续偏导的未知光滑函数项。

2 风帆助航船舶航向控制器设计 2.1 迭代滑模控制器的设计

由于风帆的引入会增强风帆助航船舶模型的非线性与不确定性，与普通船只相比，风帆助航船舶运动的控制更为困难，传统线性控制方法很难满足性能要求。为解决上述问题，可将船舶航向控制问题转化为标量零阶系统的镇定控制问题，以船舶航向的反馈跟踪误差ψ_e为目标，设计非线性迭代滑动模态为

$ \left\{ \begin{array}{l} {s_1}\left( {{\psi _e}} \right) = {k_1}\tanh \left( {{k_0}{\psi _e}} \right) + {{\dot \psi }_e}\\ {s_2}\left( {{s_1}} \right) = {k_3}\tanh \left( {{k_2}{s_1}} \right) + {{\dot s}_1}\\ {\psi _e} = \psi - {\psi _d} \end{array} \right. $

(3)

式中：k_i∈R⁺(i=0, 1, 2, 3)，ψ_d是期望设定航向角。根据式(3)可得，若s₁→0，则有$ {{\dot{\psi }}_{e}} $趋于-k₁tanh(k₀ψ_e)。当ψ_e较小时，$ {{\dot{\psi }}_{e}} $将以指数形式收敛；而当ψ_e较大时，$ {{\dot{\psi }}_{e}} $则以接近k₁的线性形式收敛。其中k₀与k₁可对滑模面在原点处的斜率进行调节。为确保s₂的收敛速度快于s₁，参数应满足k₃≥k₁。

当模型中f(r, δ, t)与d(ψ, t)均未知时，本文控制算法直接采用滑模面的反馈值s₂来求取控制量的变化率，控制律描述为

$ \dot \delta = - {k_s}{s_2} - \varepsilon {\mathop{\rm sgn}} \left( {{s_2}} \right) $

(4)

式中k_s、ε∈R⁺。

根据上述分析，问题转化为如何使得滑模面s₂的镇定收敛。根据Lyapunov稳定性理论，定义函数$ V=\frac{1}{2}{{s}_{2}}^{2} $，两边求导为

$ \dot V = {s_2}{{\dot s}_2} = {s_2}\frac{{\partial {s_2}}}{{\partial \delta }}\dot \delta $

(5)

由式(3)对s₂进行展开可得

$ {s_2} = {k_3}\tanh \left( {{k_2}{s_1}} \right) + \frac{{{k_1}{k_0}{{\dot \psi }_e}}}{{{{\cosh }^2}\left( {{k_0}{\psi _e}} \right)}} + {{\ddot \psi }_e} $

(6)

由式(1)所示的风帆助航船舶运动模型可知，式(6)中只有$ {{\ddot{\psi }}_{e}} $和δ关系，而$ {{\ddot{\psi }}_{e}} $主要受舵产生的转矩N_R控制。转矩N_R可描述为

$ {N_R} = h\left( x \right)\cos \delta \sin {\alpha _R} $

(7)

式中：h(x)是一个恒正的复合函数; α_R是有效冲角，其幅值与输入舵角δ有关, 且同号。当δ∈(-35°, 35°)时，可得N_R对δ求导恒大于零。故根据式(6)、(7)可得

$ \frac{{\partial {s_2}}}{{\partial \delta }} = \frac{{\partial {N_R}}}{{\partial \delta }} \ge 0 $

(8)

再由式(5)可知，$ {\dot{V}} $的符号可由s₂与$ {\dot{\delta }}$确定，代入控制律描述式(4)可得

$ {s_2}\dot \delta = - {k_s}{\left( {{s_2}} \right)^2} - \varepsilon \left| {{s_2}} \right| \le 0 $

(9)

综合式(5)、(8)、(9)即可得

$ \dot V = {s_2}{{\dot s}_2} = {s_2}\frac{{\partial {s_2}}}{{\partial \delta }}\dot \delta \le 0 $

(10)

根据Lyapunov稳定性定理可得，在式(4)的控制舵角作用下，风帆助航船舶系统(2)的航向跟踪误差ψ_e是渐近收敛的，并最终趋于零。

2.2 带自启发评价的非线性迭代滑模控制器设计

根据数学模型(1)可知，风帆船舶的横倾角与舵角有紧密的联系。为避免船舶横倾引起危险，在船舶操纵过程当中，除紧急状况可能大舵角外，通常要求操舵平稳。另受海洋环境影响，舵角输出会出现波动震荡现象，若控制器参数设计不合适，长时间工作将易造成舵机损害。为延长设备使用周期，要尽量避免或减小舵机输出抖振信号。为满足实际操舵要求，并提高操舵性能，有必要对所设计迭代滑模控制器的主要参数进行实时调节，增强系统自适应性。

由式(3)可知，迭代滑模面的收敛速度主要与参数k₀~k₃有关，而系统控制舵角输出则主要与滑模面反馈的控制参数k_s相关，若能对上述相关参数进行实时调节，则能有效改善控制效果。为此，以航向误差与舵角控制量作为输入构造一个用于滑模参数优化的模糊系统，根据航向误差反馈值在线调节控制器的滑模参数k₀~k₃，使控制输出的船舶舵角保持在合理范围之内。同时，再构造一个控制参数优化模糊系统，以减小舵角输出量抖振为目标，对参数k_s进行实时调节，并通过对抖振量进行测量得到一种启发评价函数输出，再进一步对模糊系统的结构参数进行动态调节和优化。最终设计出一种带自适应启发评价函数和模糊参数优化的非线性迭代滑模控制结构，如图 1所示。

2.2.1 滑模参数优化的模糊系统设计

为设计图 1中的滑模参数模糊系统，可以对参数k₀~k₃做以下调整：

$ {{\hat k}_i} = {k_i}\left( {1 + \sigma } \right) $

(11)

式中：i=0, 1, 2, 3。若能对参数σ进行优化调节，则可得到参数k_i对应的调节值${{{\hat{k}}}_{i}} $，进而实现滑模参数优化的目的。构造航向误差ψ_e与控制舵角δ为滑模参数模糊系统的输入量，同时设计中间调节参数σ为输出量。为了在保证安全性的同时使船舶尽快到达预期航向，当航向误差较大时，应适当加大控制律；若出现舵角过大时，则应适当减小控制律，最终设计了25条模糊规则。所设计的模糊系统，其输入输出采用三角型、S型和Z型三者组合的隶属度函数，具体表达如下：

$ \left\{ \begin{array}{l} {\psi _e} = \left\{ {{\rm{NB}}\left( { - 5.0, - 0.3} \right),{\rm{NS}}\left( { - 0.6,0} \right),} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\left. {Z\left( { - 0.3,0.3} \right),{\rm{PM}}\left( {0,0.6} \right){\rm{,PB}}\left( {0.3,5.0} \right)} \right\}\\ \delta = \left\{ {{\rm{NB}}\left( { - 35, - 8} \right),{\rm{NS}}\left( { - 16,0} \right),Z\left( { - 8,8} \right),} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\left. {{\rm{PM}}\left( {0,16} \right){\rm{,PB}}\left( {8,35} \right)} \right\}\\ \sigma = \left\{ {{\rm{NB}}\left( { - 0.5, - 0.13} \right),{\rm{NS}}\left( { - 0.26,0} \right),} \right.\\ \;\left. {\;Z\left( { - 0.13,0.13} \right),{\rm{PM}}\left( {0,0.26} \right){\rm{,PB}}\left( {0.13,0.5} \right)} \right\} \end{array} \right. $

(12)

采用重心法解模糊化后可得到以下输出：

$ \left\{ \begin{array}{l} \sigma = \frac{{\sum\limits_{l = 1}^M {{u_i}{\mu _{F{R^j}}}} }}{{\sum\limits_{l = 1}^M {{\mu _{F{R^j}}}} }}\\ {\mu _{F{R^j}}} = {\mu _\beta }\left( {{\psi _e}} \right) \wedge {\mu _\beta }\left( \delta \right) \end{array} \right. $

(13)

式中：u_i为模糊集合的输出元素，μ_FR^j为第j条规则的隶属函数，M是设计的模糊规则数，β表示集合NB、NS、Z、PS、PB。

2.2.2 控制参数优化的模糊系统设计

由滑模面反馈控制公式(4)可知，控制器输出量抖振通常与滑模反馈增益k_s及趋近律参数ε有关，对其中的一个参数进行优化即可以达到减小控制器输出量产生的抖振的目的。其中滑模反馈控制增益k_s对系统的鲁棒性和控制品质影响较大。当控制增益较大时，系统的控制输出量易产生抖振；当控制增益较小时，系统跟踪误差性能则可能降低。为进一步提高控制器性能，并考虑控制器的实际工程要求，设计一个以舵角为输入的模糊系统，用于控制参数的优化，以减小输出量抖振为目标，根据舵角抖振测量值对模糊系统的结构参数进行实时调整，进而在线优化反馈控制增益k_s。

为此，设计一种单输入单输出模糊逻辑推理系统，结构如图 2所示，图中含有3条模糊规则，隶属函数采用可微分的高斯函数。该模型系统以舵角变化量$ {\dot{\delta }} $为输入值，模糊输出为参数k_s，其中μ是定义的模糊隶属度函数，z是经模糊化变换的输入量，三角形表示中间变量增益，c作为模型推理反模糊化的分母部分。

在制定控制器模糊规则时考虑如下情况：为保持控制量的输出作用，当s₂较小时，如果$ {\dot{\delta }} $趋近零，则需适当增大参数k_s；反之，为降低控制量振荡现象，若$ \dot{\delta }\gg 0 $，则要适当减小参数k_s。综合上述规则，模糊系统的输出参数k_s可表示为

$ {k_s} = \frac{{\sum\limits_{l = 1}^3 {{{\bar y}^j}\exp \left[ { - {{\left( {\frac{{v - {{\bar v}^j}}}{{{\sigma ^j}}}} \right)}^2}} \right]} }}{{\sum\limits_{l = 1}^3 {\exp \left[ { - {{\left( {\frac{{v - {{\bar v}^j}}}{{{\sigma ^j}}}} \right)}^2}} \right]} }} $

(14)

式中：$ {{{\bar{v}}}^{j}} $、σ^j分别为第j条规则下的输入隶属函数中心值和标准差，y^j是第j条规则下的函数输出，v为实时输入的舵角变化量$ {\dot{\delta }}$。

2.2.3 控制参数模糊系统的自适应启发评价算法

式(14)需要设置的参数较多，当选定参数较为适合时，所设计的控制参数优化模糊系统可对降低抖振量起到良好效果。但各参数的需要反复试验，调节实现过程繁琐，工作量大。为此，借鉴文献[13]的自适应启发评价学习思想，对控制参数进行实时评价和优化。首先，根据模糊系统输出的误差量构建一个自适应启发评价函数，利用该函数对控制参数的优化效果进行评价；然后，利用评价结果对模糊系统的规则和结构参数进行在线调整，以进一步优化控制参数，实现减小抖振的目的。模糊系统输出的控制参数误差可定义为

$ E = \frac{1}{2}{\left( {{k_s} - d} \right)^2} $

(15)

式中：d∈R为预期的控制参数值，与模糊系统实际输出参数值k_s进行比较，得到输出误差E。然而，预期参数d事先并不确定。由式(15)可看出，只要计算出k_s-d的误差，并非一定要确定参数d的实际值，为此，定义一个能够间接评价k_s-d误差的启发评价函数γ_k，表达式为

$ {\gamma _k} = {k_s} - d = \frac{{{\mathit{\Gamma }_k} - {{\mathit{\bar \Gamma }}_k}}}{{{{\mathit{\bar \Gamma }}_k}}} $

(16)

式中：Γ_k为系统输出的期望抖振量，它反映了设计者可接受的抖振大小，通常由专家经验设定。Γ_k描述在一段时间内振荡量的变化情况，定义为近n个迭代周期的控制量变化绝对值累加和。若在n个周期内Γ_k值逐渐变小，则说明抖振降低；反之，若n个周期内Γ_k值渐渐变大，则抖振量加强。Γ_k的实时变化可反映抖振量得变化情况，故可用于模糊系统的参数自适应调节。根据定义，抖振测量值Γ_k可表示为

$ {\mathit{\Gamma }_k}\left( t \right) = \sum\limits_{t = 0}^{50} {{\rho _k}\left( l \right)\left| {\delta \left( {t - lT} \right) - \delta \left( {t - \left( {l - 1} \right)T} \right)} \right|} $

(17)

式中：T为仿真时间，ρ_k(l)的表达式为

$ \begin{array}{l} {\rho _k}\left( l \right) = \\ \left\{ \begin{array}{l} 0,\;\;\;\left( {{\delta _k}\left( {lT} \right) - {\delta _k}\left( {\left( {l - 1} \right)T} \right)} \right) \cdot \\ \;\;\;\;\;\left( {{\delta _k}\left( {\left( {l - 1} \right)T} \right) - {\delta _k}\left( {\left( {l - 2} \right)T} \right)} \right) \ge 0\\ 1,\;\;\;\left( {{\delta _k}\left( {lT} \right) - {\delta _k}\left( {\left( {l - 1} \right)T} \right)} \right) \cdot \\ \;\;\;\;\;\left( {{\delta _k}\left( {\left( {l - 1} \right)T} \right) - {\delta _k}\left( {\left( {l - 2} \right)T} \right)} \right) < 0 \end{array} \right. \end{array} $

(18)

式中：只有当控制舵角变化趋势变号时，ρ_k(l)设为1，否则为0。由式(17)、(18)即可反映出系统在近50个周期内的控制舵角抖振变化情况。

结合式(14)~(18)，以减小模糊系统输出误差为目标函数，最终可推导出第j条规则的隶属函数中心值v^j、标准差σ^j和输出y^j的自适应调节律为

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\bar y}^j}\left( {k + 1} \right) = {{\bar y}^j}\left( k \right) - \alpha \frac{{\partial E}}{{\partial {{\bar y}^j}}}\left| {_k} \right. = {{\bar y}^j}\left( k \right) - \alpha \frac{{{k_s} - d}}{c}{z^j}\\ {{\bar v}^j}\left( {k + 1} \right) = {{\bar v}^j}\left( k \right) - \alpha \frac{{\partial E}}{{\partial {{\bar x}^j}}}\left| {_k} \right. = \\ \;\;\;\;{{\bar v}^j}\left( k \right) - \alpha \frac{{{k_s} - d}}{c}\left( {{{\bar y}^j} - {k_s}} \right){z^j}\frac{{2\left( {v - {{\bar v}^j}\left( k \right)} \right)}}{{{{\left( {{\sigma ^j}\left( k \right)} \right)}^2}}}\\ {\sigma ^j}\left( {k + 1} \right) = {\sigma ^j}\left( k \right) - \alpha \frac{{\partial E}}{{\partial {\sigma ^j}}}\left| {_k} \right. = \\ \;\;\;\;{\sigma ^j}\left( k \right) - \alpha \frac{{{k_s} - d}}{c}\left( {{{\bar y}^j} - {k_s}} \right){z^j}\frac{{2{{\left( {v - {{\bar v}^j}\left( k \right)} \right)}^2}}}{{{{\left( {{\sigma ^j}\left( k \right)} \right)}^3}}} \end{array} \right. $

(19)

式中：α为设定的学习步长，z^j是对应的第j条规则隶属函数。

3 仿真分析

以远洋散货船“文竹海”号为对象建立风帆助航船舶运动数学模型，参照文献[16]的船舶与风帆参数设计航向控制器。仿真过程中，选用风级在4~8级，并假设风帆处最大推力状态(即风帆操帆为最佳攻角)，且流向、流力在行驶中为恒值。

设定海上来风的风速为15 m/s，风向为130°，风帆助航船舶设定航向为15°，起始船速为13 kn、主机转速91 r/min。分别设计PID控制器、迭代滑模控制器和带自适应启发的迭代滑模控制器对风帆助航船舶航向进行控制和对比仿真。参数k_s的初始值设定为100，k₀~k₃的初始值分别为0.004 3、6、0.025、8，ε=0.001，Γ_k=5，PID参数K_p=2.3，K_i=0.03，K_d=76.8。

图 3给出了风帆助航船舶在三种控制器作用下的输出航向和控制舵角曲线对比图，图 4给出了带自适应启发的迭代滑模控制器的参数变化曲线图。由图 3(a)可看出，各控制器的控制速度相当，但航向保持控制精度却有一定的差异。在外界海洋环境扰动下，PID控制器无法使风帆助航船舶达到预定航向，而两种迭代滑模控制器则都能实现较好的航向保持目标。而由图 3(b)可看出，三种控制器的输出舵角最大值存在较大区别，其中PID与迭代滑模控制器得到的操舵最大值都在25°左右，而带自适应启发迭代滑模控制器的输出船舶舵角峰值则小于15°，更加符合船舶的实际操作和安全要求。另外，与迭代滑模控制器相比，带自适应启发的迭代滑模控制器的输出舵角振荡幅度明显减小。

由图 4(a)可看出，在起始阶段大舵角的作用下，参数σ会先减小以降低舵角控制速率；而当船舶航向和舵角趋于平稳过程中，参数σ会逐渐变大以加快系统的控制变化率；当实际航向趋于设定值时，参数σ也将趋于平稳，保持微调状态。图 4(b)和图 4(c)给出了控制参数k_s和模糊系统参数y^j的变化曲线，可以看出自适应启发评价函数的引入实现了对各参数的动态调节作用。

4 结论

1) 相较于迭代滑模控制器，采用本文控制器时舵角振荡幅度较小，控制效果更接近实际操舵要求，且对风浪等外界干扰具有强鲁棒性。

2) 所提出控制器在保证风帆助航船舶航向跟踪精度的同时，所输出控制舵角更加符合船舶的实际操作和安全要求，具有一定的理论意义与工程参考价值。