2017, Vol. 38
2. 东南大学 移动通信国家重点实验室, 江苏 南京 210096
2. National Mobile Communications Research Laboratory, Southeast University, Nanjing 210096, China
目前，低密度奇偶校验(low-density parity-check, LDPC)码因译码性能接近香农限、可并行译码等优势，已成为信道编码研究热点。该码最早在1963年由Gallager提出[1]，并于1982年由Tanner提出其二分图(Tanner图)表示结构[2]，后于1995年由Mackay等重新发现[3]。全随机LDPC码的编码复杂度与码长成平方关系，码长过大将导致编码太复杂而难以实现。解决方案是采用兼有LDPC码低译码复杂度和Turbo码低编码复杂度的类Turbo码。该类码有：扩展的不规则重复累积码[4]，累积重复累积(accumulate repeat accumulate, ARA)码和有限域QC-LDPC码等[5-6]。其中，兼有准循环(quasi-cyclic, QC)和ARA结构的原模图LDPC码[7]因性能好，编译码简单，已被国际空间数据系统咨询委员会(consultative committee for space data systems, CCSDS)实验规范采纳[8]。此外，在信噪比较高的近空通信中，如在低空探空气球、无人机航拍等高速数据通信场合，为了提高传输效率，需采用较高码率的信道编码。而CCSDS标准也列举了部分4/5等较高码率编码[8]。目前，高码率LDPC码主要采用几何、代数、图论等方法构造[9]。其中，QC-LDPC码构造可通过欧式几何优化最小重码字得到[10]。还可设计多边原模图QC-LDPC码消除无法避免的小环[11]、删除连通性差的短环[12]，改善QC-LDPC码的多对角线奇偶校验结构及准循环双对角线扩展等方法获得较好译码性能QC-LDPC码字[13-14]。该类原模图码还可通过对ARA码对应原模图模板的打孔和删除，获得高性能码率灵活的率兼容码字[15]。但它们都未能综合利用编码围长及环分布特性，仍有改进余地。
因采用迭代译码，LDPC码的Tanner图存在短环导致迭代信息自反馈，影响译码性能。为此，Hu提出了启发式逐渐增加边来减少短环的PEG算法，优化构造码校验矩阵[16]。此外，译码还与Tanner图中停止集(描述环分布)等特点有关。即通过改进QC-LDPC码Tanner图环分布的近似环外消息度(approximated cycle extrinsic message degree, ACE)，在无法避免环时优化其分布，而优化搜索和构造编码结构[17]。故在码构造中，还需结合准循环结构联合ACE与PEG构造算法，综合改进围长及环分布等特征参数，提高性能。另外，低复杂度高码率结构化QC-LDPC码也有助于其在实时高效超宽带系统迭代多用户检测等场合应用[18]。
本文提出了一种基于原模图扩展的QC-LDPC码优化构造方法：在基本原模图模板基础上，扩展校验节点关联的复合节点及增加矩阵维度，构造所需码长、码率的高性能编码。同时，针对准循环结构，采用联合PEG和ACE算法优化搜索循环子矩阵偏移量，通过改善码字围长与环分布关系，获得高纠错性能的QC-LDPC码。
1 QC-LDPC编码矩阵的原模图构造QC-LDPC编码矩阵可采用优化搜索后的基本原模图扩展构造。该码原模图构造流程及相应的模板矩阵设置如下：
1) 采用结合模拟退火及密度进化方法的理论最大译码门限启发式优化算法[5, 7]，设计标准的1/2码率原模图模板如图 1所示。同时，通过增加扩展变量节点增加码率。图 1所示的原模图模板可用于构造(2n+2)/(2n+4)码率，即(n+1)/(n +2)码率的高性能QC-LDPC码，且n取值为0或正整数。而且，节点(2n+3)~(2n+5)为校验节点。其中，节点(4n+3)为删除节点。其余节点为信息节点。校验和信息节点，分别映射为码字中的校验比特和信息比特。
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注：包含等号的圆表示变量节点，且实线圆是需传输的变量或校验比特，虚线圆是非传输删除节点；包含加号的方框表示校验节点 图 1 编码原模图模板及其码率扩展 Fig.1 The protograph template of the code and the rate expansion |
图 1的构造采用启发式搜索算法，利用现代分析译码门限的手段，对所搜索的原模图进行译码门限预测，可获得理论结果，方便扩展改善码性能。该原模图模板与Tanner图不同处为：该图允许同一变量与校验节点连接多重边，属于多边类图[7]，使其在中短码长时也能获得较好的译码性能。
2) 根据图 1所示的码率扩展原模图模板，对其消除多重边的处理，使其转变为标准Tanner图结构如图 2所示。图 2所示的原模图模板即为图 1原模图模板的扩展，同用于构造码率的高性能QC-LDPC码，且n取值为0或正整数。而且，节点(4n+5)~(4n+10)为校验节点，节点(4n+5)、(4n+6)为删除节点，其余为信息节点。同时，其构造思想是通过复制，随机扰乱，消除重复边，来构成高码率Tanner图结构。从而设计高码率的高性能编码。在该过程中，原模图相当于基板，作为QC-LDPC码基本Tanner图模板。对其复制多个副本，再对复制后图中各对应边对称的重排扰乱(随机交织)，使不同副本间节点互连，从而得到任何规模Tanner图及对应编码矩阵。
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图 2 消除编码原模图重复边所得的Tanner图 Fig.2 The derived Tanner graph by eliminating all repeated protograph edges |
3) 将图 2所示的Tanner图转换为校验矩阵。其中，校验节点对应校验方程(矩阵行)、变量节点对应比特节点(矩阵列)，且校验与变量节点有连线则矩阵元素为“1”，否则为“0”。另还需对校验方程子矩阵扩展，即分别将“0”, “1”映射为一定维数全零或单位循环子矩阵(即单位阵循环右移后的矩阵)，得到所需准循环校验矩阵。该矩阵为
| $ \left[{\begin{array}{*{20}{c}} \mathit{\boldsymbol{I}}&\mathit{\boldsymbol{I}}&\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{0}}& \cdots &\mathit{\boldsymbol{I}}&\mathit{\boldsymbol{I}}&\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{0}}\\ \mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{I}}&\mathit{\boldsymbol{I}}& \cdots &\mathit{\boldsymbol{I}}&\mathit{\boldsymbol{I}}&\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{0}}\\ \mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{I}}&\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{0}}& \cdots &\mathit{\boldsymbol{I}}&\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{I}}&\mathit{\boldsymbol{I}}&\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{0}}\\ \mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{I}}&\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{0}}& \cdots &\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{I}}&\mathit{\boldsymbol{I}}&\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{0}}\\ \mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{I}}& \cdots &\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{I}}&\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{I}}&\mathit{\boldsymbol{I}}\\ \mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{I}}& \cdots &\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{I}}&\mathit{\boldsymbol{I}} \end{array}} \right] $ | (1) |
式中：矩阵“0”和“I”分别为全0和循环方矩阵，且循环方阵I为单位阵循环右移若干位后的矩阵，且所循环偏移参数，通过下一节联合PEG及准循环渐进环外消息度(QC-ACE)优化算法搜索得到，并获得最终编码矩阵。另外，矩阵最后6列对应校验比特，且倒数第5及第6列对应删除校验节点，其他列对应信息比特。同时，该矩阵扩展结构的物理实现过程，可用图 2所示Tanner图在空间上的扩展来表示。即为了确保所构造编码码字的最优化，需扩展图 2所示优化后编码原模图模板。即保持该编码基矩阵模板不变，通过复制，扰乱各不同模板间节点的连接关系(类似交织处理)，但需保持连接的边在两个不同模板间节点的序号保持不变。如在原来的原模图中，变量节点1与校验节点2连接，则在新扩展结构中，需保证原模图模板i中的节点1与原模图模板j中的校验节点2连接，且i与j的取值，通过最大化环或改进环间关系等优化得到。通过该扰乱处理后，等效于原优化后原模图模板对应的分组码(或卷积码)间增加了随机交织的联接关系，除了可扩大编码码距外，还可达到增加随机度的效果，有助于改进编码性能。具体，经优化扩展后的立体Tanner图模型示意图如图 3所示。另外，图 3主要为原模图模板空间扩展示意图，具体需根据图 2所构造的优化原模图作为第i层原模图的模板扩展。
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注：填充为黑色的为变量节点，填充为白色的为删除的变量节点，填充为“+”的为校验节点 图 3 原模图立体扩展的示意图 Fig.3 The schematic diagram of the cubic expansion of the protograph |
图 3中，该扩展后的立体Tanner图和初始优化设计的原模图码率相等，连接关系和度分布也对应不变，且充分继承了优化构造后原模图的特点。相对Turbo码二个卷积码中间插入一个交织器的结构，本编码构造则将交织器分散在各个原模图模板连接节点之间，具有类似的增加码距的效果。此外，该方法还能以稀疏矩阵形式表示，并用编译码都较为简单的LDPC编译码实现。
2 循环子矩阵PEG及QC-ACE优化搜索在该码字框架设计中，为了提高编码随机性而改进性能，还需对构造的矩阵扩展和分裂。即需要对式(1)矩阵循环方子矩阵I扩展为更小若干子循环矩阵组合，使该矩阵中“1”分布更为随机化，以提高编码性能。如将原循环矩阵I分裂为4×4子矩阵:
| $ \mathit{\boldsymbol{I}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathit{\boldsymbol{I'}}}_1}}&0&0&0\\ 0&0&{{{\mathit{\boldsymbol{I'}}}_2}}&0\\ 0&{{{\mathit{\boldsymbol{I'}}}_3}}&0&0\\ 0&0&0&{{{\mathit{\boldsymbol{I'}}}_4}} \end{array}} \right] $ | (2) |
式中：每个I′i为扩展后循环矩阵，且在保证循环矩阵行、列重都为1基础上，在矩阵内扰乱，随机分布I′i位置。I′i在I矩阵中的随机分布，可采用PEG算法优化搜索[16]。即在式(2)所示整个校验矩阵基础上，用PEG算法查找最优的I′i分布，而获得最佳围长参数的准循环基矩阵结构。此外，为了扩展随机性，还可增加子矩阵扩展维度，将循环方子矩阵I分裂为8×8等更高维度子矩阵结构。通过该扩展，可进一步提高码字随机性，但也增加了准循环移位个数和存储量，故需根据资源和性能折中选择。
准循环矩阵中非零循环子矩阵循环偏移量，可采用准循环近似环外消息度(QC-ACE)算法搜索。当经过的一节点路径具有最小ACE时，该节点有子节点。初始化过程将所有ACE路径设为∞，即未被访问。当一节点被访问2次或同时被访问时，则该节点存在环。一个环等于一节点先前最小ACE路径及当前到该节点ACE减去根及子节点ACE的2倍。当通过所有到达点顺序路径满足最小ACE时，由因存在环，而对译码不利。因传统围长最大化的PEG算法仅限于消除短环，而保留较长环。但该算法也存在只考虑环长，而不考虑环结构的局限性，致使部分较长环难以消除。即部分较长的环因存在关联的独立外界节点少而易损害迭代译码的结构，使其甚至比一些较短的环，更恶化译码性能。而部分无法避免的环(但环长也需大于等于6)也可通过增加连接外部独立信息节点，引入独立节点较可靠外消息纠正环中错误消息传递，而消除环迭代译码的误码自反馈影响。故需采用结合QC特征的QC-ACE算法改善环关系，提高译码性能。
2.1 QC-ACE算法术语定义及说明1) 父、子节点：分别表示当前层及与该节点相连下一层的节点。如父节点为ws，则其相应子节点集为Ch (ws)；
2) 节点vi为LDPC码中变量节点；节点μt为LDPC码中校验节点；
3) 变量(校验)节点的度：与某变量(校验)节点相连校验(变量)节点数；
4) 每个码基本参数(dACE, ηACE)，表示该码最大环长dACE，对应最小环长ACE值ηACE；
5) p(μt)函数：根节点与任意变量或校验节点μt之间所有节点ACE值总和；
6) 在LDPC码对应自循环矩阵中，横向及纵向最大非零矩阵块数分别为n, m；
7) dACE、ηACE、i、n、m、j、di、k为整数，vi、μt、ws为标识符，ptemp为实数。它们皆为算法的临时变量，“标号redo”为算法跳转控制所用标号。另外，“for”、“if-else”、“if-elseif”等描述语句，分别为循环与条件选择功能；“begin-end”描述语句，为一完整功能模块。
2.2 算法流程for(i=n-1; i > =0; i--)
begin
for(j=0; j < =m-1; j++)
begin
标号redo：
根据准循环子矩阵分布，在该非零子矩阵第一行随机产生变量节点vi，即随机选择所在行“1”的偏移量；预设所有节点为活跃节点。
计算变量节点vi的ACE，记为ACE (vi)，表示为：ACE (vi)=(-2)。其中，di为变量节点的度，校验节点的ACE值为0，且某个环或一条边所构成图的ACE为：∑i(di-2)，且di为环或一条边所有变量节点vi的度；
对于所有变量和校验节点μt，设置：p(μt) ←∞；
对于变量节点vi，设置：p(vi) ← ACE(vi)；
for (k=1; k≤dACE; k+ +)
begin
对于在(k-1)层的任意活跃节点ws；
begin
查找该节点邻接子集Ch(ws)；
对于任何子节点μt∈Ch(ws)；
begin
ptemp←p(ws) +ACE(μt)；
if ptemp+p(μt)-ACE(vi)-ACE(μt) < ηACE
本次搜索失效，退出。即需重设初始化参数，再次搜索；
elseif ptemp≥p(μt)
在当前父节点ws的第k层内，修改子节点μt为非活跃节点；
else
p(μt)←ptemp；
end；
end；
end；
本次搜索成功，记录参数；
if 对于一个长度≤2dACE的环，其ACE值 < ηACE
跳转到：标号redo；
end；
end.
另外，针对常见中短码长QC-LDPC码，当循环子矩阵维度较小时，可在准循环ACE搜索算法设置ACE码参数(dACE, ηACE)为(6, 3)等，便于循环偏移量的快速优化搜索。同时，由于初始搜索参数的随机设定，还需搜索几组码字分别验证，以消除编码停止集影响，最终确定最佳准循环偏移量的编码码字。
3 QC-LDPC误码性能仿真与分析以下分别仿真和分析所构造的QC-LDPC码，并与现有典型LDPC码，如eIRA码[4]和QC-LDPC码等对比[10]。在仿真中，译码最大迭代次数为100次，每个误码测试点至少包含50个错误比特。信道为加性高斯白噪声(AWGN)信道。
3.1 随机或半随机(半结构化)eIRA码等的比较仿真参数如下：构造的QC-LDPC码码长和信息位长为(4 128, 3 440)，码率约为0.833。该码字为QC-LDPC码(4 472, 3 440)，且删除512列码字(对应图 2所示删除节点位置)。对照码字主要是相近码长与码率的全随机或半结构化LDPC码，码长和码率分别为4 161和0.82[4]。最后，各编码的误码率仿真结果如图 4所示。
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图 4 4QC-LDPC码(4 128, 3 440)的误码率 Fig.4 BER of the QC-LDPC code (4 128, 3 440) |
图 4所示的仿真表明：在类似仿真参数及误比特率10-5下，所构造的QC-LDPC码性能差距最优设计的半随机半结构化eIRA码约0.1 dB(但编码码率多了0.01)，优于Mackay码[4]、R & U不规则码及有限几何(FG)码[4]约0.2、0.3和0.4 dB。该码在较高误比特率(> 10-5)时，相对随机Mackay、R & U及有限几何码，具有较好译码门限，充分体现了优化原模图模板的构造优势，且降低了码字构造难度，并提高了码字构造效率。相对优化度分布的半随机eIRA码，该码不具有最大随机编码矩阵自由度，故存在少量性能差距仍可接受。且其采用了全结构化准循环编码结构，使编译码信息存储及实现复杂度有较大降低，更易工程应用。另外，R & U码受限于R & U结构约束，在误比特率接近10-5时，有出现误码平底的趋势。而本方法构造的编码，采用了搜索更优ACE指标的循环偏移量等措施，可消除短环和改进环间关系，能有效的克服传统方法构造的QC-LDPC码易产生误码平底的缺陷，较好地提高了编码的综合性能。特别是在短码长编码构造中，受限于码长限制，使LDPC编码对应的Tanner图结构易出现无法避免的短环，使其围长较短。这将引起在LDPC迭代译码时，易出现错误码字消息的自反馈迭代，而引起误码传播现象，直接导致译码性能恶化。而本编码构造的码字，可在无法避免的复合环基础上，尽量引入外部的独立变量节点的消息传递边，而使译码消息环路出错时，及时由外界独立正确消息来予以纠正，极大减少了错误传播，而提高译码性能。
3.2 欧式几何构造QC-LDPC码的比较仿真参数为：构造的QC-LDPC码码长和信息位长为(6 144, 5 120)，码率约为0.833。该码字为QC-LDPC码(6 656, 5 120)，且删除512列码字(对应图 2所示删除节点位置)。对照码字主要是相近码长与码率的欧氏几何(EG)及新欧氏几何(new EG)构造的LDPC码[10]，码长和码率分别为6 138和0.838[10]。最后，各编码的误码率仿真结果如图 5所示。
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图 5 QC-LDPC码(6 144, 5 120)的误码率 Fig.5 BER of the QC-LDPC code (6 144, 5 120) |
图 5所示的仿真表明：在类似仿真参数及误比特率10-5下，所构造的QC-LDPC码性能优于EG码[4]、新EG码[4]约0.8和0.1 dB。该码具有较好译码门限，也体现了优化的原模图模板的构造优势，即原模图模板具有较低译码门限。该原模图模板对应的编码具备较低的译码门限，主要是其采用了图模型来扩展优化设计具有最优度分布的少量节点简单编码图模板。同时，利用空间分层扰乱的交织连接关系，来进一步构造长码长的编码，极大降低了编码构造算法的复杂度。该交织结构类似Turbo码的随机交织，使其在低信噪比下仍具有较好的译码性能。而EG码也受限于几何约束，使编码随机度受限，且度分布距最优分布差距大，而导致性能较差。另外，new EG码在误比特率接近10-5时，逐渐开始出现误码平底现象。该现象出现的原因在于：所构造码字的码长不够长，且码率较高，导致其Tanner图中仍残留较多数量的环，且部分环之间还相互嵌套。即某个环部分边，仍为另外环的部分边，导致存在大量公共边的环间关系，易引起错误消息无法有效地摆脱环间传递自反馈的束缚。对于本方法所构造的编码，在信噪比较高时，经QC-ACE算法最大化改进了环关联的外部独立节点个数，就会减少某些复合环间嵌套关系而局部错误码字，避免错误消息自反馈传播，从而改进译码性能。因此，通过该方法搜索更优ACE参数来全局优化环间关系等措施改进环关系，有助于进一步提高编码性能。另外，也可通过分裂式(2)所示的原模图基矩阵I，进一步增加其随机性，并增加环分布的自由度，进一步减小复合环嵌套关系，而改进性能。但也增加了约为分裂维度比值平方倍的计算复杂度与存储量代价，在实际应用中还需折中考虑。
3.3 CCSDS标准高码率AR4JA码(R为2/3及4/5)的比较仿真参数如下：构造的QC-LDPC码码长和信息位长分别为(1 536, 1 024)及(1 280, 1 024)，码率分别为2/3及4/5。该码字为QC-LDPC码(2 048, 1 024)及(1 536, 1 024)，且分别删除512及256列码字(对应图 2所示删除位置)。对照码字主要是CCSDS标准相同码长及码率的码字[8]。最后，各编码的误码率仿真结果如图 6所示。
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图 6 QC-LDPC码(1 536, 1 024)及(1 280, 1 024)的误码率 Fig.6 BER of the QC-LDPC code (1 536, 1 024) and (1 280, 1 024) |
图 6所示的仿真表明：在类似仿真参数及误比特率10-6下，所构造的两种码率的QC-LDPC码性能均略优于AR4JA码[8]约0.03 dB。该码具有较好译码门限，也体现了原模图模板优化扩展的构造优势，即原模图模板节点扩展后具有较低译码门限。因AR4JA码也采用类似原模图模板结构的编码，已在图优化构造方面得到足够优化，故本方法构造的码字相对该码的优势不大。但本构造方法在实现复杂度相似前提下，采用扩展优化校验节点等改进，获得微小性能改进，仍有较好工程实践意义。
另外，在编码复杂度方面，在相同信道码长参数n情况下，所提的QC结构编码，因具有准循环特征，而具有线性编码复杂度O(n)[9]。所对照的全随机LDPC编码结构，则编码复杂度正比于码长的二次方，即编码复杂度为O(n2)。而在LDPC码长较大情况下，该随机结构的LDPC编码器将很难在资源有限的硬件上实现。相对而言，半结构半随机结构的LDPC码也具有线性编码复杂度O(n)，也能在资源紧缺的硬件上有效实现[4]。但是，因为该编码结构中的半随机特点，需要花费大量存储单元用于存储半随机矩阵，从而将占用较大的存储资源，也不适合大规模码字的编码实现。而所提的QC结构编码能充分利用准循环结构，只需存储循环子矩阵首行矩阵元素，之后通过循环移位方式，用于实现编码矩阵二进制相乘的运算，故在循环子矩阵规模为p×p时，存储量将减少为随机矩阵的1/p，故能大量节约存储单元使用，适合硬件实现。此外，对于采用几何构造的随机LDPC编码，其编码复杂度等同于全随机LDPC码，也具有码长二次方的编码复杂度，相对所提编码的复杂度也相对更高[10]。且其随机编码矩阵存储也将耗费更多存储单位，不适合硬件实现。其主要有理论分析意义，可在理论上分析所能达到最小编码的码距，可作为编码设计的重要参考构造方案。
4 结论1) 通过优化的基本原模图模板，扩展了校验节点关联的复合变量节点，增加了其子矩阵维度；
2) 采用针对准循环的PEG及QC-ACE优化搜索循环置换子矩阵偏移量，改善了码字围长与环分布，可用于构造性能优异的高码率编码；
3) 仿真验证了所构造编码具有较好的误码性能，适合信噪比较高时的高速空间通信应用。
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