硬齿面齿轮具有承载能力强、耐磨性好和体积小等特点可以很好的满足车用齿轮箱中所使用齿轮的要求，其加工成为了当今齿轮制造业的热点问题^[1]。硬齿面加工方式主要包括滚齿、插齿、剃齿、刮齿、磨齿和珩齿等^[2]，其中，珩齿加工是一种前沿性的加工方法，适用于加工直齿轮、斜齿轮及内外齿圆柱齿轮，能在一定程度上改善齿廓形状和螺旋线精度^[3]，有利于降低齿轮传动产生的噪声，同时使表面残余压应力提高，从而增加齿轮的耐磨性和使用寿命^{[1, 4]}。

珩齿可分为外啮合珩齿和内啮合珩齿。主流的珩齿技术是内啮合珩齿，珩磨环和工件有更大重合度^[5]，修正能力比外齿珩磨轮要强。内啮合珩齿设备价格高，推广有难度。外啮合珩齿机床结构简单、造价低，其应用不广的主要原因是产生中凹齿形。外啮合珩齿加工，重合度大于1，因此存在单啮区和双啮区，导致加工过程中珩削力也是变化的，这就导致了外啮合珩齿加工中产生中凹齿形。为了解决这个问题，石照耀团队提出了基于间齿啮合原理的外啮合珩齿加工方法^[6]。

间齿啮合原理是伴随着整体误差测量技术而提出的。20世纪70年代，黄潼年^[7]提出了整体误差测量技术。张兆龙等^[8]设计了一种具有三种齿的特殊标准齿轮用来进行齿轮测量，其中也用到了间齿啮合过程。FRENCO公司的Pommer^[9]利用高于齿面的轨迹线设计了标准齿轮，提出了用于齿轮高速测量的RollScan技术。何凤宝等^[10]将间齿啮合原理拓展到剃齿领域，纠正了齿形中凹。石照耀等^[11]考虑成对齿轮的使用，提出了基于齿轮副整体误差的齿轮动力学模型。石照耀等^[12]利用实体求交算法，在三维空间中，绘制了整体误差单元曲线。虽然有关齿轮啮合模型的研究不胜枚举。李特文^[13]对齿轮啮合理论进行了大量的研究，不仅研究了标准圆柱齿轮、锥齿轮和面齿轮的三维啮合模型，还对修形齿轮的啮合过程进行建模分析。随后，不少学者在此基础上继续研究，完成特殊形状齿轮的啮合过程建模。但目前缺乏关于间齿啮合原理三维模型的研究。

本文为齿轮啮合原理补充了间齿啮合原理的内容。运用空间几何学，建立了整个间齿啮合过程的三维模型，该模型可用于计算接触点的位置、接触点处的相对速度和计算整体误差单元曲线等。根据实际接触过程的几何关系，给出了计算分界点的方法。

1 间齿啮合原理

以整体误差测量为例，说明间齿啮合原理。整体误差测量采用测量蜗杆与被测齿轮啮合来实现齿轮的测量，测量蜗杆与传统测量蜗杆不同的是，该测量蜗杆只保留一头作为测量功能使用，对其他头进行减薄，使它们在测量过程中不参与啮合，如图 1。在整体误差测量整个过程中，保证只有一个齿接触，这一个齿的完整啮合过程就是间齿啮合过程。

二维间齿啮合全过程分为三个过程：齿轮顶刃啮合过程 (K₁K₂)、标准渐开线啮合过程 (K₂K₃) 和齿条顶刃啮合过程 (K₃K₄)^[6]，如图 2。与二维情况相同，三维间齿啮合过程同样分为上述三个过程，不同的是参与啮合的元素由平面曲线变成了空间曲面。在这三个过程中，两个顶刃啮合过程具有相似性，可以按照相同的啮合过程研究。

2 渐开螺旋齿面模型

齿面模型是研究空间啮合原理的基础，啮合过程中的一些特殊性质都是通过对特定齿面模型研究而获得的。对于不同类型的齿面模型的建立，李特文等^[13-14]都进行了深入的研究，建立适合自己研究内容的对应齿面方程形式，并获得了啮合过程中的特殊性质。为了更好地研究间齿啮合原理，本文也建立了符合本研究的齿面模型形式。

渐开螺旋齿轮和渐开线蜗杆的齿面都是渐开螺旋面，它是由一根与基圆柱相切，并且与轴线有固定夹角的直线沿着基圆柱滚动而形成的空间曲面，如图 3所示。根据空间几何学可知，2个变量可以确定一个空间曲面，与其他学者建立齿面的思路相似，本文也采用2个变量建立渐开螺旋面方程，其中一个变量为轴向位置z，另一个变量为θ角，θ角是渐开线展开角与压力角的和。θ角可以确定某一轴向位置的端截面上的齿形形状，z可以确定该端截面齿形对应的轴向位置。通过这两个变量，可以确定齿面上的两条特征线，当z取固定值时，得到一条渐开线状齿形线，即为θ线；当θ角固定时，得到一条螺旋线，即为z线，该螺旋线以θ角处齿面上点到轴线的距离为半径，导程与渐开螺旋面的导程相同。

图 3中M点为渐开螺旋面上任意一点，根据空间几何关系，该点的位置为

$ \mathit{\boldsymbol{r}} = \mathit{\boldsymbol{OE}} + \mathit{\boldsymbol{EF}} + \mathit{\boldsymbol{FM}} = x\mathit{\boldsymbol{i}} + y\mathit{\boldsymbol{j}} + z\mathit{\boldsymbol{k}} $

(1)

其中

$ \begin{array}{l} x = OE\cos \left( {\tau + \mu + \theta } \right) + FM\sin \left( {\tau + \mu + \theta } \right) = \\ \;\;\;\;\;\;{r_b}\cos \left( {\tau + \mu + \theta } \right) + \theta {r_b}\sin \left( {\tau + \mu + \theta } \right)\\ y = OE\sin \left( {\tau + \mu + \theta } \right) - FM\cos \left( {\tau + \mu + \theta } \right) = \\ \;\;\;\;\;\;{r_b}\sin \left( {\tau + \mu + \theta } \right) - \theta {r_b}\cos \left( {\tau + \mu + \theta } \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;z = EF = z \end{array} $

式中：r_b为基圆柱半径，τ为该齿面对应的位置角。在ΔAEC内可以确定tanβ_b=r_b/p，p为导程，β_b为基圆螺旋角，因此μ=ztanβ_b/r_b。

如果考虑齿轮啮合过程中的转角φ，渐开螺旋面方程可表示为

$ \mathit{\boldsymbol{r}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_b}\cos {\alpha _t} + \theta {r_b}\sin {\alpha _t}}\\ {{r_b}\sin {\alpha _t} - \theta {r_b}\cos {\alpha _t}}\\ z \end{array}} \right] $

(2)

其中，α_t=τ+ztanβ_b/r_b+θ+φ。

空间曲面上一点处任意两个不共线的切向量的叉乘可以得到该点的法向量，因此渐开螺旋面的法向量可以由下式：

$ \mathit{\boldsymbol{n = }}\frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{r}}}}{{\partial z}} \times \frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{r}}}}{{\partial \theta }} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \sin {\alpha _t}} & {\cos {\alpha _t}} & { - \tan {\beta _b}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $

(3)

3 间齿啮合接触点计算

为了更好地研究间齿啮合过程，建立了对应的空间坐标系，如图 4所示。S₁(O₁-X₁, Y₁, Z₁) 和S₂(O₂-X₂, Y₂, Z₂) 分别是与蜗杆和齿轮固连的运动坐标系，Z₁和Z₂分别与蜗杆和齿轮的轴线重合。S_c(O_c-Z_c, Z_c, Z_c) 和S_g(O_g-Z_g, Z_g, Z_g) 分别是蜗杆和齿轮的静止坐标系，Z_c和Z_g分别与蜗杆和齿轮的轴线重合。λ为蜗杆与齿轮轴线的轴交角，r_o1和r_o2分别为蜗杆和齿轮的分度圆半径。

3.1 标准渐开螺旋面啮合过程

标准渐开螺旋面啮合过程就是交错轴渐开螺旋齿轮啮合过程。在这个过程中，蜗杆与齿轮以固定传动比匀速转动。由李特文的研究可知，接触点处的法线，即啮合线，通过工作节圆柱切点T^[13]，如图 5所示。因此，在蜗杆中有

$ \frac{{{X_c} - {x_{Tc}}}}{{{x_{n1c}}}} = \frac{{{Y_c} - {y_{Tc}}}}{{{y_{n1c}}}} = \frac{{{Z_c} - {z_{Tc}}}}{{{z_{n1c}}}} $

(4)

式中：(x_Tc, y_Tc, z_Tc) 为T点在坐标系S_c中的坐标，(x_n1c, y_n1c, z_n1c) 为蜗杆在接触点处齿面法向的方向向量，x_Tc=r_o1，y_Tc=0，z_Tc=0。式 (4) 中存在两个等号，第一个等号可以得到

$ \cos \left( {{\tau _1} + {\mu _1} + {\theta _1} + {\varphi _1}} \right) = {r_{b1}}/{r_{o1}} $

(5)

在此啮合过程中，因为$\frac{{{r}_{b1}}}{{{r}_{o1}}}=\cos {{\alpha }_{\tau 1}}$，所以τ₁+μ₁+θ₁+φ₁=α_t1为定值。因此给定转角φ₁，就可以求出此转角时，接触点坐标。

由式 (4) 的第二个等号可以得到

$ {\theta _1} - \tan {\alpha _{t1}} = {\mu _1}{\cot ^2}{\beta _{b1}} $

(6)

将两个等号所得到的方程组成方程组：

$ \left\{ \begin{array}{l} {\tau _1} + {\mu _1} + {\theta _1} + {\varphi _1} = {\alpha _{t1}}\\ {\theta _1} - \tan {\alpha _{t1}} = {\mu _1}{\cot ^2}{\beta _{b1}} \end{array} \right. $

(7)

解方程组 (7) 可以得到

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mu _1} - {\alpha _{t1}}{\sin ^2}{\beta _{b1}} - {\varphi _1}{\sin ^2}{\beta _{b1}} - \tan {\alpha _{t1}}{\sin ^2}{\beta _{b1}}\\ {\theta _1} = {\alpha _{t1}}{\cos ^2}{\beta _{b1}} - {\varphi _1}{\cos ^2}{\beta _{b1}} + \tan {\alpha _{t1}}{\sin ^2}{\beta _{b1}} \end{array} \right. $

(8)

将式 (8) 代入齿面方程 (2) 中，可以得到单个渐开螺旋面接触点方程为

$ \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = {r_{b1}}{\cos ^2}{\beta _{b1}}\sin \left( {{\alpha _{t1}} - {\varphi _1}} \right)\left( {{\alpha _{t1}} - {\varphi _1} + } \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\left. {\tan {\alpha _{t1}}{{\tan }^2}{\beta _{b1}}} \right) + {r_{b1}}\cos \left( {{\alpha _{t1}} - {\varphi _1}} \right)\\ {y_1} = - {r_{b1}}{\cos ^2}{\beta _{b1}}\cos \left( {{\alpha _{t1}} - {\varphi _1}} \right)\left( {{\alpha _{t1}} - {\varphi _1} + } \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\left. {\tan {\alpha _{t1}}{{\tan }^2}{\beta _{b1}}} \right) + {r_{b1}}\sin \left( {{\alpha _{t1}} - {\varphi _1}} \right)\\ {z_1} = {r_{b1}}\cos {\beta _{b1}}{\sin _{b1}}\left( {{\alpha _{t1}} - {\varphi _1} + \tan {\alpha _{t`}}} \right) \end{array} \right. $

(9)

式 (9) 只能得到单个渐开螺旋面上接触点，并不能明确两个曲面上接触点的对应关系。为了得到两个齿面之间的关系，需要将两个齿面联合考虑，在齿面接触点处有以下性质：

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{r}}_{1c}} = {\mathit{\boldsymbol{r}}_{2c}}\\ {\mathit{\boldsymbol{n}}_{1c}} = - {\mathit{\boldsymbol{n}}_{2c}} \end{array} \right. $

(10)

通过化简式 (10)，可以得到

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\varphi _1}{r_{b1}}\cos {\beta _{b1}} + {\varphi _2}{r_{b2}}\cos {\beta _{b2}} = }\\ {{r_{b1}}\cos {\beta _{b1}}\left( {{\alpha _{t1}} - \tan {\alpha _{t1}}} \right) + {r_{b2}}\cos {\beta _{b2}}\left( {{\alpha _{t2}} - \tan {\alpha _{t2}}} \right)} \end{array} $

(11)

式 (11) 揭示了转角φ₁和φ₂之间的关系，除了转角φ₁和φ₂以外，其他参数都是常量，对时间求导，可以得到dφ₁/dφ₂=r_b2cosβ_b2/r_b1cosβ_b1，即渐开螺旋面啮合过程中，蜗杆和齿轮以固定传动比转动。

最终，通过式 (9)、(11) 可以确定该过程渐开螺旋面上接触点迹线及其对应关系。

3.2 顶刃啮合过程

在间齿啮合原理中，两个齿轮在啮合过程中存在顶刃啮合过程。设蜗杆转动为主动运动，那么齿轮顶刃啮合过程发生在标准渐开螺旋面啮合之前，此过程中齿轮的齿顶在蜗杆的齿面上刮行。蜗杆顶刃啮合过程发生在标准渐开螺旋面啮合之后，此过程中蜗杆的齿顶在齿轮的齿面上刮行。齿轮或蜗杆的齿顶为一条螺旋线，螺旋线半径为齿顶圆半径，那么顶刃啮合过程实际上是一条螺旋线与渐开螺旋面啮合的过程^[15]，如图 6。本节以齿轮顶刃啮合过程为例，建立模型，蜗杆顶刃啮合过程与此相同。首先要建立蜗杆的齿面模型和齿轮的齿顶螺旋线模型，齿面模型在第2节中已经给出。

在坐标系S₂中，建立齿轮的齿顶螺旋线方程：

$ {\mathit{\boldsymbol{r}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_{a2}}\cos \left( {{\tau _2} + {z_2}\tan {\beta _{b2}}/{r_{b2}} + {\theta _{a2}} - {\alpha _{a2}}} \right)}\\ {{r_{a2}}\sin \left( {{\tau _2} + {z_2}\tan {\beta _{b2}}/{r_{b2}} + {\theta _{a2}} - {\alpha _{a2}}} \right)}\\ {{z_2}} \end{array}} \right] $

(12)

将式 (12) 转化到坐标系S_c中，可得

$ {\mathit{\boldsymbol{r}}_{2c}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {r_{a2}}\cos {\xi _2} + a}\\ { - {r_{a2}}\sin {\xi _2}\cos \lambda + {z_2}\sin \lambda }\\ {{r_{a2}}\sin {\xi _2}\sin \lambda + {z_2}\cos \lambda } \end{array}} \right] $

(13)

其中，ξ₂=τ₂+z₂tanβ_b2/r_b2+θ_a2-α_a2+φ₂，其切向量可表示为

$ {\mathit{\boldsymbol{\rho }}_{1c}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_{a2}}\sin {\xi _2}\tan {\beta _{b2}}/{r_{b2}}}\\ { - {r_{a2}}\cos {\xi _2}\cos \lambda \tan {\beta _{b2}}/{r_{b2}} + \sin \lambda }\\ {{r_{a2}}\cos {\xi _2}\sin \lambda \tan {\beta _{b2}}/{r_{b2}} + \cos \lambda } \end{array}} \right] $

(14)

由于渐开螺旋面与螺旋线在某一点相切，那么在这一点应该满足以下条件：

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{r}}_{1c}} = {\mathit{\boldsymbol{r}}_{2c}}\\ {\mathit{\boldsymbol{n}}_{1c}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{\rho }}_{2c}} = 0 \end{array} \right. $

(15)

式 (2)、(14) 代入式 (15) 中，得到

$ \left\{ \begin{array}{l} {r_{b1}}\cos {\alpha _{t1}} + {\theta _1}{r_{b1}}\sin {\alpha _{t1}} = - {r_{a2}}\cos {\xi _2} + a\\ {r_{b1}}\sin {\alpha _{t1}} - {\theta _1}{r_{b1}}\cos {\alpha _1} = - {r_{a2}}\sin {\xi _2}\cos \lambda + {z_2}\sin \lambda \\ {z_1} = {r_{a2}}\sin {\xi _2}\sin \lambda + {z_2}\cos \lambda \\ \cos {\alpha _{t1}}\cos {\beta _{b1}} \times \left( { - {r_{a2}}{{\cos }_2}\cos \lambda \tan {\beta _{b2}}/{r_{b2}} + \sin \lambda } \right) - \\ \;\;\;\;\sin {\alpha _{t1}}\cos {\beta _{b1}}{r_{a2}}\sin {\xi _2}\tan {\beta _{b2}}/{r_{b2}} - \sin {\beta _{b1}} \times \\ \;\;\;\;\left( {{r_{a2}}\cos {\xi _2}\sin \lambda \tan {\beta _{b2}}/{r_{b2}} + \cos \lambda } \right) = 0 \end{array} \right. $

(16)

式 (16) 中的未知量为z₁、θ₁、φ₁、z₂、φ₂，当给定转角φ₂时，可以确定对应的其他未知量，从而得到顶刃啮合过程接触点坐标。

4 分界点分析

间齿啮合的每个过程都存在分界点，整个过程中共有4个分界点：齿轮顶刃啮合过程起始点、渐开螺旋面啮合过程起始点、渐开螺旋面啮合过程终止点和蜗杆顶刃啮合过程终止点。可将这四个点分为两类，一类是标准渐开螺旋面啮合过程起始点，另一类是顶刃啮合过程起始点。蜗杆渐开螺旋面啮合过程起始点与齿轮渐开螺旋面啮合过程终止点是对应的，蜗杆渐开螺旋面啮合过程终止点与齿轮渐开螺旋面啮合过程起始点是对应的。同理，顶刃啮合过程的起始终止点也是相同的对应关系，因此只要给出计算顶刃啮合过程起始点和渐开螺旋面啮合过程起始点的方法，就可以获得蜗杆和齿轮啮合的四个分界点。蜗杆的四个分界点的转角为φ₁₁、φ₁₂、φ₁₃和φ₁₄，齿轮的四个分界点转角为φ₂₁、φ₂₂、φ₂₃和φ₂₄，根据以上的分析，可以得到当蜗杆转到φ₁₁、φ₁₂、φ₁₃和φ₁₄时，齿轮对应转到φ₂₄、φ₂₃、φ₂₂和φ₂₁，图 7为二维间齿啮合过程分界点对应图^[6]，三维间齿啮合过程对应关系与此相同。

4.1 标准渐开螺旋面啮合过程起始点

蜗杆的渐开螺旋面啮合过程起始点对应的是齿轮的齿顶刚刚进入渐开螺旋面啮合过程，此位置同时具有渐开螺旋面啮合过程和顶刃啮合过程的特征。在顶刃啮合过程中，有θ₂=θ_a2。在渐开螺旋面啮合过程中，式 (8) 对于与蜗杆啮合的齿轮同样成立，只是参数的脚标改为2，将θ₂=θ_a2代入到式 (8) 的第2个等式中，可以得到齿轮渐开螺旋面啮合过程终止点转角：

$ {\varphi _{23}} = \left( {{\alpha _{t2}}{{\cos }^2}{\beta _{b2}} - {\theta _{a2}} + \tan {\alpha _{t2}}{{\sin }^2}{\beta _{b2}}} \right)/{\cos ^2}{\beta _{b2}} $

已知转角φ₂₃与蜗杆渐开螺旋面啮合过程起始点转角φ₁₂是对应的，第3.1节中的式 (11) 表示了转角φ₁和转角φ₂之间的关系。因此，将φ₂₃代入到式 (11) 可以得到转角φ₁₂。

同理，可以求出蜗杆渐开螺旋面啮合过程终止点转角φ₁₃与齿轮渐开螺旋面啮合过程起始点转角φ₂₂。

4.2 顶刃啮合起始点

与整体误差测量中所使用的测量蜗杆相同，跳牙蜗杆可以选用2头、3头或者更多头数，本文以头数为3的跳牙蜗杆为例进行研究，其第2头和第3头为减薄齿以确保在啮合过程中不与齿轮接触。

如图 7所示，当蜗杆从φ₁₁转到φ₁₄的同时，齿轮则从φ₂₄转到φ₂₁，啮合过程中，蜗杆与齿轮分别转动了3个齿，因此

$ \left| {{\varphi _{14}} - {\varphi _{11}}} \right| = 6\pi /{Z_1} $

(17)

$ \left| {{\varphi _{21}} - {\varphi _{24}}} \right| = 6\pi /{Z_2} $

(18)

在齿轮顶刃啮合过程起始点处，式 (16) 成立。在齿轮顶刃啮合过程终止点处，需要将式 (16) 中参数的脚标1、2对调，得到另一个方程组。将这2个方程组与式 (17) 和式 (18) 联立，得到一个具有10个方程的新方程组，同时也具有10个未知数，因此可以求解得到所有未知数，包括φ₁₁、φ₁₄、φ₂₁和φ₂₄。

5 间齿啮合三维仿真

为了更好地了解间齿啮合过程，本节以具体参数的蜗杆和齿轮为例，进行间齿啮合三维仿真。仿真中所使用的模型为前文所建立的三维模型，采用C++语言编程对模型进行求解，然后将其结果进行显示。实例中所用蜗杆和齿轮参数见表 1。该仿真实例主要展示了三个内容：1) 绘制间齿啮合过程齿面接触点迹线图，清晰地显示三维间齿啮合过程接触点轨迹，得到运动规律；2) 接触点相对速度图，显示了间齿啮合过程中，接触点处的相对速度大小和方向；3) 整体误差单元曲线图，与其他方法对比，验证了模型正确性。

5.1 齿面接触点迹线

利用C++语言编程，对上文建立的间齿啮合三维模型进行求解，可以获得齿面接触迹线的离散坐标，将这些坐标值导入到仿真软件，绘制三维图，便可以得到齿面接触点迹线。

图 8为齿轮齿面的接触点迹线图。位于齿面中部，占接触点迹线主要部分的是标准渐开螺旋面啮合过程的接触点迹线。齿顶部分为齿轮顶刃啮合过程的接触点迹线，由于整个过程中只有齿轮的齿顶参与啮合，因此接触点全部位于齿顶，这也是顶刃啮合这个名字的由来，这个过程可以用于齿轮加工过程中的齿顶倒棱工序。位于齿根部分，与标准渐开螺旋面啮合过程接触点迹线有一定夹角的迹线为蜗杆顶刃啮合过程的接触点迹线，这一过程表示间齿啮合过程中，在完成了标准渐开螺旋面啮合过程后，接触点反向移动，从齿面齿根开始向齿顶移动，有效的利用该过程，可以进行齿根部分的修形加工。

图 9为蜗杆齿面的接触点迹线图，与图 8相比较，由于接触点迹线过长，并不容易看出规律，但是实际上，蜗杆齿面上接触点迹线的规律与齿轮齿面上的迹线规律相同。

5.2 相对速度

计算接触点处两个齿面的相对速度有助于间齿珩齿机理的研究。通过相对速度的方向可以确定磨削截面的位置，并且两个齿面在接触点处沿着相对速度方向的分量比值可用于G. Wener磨削力模型来计算接触点处的磨削力^[16]。

在整个间齿啮合过程中，蜗杆与齿轮都是时刻接触的，因此，给定其中一个元素的运动规律，另一个元素的运动也是确定的。设定蜗杆以角速度1 000 r/min转动，由于间齿啮合并非标准渐开螺旋面啮合，其整个啮合过程中，对应齿轮的转速也就不是匀速转动，根据第3节的模型可以建立蜗杆与齿轮之间的转速关系。在此基础上，可以得到同一接触点在蜗杆和齿轮上的速度，也就获得了接触点处的相对速度，如图 10。由于实例为蜗杆和齿轮传动，因此相对速度沿着轴向的分量远大于沿着端面渐开线切线方向的速度分量，在图 10中并不能明显的显示出相对速度方向，图 11(b)更好地说明了相对速度方向。

图 11展示了整个过程中接触点相对速度大小和方向。图 11(a)是在齿轮齿面上，接触点相对速度大小与半径的关系。标准渐开螺旋面啮合过程中，从齿根到齿顶，相对速度逐渐减小；蜗杆顶刃啮合过程中，相对速度大小基本恒定；齿轮顶刃啮合过程中，距离标准渐开螺旋面啮合过程越远，相对速度越大。图 11(b)是接触点相对速度和θ线夹角与半径的关系。虚线为分度圆位置，该位置相对速度方向为z线的切线方向，其他位置速度方向以分度圆为界限，分别指向齿顶和齿根。根据这个现象采用间齿珩齿加工齿轮可以在齿面上形成交叉网纹，交叉网纹有利于提高齿轮传动质量^[17]。但是间齿珩齿加工形成的网纹之间的夹角非常小，接近于平行线纹理，可以通过改变跳牙蜗杆状珩磨轮的参数来增加网纹之间的夹角。

5.3 齿轮整体误差单元曲线

间齿啮合原理起源于齿轮整体误差测量技术，该模型可以建立整体误差单元曲线。整体误差单元曲线是整体误差测量过程中的理论曲线，每一个齿在间齿啮合过程中都对应着一条单元曲线。单元整体误差曲线实际上是一个齿进行间齿啮合过程中的传动误差曲线，满足：

$ \Delta {\varphi _2} = {\varphi _2} - {\varphi _1}{Z_1}/{Z_2} $

利用本文中的空间间齿啮合模型建立的单元整体误差曲线如图 12所示，与实体求交法^[12]获得的单元整体误差曲线进行对比，两者完全吻合，实体求交法得到的曲线长于本文方法得到的曲线，这是因为实体求交法并没有计算分界点，计算的角度超过了分界点，在实际间齿啮合过程中，这部分曲线是不存在的。

6 结论

1) 将间齿啮合过程分为标准渐开螺旋面啮合过程和顶刃啮合过程，通过空间几何学和啮合原理，分别建立了两个过程的三维模型。根据跳牙蜗杆和齿轮之间的几何关系，提出了各个过程之间分界点的确定方法。

2) 以具体参数的跳牙蜗杆和齿轮为例，对蜗杆和齿轮齿面上的接触点轨迹进行三维仿真，分析了接触点在齿面上的分布规律，顶刃啮合过程中的特殊运动规律经过变化，可用于齿顶倒棱和齿根修形加工。

3) 绘制了接触点处的相对速度曲线，得到了接触过程中相对速度大小和方向的变化规律，相对速度大小有助于研究间齿珩齿机理，相对速度的方向可作为跳牙蜗杆状珩磨轮设计的参考。

4) 绘制了齿轮整体误差单元曲线，与实体求交法得到的单元整体误差曲线完全相同，验证了文本模型的正确性。