近年来，随着海洋开发的逐步深入，UUV越来越受到海洋工程领域专家们的关注。目前，UUV主要被应用于海洋科学调查、海底资源勘探、海底地形勘察等使命任务^{[1, 2]}。在执行上述使命任务时，UUV需要与海底保持恒定高度航行，亦即地形跟踪^{[3, 4, 5, 6]}。因此，精确的地形跟踪能力是保障UUV顺利完成上述任务的关键技术。在地形跟踪中，期望航迹通常是利用已知海底地形信息，或者航行器携带的多波束声呐获得，以及任务需求拟合出满足航行器动力学性能约束的定高路径。出于航行器的造价成本、总质量、推进效率等方面考虑，UUV的运动控制执行机构通常被配置为欠驱动模式^[7]。由于本文所研究的UUV在垂向缺少直接的推进装置，所以其属于典型的欠驱动系统；该UUV也受到二阶非完整性约束。根据Brockett准则可知，欠驱动UUV无法被任何连续的时不变的状态反馈控制律镇定^[8]。此外，欠驱动UUV运动系统还会受到参数摄动、海流等内外扰动的影响^[9]，使得欠驱动UUV的运动控制器的设计具有一定的挑战性。

目前，国内外学者对于欠驱动UUV的地形跟踪控制已经取得了一定的研究成果。Silvestre等将地形跟踪问题转化为线性误差参数方程镇定问题；进而，采用增益调度控制理论以及LMI设计预见跟踪控制器^[10]。边信黔等提出了一种基于迭代滑模增量反馈的欠驱动UUV地形跟踪控制策略，有效地避免了航行器俯仰舵的抖振现象^[3]。贾鹤鸣等在文献[4, 5, 6]中分别利用自适应神经网络、非线性反步法以及迭代滑模控制方法设计了欠驱动UUV地形跟踪控制器。Melo等分别采用线性回归算法以及卡尔曼滤波两种方法设计观测器用以估计航行器的高度以及纵倾角；分别将两种预估信号输入到跟踪控制器中，由结果可知，卡尔曼滤波观测器更适合于地形跟踪使命^[11]。Adhami-Mirhosseini等采用傅里叶级数理论以及非线性输出调节理论设计出了一种输出反馈地形跟踪控制器^[12]。在上述关于地形跟踪问题的研究中，航行器的运动模型均被假设为精确模型。然而，实际中UUV的水动力系数很难获得精确值；此外，当航行器航行于近水面或近海底面时，由于流场边界条件的改变，致使UUV的水动力系数产生摄动^[13]。因而，欠驱动UUV的运动控制器的设计需要考虑对于参数摄动的鲁棒性。

本文提出一种基于反步法以及ISMC地形跟踪控制器。在期望参考路径上建立局部Serret-Frenet坐标系，引入虚拟航行器，进而建立起地形跟踪误差方程。然后，利用反步法设计欠驱动UUV的运动学跟踪控制器。接下来，利用ISMC将地形跟踪控制器从运动学层面扩展到动力学层面，从而实现欠驱动UUV的地形跟踪控制。最后，证明所设计的地形跟踪控制策略能够在有限时间内全局镇定跟踪误差。

1 UUV地形跟踪问题描述 1.1 UUV运动模型

欠驱动UUV的空间运动通常可以描述为6DOF的运动微分方程组^[9]。这些运动方程具有很强的非线性和高度的耦合性。在工程中，为了简化控制器的设计，可以将航行器的空间运动模型解耦为两个弱相互作用的子系统：垂直面运动子系统和水平面子系统。由于本文仅研究欠驱动UUV的地形跟踪问题，在控制器设计过程中，可以仅考虑航行器的垂直面运动状态。由文献[9]可知，UUV的垂直面的运动学方程描述为

$\left\{ \begin{align} & \dot{\xi }=u\cos \theta +w\sin \theta \\ & \dot{\zeta }=-u\sin \theta +u\cos \theta \\ & \dot{\theta }=q \\ \end{align} \right.$

(1)

式中：ξ和ζ表示航行器的运动坐标系B的原点在固定坐标系I中的笛卡尔坐标；θ航行器的纵倾角；u和w分别为航行器的纵向速度和垂向速度；q为航行器的纵倾角速度。由于本文致力于欠驱动UUV的地形跟踪控制研究，因而航行器的动力学建模可以忽略横向运动、转艏运动以及横摇运动的影响。由文献[14]可知，欠驱动UUV的垂直面的动力学方程表示为

$\left\{ \begin{align} & {{m}_{11}}\dot{u}=-{{m}_{33}}wq-{{X}_{u}}u-{{X}_{u\left| u \right|}}u\left| u \right|+{{\tau }_{1}} \\ & {{m}_{33}}\dot{w}={{m}_{11}}uq-{{Z}_{w}}w-{{Z}_{w\left| w \right|}}w\left| w \right|+{{Z}_{wave}} \\ & {{m}_{55}}\dot{q}=\left( {{m}_{33}}-{{m}_{11}} \right)uw-{{M}_{q}}q-{{M}_{q\left| q \right|}}q\left| q \right|- \\ & \left( {{z}_{G}}W-{{z}_{B}}B \right)\sin \theta +{{\tau }_{5}}+{{M}_{\text{wave}}} \\ \end{align} \right.$

(2)

式中：${{m}_{11}}=m-{{X}_{{\dot{u}}}}、{{m}_{33}}=m-{{Z}_{{\dot{w}}}}$和m₅₅=I_z-M_$\dot{q}$表示航行器的质量与附加质量之和；X_u、Z_w和M_q为其线性阻尼项；X_u|u|、Z_w|w|和M_q|q|为其二阶阻尼项；W与B分别表示航行器的重力与浮力，且W=B；z_G与z_B分别为航行器的重心与浮心在运动坐标系下的垂向坐标；τ₁与τ₅分别为航行器的纵向控制输入和纵倾控制输入；Z_wave与M_wave分别为海浪干扰作用于航行器的垂向力和纵倾力矩。有关海浪干扰力和力矩的具体计算参见文献[15]。

1.2 跟踪误差方程

对于地形跟踪控制问题，其一般的解决方案为：通过引入适当的航行器运动状态误差空间，地形跟踪控制问题可以被转化为镇定问题。为了建立状态误差空间，需要在期望参考路径上引入局部Serret-Frenet坐标系F。该坐标系的原点通常选择为距离航行器的最近点；其坐标轴分别被选为{F}原点处参考路径的切线以及副法线。欠驱动UUV地形跟踪示意图如图 1所示。设Serret-Frenet坐标系F在固定坐标系I下的位姿(位置+姿态)为p_R=[ξ_R ζ_R θ_F]^T，航行器的当前位姿可以表示为p=[ξ ζ θ]^T，p_e=[ξ_e ζ_e θ_e]^T表示航行器的地形跟踪误差。

由图 1的几何关系可知，航行器的位姿误差在Serret-Frenet坐标系F下被描述为

${{p}_{e}}=R_{I}^{F}\left( {{\theta }_{F}} \right)\left( P-{{P}_{R}} \right)$

(3)

式中：R_I^F(θ_F)为固定坐标系I到Serret-Frenet坐标系F的旋转矩阵，具体表达式为

$ R_{I}^{F}\left( {{\theta }_{F}} \right)=\left[ \begin{align} & \cos {{\theta }_{F}}\text{ }-\sin {{\theta }_{F}}\text{ }0 \\ & \sin {{\theta }_{F}}\text{ }\cos {{\theta }_{F}}\text{ }0 \\ & \text{ }0\text{ }0\text{ }1 \\ \end{align} \right] $

坐标变换矩阵R_I^F(θ_F)隶属于三维的特殊正交群SO(3)，因而其微分为

$\dot{R}_{I}^{F}\left( {{\theta }_{F}} \right)=R_{I}^{F}\left( {{\theta }_{F}} \right)S\left( {{\theta }_{F}} \right){{\dot{\theta }}_{F}}={{\dot{\theta }}_{F}}S\left( {{\theta }_{F}} \right)R_{I}^{F}\left( {{\theta }_{F}} \right)$

(4)

由于欠驱动UUV在垂向上缺少直接推进输入，因此航行器的纵向速度u通常远远大于垂向速度w(u»w)。因而，航行器的垂直面运动学方程可以被简化为

$\left\{ \begin{align} & \dot{\xi }=u\cos \theta \\ & \dot{\zeta }=-u\sin \theta \\ & \dot{\theta }=q \\ \end{align} \right.$

(5)

根据攻角定义α=arctan(w/u)以及u»w可知，攻角α及其各阶导数均可以近似为零。因此，可以得到如下跟踪误差动力学方程：

$\left[ \begin{array}{l} {{\dot \xi }_e}\\ {{\dot \zeta }_e}\\ {{\dot \theta }_e} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} - \kappa \left( s \right)\dot s{\zeta _e} + u\cos {\theta _e} - \dot s\\ \kappa \left( s \right)\dot s{\zeta _e} + u\sin {\theta _e}\\ q - \kappa \left( s \right)\dot s \end{array} \right]$

(6)

式中：θ_e=θ-θ_F；κ(s)表示Serret-Frenet坐标系F原点处的曲率。因而，欠驱动UUV地形跟踪控制问题被转化为如何镇定跟踪误差p_e=[ξ_e ζ_e θ_e]^T。

2 UUV地形跟踪制导律设计

针对上一节中所给出的跟踪误差动力学方程，本节利用反步法设计地形跟踪制导律；用以在有限时间内将跟踪误差在运动学层面上得到镇定，亦即$\underset{t\to {{T}_{s}}}{\mathop{\lim }}\,{{E}_{t}}=\underset{t\to {{T}_{s}}}{\mathop{\lim }}\,{{\left[{{x}_{e}}\left( t \right){{z}_{e}}\left( t \right){{\theta }_{e}}\left( t \right) \right]}^{T}}={{\left[000 \right]}^{T}}$。

对于地形跟踪控制而言，其核心问题是如何驱动航行器跟踪上期望参考路径(由单波束测深仪测得海底数据拟合获得的)；也就是说，其核心问题是如何镇定位置误差ξ_e和ζ_e。为了实现上述控制目标，选取如下正定的二次型Lyapunov函数：

${{V}_{\text{pos}}}=\frac{1}{2}\xi _{e}^{2}+\frac{1}{2}\zeta _{e}^{2}$

(7)

对式(7)求导，并代入式(6)可以得到：

${{\dot{V}}_{\text{pos}}}={{\xi }_{e}}{{\dot{\xi }}_{e}}+{{\zeta }_{e}}{{\dot{\zeta }}_{e}}=u{{\xi }_{e}}\cos {{\theta }_{e}}-u{{\zeta }_{e}}\sin {{\theta }_{e}}-{{\xi }_{e}}\dot{s}$

(8)

考虑θ_e与$\dot{s}$作为跟踪误差ξ_e和ζ_e动力学方程的虚拟控制输入，它们的期望值分别选取如下形式：

$\left\{ \begin{align} & \theta _{e}^{d}=\arcsin \left( \frac{{{\lambda }_{1}}\operatorname{sign}\left( {{\zeta }_{e}} \right)}{\zeta _{e}^{2}+{{\varepsilon }^{2}}} \right) \\ & \dot{s}=u\cos {{\theta }_{e}}+{{\lambda }_{2}}\operatorname{sign}\left( {{\xi }_{e}} \right) \\ \end{align} \right.$

(9)

式中：λ₁和λ₂为待选的正定制导律增益；ε²为正定常数，且满足ε²≥λ₁sig^α₁(ζ_e)-ζ_e²。由虚拟控制量(9)的第二个式子可知，当航行器在参考目标点后面时(x_e < 0)，参考点将降低自身的运动速度甚至后退，以便航行器迎头赶上；反之，参考点则加速度，以便跟上航行器的运动速度。在制导律(9)作用下，可得

$\begin{align} & {{{\dot{V}}}_{pos}}=-{{\lambda }_{1}}u\frac{\left| {{\zeta }_{e}} \right|}{\zeta _{e}^{2}+{{\varepsilon }^{2}}}-{{\lambda }_{2}}\left| {{\zeta }_{e}} \right|\le \\ & -\min \left( \frac{{{\lambda }_{1}}u}{\zeta _{e}^{2}+{{\varepsilon }^{2}}},{{\lambda }_{2}} \right)\left( \left| {{\zeta }_{e}} \right|+\left| {{\xi }_{e}} \right| \right)\le \\ & -\sqrt{2}\min \left( \frac{{{\lambda }_{1}}u}{\zeta _{e}^{2}+{{\varepsilon }^{2}}},{{\lambda }_{2}} \right)V_{pos}^{\frac{1}{2}} \\ \end{align}$

(10)

在制导律式(9)中，参考点的速度$\dot{s}$可以视为参考点的运动学控制律；而式(9)中的纵倾角误差的期望值，所以实际纵倾角误差θ_e并不时刻等于θ_e^d，亦即θ_e≠θ_e^d。因而需要引入如下Lyapunov函数:

$\begin{align} & {{V}_{\text{kin}}}={{V}_{\text{pos}}}+\frac{1}{2}{{\left( {{\theta }_{e}}-\theta _{e}^{\text{d}} \right)}^{2}}= \\ & \frac{1}{2}\xi _{e}^{2}+\frac{1}{2}\xi _{e}^{2}+\frac{1}{2}{{\left( {{\theta }_{e}}-\theta _{e}^{\text{d}} \right)}^{2}} \\ \end{align}$

(11)

考虑式(8)，并对式(11)求导，可得

$\begin{align} & {{{\dot{V}}}_{\text{kin}}}={{\xi }_{e}}{{{\dot{\xi }}}_{e}}+{{\zeta }_{e}}{{{\dot{\zeta }}}_{e}}+\left( {{\theta }_{e}}-\theta _{e}^{\text{d}} \right)\left( {{{\dot{\theta }}}_{e}}-\dot{\theta }_{e}^{\text{d}} \right)=u{{\xi }_{e}}\cos {{\theta }_{e}}- \\ & u{{\xi }_{e}}\sin {{\theta }_{e}}-{{\xi }_{e}}\dot{s}+\left( {{\theta }_{e}}-\theta _{e}^{\text{d}} \right)\left( q-\kappa \left( s \right)\dot{s}-\dot{\theta }_{e}^{\text{d}} \right) \\ \end{align}$

(12)

结合式(10)可知，选取如下期望纵倾角速度：

${{q}_{d}}=\kappa \left( s \right)\dot{s}+\dot{\theta }_{e}^{\text{d}}-{{\lambda }_{3}}\text{sign}\left( {{\theta }_{e}}-\theta _{e}^{\text{d}} \right)$

(13)

式中：λ₃为待选定的正定制导律增益。在制导律(9)和(12)共同作用下，Lyapunov函数(11)的导数满足

$ \begin{align} & {{{\dot{V}}}_{\text{kin}}}\le -\min \left( \frac{{{\lambda }_{1}}u}{\zeta _{e}^{2}+{{\varepsilon }^{2}}},{{\lambda }_{2}},{{\lambda }_{3}} \right)\left( \left| {{\zeta }_{e}} \right|+\left| {{\xi }_{e}} \right|+{{\theta }_{e}}-\theta _{e}^{\text{d}} \right) \\ & \text{}-\sqrt{2}\min \left( \frac{{{\lambda }_{1}}u}{\zeta _{e}^{2}+{{\varepsilon }^{2}}},{{\lambda }_{2}},{{\lambda }_{3}} \right)V_{\text{kin}}^{\frac{\text{1}}{\text{2}}} \\ \end{align} $

3 UUV地形跟踪控制器设计

在第2节中，全局有限时间收敛的欠驱动UUV地形跟踪制导律已被成功建立起来。为了驱使UUV的纵向速度和纵倾角速度能够跟踪上第2节中给出的期望值，需要设计适当的动力学控制输入。为了实现上述控制目标，引入如下跟踪误差变量：

$\left[ \begin{array}{l} {u_e}\\ {q_e} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} u - {u_d}\\ q - {q_d} \end{array} \right]$

(14)

3.1 动力学控制器设计

为了镇定跟踪误差(14)，利用积分滑模控制方法(ISMC)设计动力学跟踪控制器。首先，引入如下一阶积分滑模面：

${{S}_{1}}={{u}_{e}}+{{\lambda }_{4}}\int_{0}^{t}{{{u}_{e}}\left( \tau \right)\text{d}\tau -{{u}_{e}}\left( 0 \right)}$

(15)

进而，实现纵向速度误差u_e的镇定。式中：λ₄>0。在不考虑航行器参数摄动的情况下，对式(15)求导，可以得到：

$ {{\dot{S}}_{1}}=-\frac{{{{\hat{m}}}_{22}}}{{{{\hat{m}}}_{11}}}wq-\frac{{{{\hat{X}}}_{u}}}{{{{\hat{m}}}_{11}}}u-\frac{{{{\hat{X}}}_{u\left| u \right|}}}{{{{\hat{m}}}_{11}}}u\left| u \right|+\frac{{{\tau }_{1}}}{{{{\hat{m}}}_{11}}}-{{\dot{u}}_{d}}+{{\lambda }_{4}}{{u}_{e}} $

式中：“^”表示欠驱动UUV水动力系数的标称值；航行器的水动力系数标称值可以通过实船试验法、自航船模实验法和约束船模实验法获得^[17]。令上式等于零，可以得到等效控制律τ_1eq：

${{\tau }_{\text{leq}}}={{\hat{m}}_{22}}wq+{{\hat{X}}_{u}}u+{{\hat{X}}_{u\left| u \right|}}u\left| u \right|+{{\hat{m}}_{11}}{{\dot{u}}_{d}}-{{\lambda }_{1}}{{\hat{m}}_{11}}{{u}_{e}}$

(16)

然而，等效控制律并不能保证在参数摄动以及外界扰动存在情况下的控制效果；所以必须引入辅助控制律即趋近律进行补偿，用以克服内外扰动对于航行器的运动效果的影响。纵向速度控制器的趋近律选择如下形式：

${\tau _{1r}} = - {K_1}{\mathop{\rm sgn}} \left( {{S_1}} \right)$

(17)

式中，K₁为趋近律的增益系数，其数值大小与航行器的水动力系数的摄动范围相关。令$\left| {{m}_{11}}-{{{\hat{m}}}_{11}} \right|\le {{\tilde{m}}_{11}}、\left| {{m}_{22}}-{{{\hat{m}}}_{22}} \right|\le {{\tilde{m}}_{22}}、\left| {{X}_{u}}-{{{\hat{X}}}_{u}} \right|\le {{X}_{u}}$和$\left| {{X}_{u|u}}-{{{\hat{X}}}_{u|u}} \right|\le {{\tilde{X}}_{u|u}}$，那么，趋近律的增益系数K₁为

$ \begin{align} & {{K}_{1}}={{{\tilde{m}}}_{22}}\left| wq \right|+{{X}_{u}}\left| u \right|+{{X}_{u\left| u \right|}}\left| {{u}^{2}} \right|+ \\ & {{{\tilde{m}}}_{11}}\left| {{{\dot{u}}}_{d}} \right|+{{\lambda }_{4}}{{{\hat{m}}}_{11}}\left| {{u}_{e}} \right|-{{\eta }_{1}} \\ \end{align} $

式中：η₁>0。由式(17)可知，航行器的纵向速度控制器为：

$\begin{array}{l} {\tau _1} = {\tau _{1eq}} + {\tau _{1r}} = {{\hat m}_{22}}wq + {{\hat X}_u}u + {{\hat X}_{u\left| u \right|}}u\left| u \right| + \\ {{\hat m}_{11}}{{\dot u}_{\rm{d}}} - {\lambda _4}{{\hat m}_{11}}{u_e} - {K_1}{\mathop{\rm sgn}} \left( {{S_1}} \right) \end{array}$

(18)

为了分析控制器(18)作用下纵向速度子系统的稳定性，选取Lyapunov函数：V_surge=m₁₁S₁²/2。对Lyapunov函数V_surge求导，可以得到：

$\begin{array}{l} {{\dot V}_{{\rm{surge}}}} = {S_1}\left( \begin{array}{l} \left( {{{\hat m}_{22}} - {m_{22}}} \right)wq + \left( {{{\hat X}_u} - {X_u}} \right)u + \\ \left( {{{\hat X}_{u\left| u \right|}} - {X_{u\left| u \right|}}} \right)u\left| u \right| + \left( {{m_{11}} - {{\hat m}_{11}}} \right){u_{\rm{d}}} + \\ {\lambda _4}\left( {{m_{11}} - {{\hat m}_{11}}} \right){u_e} - {K_1}{\mathop{\rm sgn}} \left( {{S_1}} \right) \end{array} \right)\\ \le - {\eta _1}\left| {{s_1}} \right| = - - {\eta _1}\sqrt {\frac{2}{{{m_{11}}}}} V_{{\rm{surge}}}^{\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}} \end{array}$

(19)

根据Lyapunov函数V_surge的定义可知，其是正定的且径向无界的。那么，根据文献[16]中的定理2.2可知，纵向速度误差u_e在有限时间T₁内全局镇定；并且，T₁满足：

$ {{T}_{1}}\le \frac{\sqrt{2{{m}_{11}}}}{{{\eta }_{1}}}V_{\text{surge}}^{\frac{\text{1}}{\text{2}}} $

类似于纵向速度误差u_e的镇定，接下来，将引入如下一阶积分滑模面：

${{S}_{2}}={{q}_{e}}+{{\lambda }_{5}}\int_{0}^{t}{{{q}_{e}}\left( \tau \right)\text{d}\tau }-{{q}_{e}}\left( 0 \right)$

(20)

式中：λ₅>0。在无参数摄动的情况下，S₂导数为

$ \begin{align} & {{{\dot{S}}}_{2}}=\frac{{{{\hat{m}}}_{22}}-{{{\hat{m}}}_{11}}}{{{{\hat{m}}}_{33}}}uw-\frac{{{{\hat{M}}}_{q}}}{{{{\hat{m}}}_{33}}}q-\frac{{{{\hat{M}}}_{q\left| q \right|}}}{{{{\hat{m}}}_{33}}}q\left| q \right|- \\ & \frac{{{z}_{G}}W-{{z}_{B}}B}{{{{\hat{m}}}_{33}}}\sin \theta +\frac{{{\tau }_{5}}}{{{{\hat{m}}}_{33}}}-{{{\dot{q}}}_{\text{d}}}+{{\lambda }_{5}}{{q}_{e}} \\ \end{align} $

令上式等于零，可以得到等效控制律τ_3eq：

$\begin{align} & {{\tau }_{3eq}}=\left( {{{\hat{m}}}_{11}}-{{{\hat{m}}}_{22}} \right)uw+{{{\hat{M}}}_{q}}q+{{{\hat{M}}}_{q\left| q \right|}}q\left| q \right|+ \\ & \left( {{z}_{G}}W-{{z}_{B}}B \right)\sin \theta +{{{\hat{m}}}_{33}}{{{\dot{q}}}_{d}}-{{\lambda }_{5}}{{{\hat{m}}}_{33}}{{q}_{e}} \\ \end{align}$

(21)

同理，构建如下趋近律

${\tau _{3r}} = - {K_2}{\mathop{\rm sgn}} \left( {{S_2}} \right)$

(22)

补偿内外扰动对于航行器的运动控制效果的影响。式中K₂为控制增益，其定义为：

$ \begin{array}{l} {K_2} = \left( {{{\tilde m}_{11}} + {{\tilde m}_{22}}} \right)\left| {uw} \right| + {{\tilde M}_q}\left| q \right| + {{\tilde M}_{q\left| q \right|}}\left| {{q^2}} \right| + \\ {{\tilde m}_{33}}\left| {{{\dot q}_d}} \right| + {\lambda _5}{{\tilde m}_{33}}\left| {{q_e}} \right| + {\eta _2} \end{array} $

式中η₂>0。进而，纵倾角速度控制器输入为

$\begin{array}{l} {\tau _3} = \left( {{{\hat m}_{11}} - {{\hat m}_{22}}} \right)uw + {{\hat M}_q}q + {{\hat M}_{q\left| q \right|}}q\left| q \right| + {{\hat m}_{33}}{{\dot q}_{\rm{d}}} + \\ \left( {{z_G}W - {z_B}B} \right)\sin \theta - {\lambda _5}{{\hat m}_{33}}{q_e} - {K_2}{\mathop{\rm sgn}} \left( {{S_2}} \right) \end{array}$

(23)

同理，可以选取Lyapunov函数V_pitch=m₃₃S₂²/2分析纵倾角速度子系统的稳定性。对上式Lyapunov函数求取关于时间的一阶导数：

$\begin{array}{l} {{\dot V}_{{\rm{pitch}}}} = {S_2}\left( \begin{array}{l} \left( {\left( {{{\hat m}_{11}} - {{\hat m}_{22}}} \right) - \left( {{m_{11}} - {m_{22}}} \right)} \right)uw + \\ \left( {{{\hat M}_q} - {M_q}} \right)q + \left( {{{\hat M}_{q\left| q \right|}} - {M_{q\left| q \right|}}} \right)q\left| q \right| + \\ \left( {{{\hat m}_{33}} - {m_{33}}} \right){{\dot q}_{\rm{d}}} + {\lambda _5}\left( {{m_{33}} - {{\hat m}_{33}}} \right){q_e} - \\ {K_2}{\mathop{\rm sgn}} \left( {{S_2}} \right) \end{array} \right)\\ \le {\rm{0}}{\eta _2}\sqrt {\frac{2}{{{m_{33}}}}} V_{{\rm{pitch}}}^{\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}} \end{array}$

(24)

根据Lyapunov函数V_pitch的定义可知，其是正定的且径向无界的。由文献[16]中的定理2.2可知，纵倾角速度误差q_e在有限时间T₂内全局镇定，并且T₂满足

$ {{T}_{2}}\le \frac{\sqrt{2{{m}_{33}}}}{{{\eta }_{2}}}V_{\text{pitch}}^{\frac{\text{1}}{\text{2}}} $

3.2 航行器运动控制系统稳定性分析

为了分析整个闭环系统的稳定性，选取如下正定Lyapunov函数：

${{V}_{\text{dyn}}}={{V}_{\operatorname{kin}}}+{{V}_{\text{surge}}}+{{V}_{\text{pitch}}}$

(25)

显见，上述定义的Lyapunov函数为径向无界的。对Lyapunov函数(25)求导，可以得到：

$ {{\dot{V}}_{dyn}}\le -\sqrt{2}\min \left( \frac{{{\lambda }_{1}}u}{\xi _{e}^{2}+{{\varepsilon }^{2}}},{{\lambda }_{2}},{{\lambda }_{3}},{{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}} \right)V_{\text{dyn}}^{\frac{\text{1}}{\text{2}}} $

根据文献[16]中的定理2.2可知，在地形跟踪控制器(18)和(23)作用下，跟踪误差ξ_e、ζ_e、θ_e、u_e和q_e能在有限时间内全局收敛到原点。

4 UUV地形跟踪仿真结果及分析

为了验证本文所提出的地形跟踪控制策略的有效性，基于欠驱动UUV运动模型建立航行器地形跟踪虚拟仿真平台。在下面的数值仿真中，分别加入±10%的参数摄动、3级海况下的海流干扰以及0.5 m/s恒定未知海流(对于控制器而言)。本文的数值仿真实验中，采用“直线+斜线+正弦曲线”作为仿真的期望路径，其具体表达式为

${x_R}\left( s \right) = \left\{ \begin{gathered} 2s,{\text{ }}0 \leqslant s{\text{ < }}100 \hfill \\ s + 100,{\text{ }}100 \leqslant s{\text{ < }}500 \hfill \\ 2s - 400,{\text{ }}500 \leqslant s{\text{ < }}600 \hfill \\ s + 200,{\text{ }}600 \leqslant s{\text{ < }}1600 \hfill \\ 2s - 1400,{\text{ }}1600 \leqslant s{\text{ < }}1700{\text{ }} \hfill \\ s + 3000,{\text{ }}1700 \leqslant s{\text{ < }}2000 \hfill \\ 2s - 1700,{\text{ }}2000 \leqslant s{\text{ < }}2200 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(26)

${z_R}\left( s \right) = \left\{ \begin{gathered} 0.6,{\text{ }}0 \leqslant s{\text{ < }}100 \hfill \\ 0.1s - 9.4,{\text{ }}100 \leqslant s{\text{ < }}500 \hfill \\ 40.6,{\text{ }}500 \leqslant s{\text{ < }}600 \hfill \\ 5\sin \left( {0.01\pi t} \right) + 40.6,{\text{ }}600 \leqslant s{\text{ < }}1600 \hfill \\ 40.6,{\text{ }}1600 \leqslant s{\text{ < }}1700{\text{ }} \hfill \\ - 0.1s + 210.6,{\text{ }}1700 \leqslant s{\text{ < }}2000 \hfill \\ 10.6,{\text{ }}2000 \leqslant s{\text{ < }}2200 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(27)

设航行器的初始纵倾角以及初始纵向速度均为零，即θ=0°和u=0 m/s。在本次仿真中，航行器的期望速度被设定为2 m/s，即u_d= 2 m/s。全局有限时间收敛的地形跟踪控制器的增益系数被分别设定为λ₁=0.3、λ₂=0.75、λ₃=20、λ₄=12、λ₅=708、η₁=0.4以及η₂=0.3。

数值仿真结果如图 2～6所示。图 2中点划线表示实际的海底地形，它是由多波束声呐测得数据拟合得到；点虚线代表参考路径，为一条距离海底恒定高度的曲线(通常，根据任务需求确定高度)。

由图 2可以看出，本文所提出的控制策略可以很好的实现地形跟踪控制任务。深度跟踪误差如图 3所示。由图 2、3可知，本文所提出的基于积分滑模的地形跟踪控制器可以有效地实现地形跟踪控制目标。图 4表示航行器的速度控制相应曲线，为更好的展现速度控制效果，本文仅给出前50 s的响应曲线。可以看到，基于积分滑模的速度控制器可以实现无超调的、快速的速度跟踪控制。在欠驱动UUV地形跟踪控制中，纵向控制力以及纵倾控制力矩响应曲线如图 5和图 6所示。

5 结论

针对欠驱动UUV轨迹跟踪控制问题，提出了一种基于 Lyapunov 直接法和 ISMC 的地形跟踪控制方法。经过稳定性分析以及数值仿真可知，该地形跟踪控制方法具有如下优点：

1) 任意地形跟踪误差可以在有限时间内被镇定到原点；

2) 该控制器对于参数摄动和 3 级以下的海浪扰动量具有强鲁棒性。

此外，由于采用局部 Serret-Frenet 坐标系建立地形跟踪误差方程，使得该地形跟踪控制器可以驱使航行器同时跟踪直线类型和曲线类型的路径。