0 引言

在城市交通中，很多证据表明货运与客运需求在时间上存在重叠。Vilain和Wolfrom^[1]在连接美国新泽西州及纽约市的主要路口观测到货运车辆与小客车早高峰出现时间高度重合，Kenmochi等^[2]所展示的数据也表明在日本东京都市圈范围内，货运车辆与客运车辆集中出现的时间和地点均非常接近。另外在意大利的许多城市，出于噪音及环境管理的考虑，货车仅被允许在客运高峰时段内通行^[3]。在北京的城市中心区，四环路内货运车次数占全市的75.29%，且集中在客运需求较大的白天时段^[4]。

目前针对拥堵状况随时间变化而变化，即动态拥堵的模型主要可分为2类。第1类是基于文献[5]建立的经典瓶颈模型，即恒定边际效用瓶颈模型。该模型考虑一个通勤用户驾车由家中前往工作地上班，两地之间由一条存在拥堵的瓶颈路段连接。他的出行时间成本根据他希望的到达时间(Preferred Arrival Time，下称PAT)分为3部分，即在出行途中的单位成本α，过早到达在目的地的单位时间成本β，以及当晚于PAT到达付出延误成本，其单位时间成本为γ，因此该模型也常常被称为α-β-γ模型。用户根据拥堵状况选择最佳的出发时间以最小化出行成本。由于这一模型简单有效，大量研究对其进行了拓展，讨论了上述单位时间成本以及PAT具有异质性的情形^[6-10]。

第2类则源于文献[11]，即基于时变边际效用的瓶颈模型。与经典瓶颈模型不同，基于时变边际效用的瓶颈模型将用户的出行成本定义为因出行而损失的时间效用。例如，上述通勤用户一方面会选择不过早出发而损失在家的休息时间，另一方面他还会选择不过晚到达目的地以免耽误工作。也就是说，用户在某地花费单位时间所获得的效用随时间的推移发生着变化，同时，这样的变化影响着用户对出发时间的选择。在对花费在两地时间进行取舍之后，用户会选择最佳的出发时间以最大化他在两地获得的时间效用，即最小的出行成本。Tseng和Verhoef^[12]，Hjorth等^[14]根据实际调查数据对客运用户的效用函数进行了推定，结果表明随时间变化的边际效用函数比参数为常数的α-β-γ模型能够更准确地描述用户的偏好。因此，文献[15-16]对基于时变边际效用的模型进行了更加精细的定义，并分别将旅行时间的不确定性以及旅行距离的异质性引入了这一模型。文献[17]更进一步地将工作地点所聚集的用户的数量设定为内生变量，探讨了用户的出发时间选择机制。

然而货运用户为降低单位运输成本，通常会在每次运输时装载多个收件人的货物，这一现象与小汽车通勤用户有着显著的区别。因此，在文献[18]中轻型货运车辆的单车时间价值要比同时间段的小汽车通勤用户高出一倍。而既有的时变边际效用瓶颈模型又没有对边际时间效用的异质性进行讨论，难以描述这一现象对拥挤特性造成的影响。

另一方面，由于货运用户每次配送的多个收件人通常位于一个较小的区域内，而由于市中心道路有限的通行能力以及收件人的偏好，收件人不会选择在同一时间收货。因此，货运用户在到达目的地后，生产效率会随着单位时间内收货人数量的增加而提高。这一现象与通勤用户生产率随工作相关者的数量增加而提高的机制^[19]相同，而上述基于恒定边际效用的瓶颈模型无法适用于此场景。

针对上述两方面问题，本研究将边际时间效用上的异质性引入了Vickrey提出的瓶颈模型^[11]，并将货运和客运用户的时间选择偏好用具有异质性的、随时间变化的边际效用函数进行描述。而且将边际时间效用的异质性设定为连续分布，而非有限个用户组，可适用于一般化的用户异质性状况。因此本模型在客货混合条件下对拥挤收费政策的福利效应的评价更为准确。这一讨论框架源自Fosgerau和Palma^[16]的研究。而本研究与Fosgerau和Palma^[16]的不同之处主要在于以下两方面：首先，模型考虑了用户边际时间效用具有异质性，而不是距离的异质性。其次，对效用函数进行了参数化的表示，可以方便地描述客运和货运用户的边际效用增长率。

1 模型描述

考虑N个用户经由唯一的一条运输通道由郊区前往市中心，用户包含通勤目的小型客车和进行终端配送的小型货车(下称通勤用户和货运用户)。通勤用户单独驾驶小客车出行由家中前往工作地，没有乘客同行。货运用户装载了多件包裹由配送站点前往收件人所在地，并需要配送给多个收件人。为了考察不同用户类型而不是旅行距离对拥堵形态的影响，假设全部用户距离目的地的距离相同。记用户出发时间为d，到达目的地时刻为t。在到达共同的目的地之前，全部用户首先以自由流速度行驶固定的时间T。道路在市中心存在瓶颈，瓶颈的通行能力为每分钟φ辆。所有用户在通过瓶颈时遵循“先入先出”(first-in-first-out, FIFO)原则。在无排队时，通过瓶颈路段所花费时间为0，即t=d+T，且用户在通过瓶颈后即到达目的地。同时，用户在工作地工作的过程中无需花费额外时间，即通勤用户的工作相关人以及货运用户的收件人分别集中在一个很小的区域内。

在出发地和目的地，通勤和货运用户通过花费在该地与其他相关人或事物互动上的时间来获取效用, 其单位时间所获取的效用称为时间的边际效用(Marginal Utility of Time，下称MUT), 两类用户在出发地和目的地获得的效用仅来源于花费在该地的时间。文献[14]通过实证数据发现用户在出发地的MUT随时间变化的趋势并不明显，因此在后续讨论中假设用户的异质性仅来源于用户在目的地的MUT。为便于讨论，设用户在出发地和到达地的MUT为线性函数，斜率为分别为β₁和γ₁，0时刻时用户在两地的MUT分别为β₀和γ₀，且MUT函数具有如下性质。

假设1用户在出发地的MUT满足h(d)=β₀+β₁d>0, 且β₁ < 0, 在目的地的MUT满足w(t)=γ₀+γ₁t>0, 且γ₁>0, 同时β₀-γ₀≥0。

假设1的意义在于保证两类用户在出发地的MUT均随时间递减，而在到达地的MUT均随时间递增，且在出发前，用户在出发地的边际效用更高。由于用户必须要完成出行，因此这一假设与客观实际相符。否则，用户无需完成出行即可获得更多效用。

在一个固定的时间范围D之内，用户获得的效用为u(d, t)。根据假设1，以及文献[11, 16]的形式，u可表示为:

(1)

这里T₁, T₂∈D分别为用户在出发前和到达后的某一固定时刻。因此，单个用户获得的效用u(d, t)在D上有严格的凹性。设MUT在目的地的增长率γ₁是一个连续分布，其密度函数为f(γ₁)，累计分布函数为F(γ₁)，定义域均为Γ=[γ_L, γ_H]。方便起见，下文称在目的地的MUT增长率水平为γ₁的用户为用户γ₁。图 1直观地展示了在无排队的情况下用户会根据其MUT选择出发时刻以获得最大效用。其中的阴影面积为用户γ_H所获得的效用。可以看到，当用户最大化其获得的效用时，出发时刻与到达时刻的MUT一定相等。当旅行时间T不变时，在目的地MUT增长率γ₁较低的用户γ_L在时刻d′出发，在时刻t′到达。

在无排队情况下，某用户到达瓶颈路段的时刻为a，用户取得的效用为u(a-T, a)，这里a不仅是他到达瓶颈的时刻，也是到达目的地的时刻。为了最大化效用，用户所选择的最优到达时间a_*(γ₁)应为最优化问题max_au(a-T, a)的解。

由于u(d, t)在D上为严格的凹函数，因此最优到达时间a_*(γ₁)一定存在且唯一。最优化问题max_au(a-T, a)的一阶条件为：

(2)

将一阶条件对γ₁求导，得到

(3)

因此，根据假设1，a′_*(γ₁) < 0一定成立。这说明在没有拥堵的情况下，用户的到达时间会根据其在目的地的MUT增长率进行排序，即MUT增长率较高的用户会选择更早到达。这一结论与图 1的直观结果一致。而Vilain和Wolfrom^[1]的实际调查数据也印证了这一结论：当旅行距离接近时，由郊区前往市区的货运高峰出现的时间大约比通勤高峰出现的时间早一小时左右。

2 无收费用户均衡

当每分钟到达瓶颈路段的用户数量ρ(a)大于到达该路段通行能力φ时，车辆出现排队现象，排队原则遵循绝大部分瓶颈模型文献所使用的点排队原则，即忽略车辆队列的物理后果。当ρ(a)≤φ时，用户通过瓶颈所需时间为0。设a₀和a₁分别为队列中第一个和最后一个用户加入队列的时刻，则瓶颈入口处的累积到达量，在时刻a到达入口的用户全程所消耗旅行时间为a₀+-(a-T)。

由于可能存在不同γ₁水平的用户分布较为分散，密度较低的部分用户无需排队的现象，为便于讨论下面给出用户密度的假设条件。

假设2用户密度f(γ₁)满足，即当某用户在其最优到达时刻a_*到达时，γ₁低于该用户的全部用户均晚于最优到达时刻到达。

当假设2成立时，队列的开始时间a₀一定早于用户γ_H的最优到达时刻，结束时间a₁一定晚于用户γ_L的最优到达时刻，即a₀≤a_*(γ_H)，且a₁≥a_*(γ_L)。

下面的命题给出了密度为f(γ₁)累积分布为F(γ₁)的N个用户在均衡状态下到达时间及相应的用户效用的解析形式，以说明在无收费用户均衡状态下的拥挤特性。

命题1用户均衡状态存在且唯一。用户在该状态下到达平静路段的时间随γ₁降低而延迟，且用户γ₁到达瓶颈路段的时刻a(γ₁)的导数满足以下性质：

(4)

用户γ₁在均衡状态下所获得的效用为：

证明：当队列持续存在时，根据Fosgerau和Palma^[16]文献中给出的定理3以及引理1和2，易于得到以下3点结论：(1) 假设2成立时，a(γ_L)-a(γ_H)的值可以分别大于和小于N/φ。(2)严格大于0。(3) 当a₁-a₀=N/φ成立时，没有用户选择在时段[a₀, a₁]之外到达瓶颈路段。因此均衡状态一定存在且唯一。下面给出a′(γ₁)解析形式的推导过程。

由于在[a₀, a₁]期间始终有队列存在，对于某MUT增长率为γ₁的用户，其得到的效用可表示为：

(5)

那么单用户最大化其个人效用的一阶条件为：

(6)

二阶条件为：

(7)

用户到达瓶颈路段的时刻a(γ₁)为此最优化问题的解时，将用户可以得到的效用u对γ₁求导得到：

(8)

由于u(d, t)为严格的凹函数，那么式(8) 的取值将取决于R(a)，且取值范围为由负到正。为检验a′(γ₁)的性质, 将一阶条件式(6) 对γ₁求导，得到：

(9)

由于u″(a) < 0，ρ(a)>0，所以式(9) 中的a′(γ₁) < 0。另外，由于a(γ₁)的反函数为γ₁(a)，且a(γ₁(a))=a。由于a′(γ₁) < 0，可以得到γ₁′(a)=1/a′(γ₁) < 0。因此有R(a)=N-F(γ₁)。将R(a)对a求导可得：

(10)

将式(10) 代入式(6)，得到：

(11)

命题得证。

命题1证实了在均衡状态下，到达瓶颈路段的时刻a是用户在目的地的MUT增长率γ₁的函数。a的导数严格为负，说明γ₁较大的用户会选择较早到达。根据瓶颈路段的“先入先出”原则，用户在到达目的地的顺序仍然按照γ₁排序。这与无排队条件下的到达顺序相同。

根据到达顺序，第一位到达瓶颈路段的用户到达时间a(γ_H)=a₀，其目的地MUT的增长率为N个用户中最高的γ_H。随后，MUT增长率为γ₁的用户排在N-F(γ₁)名用户之后，于时刻到达。最后，MUT增长率最低的用户在a₁=a₀+N/φ时刻到达。

3 社会最优定价

设瓶颈路段的收费费率为τ个效用单位，且不以任何形式返还给用户。此时单个用户在这段时间内的总效用为u(d, t)-τ。假设需求固定，即总用户数N不随拥挤程度改变，因此可以将全体用户的总效用定义为社会福利。在本节中，首先给出社会最优收费τ(a)，随后对社会最优收费对不同MUT增长率用户的福利效应进行讨论。

命题2社会最优收费存在。社会最优状态下首位用户在a_τ0时刻到达，a_τ0为如下等式的解：

(12)

社会最优收费将排队现象完全消除，其费率满足：

(13)

且τ(a_τ0)=τ(a_τ1)，其中τ(a_τ0)=0可确定最优收费费率之一。在社会最优状态下，用户到达瓶颈路段即到达目的地，到达顺序与无收费用户均衡状态相同，到达时刻为。

证明：在最优收费的状态下，用户个人效用最大化问题为max_au(a-T, a)-τ，此问题的最优解a_τ满足其一阶条件：

(14)

及二阶条件：

(15)

将式(14) 对γ₁求导，得到：

(16)

根据式(15) 以及假设1，可知式(16) 中的a′_τ < 0，用户到达瓶颈的顺序没有改变，a_τ(γ₁)=。因此实现社会最优的收费τ(a)满足：

(17)

使得：

(18)

下面确认a_τ0一定唯一存在且τ(a_τ0)=τ(a_τ1)。首先将社会最优状态下各用户的平均效用对a₀求导得到：

(19)

继续求导得到二阶导数为：

(20)

根据假设1，因此一定存在γ₁使得。同时β₁ < 0 < γ₁，使得。所以当Eu取得最大值时，a₀的值唯一存在，即为a_τ0。此时，可以将写成如下形式：

(21)

将式(14) 代入式(21)，即得到

另外根据Fosgerau和Palma^[16]的引理1，可以排除用户在选择[a_τ0, a_τ1]以外的时刻到达的可能性。至此，命题得证。

在忽略需求弹性的条件下，社会最优收费应有无穷多种，满足式(12) 即可，而τ(a_τ0)=0可以确定其中的一种。在社会最优的条件下，用户到达目的地的顺序与无收费用户均衡态下相同，到达时间的解析形式也与均衡状态下相同。

值得注意的是，当货运用户在目的地单位时间的配送量更高时，他们在社会最优条件下所需支付的通行费也越高。由于货运用户使用每次运输总费用对收件人数量的导数来计算边际成本，也就是说，通常的区域性拥挤收费只能计入固定成本，无法通过运价来促使收件人选择非高峰时段收货^[20]。而拥挤收费在基于边际时间效用的最优收费设定下进入了货运用户的边际成本，一直阻碍货运用户接受拥挤收费的重要原因得以消除。那么客运与货运用户在同等接受程度的条件下，谁会受益于拥挤收费，谁会受损，便是非常值得探讨的问题。下面的命题回答了这个问题，并探讨了与无收费均衡状态相比，最优收费状态下高峰出现的时段是否会出现变化。

命题3根据命题2的结论，考虑一种社会最优收费，满足τ(a_τ0)=τ(a_τ1)=0。在社会最优条件下，高峰时段用户到达瓶颈路段的时刻与无收费用户最优状态下相同，即a_τ(γ₁)=a(γ₁)。当社会最优收费不以任何形式返还给用户时，与用户均衡状态相比，该收费不会改变任何用户的间接效用。

证明：在均衡状态及社会最优状态下单用户的效用差为：

(22)

将式(22) 对γ₁求导，并由均衡状态以及社会最优状态下的一阶条件式(6) 和式(14)，得到：

(23)

假设a_τ0 < a₀，那么的符号随γ₁的升高由正变负。因此曲线与一定有交点。由于两条曲线对γ₁的导数相同，因此a_τ0=a₀，与假设条件矛盾。类似的矛盾在假设a_τ0>a₀时同样存在，因此a_τ0=a₀一定成立。命题得证。

在用户均衡状态下，γ₁最高的用户为了躲避排队，首先到达，而γ₁最低的用户最后到达。当队列被消除时，提前到达的用户本可以推迟到达时间以获得更高效用，但社会最优收费不仅消除了队列，也要求用户付出与其得到的时间效用收益相等的货币费用。这解释了在社会最优收费状态下，用户到达时段并没有移动的原因。因此，全体用户的间接效用在无返还制度时，不发生任何改变。

4 数值算例

本节通过数值算例对上文的结论进行展示。在满足假设1和假设2的条件下，模型的各主要参数设定为：β₀=γ₀=15.0效用单位/h，β₁=-1.0效用单位/h²，γ₁的密度服从定义在[1.0, 2.0]及2.0, 3.0上的两个B分布，如图 2所示。其中β₀=γ₀的设定，不失一般性，且不影响对算例结果性质的讨论。用户数N=1 000 veh，瓶颈路段通行能力φ=1 200 veh/h，各用户到达瓶颈路段前的自由流行驶时间T=10 min。

由于命题2给出了a′(γ₁)的解析形式，只需通过数值计算a′(γ₁)的积分，并搜索满足a₁-a₀=N/φ的a₀即可求得a(γ₁)。而在社会最优收费条件下，可通过计算平均效用的最大值，即式(21) 求得a_τ0。数值计算的结果如图 3所示。点实线为无拥堵情况下用户个人的最优到达时间a_*(γ₁)，此时用户只需花费自由流时间T即可到达目的地。可以看到，个人最优到达时间按照γ₁降序排列。由于在算例中设定β₀与γ₀相等，所以此时，其中γ₁最高的用户的个人最优到达时刻a_*(γ_H)=0.25。

如图 3中的粗实线所示，在无收费用户均衡状态下，γ₁最高的用户选择的到达时刻a₀早于他的个人最优到达时刻a_*(γ_H)，该用户在到达瓶颈后无需排队，立刻到达目的地，在队列末尾，γ₁最低的用户选择的到达时刻a₁>a_*(γ_L)，该用户同样无需花费排队时间。图 3中间的细实线为用户在均衡状态下到达瓶颈路段的时刻，而下方的点线为用户的出发时刻。由于全部用户在到达前花费的时间相同，因此出发时刻函数的导数与到达瓶颈时刻的导数相同，即γ₁较小的用户较晚出发。

这里需要注意的是，γ₁的密度函数为拥有2个单独峰值的形态，而均衡状态下的队列仍是单峰形态。这说明只要每个γ₁所对应的用户量相对于瓶颈通行能力足够大，那么无论γ₁的分布是单峰还是多峰，瓶颈路段的队列均为单峰。

下面观察社会最优状态下的结果。图 3最上方的虚线为社会最优状态下用户到达目的地的时刻。由于到达目的地的时间的解析形式与用户均衡状态下完全相同，而且同时首位用户到达的时刻a_τ0相比均衡状态下没有移动，因此这条虚线与均衡状态下到达目的地时刻的实线完全重合，没有任何用户改变其最终的到达时刻。

不同γ₁水平的用户所取得的效用如图 4所示。其中下方的粗实线表示无收费用户均衡状态下单用户获得的效用，此时用户只获取时间效用且没有货币费用支出，因此该效用即等于用户的间接效用。社会最优状态下的时间效用由上方的点线表示，而下方与无收费均衡下效用重合的虚线则为社会最优状态下的间接效用。社会最优状态下间接效用与时间效用的差值即为社会最优状态的拥挤收费费率。正如命题3所表明的，当拥挤收费不以任何形式返还给用户时，由于消除排队提升的时间效用被拥挤收费抵消，因此任何用户的间接效用都没有变化。如果将收费均等地返还给各个用户，那么每个用户都能获得相同的效用提升，实现帕累托改进。

还应注意到，在用户均衡以及社会最优状态下，用户实现的间接效用都随γ₁的上升单调下降，也就是说在目的地的生产效率更高用户由于支出了较高的时间或货币成本，而没有能够取得更高的效用。因此如果将拥挤收费以某种形式更多地返还给生产效率较高的用户，将促使用户提高生产效率。

5 结论

本研究针对货用户在目的地的生产效率普遍高于客运用户这一特性，讨论了客货混合条件下的动态拥堵问题，并分析了此条件下社会最优定价的福利效应，得到了以下结论：

(1) 在无收费均衡状态下，客货混合用户的拥挤特性为：货运用户会比客运用户更早到达目的地。这一顺序在社会最优收费下保持不变。

(2) 社会最优收费费率由用户在出发地和目的地的边际时间效用决定。货运用户应支付的社会最优收费高于客运用户，该最优收费可完全消除排队。

(3) 当最优收费的收入不返还给用户时，不会使任何用户受益或受损。如果将最优收费以均等的方式返还给每个用户，那么无需复杂的返还方式设计，即可使每个用户都会受益。

(4) 基于时变边际效用的社会最优收费，可以进入货运用户的边际成本，提高货运用户对拥挤收费政策的接受程度。

(5) 如果将收费收入更多地返还给生产效率较高的用户，则会促使用户提高生产效率。