0 引言

在过去的几十年中，玻璃纤维增强复合材料(GFRP)型材已经广泛地应用于桥梁工程、各类民用建筑、海洋工程、地下工程等土木工程领域，具有良好的发展前景。与传统的建筑材料相比，GFRP具有较高的强度-重量比(强重比)，自重轻，耐腐蚀，而且可制作为任意截面尺寸的结构构件，更易于安装^[1]。

但是，GFRP型材也具有一些缺点，阻碍了其在土木工程领域的广泛应用，例如在结构设计中由于弹性模量和剪切模量较低，控制设计的往往是GFRP型材的失稳和变形，没有充分发挥其强度高的特点，而且GFRP型材的破坏形式为脆性破坏，并且针对这些问题还未有具体的设计规范^[2-3]。

针对以上问题，一些学者提出将GFRP型材和传统的混凝土材料结合起来，制作成GFRP-混凝土组合结构^[4-6]。该组合结构一般具有以下优点：增加了截面的抗弯刚度，可以有效地降低结构的变形；增加了整体结构的承载力，防止了GFRP型材压曲现象的发生；与全GFRP结构相比，采用GFRP-混凝土组合结构后可以提高结构的刚度和阻尼。

目前在桥梁工程方面，国外已有学者对Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁^[4]、双Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁^[7]、波形钢腹板组合箱梁^[8-10]及箱型GFRP-混凝土组合梁^[11-13]进行了研究。研究内容主要是针对其静力学方面，采用的方法多为有限元数值模拟与模型试验^[10-15]。

在结构设计中，桥梁的动力性能与静力性能同等重要。在桥梁动力性能中，最重要的桥梁本身的特性就是自振频率和振型，这些参数的确定是验证复杂结构及非传统材料结构设计模型正确与否的关键，尤其是自振频率的大小还反映了结构的尺寸、类型、建筑材料等动力特性内容。

因此，针对双Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁，推导了中性轴、抗弯刚度、剪切刚度、质量惯性矩、扭转刚度和翘曲刚度截面特性的等效计算公式^[16-18]，并运用等效计算公式计算了1座模型试验梁的截面特性值，并与CUFSM软件的计算值进行对比，两者吻合良好，验证了等效计算公式的正确性；推导了双Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁的扭转振动频率计算公式和按照Euler梁理论及Timoshenko梁理论计算的弯曲振动频率计算公式，并运用所得的频率公式计算了1座模型试验梁的弯曲振动频率和扭转振动频率，与ANSYS三维有限元值及模型动力特性实测值进行对比分析，结果表明按照Timoshenko梁理论计算的双Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁高阶弯曲振动频率要比Euler梁理论的计算值精确，而所得的扭转振动频率计算公式和ANSYS三维有限元方法均可正确计算双Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁的扭转振动频率，所得结论可为GFRP-混凝土组合梁的设计应用提供参考。

1 双Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁分析 1.1 双Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁动力分析的基本假定

双Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁的横截面示意图如图 1所示，图中b_c为混凝土顶板全宽，h_c为混凝土顶板厚度。b_p，h_p，t_w与t_f分别为Ⅰ型GFRP梁的翼板宽度、截面高度，腹板厚度和翼板厚度。Ⅰ型GFRP梁与混凝土顶板之间采用环氧树脂胶和不锈钢螺栓连接。环氧树脂胶层(adhesive)的厚度为h_a，由于其厚度较薄，故未在图 1中标注，其宽度与Ⅰ型GFRP梁宽度相同。

在分析双Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁动力特性时，以下的基本假定成立：

(1) GFRP-混凝土组合梁变形前垂直于梁中心线的平剖面，变形后仍然为平面，服从刚性横截面假定；

(2) 不考虑混凝土板的有效分布宽度；

(3) 混凝土顶板和Ⅰ型GFRP梁间无纵向滑移；

(4) 混凝土顶板和Ⅰ型GFRP梁竖向粘结密实，无间隙。

1.2 双Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁截面特性计算公式

为了确定双Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁的截面特性，首先需要知道其中性轴的位置。由于GFRP-混凝土组合梁的截面由多种不同材料组成，可利用组合材料轴向刚度等效的方法求解其中性轴NA的位置，计算公式如式(1) 所示。

(1)

式中，E_c混凝土的弹性模量；E_a，E_gwl与E_gfl分别为环氧树脂胶层、GFRP腹板和翼板的纵向弹性模量；A_c，A_a，A_w与A_f分别为混凝土顶板、环氧树脂胶层、GFRP梁腹板和翼板的横截面面积；z_c，z_a，z_w与z_f分别为混凝土顶板，环氧树脂胶层，GFRP梁腹板和翼板的形心至混凝土顶板顶面的距离。

在求得双Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁中性轴的位置后，便可利用平行移轴公式求得其抗弯刚度，注意到双Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁是由不同的材料构成，需按照各种材料的弹性模量和惯性矩计算其等效抗弯刚度EI，计算公式如式(2) 所示：

(2)

式中，I_c，I_a，I_w与I_f分别为混凝土顶板、环氧树脂胶层、GFRP腹板和翼板对自身截面的抗弯惯性矩。

同理可得双Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁的等效质量惯性矩ρI_p、等效扭转刚度GI_t和等效翘曲刚度EI_w，分别见式(3)~式(5) 所示。

(3)

式中，ρ_c，ρ_a，ρ_gw与ρ_gf分别为混凝土顶板、环氧树脂胶层、GFRP腹板和翼板的质量密度；I_cp，I_ap，I_wp与I_fp分别为混凝土顶板、环氧树脂胶层、GFRP梁腹板和翼板对中性轴的极惯性矩。

(4)

式中，G_c，G_a，G_gw与G_gf分别为混凝土顶板、环氧树脂胶层、GFRP腹板和翼板的剪切模量；I_ct，I_at，I_wt与I_ft分别为混凝土顶板、环氧树脂胶层、GFRP梁腹板和翼板的截面扭转常数。

(5)

式中，I_cw，I_aw，I_ww与I_fw分别为混凝土顶板、环氧树脂胶层、GFRP梁腹板和翼板的截面翘曲扭转常数。

由于双Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁的腹板承受全部剪力^[5]，因此其等效剪切刚度k′GA的计算见式(6) 所示：

(6)

式中，k′为截面有效剪切系数；A为组合梁的截面面积，这里k′A=A_w。

2 双Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁自振频率计算 2.1 基于Euler梁理论的组合梁弯曲自由振动

等截面简支梁，其上质量分布集度设为，在动荷载p(x, t)作用下的位移为z(x, t)。建立动平衡方程时，需要考虑其上惯性力的作用，惯性力的大小为。承受动力荷载的简支梁如图 2所示。

根据达朗贝尔原理^[11]建立其动力平衡方程：

(7)

(8)

式(7) 中略去高阶微量可得：

(9)

将式(9) 代入(8) 式，整理可得：

(10)

由初等梁理论可得弯矩的表达式：

(11)

将式(11) 代入式(10)，化简可得：

(12)

若梁发生弯曲自由振动，则式(12) 变为：

(13)

式(13) 为四阶线性偏微分方程，可采用分离变量法求解，设z(x,t)=X(x)T(t),将其代入式(13),可得:

(14)

将式(14) 分离变量后可得：

(15)

式(15) 的左边只随t变化，而其右边只随x而变，显然，只有在左右两边都等于同一常数时，它们才有恒等的关系，现以ω²来表示这个常数值，于是有：

(16)

(17)

由式(16) 可知：

(18)

则：

(19)

式中，aX(x)为振幅曲线；ω梁的自振频率。

令则式(17) 可写为：

(20)

则上述方程的一般解可表示为：

(21)

对于简支梁而言，其边界条件为：

代入式(19)，可得方程：

(22)

若方程有非零解，则：

(23)

由此可得：，再由可得：

(24)

2.2 基于Timoshenko梁理论的组合梁弯曲自由振动

在Timoshenko梁理论中，若梁发生弯曲自由振动，其横截面上不仅将沿z向做平移而且也将发生转动，其转角为θ，转角会产生角加速度，该角加速度将产生对中性轴的惯性力矩(简称旋转惯量)，同时还有梁横截面上剪切应力引起的剪切变形γ_s。组合梁剪切变形及微元体如图 3所示。

梁竖向位移的一阶导数可表示为：

(25)

根据初等梁理论可得：

(26)

(27)

如图 3所示隔离体，根据达朗贝尔原理建立其动力平衡方程：

(28)

(29)

将式(26), (27) 代入式(28)，并忽略高阶微量可得：

(30)

将式(27) 代入式(29) 可得：

(31)

结合式(30), (31) 消去θ即可得考虑旋转惯量和剪切变形的等截面组合梁的自由振动方程：

(32)

引入符号r²=I/A，将前述满足简支梁边界的特解z(x, t)=aX(x)sin(ωt+b)，代入式(32) 可得频率方程：

(33)

2.3 组合梁的扭转振动

由文献[12]可知组合梁的扭转振动方程如式(34) 所示。

(34)

式中，T为扭矩；为截面的扭转角。

化简式(34) 可得：

(35)

由于组合梁受到支座的约束，当其受到约束扭转时，总扭矩T是自由扭转扭矩M_t和约束扭转扭矩M_ω的代数和^[13]，其可表示为：

(36)

设扭转振动曲线为为：

(37)

式中为组合梁扭转振动的振型函数。

将式(36), (37) 代入式(35) 可得：

(38)

满足振型函数的解可表达为式(39)：

(39)

简支梁的边界条件为：

(40)

满足振型边界条件的一个特解为：

(41)

将式(41) 代入式(38)，可得组合梁扭转振动的自振频率：

(42)

3 算例

双Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁选自文献[7]，其横截面尺寸如图 4所示。该组合梁为简支梁，顶板宽为2.0 m，梁全长为6.0 m，计算跨径为5.5 m，立面图如图 5所示。主梁和次梁均采用Ⅰ型GFRP型材(200 mm×100 mm×10 mm)，顶板的材料采用钢纤维增强自密实混凝土，厚度为40 mm。顶板和主梁之间采用2 mm厚的环氧树脂胶和不锈钢螺栓连接。

GFRP的材料属性如表 1所列，E_l为其纵向弹性模量；E_t为其横向弹性模量；G_l为平面内的剪切模量。

顶板材料采用钢纤维增强自密实混凝土，弹性模量E_c为36.97 GPa，泊松比为0.33，质量密度ρ_c为24.0 kN/m³。环氧树脂胶的弹性模量E_a为8.8 GPa，质量密度ρ_c为24.0 kN/m³。

采用等效公式计算了双Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁的截面特性，计算结果如表 2所列。将CUFSM软件计算的截面特性和采用等效公式计算所得结果进行对比分析，发现二者计算结果吻合良好，误差较小，验证了等效公式的正确性。

在实验室采用激振法测得了GFRP-混凝土组合梁的自振频率和振型，详如表 3所示。

4 有限元模型的建立

采用ANSYS12.0软件建立了双Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁的有限元模型。混凝土顶板，Ⅰ型GFRP梁，2 mm厚的环氧树脂胶层及外包混凝土均采用SOLID45实体单元模拟。不同材料之间的连接方式为共节点，材料属性均按实际的材料属性模拟。边界条件为一端固定铰支座，另一端活动铰支座。建立好的有限元模型如图 6所示。采用有限元模型分析了双Ⅰ型GFRP-混凝土模型梁的动力特性，自振频率计算结果详如表 3所示，前四阶振型如图 7所示。

5 计算结果对比分析

采用双Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁的扭转振动频率公式和按照Euler梁理论及Timoshenko梁理论计算的弯曲振动频率计算公式计算了模型梁的自振频率，并与有限元计算值和试验实测值进行对比分析，如表 3所列。

由表 3可知，双Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁采用Euler梁理论计算的高阶弯曲自由振动频率与实测值有较大偏差(二阶弯曲振动偏差为12.98%)；采用Timoshenko梁理论计算的弯曲自由振动频率与实测值及有限元值吻合良好。扭转频率计算公式所得扭转频率值与实测值吻合良好。有限元计算所得的一阶扭转频率值较实测值偏大，但总体吻合良好，可能是由于有限元模拟的主次梁连接方式和实际连接方式有差别，引起有限元模型的扭转刚度较实际的扭转刚度偏高，因为有限元模型中Ⅰ型GFRP主梁与次梁的横向连接方式为共节点，而制作试验梁时两者的横向连接方式为螺栓连接。

6 结论

通过对一简支双Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁进行动力特性分析与试验研究，可得出如下结论：

(1) 针对双Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁，推导了中性轴、抗弯刚度、剪切刚度、质量惯性矩、扭转刚度和翘曲刚度截面特性的等效计算公式，并运用等效计算公式计算了1座模型试验梁的截面特性值，并与CUFSM软件的计算值进行对比，两者吻合良好，验证了等效计算公式的正确性。

(2) 采用Euler梁理论计算的双Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁高阶弯曲自由振动频率与实测值有较大偏差，而采用Timoshenko梁理论计算的双Ⅰ型GFRP-混凝土组合梁弯曲自由振动频率则与实测值及有限元值吻合良好。扭转频率计算公式所得扭转频率值与实测值吻合良好。

(3) 采用有限元计算的振型与实测值吻合良好，计算的自振频率除第一阶扭转振动频率与实测值有一定偏差外，其余各阶均吻合良好。