0 引言

桥梁结构的模态参数^[1]主要用于桥梁结构损伤识别^[2]及使用性能评估，在桥梁健康监测系统中具有十分重要的意义。目前较为常用的模态参数识别算法^[3]是随机子空间算法识别(SSI)算法^[4]，主要包括协方差驱动的随机子空间识别(COV-SSI)算法^[5]和数据驱动的随机子空间识别(DATA-SSI)算法^[6]。虽然一些学者^[7]对这两种算法进行了较多的研究和改进，但其依然存在的缺陷是：识别得到的稳定图^[8]还需人为参与辨识图中的真实模态和虚假模态。针对这一问题，汤宝平等^[9]在随机子空间识别过程中引入谱系聚类算法对结果进行拾取，在运用频率、阻尼比、模态振型、模态能量作为聚类因子计算结果之间的相似性时，忽略了各聚类因子权重取值对结果带来的巨大影响。J. H. Weng等^[10]提出了利用谱系聚类分析法对所得参数结果进行分类选择，却未阐明聚类的具体准则以及聚类中心问题。周思达等^[11]利用模糊聚类分析来实现模态参数的自动验证，虽然能够在一定程度上降低模态参数验证对使用者主观因素的依赖，但却未阐明以什么为聚类准则进行模糊聚类。李玉刚等^[12]在随机子空间辨识算法过程中引入K-means算法从众多模态参数中选出真实模态，K-means算法的主要缺陷在于需要事先指定聚类个数，且当聚类数据数量不多时，输入数据的顺序不同会导致聚类结果存在差异性。

针对稳定图中真实模态的筛选问题，本研究在已有研究的基础上提出一种改进的模态参数自动化识别算法，该算法不仅能实现系统阶次^[13]的自动化确定，还能实现稳定图中真实模态的自动化筛选。

1 随机子空间算法的筛选

通过对两种随机子空间算法的基本原理^[4]和计算效率进行对比分析可知，基于协方差驱动的随机子空间在求解Toeplitz矩阵时要进行2i个协方差计算，而基于数据驱动的随机子空间在求解投影矩阵时却只要1次QR分解计算，即前者算法比后者算法会耗费更多的计算时间和存储空间，所以后者算法的计算效率更高。考虑到桥梁结构的模态参数识别往往需要识别大型桥梁结构，即识别的信号数据会十分庞大，所以选择数据驱动的随机子空间算法为研究对象进行模态参数自动化识别研究。以下简单介绍基于数据驱动随机子空间算法的基本流程，详细步骤见文献[6]。

1.1 Hankel矩阵的建立

首先利用响应数据构造Hankel矩阵，该矩阵定义如下：

(1)

式中，Y_p为“过去”输出行空间；Y_f为“将来”输入行空间。

1.2 投影矩阵计算

(2)

1.3 系统矩阵

O_i进行分解为扩展可观测矩阵Γ_i和卡尔曼滤波状态序列的乘积，表达式如下：

(3)

对O_i矩阵进行奇异值分解，可以得到Γ_i和，具体分解过程如下：

(4)

(5)

(6)

式中, U₁，U₂，V₁，V₂均为正交矩阵; S₁为对角线元素全是大于零的对角矩阵；S₂为零矩阵。

通过上述过程求出Γ_i和，之后便能得到离散时间状态空间模型中的状态矩阵A和输出矩阵C，进而得到系统的模态参数。

2 DATA-SSI算法的改进

针对DATA-SSI算法存在的系统定阶难和稳定图中真实模态需人为参与辨识的问题，提出相应的改进算法，具体内容如下。

2.1 系统阶次自动化确定

现阶段常用的定阶算法是以稳定图为依据进行系统的定阶，通过对稳定图定阶的不断研究，发现其依然存在模态失真和计算量大这两方面的缺陷。模态失真是指外部因素的存在会导致识别的模态并不属于系统本身；计算量大是指定阶前需计算出大量阶次下结构的模态参数，这样才能根据频率、阻尼比以及振型来确定最终的系统阶次。

为了提高计算效率，文献[14]提出了一种简单易操作的定阶算法，即利用奇异值跳跃法来确定系统的真实阶次，其主要原理是根据奇异值的跳跃性来确定系统的阶次。对Toeplitz矩阵(投影矩阵)进行奇异值分解如下：

(7)

(8)

(9)

式中，U，V均为正交矩阵；S为由大到小的奇异值组成的对角矩阵；σ_i为奇异值。

运用该定阶算法对实际桥梁结构进行定阶时，会因噪声影响而导致高于真正系统阶次的余弦值是非零的，但和零比较接近。研究表明奇异值跳跃法能很好地确定低阶系统的真实阶次，但在确定高阶系统的真实阶次时就比较困难，主要是由于奇异值与阶次关系曲线没有明显的跳跃，因而很难正确判定系统阶次。为了克服奇异值跳跃法不能识别高阶系统阶次这一问题，本研究认为可在绘制奇异值跳跃图前对奇异值进行导数化处理，以便能更容易地在图中找到跳跃点，进而达到确定高阶系统阶次的目的。

2.2 真实模态的存在规律

实际工程中，在利用随机子空间算法对桥梁结构进行模态参数识别时，需要人为参与稳态图中真实模态的选取，这样不仅会降低工作效率，同时筛选结果易受虚假模态的干扰。为了有效避免人为参与筛选真实模态这一环节，引入了多元统计学中的聚类分析^[15]算法以实现真实模态的自动化筛选。在分析如何运用聚类分析算法之前，有必要对真实模态存在的一般规律进行研究，通过分析多座桥梁结构在连续一段时间内真实模态在各时间段内的存在形式，得出如下观点：一旦桥梁修建完成，其在运营过程中，自身对应的真实模态便会趋于稳定，在稳定图中表现出的规律即是该桥梁结构的真实模态会存在于多幅稳定图中，只有虚假模态会发生一定的变化。从信号方面可以这样理解这一现象，即：对于一座桥梁结构而言，即便布置在该结构上的传感器采集的响应信号会受到外界因素的一定影响，但该结构的信息始终会存在于响应信号中。

为了验证所提出的观点，现以一座试验桥为背景进行分析，该桥梁结构的实际桥跨布置为(130+380+130) m，主跨为380 m，边跨为130 m。现场试验按照1:20的比例对实际桥梁结构进行缩尺设计。试验过程中，输入为振动台激励数据，输出为结构各关键点处对应的加速度信号。利用振动台对该桥梁结构施加激励，并利用事先布置在主梁和主塔上的加速度传感器采集各关键点处对应的加速度响应，桥型图和加速度传感器布置的具体位置见图 1。

由于主要是研究环境激励下桥梁结构的模态参数识别，所以选取输入为白噪声的一组工况进行分析，测试数据对应的采样频率为200 Hz，采样时间为10 min。考虑到采样时间对应的测点数太多，仅绘制了前10 s主跨跨中传感器采集的加速度响应信号时程图，见图 2。为分析真实模态存在的一般规律，现利用DATA-SSI对该桥梁结构进行模态参数识别，每次识别时间为1 min，即每次识别的测点数为12 000个，限于篇幅，仅列出前4 min对应的4幅稳定图，见图 3。对比分析可知，在短时间内，同一座桥梁结构的真实模态并不会发生较大变化，只有虚假模态会发生较大变化，因此验证了上文提出的真实模态存在的一般规律。

2.3 真实模态的筛选

针对真实模态筛选这一问题，已有不少学者对其进行了深入研究，现阶段比较具有影响力的学者是章国稳^[16]，他提出利用谱系聚类法来实现模态参数的自动化识别。通过深入分析，认为其论文依然存在以下两方面的问题有待进一步探讨：

(1) 在利用固有频率(f)、阻尼比(ξ)、模态振型(ψ)及模态能量(P)作为聚类因子，根据式(10) 定义模态i和模态j之间的距离d_ij时，将每个聚类因子的权重均定义为0.25，而文中并未给出合理的解释。文献[17]指出，实际信号中含有一定的噪声，噪声的存在会直接导致奇异值发生变化，最终影响模态参数发生变化，阻尼比对此变化比较敏感，故容易产生频率变化不大、阻尼比变化较大的情况。所以笔者认为各聚类因子对应的权重值有待进一步的探讨。

(10)

式中，W_f，W_ξ，W_ψ，W_P分别为固有频率、阻尼比、模态振型以及模态能量对应的权重；d_f，d_ξ，d_ψ，d_P分别为固有频率、阻尼比、模态振型以及模态能量对应的容许值。

(2) 在利用谱系聚类筛选真实模态时，设定了聚类阈值N_m，认为元素个数大于N_m的聚类为有效聚类，却未在文中指出该阈值的取值标准，所以笔者认为该聚类阈值的具体取值也有待进一步的探讨。

鉴于上述问题，认为在真实模态筛选过程中应避免含有权重的计算公式，因为现阶段对于权重的取值问题并没有统一标准，大部分是根据专家决议打分来确定权重的大小。为了有效避免权重值这一问题，本研究在章国稳^[18]研究的基础上提出一种新的真实模态筛选算法，该算法的基本原理是：首先基于真实模态存在的一般规律，利用聚类分析算法从多幅稳定图中筛选真实模态，其次利用阻尼比和振型对应的判别准则来验证筛选的真实模态是否具有可靠性。以下就如何实现真实模态的自动化筛选进行详细分析。

2.3.1 对桥梁结构进行多次模态参数识别

由真实模态存在的一般规律可知，要想实现真实模态的自动化筛选，首先需要利用DATA-SSI算法对同一桥梁结构进行N次模态参数识别，得到N组参数结果。其次再从这N组参数结果中筛选那些在多幅稳定图中均出现的模态，即真实模态。考虑到每组参数结果中均包含频率值、阻尼比及模态振型，即每组参数结果属于多维数据矩阵，所以将参数结果定义为X_k={F_k, R_k, S_k}(k=1, 2, …, N)；同时又考虑到每组参数结果中的频率值、阻尼比及振型系数均为二维数据矩阵，假设为m×n二维矩阵，则可对每组参数结果进行如下定义：

(11)

式中, F_k，R_k，S_k分别为第k次模态参数对应的频率值、阻尼比及模态振型。

2.3.2 基于聚类分析的真实模态自动化筛选

根据稳定图中频率判别标准^[16]可知，判别两模态频率是否属于同一类仅仅是依据频率值的大小来判别。基于此，认为可以选取基于相关系数的聚类分析算法来对N次参数结果中的频率值f_ij^k(k=1, 2, …, N; i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n)进行聚类分析，具体步骤如下。

Step 1：基于夹角余弦法^[15]建立相似矩阵

假定第A组参数结果(F_A)中的第a列频率值(f_ia^A)与第B组参数结果(F_B)中的第b列频率值(f_ib^B)之间的相似系数为：r_a-b^A-B=R^A-B(f_ia^A, f_ib^B)。利用夹角余弦法求解该相似系数r_a-b^A-B，计算式为：

(12)

Step 2：筛选N组参数结果中的相似模态

(1) 根据Step 1计算F₁和F₂之间的相似矩阵R^1-2(f_ij¹, f_ij²)，将矩阵中相似系数r≥0.8^[18]的两模态视为同一类模态并对其合并，并与剩余模态一起构建新的模态参数结果F′₂，将F′₂定义为F₂。

(2) 根据Step 1计算F₂和F₃之间的相似矩阵R^2-3(f_ij², f_ij³)，将矩阵中相似系数r≥0.8的两模态视为同一类模态并对其合并，并与剩余模态一起构建新的模态参数结果F′₃，将F′₃定义为F₃。

(3) 依次类推至到第N组参数结果(F_N)被聚类完成，得到最终的参数结果F′_N。

(4) 显然，对于任意两个属于同一模态的样本f_ij^k₁和f_ij^k₂，它们会被聚合到一个类中。统计参数结果F′_N中每个聚类的元素个数，设定阈值N_m，认为元素个数大于0.6N^[12]的聚类为有效聚类。

Step 3：利用阻尼比和模态振型对应的判别准则验证Step 2筛选出的真实模态

考虑到真实模态不仅要包含精确的频率值，还需兼顾阻尼比和模态振型，所以利用稳定图中阻尼比和模态振型的判别标准对Step 2得到的有效聚类结果进行进一步筛选，具体流程如下。

(1) 利用阻尼比判别准则对Step 2所得每类聚类结果进行甄别，当根据Step 2计算得到第A组参数结果(F_A)中的第a列频率值(f_ia^A)与第B组参数结果(F_B)中的第b列频率值(f_ib^B)属于同一类，则验算相应的第A组阻尼比参数结果(R_A)中的第a列阻尼比值(r_ia^A)与第B组阻尼比参数结果(R_B)中的第b列阻尼比值(r_ib^B)之间是否满足式(14)。当不满足该公式时，则删除这组聚类；当满足该公式时，则还需按照式(14) 对模态振型参数s_ia^A与s_ib^B进行甄别，以验证这两模态振型是否属于同一振型。

(13)

式中，为第A组阻尼比参数结果中第a列阻尼比对应的平均值；m为参数结果中的行数值。

(14)

式中，DMAC为振型相似因子，当其值趋于0时，则可认为两模态振型为同一振型；当该值趋于1时，则表明这两模态振型不属于同一振型。根据文献[16]可知，当DMAC < 0.05时便可认为两振型为同一振型，即f_ia^A和f_ib^B属于同一类。

经过上述流程便能实现多幅稳定图中真实模态的自动化筛选，算法的主要流程图见图 4。

3 实际桥梁结构的模态参数识别

为验证所提算法能够实现系统阶次的智能化确定及真实模态的自动化筛选，现以长江流域上一座大型斜拉桥为对象进行分析，以验证所提算法能够运用于实际桥梁结构中。

3.1 桥梁背景

该桥梁是一座双塔索面斜拉桥，总长度为2 088 m，主跨为1 088 m，桥跨跨径布置为(2×100+300+1 088+300+2×100) m。主梁上共布置14个加速度传感器，采样频率为20 Hz，采样时间为2016年共12个月，该斜拉桥的桥型图和传感器布置位置见图 5。

3.2 系统阶次确定

考虑到该桥梁属于高阶系统，首先利用奇异值跳跃法对其进行系统定阶，结果见图 6，根据该图可知系统在50~200阶次范围内，奇异值并未出现明显的跳跃点，即无法获取系统的阶次。其次利用奇异值导数化法进行系统定阶，结果见图 7，根据该图可以清晰地观察到，在150阶时，系统的奇异值大小发生了较大跳跃，即可确定该斜拉桥的真实系统阶次为150阶。

3.3 参数自动化识别

由于该斜拉桥上传感器能实现全天候的信号采集，如果一次性分析整个1 a时间的响应信号，则数据量十分庞大，所以仅选取这1 a中具有代表性的月份(3月、7月、10月、12月)为研究对象进行分析。在对每个月进行模态参数识别时，考虑到采样频率为20 Hz，则每天24 h对应的测点数为1 728 000个，如果一次性对1 d的数据进行参数识别，则识别的效率很低。基于此，以1 h为单位进行模态参数识别，即1 d能识别24幅稳定图，1月份能识别720幅稳定图。由于篇幅有限，仅列出了3月份第1天前2 h对应的稳定图，见图 8。通过对比多幅稳定图中各阶模态的存在形式，能再次验证所提真实模态的一般规律。

为了识别出该桥梁结构每月对应的稳定图，基于图 4的算法流程对每月720幅稳定图进行模态参数自动化识别，识别过程中聚类阈值N_m=432。为了将本研究识别结果与已有识别结果进行对比分析，给出了多篇文献中有关该桥梁结构的频率识别结果，见表 1。现有的结果仅仅识别出了该桥梁结构前5阶频率值，因此，也仅绘制了4个月前5阶对应的聚类稳定图，见图 9。分析聚类稳定图可知，本研究提出的真实模态筛选算法能够实现真实模态的自动化筛选。

为进一步验证筛选得到的真实模态具有可靠性，将其中多篇文献的均值作为理论值，对比分析理论值与本研究识别结果间的误差，所得误差百分比见表 2。根据该表可得如下结论：

(1) 该桥梁结构竖桥向前5阶频率值均在0~1 Hz之间，且各阶频率值间的差距较小，这也间接证明该桥梁结构属于高阶系统。

(2) 前5阶频率值与理论值间的误差百分比在0~7%之间，其中第3阶结果与理论值间的差距最大，误差达到6.55%，而第5阶识别结果与理论值间的误差百分比最小，仅为1.38%。

综合上述分析可知，所提真实模态的筛选算法能够很好地实现频率值的自动化识别，且识别结果精度很高。

为进一步验证所提改进算法不仅能精确地识别出该桥梁结构的各阶频率值，还能有效地识别出该桥梁结构的阻尼比，识别得到了该桥梁结构前5阶阻尼比在3月、7月、10月和12月份对应的阻尼比结果及阻尼比的平均值，具体数值见表 3。由于现阶段并没有发现学者识别出该桥梁结构具体阻尼比的文献，所以本研究并未对阻尼比结果进行对比分析。

为进一步验证所提改进算法不仅能有效识别出桥梁结构的频率值和阻尼比，还能识别桥梁结构的模态振型，识别得到了该桥梁结构前3阶模态振型，见图 10(d)。为了验证识别得到的振型图的可靠性，利用有限元软件Midas建立了该桥梁结构的Midas模型，并得到了其前3阶模态振型，见图 10(a)~(c)。通过对比有限元振型结果和本研究所得振型图可知，改进算法识别得到的前3阶振型与理论形状吻合较好，即识别结果具有可靠性。

4 结论

针对随机子空间算法存在的不足，提出了相应的改进算法，同时为验证所提算法能运用于实际桥梁结构，以长江上某座大型斜拉桥为识别对象，利用传感器监测的加速度响应信号为输入进行模态参数的自动化识别，并将识别结果与理论值进行对比分析，分析结果表明：

(1) 对结构进行系统定阶时，可以在绘制奇异值跳跃图之前对奇异值进行导数化处理，这样能更容易地从奇异值跳跃图中找到跳跃点，确定系统的阶次。

(2) 对于同一座运营阶段的桥梁结构而言，其真实模态存在的一般规律是：在短时间内模态参数不会发生较大变化，即真实模态在不同时刻的稳定图都会存在，只有虚假模态才会发生变化。

(3) 为了实现真实模态的自动化筛选，可以先利用聚类分析算法从多幅稳定图中筛选真实模态，再利用阻尼比和振型对应的判别准则来验证筛选的真实模态，经过这一过程便能从多幅稳定图中筛选出结构的真实模态。

(4) 在DATA-SSI算法的基础上，结合多元统计学中聚类分析等提出的改进算法，能够进行实际桥梁结构的模态参数自动化识别，且识别结果具有可靠性。