0 引言

p-y曲线法是研究水平受荷桩最为常见的方法之一，其基本原理是将地基土中的桩简化为非线性Winkler地基梁，而将桩周土体抗力视为非线性弹簧，通过分析不同深度处非线性弹簧的p-y关系来描述桩土之间的相互作用。以往p-y曲线的研究大都以平地基桩为研究对象，如苏静波^[1]以p-y曲线法为基础，从Newmak方法弹簧支座的概念出发，建立了桩土相互作用体系的接触非线性有限元分析模型；张建伟^[2]提出了由p-y曲线土抗力模式表达分布荷载推力桩位移和内力的有限差分分析方法；王腾^[3]开展了黄河粉土的模型钢管桩试验，基于试验结果提出了黄河粉土的p-y曲线理论表达式；Liang^[4]建议采用双曲线p-y曲线来模拟桩土的相互作用；朱明双^[5]采用数值分析方法，研究了水平荷载作用下筒桩的承载性状；张舒羽^[6]根据国内现有的原型试验资料推导了黏土的p-y曲线经验公式；姚文娟^[7]采用p-y曲线法建立了倾斜荷载桩非线性有限杆单元分析模型；凌道盛^[8]对Reese提出的直桩p-y曲线法进行了修正，提出了砂土地基中斜桩p-y曲线的确定方法；刘红军^[9]提出了以p-y曲线法为基础用于计算水平受荷桩变形的数学规划模型；肖宏彬^[10]基于浸水与未浸水膨胀土中水平受荷桩的室内模型试验，分别建立了两者的p-y曲线理论表达式。

而随着山区高速公路铁路建设的大力发展，出现了大量直接位于斜坡地段的水平受荷桩，此时由于边坡一侧的土体厚度有限，其p-y曲线关系不同于桩侧土体可视为无限宽度的平地情况，因此如何建立可考虑边坡因素的p-y曲线成为水平受荷桩领域亟待解决的问题。

目前，国内外已有众多学者对边坡处基桩的水平承载问题进行了探讨。如Zhang^[11]以香港边坡工程为背景，通过数值分析探究了边坡角度和套管厚度对布置在边坡处的水平受荷单桩性能的影响；Mezazigh^[12]开展了砂土边坡处单桩的离心试验，通过研究p-y曲线的变化规律，揭示了边坡存在对浅层地基的影响；邓友生^[13]采用试验和数值分析的方法，探究了陡坡段嵌岩桩的水平承载性状的理论计算方法；Muthukkumaran^[14]开展了黏性土边坡段的模型试验，探究了坡度大小、土的性质和加载方向对桩基的水平极限受荷能力的影响；高博雷^[15]基于模型试验分析了适用于边坡桩基的p-y曲线，并研究了边坡坡度和基桩与边坡距离对其承载性能的影响，但其研究仅针对于砂性土体。而针对布置在黏性土边坡处的单桩，在水平受荷情况下单桩承载性能受到的影响，研究还相对较少。

显然，随着边坡深度的增加，边坡一侧土体宽度将逐渐增大，土体抗力则将逐渐增长直至某一深度处与平地情况接近，因此坡地条件下水平受荷桩的分析的关键是确定该临界深度，以及对该深度以上区域土体抗力的修正，但该问题目前尚缺乏系统深入的研究。基于此，拟通过室内模型对比试验与数值模拟对该问题进行探讨，在此基础上建立适用于边坡处单桩双曲线p-y曲线的计算方法，以供工程参考。

1 p-y曲线分析

对于布置在平地处的单桩，常用的双曲线p-y曲线^[16]，如图 1所示，其表达式为

(1)

式中，k_i为初始刚度；p_u为桩侧土体极限抗力，由式(2) 确定:

(2)

式中，c_u为土的不排水抗剪强度，通过三轴试验获得；N_p是土的极限抗力参数；D为桩的直径。

土体的极限抗力参数随着桩的深度增加而增加，可认为从地面的一个初始值N_po增加到一个最大值N_pu，然后沿着桩的深度保持不变。对于布设在平地处的单桩，参数N_po和N_pu可由Georgiadis^[17]提出的如下表达式计算

(3)

(4)

(5)

式中，α为桩土接触面的黏结参数；λ为一个随参数α变化的值，变化范围从λ=0.55(α=0) 到λ=0.4(α=1) 的线性变化，其计算表达式为λ=0.55-0.15α，Δ=sin^-1α。

p-y曲线的初始刚度k_i依靠土的变形参数、桩径以及刚度确定，可由式(6) 计算

(6)

式中E₅₀为土体破坏应力50%时的割线模量。

由上述分析可知，建立p-y曲线的关键在于合理确定两个关键参数即初始刚度k_i与桩侧土体极限抗力参数N_p，但已有方法用于边坡处水平受荷桩的计算，显然无法考虑削弱区域内坡度效应的影响，因此，基于试验与数值模拟，探讨削弱区域参数的修正方法。

2 模型试验 2.1 试验设计

为分析边坡与平地两种境况下承载性能的差异，首先开展了两根水平受荷桩的水平加载试验(下文以P1和P2表示)，坡角设为45°，模型桩采用两根长度为1 m、外径为40 mm、壁厚为5 mm的PPR塑料管制作；其抗弯刚度采用四分点法标定，取三次标定的平均值98 N·m²。模型桩埋置在长方形试验槽内(尺寸1.8 m×1.2 m×1.2 m)，埋入深度为0.9 m，桩底0.1 m按嵌固处理，地面以上长度0.1 m供加载使用。为消除两桩的相互影响，P1和P2之间的距离控制为500 mm(约13倍桩径)，并在宽度方向错开了200 mm的间距，以方便加载，模型试验如图 2所示。土体采用黏性土，基本的物理力学参数见表 1，试验中采用分层压实的方法对黏性土进行逐层填筑。

水平加载采用逐级加载的方式，每级加载200 N，稳定后施加下一级荷载。当桩顶位移急剧增加、桩周土体或桩身出现破坏，认为该级荷载为桩基承受的最大荷载；随后停止加载，逐级卸载至零。

本次试验主要测定各级荷载下基桩的桩顶水平位移及桩身应变，埋设的测试元件包括：(1) 电阻应变片，沿桩身外径对称布设8对120 Ω电阻应变片，间距为10 cm。(2) 位移传感器，在紧贴地面的桩顶处布设了一只LWH拉杆位移传感器，以测定在加载过程中地面处桩身所产生的水平位移。

2.2 试验结果分析

图 3为P1和P2的桩顶水平荷载-位移曲线。由图可见，相同水平荷载下，边坡处基桩明显产生了更大变形，表明边坡侧土体的缺失的确削弱了桩周土体抵抗桩身变形的能力，出现了抗力的折减现象。相比P1，桩P2的桩顶水平荷载-位移曲线较为平滑，表明平地处桩周土体的变形处于线性弹性变形阶段，而P1桩顶的水平荷载-位移曲线在位移达到4 mm时，桩顶荷载增幅较小的情况下，桩顶测点处的水平位移已出现了急剧增大的现象，可认为边坡处浅层区域桩身受到的土体抗力已经达到极限值，土体出现了塑性变形。

图 4为各级荷载下桩P1和P2的桩身弯矩沿深度的变化规律。平地与边坡处的水平受荷桩桩身弯矩分布存在相似性，即都有从地面最大值沿桩身逐渐减小至零的趋势。但由于边坡侧土体抗力的削弱，在相同深度处，桩P1的弯矩明显大于桩P2。此外，桩P1弯矩达到零值的深度与桩P2比较也相对较大，此现象说明在浅层局域内，边坡桩基受到土体的抗力偏小，荷载传递到了桩基的更大埋深处。

上述试验现象表明了坡地条件下水平受荷桩浅层土体的抗力明显削弱，但无法确定该削弱深度的大小。如图 5所示，随着深度增加至一定值即临界深度h后，基桩距离边坡处的距离将达到临界值D_p，该深度以下的土体抗力弱化可忽略不计，显然，该临界深度h与边坡坡度密切相关。鉴于此，下文以数值模拟为手段，对临界深度h的确定以及该区域内的p-y曲线进行了探讨。

3 数值分析 3.1 数值分析

采用商业数值分析软件ABAQUS对不同坡角下的水平受荷桩进行三维有限元分析，土的本构关系采用摩尔库伦模型，模型参数重度γ为19 kN/m³, 弹性模量E为36 MPa, 泊松比u为0.35，内摩擦角φ为23°，黏聚力c为26.27 kPa。桩体采用弹性模型，弹性模量E为10 GPa, 泊松比u为0.17，重度γ为11 kN/m³。桩土之间相互接触采用摩尔-库伦摩擦罚函数形式，选择桩体表面为主从面，土体表面为从属面，罚函数参数取0.5。

图 6展示了坡角为30°的模型在XOZ平面内的网格划分；为了减小计算量且又保证收敛性，桩和桩周附近的土体即主要变形部分采用较大的网格密度，对于变形较小部分划分的网格密度相对较小。桩体和土体统一采用8节点一次单元C3D8R。模型中桩体埋入深度1 m，桩径40 mm，泥面以上长度40 mm。设置的边界条件为：模型底部采用完全固定约束，模型垂直于x轴的侧面和垂直于y轴的侧面分别约束x轴和y轴方向的位移；坡面和顶面没有任何约束，即为自由面。

图 7是边坡角度为0°和45°的数值模拟结果的桩顶荷载-位移曲线与试验实测点的比较。试验测点基本落在数值分析得到的曲线附近，表明数值分析能够较好地模拟桩土之间的相互作用。因此，下文将通过数值模拟结果的分析，对单桩的水平承载性能受坡角度的影响进行详细讨论。

图 8展示了数值分析中坡角取0°，15°，30°，45°，60°共5种情况，在桩顶加载为1.2 kN时，不同坡角下的桩身位移沿深度的分布。可见，在浅层土体范围内，边坡处单桩的桩身位移明显大于平地处单桩，并且随着坡角的增大，在相同深度处对应的桩身位移也越大。同时当q分别取15°，30°，45°，60°时，深度大约达到3D，4D，6D和8D后，桩身位移曲线与平地处布置的单桩桩身位移曲线趋于重合，即可认为由边坡存在引起的削弱作用已可忽略不计，可按照无边坡的平地基桩处理。

3.2 p-y曲线修正

图 8展示的桩身位移沿深度的变化规律中, 桩身位移存在“反弯点”，针对“反弯点”处p-y曲线的求法见图 9。a，b和c分别代表桩顶受荷为H₁，H₂和H₃时的位移沿深度的分布，其中H₁＜H₂＜H₃。y₁，y₂和y₃分别代表桩顶受荷为H₁，H₂和H₃时桩身同一点的位移大小，其中y₁＜0, y₂=0, y₃>0。针对该点深度处p-y曲线的求法，采取桩顶受荷为H₂即该点位移为y₂=0时算起。

图 10为由数值分析结果经过处理后得到的坡角分别取0°，15°，30°，45°，60°时，相同深度下的p-y曲线。图中可见，随着角度增加，相同桩侧位移的情况下，桩侧抗力呈现减小的变化规律。同时从图中曲线变化规律，即随着桩侧位移的增加，桩侧土体抗力的增加不再明显，可认为土体抗力值已经接近桩侧土体极限抗力值p_u。由此可见，极限桩侧土体抗力值p_u也出现了减小现象，且角度越大减小量越大。坡角对土体抗力值p_u的参数N_p的影响可由如下计算式修正^[18-20]：

(7)

而作为双曲线p-y曲线的关键参数之一，坡地条件下的初始刚度k_i，目前还没有明确的计算表达式。从图(a)、(b)展示的不同坡角的p-y曲线可见，存在边坡处p-y曲线的初始刚度与平地的相比明显偏小的现象。

为了得到边坡角度对初始刚度k_i的影响，在桩基上部的主要变形段，依据边坡角度分别取0°，15°，20°，25°，30°，35°，40°，45°，50°，55°，60°的数值分析计算结果，绘制了归一化的初始刚度值η沿深度的变化规律，如图 11所示，k_i0为平地处p-y曲线初始刚度，k_iθ为边坡处p-y曲线的初始刚度。由图可知，归一化值恒定不大于1，反映了边坡存在对初始刚度k_i的削弱作用，但该消弱作用仅存在临界深度以上。同时从图中可以看出，随着边坡角度增大，在同一深度处消弱作用越明显，且消弱作用存在的临界深度越大。

而为了定量描述坡角θ与p-y曲线初始刚度的关系，对图 11中离散数据进行了线性回归分析，如图中直线所示，可假定归一化值η与深度z/D线性相关，可得到两者的关系表达式：

(8)

式中，λ₁为图 11中归一化曲线在横坐标η上的截距，与边坡角度相关；λ₂为图 11中归一化曲线的斜率。

由数值分析结果，平地时θ=0°，λ₁=1；存在边坡时θ=15°，λ₁=0.96；θ=20°，λ₁=0.93；θ=25°，λ₁=0.91；θ=30°，λ₁=0.87；θ=35°，λ₁=0.82；θ=40°，λ₁=0.71；θ=45°，λ₁=0.75；θ=50°，λ₁=0.64；θ=55°，λ₁=0.57；θ=60°，λ₁=0.51；发现坡角θ的余弦与λ₁线性相关，即：

(9)

归一化曲线(8) 在纵坐标上的截距，其意义就是由于边坡存在对初始刚度k_i的最大消弱深度，即临界深度h与桩径D的比值μ。图 12展示了归一化值η在图 11中的拟合曲线在纵坐标z/D上的截距μ与边坡角度θ存在的关系。由图 13中离散点的分布规律可知，纵坐标截距μ与坡角θ的正切值近似存在线性相关的关系，对图中得到的数据点进行了线性拟合处理，纵坐标截距μ与坡角θ的关系表达式：

由式(9)、(10) 则可求得折减临界深度h与系数λ₂的表达式为：

(10)

(11)

综合式(8)，(9)，(12) 可得到考虑坡度效应的单桩p-y曲线初始刚度的修正公式：

(12)

4 实例验证

图 13为理论计算结果与前述试验的对比。试验基本参数：桩长L为1 m，直径D为40 cm，桩的抗弯刚度E_pI_p为98 N·m²，坡角θ为0°和45°，不排水抗剪强度c_u为30.6 kPa，桩侧土体抗力(极限抗力50%时土的割线模量E₅₀)为25 860 kPa，重度γ为19.24 kN/m³。在计算中桩-土接触参数α取0.7，计算得到了N_pu=10.55，N_po=3.05，λ=0.45。由对比可知，二者趋势基本一致，计算结果在误差允许的范围之内。

算例2为被Matlock^[21]报道的Sabine试验，试验基本参数：桩长L为12.8 m，直径D为0.319 m，桩的抗弯刚度E_pI_p为31 280 kN·m²，坡角θ为0°，不排水抗剪强度c_u为14.4 kPa，桩侧土体抗力(极限抗力50%时土的割线模量E₅₀)为2 060 kPa，重度γ为5.5 kN/m³。在计算中桩-土接触参数α取1，计算得到了N_pu=11.94，N_po =3.5，λ=0.4。图 14展示了计算结果与Matlock^[21]，Bhushan^[22]，Stevens and Audibert^[18]，O'Neil and Gazioglu^[23]通过商业软件计算结果和试验实测值的对比情况，可知方法与试验结果的吻合度较好。

算例3为Bhushan^[22]开展的硬黏土边坡处的单桩试验。试验基本参数：桩长L为5.185 m，桩径D为1.22 m，桩的抗弯刚度E_pI_p为225 000 kN·m²，坡角θ为20°，不排水抗剪强度c_u为220 kPa，桩侧土体抗力(极限抗力50%时土的割线模量)E₅₀为24 440 kPa，重度γ为18.8 kN/m³。在计算时，桩-土接触参数α取0.25，计算得到N_pu=10.05，N_po=2.38，λ=0.51。图 15为计算结果与Bhushan^[22]，Reese and Welch^[24]计算结果和试验实测值的对比，由图可知，该方法与实测值的趋势一致，误差亦在15%以内。

5 结论

(1) 开展了室内模型试验，对比分析了平地和边坡单桩桩顶荷载-位移曲线和桩身弯矩沿深度的分布曲线。通过对比分析发现，边坡一侧临空面的存在削弱了土体抵抗边坡处桩基变形的能力，但该削弱作用仅限在临界深度以上；

(2) 以试验为基础，并结合有限元数值分析，详细探讨了p-y曲线关键参数桩侧土体极限抗力和初始刚度受坡角的影响，并确定了边坡角度与两者的定量关系。

(3) 提出了坡地条件下削弱区域内双曲线p-y曲线的关键参数桩侧极限抗力与初始刚度的修正方法，从而得到了坡地条件下水平受荷桩的p-y曲线法，计算实例表明了该方法的误差可满足要求，可为相关工程设计提供参考。