0 引言

混凝土拱桥成拱技术包括支架法和无支架法，其中，我国提出的钢管混凝土劲性骨架成拱的无支架法在工程中得到了持续应用和发展^[1]。而拱肋外包混凝土的浇注是其施工中的关键环节，不同的浇注方案明显影响着拱肋的受力与线形，同时也关系着施工的安全^[2-4]。根据文献[5-7]，在大多数劲性骨架拱桥外包混凝土浇注过程中，拱顶会出现反复上挠，这容易造成已浇混凝土的开裂，从而降低结构的承载力，影响结构安全。可见，拱顶反复上挠是劲性骨架拱桥在外包混凝土浇注过程中线形控制的重点和难点。通常采用两类方法来控制拱肋线形，即传统平衡浇注法和加载平衡浇注法^[8-9]。传统平衡浇注法通过拱肋本身的荷载控制浇注过程的变形，而加载平衡浇注法则通过施加外部荷载控制浇注过程的变形。

采用传统平衡浇注法和加载平衡浇注法控制拱肋线形可转化为以拱顶挠度为控制目标，于是外包混凝土浇注过程中的拱肋线形控制，可以视作以拱顶挠度始终不大于外包浇注前的挠度值为目标的优化问题。

1 挠度影响线的拟合——以广安官盛渠江大桥为例

以广安官盛渠江大桥为例，采用Midas/Civil建立影响线加载模型，分析得出挠度影响线并对其进行拟合。

1.1 工程概况

广安官盛渠江大桥为中承式劲性骨架钢筋混凝土拱桥，跨径为320 m，主孔为净跨径300 m的变截面悬链线无铰拱，净矢高75 m，净矢跨比1/4，拱轴线为悬链线，拱轴系数为1.5。拱顶截面径向高3.5 m，拱脚截面径向高6.0 m；肋宽为3.0 m，拱肋由C100钢管混凝土劲性骨架外包C50混凝土形成。

广安官盛渠江大桥主桥立面布置如图 1所示，拱肋截面如图 2所示。

本桥外包混凝土竖向分2环进行浇注，每环在纵向分为8个工作面，每个工作面再分为5段，然后各个工作面同时逐段浇注直至该环合龙。拱肋外包混凝土纵向浇注示意如图 3所示。

1.2 挠度影响线的生成

将拱肋外包混凝土截面分为：底板+下腹板+上腹板+顶板，底板、下腹板、顶板截面尺寸为定值，上腹板高度从拱脚至拱顶线性变化。第1环浇注底板+下腹板，因此可将第1环视为在等截面拱上浇注外包混凝土；第2环浇注上腹板+顶板，可将第2环视为在变截面拱上浇注外包混凝土。根据杨峰、张敏等^[4]人的研究，等截面拱桥外包混凝采用8工作面浇注时，控制拱顶在浇注过程中不上挠的最优工作面长度接近拱肋长度1/8，故第1环工作面长度取拱肋长度的1/8。

文中主要研究第2环——即变截面拱在外包混凝土浇注过程中拱顶挠度的控制问题。以第1环外包混凝土浇注合龙后的结构为加载模型计算挠度影响线。采用有限元软件Midas/Civil建模，劲性骨架采用统一理论，把钢管混凝土视为统一体，作为一种新形式的组合材料^[10-12]，按照JTG/T D65-06—2015《公路钢管混凝土拱桥设计规范》^[13]换算材料参数，劲性骨架结构采用梁单元进行模拟，外包混凝土采用板单元与梁单元节点的方式模拟^[14]。模型共计梁单元890个，板单元850个，节点2004个。有限元模型如图 4所示。

采用Midas/Civil的移动荷载分析功能^[15]，计算跨中截面的挠度影响线并提取影响线数据，在Origin中画出影响系数散点图如图 5所示。其中横坐标为沿拱肋路径拱肋某点距拱脚的距离，纵坐标为挠度值，“+”表示向上，“-”表示向下。

1.3 挠度影响线的拟合

采用MATLAB对拱顶挠度影响系数散点图进行拟合从而建立数学模型。文中分别利用8项多项式和4阶傅里叶级数进行拟合对比，如图 6所示，图中连续实线为拟合曲线，间断点为拱顶挠度影响系数。

可见，采用4阶傅里叶级数拟合的精度更高，R-square=0.999 2，因此竖向力对拱顶挠度影响系数f(x)_v为：

f(x)_v=－1.522×10^－6+2.547×10^－5×

cos(x×0.018 7)+5.842×10^－12×

sin(x×0.018 7)－2.788×10^－5×

cos(2×x×0.0187)－1.005×10^－11×

sin(2×x×0.018 7)+5.957×10^－6×

cos(3×x×0.018 7)+1.159×10^－11×

sin(3×x×0.018 7)－2.286×10^－6×

cos(4×x×0.018 7)－9.985×10^－12×

sin(4×x×0.018 7)。

由于拱肋为变截面，第2环外包混凝土重量从拱脚到拱顶按线性变化。设拱顶截面外包混凝土重量为1，得到半拱外包混凝土重量沿拱脚至拱顶的变化规律：

带入拟合的挠度影响线函数，得到计入混凝土重量变化的拱顶挠度影响线(半拱)与未计入混凝土重量变化的拱顶挠度影响线(半拱)对比如图 7所示。

对比可见，变截面拱由于外包混凝土重量从拱脚到拱顶逐渐变小，计入混凝土重量变化的拱顶挠度影响线的正影响效应(拱顶变形向上)较未计入混凝土重量变化的拱顶挠度影响线增加了37.5%，而其负影响效应(拱顶变形向下)较未计入混凝土重量变化的拱顶挠度影响线增加了5.3%。正影响效应的增幅明显大于负影响效应，因此变截面拱较等截面拱在浇注外包混凝土过程中拱顶更易出现向上变形。

2 基于挠度系数的变截面拱拱顶挠度控制原则 2.1 基本假设

(1) 忽略已浇外包混凝土对整体结构刚度的影响。

(2) 结构在外包混凝土浇注过程中始终处于线弹性阶段。

2.2 拱顶挠度计算公式

假设4个工作面为[0, a]，[a, b]，[b, c]，[c, L/2]，各工作面长度分别为d₁，d₂，d₃，d₄，如图 8所示。

以浇注第2环第1段外包混凝土为例，基于影响线叠加原理^[16]，在某一时刻拱顶的挠度系数可表示为：

式中ω₁为浇注第2环第1段外包混凝土时某一时刻拱顶的挠度系数。

α_i, β_i(i=1~4) 分别为浇注第2环外包混凝土时，各工作面的某一浇注段起、始位置距拱脚距离。

若ω₁＜0，则表示浇注第2环第1段外包混凝土某一时刻拱顶向下变形，若ω₁>0，则表示浇注第2环第1段外包混凝土某一时刻拱顶向上变形。采用传统平衡浇注法控制拱顶不产生向上变形相当于求解一组a, b, c的值，使得α_i, β_i在定义域内取任意值ω₁≤0。要使在浇注第1段外包混凝土过程中不会出现拱顶上挠现象，则：

为控制拱顶在整个外包混凝土浇注过程中不出现拱顶上挠现象，则：

从而得到:

可见，是外包混凝土浇注过程中不出现拱顶上挠现象的必要条件，那么ω=则是外包混凝土浇注过程中会出现拱顶上挠现象的充分条件，即若则无法找到一组a, b, c使得ω_i≤0(i=1~5)。因此，劲性骨架拱桥在浇注外包混凝土过程中，若ω=则无法通过传统平衡浇注法使浇注过程中拱顶始终不出现向上的变形。

3 变截面拱拱顶挠度的控制方法

根据1.3节公式，利用MATLAB求得本桥的挠度系数故本桥不能通过传统平衡浇注法来控制拱顶不出现向上的变形，必须通过加载平衡浇注法来实现。

观察拱顶挠度影响线，我们可以利用两种方式来调整拱顶的挠度。第1种是在影响线正峰值附近添加一个向上的力，其对应的方法为在影响线正峰值附近设置一道或多道斜拉扣索^[5]；第2种是在影响线负峰值处(拱顶)添加一个向下的力，其对应的方法为拱顶压重法。

3.1 拱顶压重法

(1) 拱顶压重法的计算原理

文中基于挠度影响线理论，计算变截面拱在浇注外包混凝土过程中，使拱顶不出现上挠需要施加在拱顶的最小荷载，为方便计算将拱顶荷载视为集中力施加在拱顶，拱顶截面混凝土的重量T=86.61 kN，则计算公式如下：

式中，F_Y为施加在拱顶的竖向荷载；ω_gd为拱顶挠度系数。

由此得到拱顶不出现上挠需要施加在拱顶的最小荷载为：

(2) 按拱顶压重法计算的有限元分析结果

将工作面按等长度均分(沿拱肋方向)，得到半拱的4个工作面区间分别为[0, 42]，[42, 84]，[84, 126], [126, 168]，以浇注完每段(8.4 m)为时间节点，计算得到浇注第2环外包混凝土过程中保证拱顶不上挠需要施加在拱顶的最小荷载。采用Midas/Civil建模分析，将计算得到的拱顶荷载分别施加在对应的各个施工阶段，得到浇注第2环外包混凝土过程中拱顶挠度，如图 9所示。

将第1环合龙后的拱顶挠度-150.27 mm视为第2环的初始挠度。由图 9可知，在第2环浇注过程中，拱顶挠度一直处于初始挠度下，在浇注第4段时与初始挠度相差最大，其值为-5.81 mm，在浇注第5段时与初始值相差最小，其值为-0.95 mm，证明在第2环浇注过程中，拱顶没有出现上挠且计算值与理想值误差较小。因此通过上述方法计算所得拱顶压重并分别施加在对应施工阶段能很好地控制拱顶挠度，保证拱顶不出现上挠。

3.2 斜拉扣索法

(1) 斜拉扣索法的计算原理

斜拉扣索法可以在浇注外包混凝土过程中调整劲性骨架的应力及防止拱顶出现反复上挠的情况^{[5, 17-18]}。

设斜拉索对拱的拉力为F_L，水平倾角为α，将F_L进行分解：

式中，V为竖向分力；H为水平分力。

竖向力的拱顶挠度影响线按1.3节求得。水平力影响线的求法如下：

由于Midas/civil的移动荷载不能添加水平方向的力，因此在拱肋的每个节点(节点间的距离大致相等)添加单位水平力1 N，方向沿拱顶截面对称向外。每一对力设为一个工况，加载模型不变。得到在水平对称力作用下拱顶挠度的影响系数如图 10所示。其中横坐标为沿拱肋路径拱肋某点距拱脚的距离。

采用MATLAB对拱顶挠度影响系数散点图进行拟合从而建立数学模型。利用2阶傅里叶级数进行拟合，如图 11所示，图中连续实线为拟合曲线，间断点为水平力对拱顶挠度的影响系数。

可见，采用2阶傅里叶级数拟合具有很高的精度，R-square=0.9998，因此水平力对拱顶挠度影响线函数f(x)_H为：

当斜拉扣索的位置和水平倾角一定时，设斜拉索距拱脚水平距离为x₀, 水平倾角为α₀，拱顶截面混凝土的重量T=86.61 kN，则可以求出斜拉扣索对拱顶的挠度值ω_L：

式中，f(x₀)_V为单位竖向力对拱顶挠度影响系数；f(x₀)_H为单位水平力对拱顶挠度影响系数。

于是得到在浇注外包混凝土过程中拱顶不出现上挠需要的斜拉扣索的最小张拉力为：

(2) 斜拉扣索法计算的有限元分析结果

以吊装钢管骨架阶段的3^#扣索作为在浇注第2环外包混凝土过程中的斜拉扣索。α=35.8°，x=63.16 m，x值为沿拱肋路径拱肋某点距拱脚的距离。工作面划分同拱顶压重法模型，以浇注完每段(8.4 m)为时间节点，计算得到浇注第2环外包混凝土过程中保证拱顶不上挠斜拉扣索需要的最小张拉力。采用Midas/Civil建模分析，将计算得到的扣索索力分别施加在对应的各个施工阶段，得到浇注第2环外包混凝土过程中拱顶挠度，如图 12所示。

将第1环合龙后的拱顶挠度-150.27 mm，视为第2环的初始挠度。由图 12可知，在第2环浇注过程中，拱顶挠度一直处于初始挠度之下，在浇注第4段时与初始挠度相差最大，其值为-5.96 mm，在浇注第5段时与初始值相差最小，其值为-1.21 mm，证明在第2环浇注过程中，拱顶没有出现上挠且计算值与理想值误差较小。因此通过上述方法计算所得斜拉扣索张拉力分别施加在对应施工阶段能很好地控制拱顶挠度，保证拱顶不出现上挠。

由于变截面拱的外包混凝土重量从拱脚至拱顶逐渐减小，正影响效应的增幅明显大于负影响效应，大多数变截面劲性骨架拱桥在外包混凝土浇注过程中因此无法通过传统平衡浇注法来控制拱顶挠度。采用推导的拱顶压重法和斜拉扣索法公式计算外部荷载，分别施加在对应施工阶段能很好地控制拱顶挠度。

3.3 拱肋线形对比

将采用传统平衡浇注法(等长度划分工作面)和加载平衡浇注法(包括拱顶压重法、斜拉扣索法)浇注完成的拱肋挠度进行对比，如图 13所示。

采用传统平衡浇注法(等长度划分工作面)浇注完成的拱肋其4/L处挠度最大，为-158.9 mm，较拱顶挠度大42.9%，整个拱肋呈“凸”字形，不符合拱结构在自重下的变形规律，对整桥受力不利。采用加载平衡浇注法浇注完成的拱肋线形较传统平衡浇注法有了明显改善，更加符合拱结构在自重下的变形规律。

4 结论

文中基于影响线理论及叠加原理，推导了劲性骨架拱桥在浇注外包混凝土过程中拱顶挠度的表达式，并分析了拱顶压重法和斜拉扣索法的计算原理，得出结论如下：

(1) 采用4阶傅里叶级数对拱顶挠度影响线进行拟合较8项多项式有更高的精度，建议在对类似拱桥的拱顶挠度影响线进行拟合时，拟合函数采用傅里叶级数。

(2) 变截面劲性骨架拱桥由于外包混凝土重量从拱脚到拱顶逐渐变小，导致对拱顶挠度的正影响效应(拱顶变形向上)的增幅明显大于负影响效应(拱顶变形向下)，因此在浇注外包混凝土过程中，变截面劲性骨架拱桥较等截面劲性骨架拱桥拱顶更易出现向上变形。

(3) 推导了变截面劲性骨架拱桥在浇注外包混凝土过程中拱顶挠度的表达式，提出若ω=则不能通过传统平衡浇注法来控制拱顶不出现向上变形的判断准则。

(4) 拱顶压重法和斜拉扣索法属于加载平衡浇注法，通过影响线叠加原理计算的拱顶压重荷载和斜拉扣索张拉力，分别在对应施工阶段施加在相应位置能很好控制的拱顶挠度，浇注完成后拱肋线形良好^[1]。