目前，系杆拱桥设计大多采用试算法，逐次调整截面尺寸等构造参数及预加力等物理参数，直至满足规范要求。试算法的实质是验算通过则设计成功，导致构件受力合理性难以充分体现。因此，可通过优化结构体系内力分布改善构件受力状态，具体是在构件截面构造参数不变的前提下，通过调整物理参数(吊杆、系杆张力)及拱轴线形状，而不是调整构件构造参数^[1]，优化系杆拱桥结构体系内力分布。

下承式系杆拱桥由拱肋、吊杆和系杆组成梁拱组合结构体系，共同承受荷载^[2]。其中拱肋以承压为主、承弯为辅，吊杆承受轴向拉力，系杆既承受弯矩又承受轴向力，且各构件受力高度耦合。很多学者已从不同角度对系杆拱桥构件层面的内力优化方法进行了研究，相应研究成果主要集中在吊杆张力优化与拱轴线拟合两方面：

刘钊^[3]以拱肋和系杆应变能最小为目标，提出了确定吊杆合理张力的3种方法：刚性吊杆法、无限轴向刚度法和二次规划法，可快速确定系杆拱桥吊杆初始张力。孙传智^[4]将吊杆张力作为影响系杆拱桥成桥状态的影响因素，构造目标函数和约束条件，采用响应面法对吊杆张力进行优化。张熙胤等^[5]以影响矩阵法为基础，以结构应变能最小为优化目标，采用无约束优化算法，求解系杆拱桥的吊杆合理张力。刘旭政等^[6]以设计吊杆内力为目标，采用有约束的影响矩阵算法，计算支架现浇系杆拱桥主梁落架阶段的吊杆张力，以达到设计状态。

林阳子等^[7]采用高次抛物线拟合拱桥拱轴线，减小了拱轴线与压力线的偏差，改善了拱圈的受力状态。蒋启平^[8]、赵义书^[9]利用三次样条插值函数对钢管混凝土拱桥进行拱轴线拟合，有效减小了拱肋截面弯矩和剪力，对拱肋受力进行了优化。吴念^[10]分别将二次抛物线、三次样条曲线和悬链线作为系杆拱桥拱轴线，以拱肋截面恒载弯矩和轴力最小为优化目标拟合拱轴线，建议系杆拱桥拱轴线采用三次样条曲线。

文献^{[3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]}均以单一构件受力合理为优化目标，分别对吊杆和拱肋内力状态进行优化，得到了相应构件的内力优化状态。但是，单一构件内力优化状态未必对应结构体系内力优化状态。因此，结构体系层面的内力分布优化尚待进一步研究。

本研究基于结构设计优化理论，以下承式系杆拱桥结构体系弯曲和拉压应变能(以下简称结构体系应变能)之和最小为优化策略，构建吊杆和系杆张力优化模型，对吊杆和系杆内力分布进行优化；采用三次样条插值函数拟合拱轴线，构建系杆拱桥拱轴线优化模型，对拱肋内力分布进行优化，最终形成系杆拱桥结构体系层面的内力分布优化方法，为确定下承式系杆拱桥合理成桥状态奠定基础。

本文将吊杆和系杆张力同时作为优化变量，以结构体系应变能最小为目标函数，对吊杆和系杆内力分布进行优化。作为平面问题且不计剪切效应时，下承式系杆拱桥为外部静定、内部超静定结构，力学分析图式如图 1所示。吊杆和系杆张力优化指通过求解一组吊杆张力x₁,x₂,…,x_n－1和系杆张力x_n，使荷载作用下下承式系杆拱桥结构体系应变能最小。

图 1 下承式系杆拱桥力学分析图式 Fig. 1 Mechanical analysis diagram of through tied-arch bridge

图选项

系杆拱桥设计经验表明，拱肋以承压为主、承弯为辅；吊杆承受轴向拉力，不承受弯矩；系杆既承受弯矩又承受轴向力，各构件的剪切应变能均相对较小，可忽略不计。因此，下承式系杆拱桥结构体系的应变能包括拱肋、系杆的弯曲与拉压应变能和吊杆的拉压应变能，具体表达式为：

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假设单元截面面积和弹性模量为常量，弯矩沿单元轴向线性变化^[3](如图 2所示)，则用单元端部弯矩表达单元任意截面弯矩的表达式为：

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图 2 弯矩计算图式 Fig. 2 Calculation diagram of bending moment

图选项

同理可得单元任意截面轴力的表达式^[3]为：

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将式(2)和式(3)代入式(1)，可得结构体系离散后的应变能表达式为：

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式(4)为单元弯矩和轴力沿单元长度线性分布时，下承式系杆拱桥离散结构体系的应变能表达式，包括拱肋、系杆的弯曲应变能和拉压应变能，及吊杆的拉压应变能。式(1)与式(4)都是下承式系杆拱桥结构体系应变能的表达式，式(1)适用于连续结构，式(4)适用于离散结构。若将离散结构单元左端、右端弯矩向量分别记为M_L和M_R，单元左、右端轴力向量分别记为N_L和N_R，同时构造对角矩阵B和D，对角线元素分别为b_ii=L_i/6E_iI_i和d_ii=L_i/6E_iA_i，式(4)可用矩阵表示为：

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设在成桥状态下，单元弯矩、轴力由外荷载和吊杆、系杆张力内荷载所产生，于是：

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将式(6)和式(7)代入式(5)，可得：

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由式(8)可知，结构应变能U的表达式与单元端外荷载产生的内力有关，且内力与荷载形式无关，既可以是恒载作用下的内力，也可以是活载作用下的内力，还可以是恒载与活载组合作用下的内力。因此式(8)既可应用于恒载或活载单独作用下的结构体系内力分布优化，亦可应用于荷载组合作用下的结构体系内力分布优化。

当不设置约束条件时，根据最小势能原理有：

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由式(9)即可求出在最小结构应变能目标下的无约束最优吊杆和系杆张力，可采用科学计算软件Matlab内置的优化函数fminunc对目标函数进行求解。

内力分布优化后，结构体系应变能较设计值会有一定程度的减小，即优化后的结构体系内力值小于设计值。对于结构构造参数不变的下承式系杆拱桥，拱肋和吊杆内力的减小，有助于提高构件安全性。而系杆以平衡拱脚水平推力为受力特征，应保持一定的压力储备。所以，应根据吊杆内力及拱轴线理论优化结果，对系杆张力理论优化值进行再调整，以确保最不利荷载作用下系杆全截面受压。

均布荷载作用下，系杆拱桥合理拱轴线为二次抛物线。当吊杆内力较大或边吊杆距拱脚距离较大时，应将吊杆内力简化为作用于拱肋上的若干集中力，此时二次抛物线不再是系杆拱桥合理拱轴线，可以截面偏心距最小为目标，采用三转角法三次样条插值函数^[11]拟合新的合理拱轴线，一般步骤为：

(1)根据拱肋跨径L、矢高f，采用二次抛物线对拱顶和两个拱脚初拟拱轴线 y₀(x)，计算各控制节点的初始竖坐标 y₀(x_i)(i=0,1,2,…,n)。

(2)端点采用向前(向后)差商、中间点采用中心差商计算拱轴线上各控制点的一阶导数 y′₀(x_i)，应用有限元计算各控制点截面的弯矩 M(x_i)和轴力N(x_i)，对各控制节点坐标进行修正，修正量计算公式为^[12]：

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(3)重新计算各控制节点竖坐标，将修正后的控制点坐标代入有限元模型，由控制截面弯矩和轴力计算拱肋各控制节点的截面偏心距，直至 最小。

依据上述拱轴线拟合步骤，采用Matlab科学计算软件编制拱轴线拟合程序，为系杆拱桥拱肋内力优化提供支撑。

依据构建的吊杆、系杆张力优化模型和拱轴线优化模型，以结构体系应变能和拱肋各控制点截面偏心距最小为目标，采用迭代算法逐步对下承式系杆拱桥进行内力状态优化，可形成下承式系杆拱桥结构体系内力分布优化的计算方法。

系杆拱桥结构体系内力分布优化时，首先按照设计构形，计算荷载作用下离散单元的杆端弯矩和轴力，依据式(9)确定吊杆和系杆张力理论优化值；然后计算控制点截面偏心距，若最小则停止迭代；反之，计算拱轴线上各控制点的一阶导数，重新拟合拱轴线，并重复以上步骤直至拱肋控制点截面偏心距最小；输出吊杆、系杆张力和拱轴线理论优化值，以及对应的系杆拱桥内力分布状态；如果系杆压力储备不满足要求，还应根据系杆内力状态调整系杆张力理论优化值，具体流程如图 3所示。

图 3 下承式系杆拱桥结构体系内力分布优化流程 Fig. 3 Flowchart of optimizing internal forces distribution of structural system of through tied-arch bridge structural system

图选项

系杆拱桥结构体系内力分布优化的核心是确定吊杆、系杆张力及拱轴线，直至结构体系应变能和控制截面偏心距最小。结构体系内力分布优化的结果包括吊杆、系杆张力优化、拱轴线拟合和系杆张力调整，结构体系优化的结果包括吊杆、系杆张力和拱轴线优化值，以及对应的系杆拱桥内力分布状态。

某下承式钢管混凝土系杆拱桥，基本设计结果为：计算跨径96 m、矢高19.2 m，矢跨比1/5，设计拱轴线采用二次抛物线。拱肋采用哑铃型钢管混凝土截面，拱肋高2.4 m，拱肋钢管外径1.0 m，钢管及腹板壁厚14 mm，管内填充C40 微膨胀混凝土，腹腔中不填充混凝土。系杆采用箱形截面，标准截面宽1.2 m、高2.0 m，拱脚处加宽至1.4 m，加高至3.3 m。每片拱肋设间距为5.0 m的吊杆16根，实桥工程立面构造如图 4所示。

图 4 实桥工程立面构造示意 Fig. 4 Elevation view of actual bridge

图选项

为便于分析，仅对实桥工程恒载作用设计内力分布进行优化。实桥工程恒载作用包括一期恒载和二期恒载，一期恒载为结构自重；二期恒载包括整体化桥面板、桥面铺装与防撞护栏重量之和，其中整体化桥面板宽12.25 m，厚10 cm；桥面铺装层宽11.25 m，厚10 cm；单个护栏面积按0.25 m²计算，钢筋混凝土重度为25 kN/m³，沥青混凝土重度为23 kN/m³。二期恒载横桥向均匀分布，每片行车道板承受的均布荷载为5.75 kN/m。

取收敛阈值Δ=10^-3m，按照图 3所示优化流程对实桥工程恒载内力分布进行优化，迭代5次即可收敛，吊杆和系杆张力理论优化结果见表 1，优化前、后拱肋控制截面节点坐标变化见表 2。

由表 1可知：2^#吊杆张力理论优化值较设计值最大减小359.1 kN，减小约50%；1^#吊杆张力理论优化值较设计值最少减小96.5 kN，减小约10%，吊杆张力平均减小约38%；系杆张力理论优化值较设计值减小11 745.4 kN，减小约50%；说明吊杆和系杆张力理论优化值较设计值明显减小。

由表 2可知：拱脚截面拱轴线纵坐标无需调整，距拱脚40.5 m截面拱轴线纵坐标调整值为0.219 m，较设计值增大约1%；距拱脚6.0 m拱肋截面拱轴线纵坐标调整值为0.064 m，较设计值增大约1%；说明拱轴线理论优化值较设计值调整不显著。

取半跨拱脚截面、吊杆与拱肋交点截面、吊杆与系杆交点截面、跨中截面为控制截面。实桥工程优化前、后钢管混凝土拱肋控制截面恒载弯矩、轴力计算结果见表 3和表 4；优化前、后拱肋各控制截面恒载弯矩、轴力对比分别如图 5和图 6所示。

图 5 拱肋恒载弯矩 Fig. 5 Bending moments of rib under permanent load

图选项

图 6 拱肋恒载轴力 Fig. 6 Axial forces of rib under permanent load

图选项

由表 3可知：进行结构体系受力优化后，拱脚截面恒载弯矩理论优化值较设计值增加739.5 kN·m，大约增加25%；其他控制截面拱肋恒载弯矩理论优化值均明显小于设计值，距拱脚15.5 m拱肋截面恒载弯矩最大减小1 199.6 kN·m，减小比例约75%；拱肋跨中截面恒载弯矩最少减小218.2 kN，减小比例约30% 。

由表 4可知：进行结构体系受力优化后，拱肋控制截面恒载轴力理论优化值较设计值均得到减小；拱脚截面恒载轴力最大减小248.5 kN，减小比例约2%；距拱脚15.5 m拱肋截面恒载轴力最少减小145.6 kN，减小比例约1% 。

由图 5和图 6可知：结构体系内力分布优化后，拱肋各控制截面恒载弯矩除拱脚截面稍有增加外，其他控制点截面恒载弯矩均显著减小；优化后，拱肋各控制截面轴力均减小，即拱肋内力理论优化值较设计值显著减小。

实桥工程优化前后吊杆恒载轴力计算结果见表 5，吊杆恒载轴力对比如图 7所示。

表 5 吊杆恒载轴力

图 7 吊杆恒载轴力 Fig. 7 Axial forces of hangers under permanent load

图选项

从表 5及图 7可知：结构体系内力分布优化后，8^#吊杆恒载轴力最多减小180 kN，1^#吊杆恒载轴力最少减小5 kN，说明系杆拱桥体系内力优化后，吊杆恒载轴力有所降低。

结构体系内力分布优化前后，系杆各控制截面恒载弯矩、轴力计算结果见表 6和表 7，系杆各控制截面恒载弯矩、轴力对比分别如图 8和图 9所示。

图 8 系杆恒载弯矩 Fig. 8 Bending moments of tied bar under permanent load

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图 9 系杆恒载轴力 Fig. 9 Axial forces of tied bar under permanent load

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从表 6可知：结构体系内力分布优化后，系杆拱脚截面恒载弯矩从-2 230.8kN·m增加至-3 646.4kN·m(负号表示系杆截面上缘受拉)；跨中多个控制截面恒载弯矩减小，距拱脚40.5 m系杆控制截面恒载弯矩最大减小386.4 kN·m ，大约降低50%。

从表 7可知：设计状态下，系杆承受较大轴向压力，最大轴向压力为 10 650.7 kN；结构体系内力分布优化后，系杆拱脚截面承受145.8 kN轴向拉力，跨中多个控制截面承受轴向压力，其中跨中截面承受的轴向压力为3.3 kN。

由图 8和图 9可知：实桥工程体系内力分布优化后，结构体系应变能最小，拱肋及吊杆恒载内力分布较设计值合理，但此时系杆轴力处于拉、压临界状态，安全性较低。为此，应对系杆张力理论优化值进行调整，使系杆全截面受压，而对吊杆张力和拱轴线理论优化值不再调整。

系杆张力调整方法为：依据吊杆张力理论优化值与设计值的比例，对系杆张力进行调整。对于本例，优化后的吊杆张力平均减小约38%，将系杆张力调整为15 000 kN(约为原设计值的62%)后，拱肋恒载轴力、弯矩和系杆恒载轴力、弯矩计算结果见表 8，吊杆恒载轴力见表 9。如果此时系杆压力储备仍不满足要求，则进一步提高系杆张力优化值；反之，认为调整后的系杆张力值即为最终优化结果。

比较表 3、表 7与表 8、表 9可知：系杆张力调整后，下承式系杆拱桥结构体系内力分布较原设计值仍相对合理，且系杆轴力介于设计值与理论优化值之间，既能实现结构体系内力分布优化，又能使系杆保持一定的压力储备，充分发挥系杆拱桥的结构特点。

基于下承式系杆拱桥吊杆和拱肋内力优化方法，以结构应变能和拱肋控制截面偏心距最小为目标，形成了下承式系杆拱桥结构体系内力分布的优化方法，并通过实桥工程检验了优化方法的可行性，可得到以下主要结论：

(1)以结构应变能最小为目标函数，采用无约束优化算法，可以对下承式系杆拱桥吊杆和系杆内力分布进行优化。

(2)以拱肋控制截面偏心距最小为优化目标，采用三次样条插值函数拟合拱轴线，能够快速得到与吊杆、系杆张力理论优化值相匹配的拱轴线。

(3)通过吊杆、系杆张拉力优化与拱轴线拟合的有机结合，采用本文构建的系杆拱桥结构体系内力分布优化方法，能够对于满足规范要求的下承式系杆拱桥初步设计结果，在不改变结构截面尺寸构造的前提下，使得拱肋、吊杆及系杆内力显著减小，进而获得相对提升下承式系杆拱桥结构体系安全性的优化效果。

(4)优化后的下承式系杆拱桥结构体系内力分布状态，可作为系杆拱桥合理成桥状态，对于改善结构性能、完善设计结果、提高设计效率具有显著效益。