近年来，预应力混凝土梁桥开裂问题屡见不鲜，预应力混凝土梁桥的开裂原因有很多种，包括：材料损伤退化，如混凝土碳化、有害物侵蚀；设计荷载偏小，如构造不合理、计算内力与实际内力不符；施工过程中产生的裂缝，如混凝土水化热、收缩徐变、支架不均匀沉降；运营阶段产生的裂缝，如超载等。根据裂缝病害的严重程度会对结构产生不同程度的影响。混凝土裂缝理论的发展，从计算模式上主要有4类^[1-2]，即黏结滑移理论、无滑移理论、基于试验的统计方法和有滑移-无滑移统一理论。统一理论结合了黏结滑移理论和无滑移理论的优点，其计算结果与试验结果更为相符，目前得到了较广泛应用^[3]。

预应力混凝土梁桥的开裂使得结构安全性、适用性和耐久性降低。事实上，局部构件的失效可能导致一系列连锁反应，甚至导致与最初破坏不相称的灾难性事故^[4]，故有必要对可靠性降低的桥梁进行承载能力评定。主梁开裂会导致结构刚度降低，会加剧主梁跨中下挠，而跨中下挠会进一步加剧主梁开裂，两者相互影响，会形成恶性循环^[5]。不仅如此，梁体开裂会降低结构的安全性，长期下挠会影响结构适用性，对于在役桥梁开裂后的结构安全性计算不可避免地需要确定桥梁结构构件的开裂后刚度。然而，主梁开裂区域分布不均匀，裂缝数量繁多而又性状各异，很难确定一个合理的刚度用于结构计算。

对于钢筋混凝土和预应力混凝土梁开裂刚度目前采用的方法各不相同。我国《公路桥梁承载能力检测评定规程》(JTG/T J21—2011)^[6]采用的方法是：配筋混凝土桥梁在计算承载能力极限状态的抗力效应时，根据桥梁试验检测结果，引入检算系数Z₁或Z₂、承载能力恶化系数ξ_e、截面折减系数ξ_s和ξ_c进行修正计算。《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》(JTG D62—2004)^[7]采用直接双线性法，即将部分预应力混凝土梁的曲率-弯矩曲线近似看作两段直线，开裂弯矩以前的部分按未开裂截面的换算截面惯性矩I₀计算刚度，对超过开裂弯矩的部分按开裂后构件截面的开裂截面惯性矩I_cr计算刚度。

《混凝土结构设计规范》(GB 50010—2010)(2015年版)^[8]对预应力混凝土受弯构件允许出现裂缝时的短期刚度采用解析法计算。

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式中，B_s为短期刚度；M_cr为开裂弯矩；M_k为按荷载的标准组合计算的弯矩；α_E为钢筋弹性模量与混凝土弹性模量的比值，即E_s/E_c；ρ为纵向受拉钢筋配筋率；γ为混凝土构件的截面抵抗矩塑性影响系数；σ_pc为扣除全部预应力损失后，由预加力在抗裂验算边缘产生的混凝土预压应力；b_f，h_f分别为受拉区翼缘的宽度、高度；f_tk为混凝土轴心抗拉强度标准值；b，h₀分别为截面腹板宽度、截面有效高度；W₀为构件换算截面受拉边缘的弹性抵抗矩。

美国AASHTO标准^[9]和《美国混凝土房屋建筑规范》(ACI318-99)^[10]采用有效惯性矩法，即开裂前的短期刚度建议采用B_s=E_cI_g，E_c为混凝土弹性模量，I_g为毛截面惯性矩；开裂后的刚度采用有效惯性矩法B_s=E_cI_e，I_e为沿梁长的有效惯性矩：

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式中M_a为构件变形计算阶段的最大弯矩。

开裂弯矩M_cr的计算式为：

(7)

式中，f_r为混凝土断裂模量；y_t为中性轴到受拉边的距离。

美国规范是根据开裂弯矩对使用弯矩所占比例的大小，把有效惯性矩I_e折算为开裂前的截面惯性矩I_g和开裂后的惯性矩I_cr之间的值。

此外，曲率积分法^[11]采用弯矩-曲率关系，求得构件在荷载弯矩作用下的变形和刚度；等效拉力法^[12]根据裂缝之间的混凝土所承受的拉力，换算假定混凝土不受拉时所计算的裂缝处钢筋拉力，从而对刚度进行修正。规范规定的方法对开裂后的刚度采用统一值，未能考虑开裂后主梁刚度沿梁长方向的变化情况，而其他方法又过于复杂，对刚度计算时实用性不强。

预应力混凝土梁桥受各种因素影响，其裂缝出现和开展具有较大的随机性。裂缝与结构的承载能力之间具有对应关系^[13]，通过研究二者之间的关系，构建裂缝特征库和抗力库，依此对桥梁承载能力评估已有研究。预应力混凝土梁开裂后，统计裂缝特征参数和对有效预应力进行计算是对开裂构件安全性评估的关键^[14-15]，裂缝特征统计参数与结构有效预应力亦存在相应关系。目前预应力损失是导致大跨径混凝土梁桥长期下挠的一个重要原因，裂缝特征对开裂后主梁挠度分析具有重要意义。

裂缝的开展性状是构件内力状态和损伤程度的外在表现，裂缝性状描述包括裂缝高度、宽度、间距、范围等。由于裂缝性状复杂，且可能出现的裂缝较多，为了便于研究，需要采用统计学的观点，对构件外观调查的裂缝情况建立能够描述裂缝特征的统计参数，这些参数主要指裂缝的平均高度h_cr、平均间距l_cr、裂缝总宽度Δ_cr等^[16]。

采用截面分析方法进行分析计算时，开裂损伤对结构构件影响分析的重点是对弯曲裂缝的准确模拟。要考虑裂缝沿梁长方向分布的情况，可近似地将主梁沿梁长方向划分为若干个开裂区段，根据外观检测的裂缝特征，将高度相近(差值小于梁高的1/10)的裂缝仅合并为1个区段，同时兼顾考虑裂缝间距。对每个区段的截面积、惯性矩等进行折减，从而可得到弯曲裂缝区域的阶梯形刚度，如图 1所示。l₁和l₅对应的刚度为B₀，l₂~l₄分别对应的刚度为B_cr1~B_cr3。

图 1 阶梯刚度折减图 Fig. 1 Ladder stiffness reduction

与传统意义的做法相比，传统意义的开裂刚度是将所有弯曲裂缝统一统计，取最远的两条裂缝间的距离叠加一定修正值作为开裂范围，进而折算为统一的开裂惯性矩，阶梯刚度模式是按照裂缝特征归类，将构件划分为多个刚度区段，既细化了传统做法，又未过分增加刚度计算的工作量。

梁底拉应变与裂缝特征参数存在一定关系^[17-18]：

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式中，Δ_cr为裂缝总宽度；l为开裂段两外侧裂缝之间长度；l_cr为该区段内平均裂缝间距；X_d为梁底混凝土应变的理论平均值；X_ds为梁底混凝土的实际应变平均值，取决于实际应变分布规律。

假定出现裂缝的高度范围内均为受拉区，以裂缝统计参数为依据，根据阶梯刚度模式，将主梁划分为阶梯刚度梁，根据求出的各区段裂缝的平均高度及名义拉应变求出截面曲率：

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式中，φ为截面曲率；ε′_t为两裂缝之间混凝土的应变；Δ_i为该区段裂缝总宽度与原始总宽度的增量；l_i为开裂范围。

根据曲率和弯矩的关系求出该区段的有效刚度：

(11)

式中M为该区段的弯矩。

挠度计算可采用分段积分的方法进行。根据裂缝特征统计参数，利用阶梯刚度求解方法求出各区段的有效刚度，通过分段积分法求出构件在短期荷载效应组合弯矩标准值M_s作用下的变形。本方法比采用统一裂缝特征参数求出的变形值更接近真实值，比遵循最小刚度原则计算的挠度值偏小。

通过分段积分可求得开裂构件的挠度(如图 1所示，以左支点为x的起点)：

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式中，w(x)为挠度值；M(x)为弯矩值；B₀为第0区段的刚度；B_cr1为第1区段的刚度；C，D分别为根据边界条件确定的积分常数。

以此类推，可求得开裂构件不同位置的挠度值。

试验采用两根预应力混凝土简支梁模型进行，分别记为L-1和L-2，两根梁的参数均相同，构造形式如图 2所示。

图 2 试验T梁结构构造图(单位：cm) Fig. 2 T-shaped test girder configuration (unit: cm)

预应力钢筋采用标准强度为1 860 MPa的7ϕ^S15.2高强低松弛钢绞线，张拉力为140 kN；普通钢筋采用ϕ6的光圆钢筋。

试验梁在反复荷载作用下跨中截面附近出现受拉横向裂缝。本研究以开裂后的试验梁跨中挠度为研究对象，对阶梯刚度取值效果进行验证。

试验采用液压千斤顶通过反力架进行加载，荷载P用1.3 m的分配梁对称作用在距跨中0.55 m的位置，如图 3所示。

图 3 简支T梁加载示意图(单位：cm) Fig. 3 Schematic diagram of loading on simply supported T-girder (unit: cm)

试验采用分级加载。每级加载完成后，检测裂缝特征情况，读取跨中挠度值。

根据试验结果，绘制荷载-挠度曲线，如图 4所示。

图 4 荷载-挠度曲线 Fig. 4 Load-deflection curves

由试验结果及荷载-挠度曲线可知，L-1梁在荷载P=35 kN时的挠度为18.11 mm，L-2梁在P=18 kN时的挠度值为9.65 mm，且两根梁的荷载-挠度关系近似呈线性关系。

根据每级加载下的裂缝特征求出其统计参数，主要指裂缝平均高度、最大宽度、总宽度、开裂范围。采用上述区段划分原则，即高度差小于1/10梁高的裂缝范围划分为1个区段，并根据各区段的统计参数求出每级荷载下各区段的截面有效刚度。两根梁的阶梯刚度划分如图 5所示，限于篇幅原因，仅示出两根梁在最大荷载下的刚度区段划分。

图 5 刚度区段划分(单位：cm) Fig. 5 Stiffness zone divisions (unit: cm)

根据裂缝统计特征参数和上述刚度计算方法，计算得到各荷载作用下的开裂刚度，见表 1。

采用上述阶梯刚度和分段积分法对两根梁的挠度进行计算，得到主梁在阶梯刚度下的挠度计算值。同时，采用《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》(JTG D62—2004)中的刚度计算方法计算出主梁的挠度，得到规范方法的挠度计算值。将两组挠度计算值分别与实测挠度值进行对比，对比结果如图 6所示。

图 6 挠度对比曲线 Fig. 6 Deflection contrast curves

由对比结果可知，本研究采用的阶梯刚度模式和分段积分求挠度的方法计算出的开裂后挠度更接近实测值。

本研究针对主梁开裂后刚度难以准确计算，导致挠度计算不准确的问题，提出了阶梯刚度模式。通过阶梯刚度简化计算方法和挠度分段积分的方法，可求得更精确的挠度计算值，并与规范方法进行比较，得到一些有益的结论。

(1) 根据《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》(JTG D62—2004)计算出的开裂后的挠度值较试验挠度值偏大，故规范的方法计算刚度和挠度是偏安全的。

(2) 提出了阶梯刚度简化计算方法和挠度分段积分方法。经过试验验证，本方法计算出的挠度值与规范规定的方法相比，更接近试验的挠度实测值，且比实测值略偏大，但比规范规定的方法计算值偏小。

(3) 以实测裂缝的统计参数为依据，建立了阶梯刚度模式和简化计算方法。实践证明本方法计算简便，更接近实际结构状态，与实测值吻合度高。