永磁同步电机（permanent magnet synchronous motor，PMSM）以其高功率密度、高转矩/惯量比、高效率和易维护等优点，在航空航天、雷达、数控机床和机器人等伺服应用场合得到广泛应用。传统的PMSM调速伺服系统大多采用双环结构，由外至内分别为转速环和电流环，且均采用PI控制器^[1]。而PMSM本身是一个多变量、强耦合、非线性的控制对象，传统的线性PI控制器很难满足其伺服系统的高性能需求。

自抗扰控制器（active disturbance rejection control，ADRC）^[2-4]由中国科学院韩京清研究员提出，它在传承了经典PID控制优点的基础上，通过改进经典PID固有缺陷而形成。其核心内涵在于：把系统的内部参数变化、模型的不确定性和外部扰动等效成一个集总扰动，以非线性扩张状态观测器（nonlinear extended state observer，NLESO）对它实时估计，并进行补偿，从而使系统化为串联积分这一韩氏标准形式，再设计非线性误差反馈控制律（nonlinear state error feed-back，NLSEF），从而使得闭环动态系统具有较好的控制性能。虽然ADRC的非线性增益使其性能优良，但是可调参数较多，加上不容易对它进行性能分析，限制了对其理论上的深入研究和工程上的应用。

美国克利夫兰州立大学的高志强教授^[5]率先意识到了ADRC的调参问题，通过引入带宽的概念，把ADRC改造成线性自抗扰控制器(linear active disturbance rejection control, LADRC)。其主要过程是将NLESO和NLSEF的非线性增益线性化和参数化，同时给出了LESO和LSEF的参数配置方法，大大减少了ADRC的设计参数。文献[6]分析了LADRC控制器的稳定条件；文献[7]通过扫频方法得出LESO对扰动的低频段估计能力比中高频段强的结论。文献[8]得到LESO观测能力与观测器带宽成正比的结论，加上带宽的物理意义更容易被工程师接受，使得LADRC在电厂过程控制^[9]、冶金轧机主传动系统控制^[10]及微机电系统控制^[11]中得到了广泛的应用。

为了更进一步提高LADRC的性能，对LESO的集总扰动高阶化，即high-order LESO (HLSEO)，已成为研究的热点。如文献[12]将HLSEO定义为LESO的扩张形式。文献[13]提出的广义比例积分(generalized proportional integral, GPI)观测器与HLESO的设计思想是一致的。文献[14-15]则系统地对比分析了LESO和HLESO对二阶对象的扰动抑制能力及抗噪声干扰能力，同时还对HLESO的阶数对控制器的影响进行了详细的分析。

另外，若系统的一些状态变量可由传感器直接检测，则没有必要对该状态变量进行估计，进而减少观测器的工作量，如文献[16]设计了一种降维扩张线性观测器(reduced-order LESO, RLESO)，但由于它对噪声敏感，很难用于实践，为此，文献[17]作了相应的改进，并将它用于过程控制系统，取得了很好的效果。

目前，PMSM的抗扰动控制研究取得了很多成就，大致就是对这两方面进行改进：反馈控制律和观测器。文献[18]采用LESO观测扰动，反馈控制律则选择预测控制来调节转速，文献[19]则采取:“LESO+自适应反馈控制律”的方式调速，文献[20]则采取滑模控制的方式调速，其逻辑和LADRC相似，就是设计出滑模控制观测器来估计扰动，再设计滑模反馈控制律实现跟踪参考输入。上述控制策略都能提高PMSM的调速性能，但算法实现复杂，可调参数多，使得其实际应用存在一定问题。

本文重点分析基于传统(traditional)、高阶(high-order)、降维(reduced-order)LESO (TLESO，HLESO和RLESO)设计的LADRC对PMSM转速环性能的影响。由于PMSM调速系统的转速环是一个一阶系统，因此，设计了基于一阶对象的3种LESO，并对各LESO的收敛性进行了证明。通过频域分析，明确了各LESO的性能和特点。同时，对比了TLADRC，HLADRC和RLADRC控制转速环时，系统的扰动抑制能力与噪声抑制能力。

1 PMSM转速环的自抗扰控制器设计 1.1 PMSM的矢量控制

三相永磁同步电机的数学模型是一个多变量、强耦合的非线性系统。本文以三相正弦波电流驱动的表贴式永磁同步电动机(surface PMSM, SPMSM)为被控对象，采用矢量控制原理进行解耦。同时，对SPMSM作以下假设：

1) 假设磁路不饱和；

2) 不计磁滞和涡流损耗影响；

3) 空间磁场呈正弦分布；

4) 永磁同步电机转子为圆筒形(L_d=L_q=L)。

可以得到d-q坐标系上PMSM的状态方程^[21]，描述如下：

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot i}_d}}\\ {{{\dot i}_q}}\\ {{{\dot \omega }_{\rm{r}}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{R}{L}}&{{p_{\rm{n}}}{\omega _{\rm{r}}}}&0\\ { - {p_{\rm{n}}}{\omega _{\rm{r}}}}&{ - \frac{R}{L}}&{ - \frac{{{p_{\rm{n}}}{\varphi _{\rm{r}}}}}{L}}\\ 0&{\frac{{3{p_{\rm{n}}}{\varphi _{\rm{r}}}}}{{2J}}}&{ - \frac{B}{J}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{i_d}}\\ {{i_q}}\\ {{\omega _{\rm{r}}}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{U_d}}}{L}}\\ {\frac{{{U_q}}}{L}}\\ { - \frac{{{T_1}}}{J}} \end{array}} \right] $

(1)

式中：R为绕组等效电阻；L为等效电感；p_n为极对数；ω_r为转子角速度；φ_f为转子磁场等效磁链；T_l为负载转矩；i_d为d轴电流；i_q为q轴电流; J为转动惯量；B为黏性摩擦系数。

为获得线性状态方程，本文采用i_d=0的矢量控制方式，即得到：

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot i}_q}}\\ {{{\dot \omega }_{\rm{r}}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{R}{L}}&{ - \frac{{{p_{\rm{n}}}{\varphi _{\rm{f}}}}}{L}}\\ {\frac{{3{p_{\rm{n}}}{\varphi _{\rm{f}}}}}{{2J}}}&{ - \frac{B}{J}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{i_q}}\\ {{\omega _{\rm{r}}}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{U_q}}}{L}}\\ { - \frac{{{T_1}}}{J}} \end{array}} \right] $

(2)

1.2 一阶对象的3种LESO设计

从式(2)中知道转速环是一个一阶系统：

$ {{\dot \omega }_{\rm{r}}} = bu + f\left( t \right) $

(3)

式中:$b=\frac{3{{p}_{\rm{n}}}{{\varphi }_{\rm{f}}}}{2J}$, 为电流增益; $f\left( t \right)=\frac{3{{p}_{\rm{n}}}{{\varphi }_{\rm{f}}}}{2J}\left( {{i}_{q}}-i_{q}^{8} \right)-\frac{B{{\omega }_{\rm{r}}}}{J}-\frac{{{T}_{1}}}{J}$, 为系统受到的内外总扰动之和；$u=i_{q}^{*}$，为控制器输出的q轴电流。

设状态变量：x₁=ω_r，x₂=f(t)，且$\dot{f}\left( t \right)=h$，则式(3)可写为状态空间形式：

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot x}_1} = {x_2} + bu\\ {{\dot x}_2} = h\\ y = {x_1} \end{array} \right. $

(4)

对系统(4)建立如下的TLESO系统^[5]：

$ \left\{ \begin{array}{l} {e_1}\left( t \right) = {z_1}\left( t \right) - y\left( t \right)\\ {{\dot z}_1}\left( t \right) = bu - 2{\omega _{\rm{o}}}{e_1}\left( t \right)\\ {{\dot z}_2}\left( t \right) = - \omega _{\rm{o}}^2{e_1}\left( t \right) \end{array} \right. $

(5)

式中:z₁，z₂分别是x₁，x₂的估计值; ω_o为观测器带宽，可见经过线性化和参数化，ω_o成为TLESO的唯一可调参数，而且物理意义明确。

特别地，将TLESO的扩张状态高阶化，可得到HLESO，即：

$ \left\{ \begin{array}{l} {e_1}\left( t \right) = {z_1}\left( t \right) - y\left( t \right)\\ {{\dot z}_1}\left( t \right) = bu - 3{\omega _{\rm{o}}}{e_1}\left( t \right)\\ {{\dot z}_2}\left( t \right) = {z_3}\left( t \right) - 3\omega _{\rm{o}}^2{e_1}\left( t \right)\\ {{\dot z}_3}\left( t \right) = - \omega _{\rm{o}}^3{e_1}\left( t \right) \end{array} \right. $

(6)

式中z₁，z₂和z₃分别是x₁，x₂和扰动f的导数的估计值。

注意：式(5)、(6)满足的观测器增益一般表达式为：${{a}_{i}}=\frac{\left( n+1 \right)!\omega _{o}^{i}}{i!\left( n+1-i \right)!}$, i=1, 2, …，n+1，其中n=1, 2时, a_i分别对应TLESO和HLESO的增益，当然还可以继续对扰动f高阶化，但并不是阶数越高越好，因为阶数越高，系统越容易振荡，甚至会导致不稳定，这从后文的频域分析也能得出。因此，本文仅对n=2这一典型HLESO进行分析。

由上述2种观测器可知：观测器在工作时，都把输出量y=x₁估计出来。实际情况是y可以由传感器直接测出，况且LADRC补偿扰动时真正需要的是：观测器能准确估计出系统的扰动量f。为此，本文引入RLESO，即只对扰动f进行估计。其推导过程如下：

$ {{\dot z}_2} = - {\omega _{\rm{o}}}{z_2} - {\omega _{\rm{o}}}bu + {\omega _{\rm{o}}}\dot y $

(7)

为了避免直接对输出量y进行微分而带来大量噪声^[17]，定义一个新的状态变量z，其取值为：

$ z = {z_2} - {\omega _{\rm{o}}}y $

(8)

则式(7)可写为：

$ \dot z = - {\omega _{\rm{o}}}z - \omega _{\rm{o}}^2y - {\omega _{\rm{o}}}bu $

(9)

由LESO估计出扰动，接下来就可以设计转速环的LADRC。

1.3 转速环的LADRC设计

在PMSM调速系统中，转速环所面临的主要干扰包括PMSM参数不确定性和可变性、电流环控制误差、负载转矩和黏性摩擦等。针对转速环设计的LADRC由四部分组成，如图 1所示。

由图 1可知，转速环LADRC由四部分组成：

1) 一阶线性跟踪微分器(linear tracking differentiator, LTD)、LESO、扰动抵消和一阶LSEF。

注意：在图 1中，当LESO选择RLESO时，由于没有对状态变量进行估计，因此，控制系统的反馈量是系统的输出ω_r，而不是z₁。另外，LTD的作用是设置过渡过程，这在工业控制中是常见的。但在仿真中发现LTD的对转速环的影响不大(因为LESO能估计出相应的扰动并及时补偿)，且本文重点研究的是基于各LESO设计的LADRC的性能对比，故在转速环控制器的设计中略去LTD。

LESO作为LADRC最重要的环节，它对状态变量和扰动的估计直接关系到控制的品质。1.2节已经完成了3种LESO的设计，本节只设计LSEF和扰动抵消部分。

由LESO得出的集总扰动估计值z₂对扰动进行抵消，并设计一阶LSEF如下：

$ \left\{ \begin{array}{l} u = \frac{{{u_0} - {z_2}}}{b}\\ {u_0} = {k_{\rm{p}}}\left( {\omega _{\rm{r}}^ * - {z_1}} \right) \end{array} \right. $

(10)

式中k_p为比例增益，根据LADRC的参数整定法^[2]：

$ {k_{\rm{p}}} = {\omega _{\rm{c}}} $

(11)

式中ω_c为系统闭环带宽，决定着系统响应的快慢，ω_c越大，系统响应越快。

从上述设计过程可知，各LADRC最大的差别在于LESO。为了后续方便分析，把基于TLESO，HLESO和RLESO设计的控制器分别对应为TLADRC，HLADRC和RLADRC。

1.4 LADRC控制转速环的稳定性分析

为了分析转速环的闭环稳定性，可先由叠加原理(线性系统的总输出等于各输入的输出总和)来得出输出的表达式，再进行分析。

1) TLADRC控制转速环。

为方便分析，先推导出控制器输出u和系统输出y到各状态变量的传递函数。

由式(5)可得出其状态空间形式如下：

$ \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{\dot z}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {\omega _{\rm{o}}}}&1\\ { - \omega _{\rm{o}}^2}&0 \end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{z + }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} b&{2{\omega _{\rm{o}}}}\\ 0&{\omega _{\rm{o}}^2} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} u\\ y \end{array}} \right]\\ y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{z}} \end{array} \right. $

(12)

由现代控制理论可推导出如下传递函数矩阵：

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_1}\left( s \right)}\\ {{z_2}\left( s \right)} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{bs}}{{{s^2} + 2{\omega _{\rm{o}}}s + \omega _{\rm{o}}^2}}}&{\frac{{2{\omega _{\rm{o}}}s + \omega _{\rm{o}}^2}}{{{s^2} + 2{\omega _{\rm{o}}}s + \omega _{\rm{o}}^2}}}\\ {\frac{{ - \omega _{\rm{o}}^2b}}{{{s^2} + 2{\omega _{\rm{o}}}s + \omega _{\rm{o}}^2}}}&{\frac{{\omega _{\rm{o}}^2s}}{{{s^2} + 2{\omega _{\rm{o}}}s + \omega _{\rm{o}}^2}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {u\left( s \right)}\\ {y\left( s \right)} \end{array}} \right] $

(13)

对式(4)、(10)、(11)和(13)作相应变换并联立，可得出方程组：

$ \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{bu + f}}{s}\\ u = \frac{{{\omega _{\rm{c}}}\left( {r - {z_1}} \right) - {z_2}}}{b}\\ {z_1} = \frac{{bs}}{{{s^2} + 2{\omega _{\rm{o}}}s + \omega _{\rm{o}}^2}}u + \frac{{2{\omega _{\rm{o}}}s + \omega _{\rm{o}}^2}}{{{s^2} + 2{\omega _{\rm{o}}}s + \omega _{\rm{o}}^2}}y\\ {z_2} = \frac{{ - \omega _{\rm{o}}^2b}}{{{s^2} + 2{\omega _{\rm{o}}}s + \omega _{\rm{o}}^2}}u + \frac{{\omega _{\rm{o}}^2s}}{{{s^2} + 2{\omega _{\rm{o}}}s + \omega _{\rm{o}}^2}}y \end{array} \right. $

(14)

式(14)中r为转速环的参考输入，y为转速环的输出，后续分析均与此相同。对式(14)进行数学推导，可得出y与r和f的关系式如下：

$ y = \frac{{{\omega _{\rm{c}}}}}{{s + {\omega _{\rm{c}}}}}r + \frac{{s + {\omega _{\rm{c}}} + 2{\omega _{\rm{o}}}}}{{{{\left( {s + {\omega _{\rm{o}}}} \right)}^2}\left( {s + {\omega _{\rm{c}}}} \right)}}fs $

(15)

从式(15)可知系统的输出由跟踪项和扰动项组成，记扰动项为：

$ {y_{\rm{d}}} = \frac{{s + {\omega _{\rm{c}}} + 2{\omega _{\rm{o}}}}}{{{{\left( {s + {\omega _{\rm{o}}}} \right)}^2}\left( {s + {\omega _{\rm{c}}}} \right)}}fs $

(16)

若系统稳态输出y不受f的影响，则应满足：

$ \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} s{y_{\rm{d}}} = 0 $

(17)

注意：fs在时域分析中表示f的导数，要满足式(17)，则式(16)中的fs必须有界，即在时域分析中有：

$ \left| {\dot f} \right| \le M $

(18)

式中M为不趋于无穷大的非负数。

f不对输出y产生影响，说明TLESO能估计出扰动，并由反馈控制律进行抵消。因此，对于TLESO的收敛性条件为：扰动f可微；f的导数有界。当扰动项的影响可以忽略时，系统的输出只剩下跟踪项。很明显，此时闭环系统是稳定的。

2) HLADRC控制转速环。

为方便分析，先推导出控制器输出u和系统输出y到各状态变量的传递函数。

由式(6)可得出其状态空间形式如下：

$ \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{\dot z}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3{\omega _{\rm{o}}}}&1&0\\ { - 3\omega _{\rm{o}}^2}&0&1\\ { - \omega _{\rm{o}}^3}&0&0 \end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{z}} + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} b&{3{\omega _{\rm{o}}}}\\ 0&{3\omega _{\rm{o}}^2}\\ 0&{\omega _{\rm{o}}^3} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} u\\ y \end{array}} \right]\\ y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{z}} \end{array} \right. $

(19)

由现代控制理论可推导出如下传递函数矩阵：

$ \begin{array}{l} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_1}\left( s \right)}\\ {{z_2}\left( s \right)} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{b{s^2}}}{{{{\left( {s + {\omega _{\rm{o}}}} \right)}^3}}}}&{\frac{{3{\omega _{\rm{o}}}{s^2} + 3\omega _{\rm{o}}^2s + \omega _{\rm{o}}^3}}{{{{\left( {s + {\omega _{\rm{o}}}} \right)}^3}}}}\\ {\frac{{ - b\left( {\omega _{\rm{o}}^3 + 3\omega _{\rm{o}}^2s} \right)}}{{{{\left( {s + {\omega _{\rm{o}}}} \right)}^3}}}}&{\frac{{\omega _{\rm{o}}^3s + 3\omega _{\rm{o}}^2{s^2}}}{{{{\left( {s + {\omega _{\rm{o}}}} \right)}^3}}}} \end{array}} \right]\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {u\left( s \right)}\\ {y\left( s \right)} \end{array}} \right] \end{array} $

(20)

注意：由于z₃是对扰动f的导数的估计，而在稳定性证明中，没有用到z₃，故其传递函数未列出。

对式(4)、(10)、(11)和(20)作相应变换并联立，可得出方程组：

$ \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{bu + f}}{s}\\ u = \frac{{{\omega _{\rm{c}}}\left( {r - {z_1}} \right) - {z_2}}}{b}\\ {z_1} = \frac{{b{s^2}}}{{{{\left( {s + {\omega _{\rm{o}}}} \right)}^3}}}u + \frac{{3{\omega _{\rm{o}}}{s^2} + 3\omega _{\rm{o}}^2s + \omega _{\rm{o}}^3}}{{{{\left( {s + {\omega _{\rm{o}}}} \right)}^3}}}y\\ {z_2} = \frac{{ - b\left( {\omega _{\rm{o}}^3 + 3\omega _{\rm{o}}^2s} \right)}}{{{{\left( {s + {\omega _{\rm{o}}}} \right)}^3}}}u + \frac{{\omega _{\rm{o}}^3s + 3\omega _{\rm{o}}^2{s^2}}}{{{{\left( {s + {\omega _{\rm{o}}}} \right)}^3}}}y \end{array} \right. $

(21)

对式(21)进行数学推导，可得出y与r和f的关系式如下：

$ y = \frac{{{\omega _{\rm{c}}}}}{{s + {\omega _{\rm{c}}}}}r + \frac{{s + {\omega _{\rm{c}}} + 3{\omega _{\rm{o}}}}}{{{{\left( {s + {\omega _{\rm{o}}}} \right)}^3}\left( {s + {\omega _{\rm{c}}}} \right)}}f{s^2} $

(22)

由式(22)可知系统的输出由跟踪项和扰动项组成。闭环系统的稳定性分析与TLADRC控制转速环是类似的。由于扰动项含有fs²，因此HLESO的收敛条件为：扰动f二阶可微；f的二阶导数有界。

3) RLADRC控制转速环。

对(4)、(7)、(10)和(11)作相应变换并联立，可得出方程组：

$ \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{bu + f}}{s}\\ u = \frac{{{\omega _{\rm{c}}}\left( {r - y} \right) - {z_2}}}{b}\\ {z_2} = \frac{{ - b}}{{s + {\omega _{\rm{o}}}}}u + \frac{{{\omega _{\rm{o}}}s}}{{s + {\omega _{\rm{o}}}}}y \end{array} \right. $

(23)

注意：由于采用RLESO来估计扰动，式(23)没有对y进行估计，即z₁的等式不存在。同时，反馈控制率中，使用的是y而不是z₁。

对式(23)进行数学推导，可得出y与r和f的关系式如下：

$ y = \frac{{{\omega _{\rm{c}}}}}{{s + {\omega _{\rm{c}}}}}r + \frac{1}{{\left( {s + {\omega _{\rm{o}}}} \right)\left( {s + {\omega _{\rm{c}}}} \right)}}fs $

(24)

由式(24)可知系统的输出由跟踪项和扰动项组成。系统的闭环稳定性分析与TLADRC控制转速环是类似的。同时由于扰动项含有fs，因此RLESO的收敛条件为：扰动f可微；f的导数有界。

综上所述，3种LADRC控制的PMSM转速环是稳定的，同时也通过扰动项的表达式推导出各LESO的收敛条件。

2 LESO的频域分析

频域分析法作为经典控制理论最重要的分析工具，能最直观地反映系统性能指标，是工程师设计控制系统最热衷使用的方法，但现代控制理论依据的却是时域分析，使得频域分析处于十分尴尬的境地。LADRC的出现使得这种状况有所改观，文献[22]通过频域分析清晰地表达了LADRC在内部参数不确定性、外部扰动存在时系统的鲁棒性。特别是，通过对LESO的频域分析，使我们对各LESO的性能有清晰的判断，为控制系统设计优化指明了方向。

要对各LESO进行频域分析，首先要得到集总扰动f到其估计量z₂的传递函数。

对于TLESO，将式(4)和式(12)重写成如下形式：

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot \omega }_{\rm{r}}} = bu + f\left( t \right)\\ {{\dot z}_1} = bu + {z_2} - 2{\omega _{\rm{o}}}\left( {{z_1} - {\omega _{\rm{r}}}} \right)\\ {{\dot z}_2} = - \omega _{\rm{o}}^2\left( {{z_1} - {\omega _{\rm{r}}}} \right) \end{array} \right. $

(25)

考虑零初始条件，对式(25), 进行Laplace变换，可得：

$ \left\{ \begin{array}{l} s{W_{\rm{r}}}\left( s \right) = bU\left( s \right) + F\left( s \right)\\ s{Z_1}\left( s \right) = bU\left( s \right) + {Z_2}\left( s \right) - 2{\omega _{\rm{o}}}\left( {{Z_1}\left( s \right) - {W_{\rm{r}}}\left( s \right)} \right)\\ s{Z_2}\left( s \right) = - \omega _{\rm{o}}^2\left( {{Z_1}\left( s \right) - {W_{\rm{r}}}\left( s \right)} \right) \end{array} \right. $

(26)

在式(26)中，消去bU(s)和Z₁(s)-W_r(s)，即可得到F(s)到Z₂(s)的传递函数：

$ {G_1}\left( s \right) = \frac{{{Z_2}\left( s \right)}}{{F\left( s \right)}} = \frac{{\omega _{\rm{o}}^2}}{{{s^2} + 2{\omega _{\rm{o}}}s + \omega _{\rm{o}}^2}} $

(27)

同理，对于HLESO，可分别对式(4)和(19)进行零初始条件的Laplace变换，由此得：

$ {G_2}\left( s \right) = \frac{{{Z_2}\left( s \right)}}{{F\left( s \right)}} = \frac{{3\omega _{\rm{o}}^2s + \omega _{\rm{o}}^3}}{{{s^3} + 3{\omega _{\rm{o}}}{s^2} + 3\omega _{\rm{o}}^2s + \omega _{\rm{o}}^3}} $

(28)

而对于RLESO，可分别对式(4)和(7)进行零初始条件的Laplace变换，得到：

$ \left\{ \begin{array}{l} s{W_{\rm{r}}}\left( s \right) = bU\left( s \right) + F\left( s \right)\\ s{Z_2}\left( s \right) = - {\omega _{\rm{o}}}\left( {{Z_2}\left( s \right) + bU\left( s \right) - s{W_{\rm{r}}}\left( s \right)} \right) \end{array} \right. $

(29)

消去bU(s)和W_r(s), 可得：

$ {G_3}\left( s \right) = \frac{{{Z_2}\left( s \right)}}{{F\left( s \right)}} = \frac{{{\omega _{\rm{o}}}}}{{s + {\omega _{\rm{o}}}}} $

(30)

而G_i(s)=1-G_i(s)(i=1, 2, 3)决定了扰动的抑制性能，其传递函数如下：

$ \left\{ \begin{array}{l} {G_1}\left( s \right) = \frac{{{s^2} + 2{\omega _{\rm{o}}}s}}{{{s^2} + 2{\omega _{\rm{o}}}s + \omega _{\rm{o}}^2}}\\ {G_2}\left( s \right) = \frac{{{s^3} + 3{\omega _{\rm{o}}}{s^2}}}{{{s^3} + 3{\omega _{\rm{o}}}{s^2} + 3\omega _{\rm{o}}^2s + \omega _{\rm{o}}^3}}\\ {G_3}\left( s \right) = \frac{s}{{s + {\omega _{\rm{o}}}}} \end{array} \right. $

(31)

频域分析时均取G_i(s)(i=1, 2, 3)的观测器带ω_o=1 600 rad/s，分别得出G_i(s)(i=1, 2, 3)的幅频、相频响应曲线以及G_i(s)(i=1, 2, 3)幅频响应曲线。

1) G_i(s)(i=1, 2, 3)的幅频响应曲线如图 2所示。

由图 2可知：TLESO对高频扰动的抑制最强，HLESO次之，RLESO最弱；在中频和高频段，HLESO的增益会增大。由鲁棒控制理论^[23]可知，系统在中频和高频段增益的提高会降低系统的鲁棒性，而且随着系统高频增益的提高，高频噪声可能会使控制系统的品质极大地下降。

2) G_i(s)(i=1, 2, 3)的相频响应曲线如图 3所示。

由图 3可知：在中低频段，TLESO有很大的相位滞后，这将导致观测器不能对扰动及时估计，进而影响TLADRC对扰动的抵消，导致抗扰能力不如人意；在中低频段，HLESO和RLESO具有较小的相位滞后，因而两者都能在最短时间对扰动及时估计，使得HLADRC和RLADRC能立刻抵消扰动，降低不确定性干扰对系统的影响，大大提高控制品质。

3) G_i(s)(i=1, 2, 3)的幅频响应曲线如图 4所示。

由图 4中G_i(s)(i=1, 2, 3)的幅频特性可以看出，此时3种观测器高频性能几乎相同，而HLESO具有最强的低频扰动抑制能力，RLESO次之，TLESO最弱。

另外，从图 2可知，3种观测器本质上都是低通滤波器，带宽ω_o决定了其截止频率，增大带宽意味着能对扰动在更宽的频带上滤波，也就能更快、更准确地估计出扰动，也即LESO的估计能力与带宽成正比。同时，由图 3可知，RLESO的相位滞后小，且不会像HLESO那样在中高频段的幅值增益变大，可推出在相同带宽条件下，RLESO具有最好的扰动估计能力。

3 基于LADRC的PMSM调速系统的仿真研究

本文在MATLAB/Simulink环境下仿真。PMSM调速系统仿真模型如图 5所示。

需要说明的是图 5中电流环采用传统的PI设计。转速环由LADRC控制，各LADRC的最大区别在于LESO的不同。abc/αβ0模块代表定子电流三相abc到两相静止αβ0的坐标变换；αβ0/dq代表两相静止αβ0到两相同步旋转dq的坐标变换，dq/αβ0代表其逆变换过程；SVPWM为空间矢量脉宽调制。

仿真用到的PMSM具体参数如表 1所示。

d，q轴电流环的PI控制器参数均选择为：比例放大系数为200，积分放大系数也为200。逆变器的直流母线电压选择300 V。

基于以下工况进行后续的研究：

1) 0.1 s时给定转速从0 r/min阶跃至1 000 r/min，0.5 s时加负载5 N·m。

2) 控制器参数带宽：ω_c=400 rad/s，ω_o=1 600 rad/s。

1) PMSM调速系统转速曲线对比如图 6所示。

由图 6局部放大图可知：TLADRC的抗扰能力最弱，最大转速降为40 r/min，HLADRC和RLADRC抗扰能力相差不大，最大转速降均为20 r/min左右，但HLADRC控制的转速环输出有振荡，说明其鲁棒性不强，品质控制得不理想。转速曲线的输出对比也验证了频域分析的结论。

2) 基于不同LESO的扰动估计曲线对比如图 7所示。

由图 7可知：TLESO由于其中低频的相位滞后较大，不能对扰动及时估计，直接结果就是图 6中相应的转速曲线出现较大的转速降，降低了系统的抗扰能力。虽然HLESO也能很快地估计扰动，但是由于其鲁棒性较差，使得图 6中相应的转速曲线出现较大振荡，这在对精度要求高的场合是不允许的；而RLESO由于其中低频的相位滞后小，因此能最快、准确地估计出扰动，并由控制器补偿，使得图 6中相应曲线最平滑、转速降最小。

3) 考虑噪声对转速环的影响。

转速测量时的白噪声功率谱密度为0.1，得到的转速响应曲线如图 8所示。

由图 8可知：TLADRC和HLADRC控制的转速曲线分别出现了大的波谷和波峰，而RLADRC控制时，转速曲线最平稳，振荡最小，能较好地逼近给定值1 000 r/min，这说明RLADRC有更好的抑制噪声能力。

4 结论

1) 设计了一阶对象的3种不同LESO，并进行了收敛性分析，得出了各LESO的收敛条件和估计能力。

2) 通过频域分析法这一强有力工具，可以得知TLESO在中低频段的相位滞后较大，这是它不能在最短时间估计出扰动，从而导致抗扰能力不强的根本原因。HLESO的中频段增益较大，导致其鲁棒性较差，容易引起系统振荡。而RLESO在中低频段的相位滞后较小，在中低频段也有较强的扰动抑制能力。

3) 时域分析验证了频域分析的结论。从转速曲线对比也能得出RLADRC控制性能的优越性。而扰动估计曲线的对比，更是清晰地看到RLESO估计扰动的及时性和准确性，因此RLADRC能迅速抵消扰动，提高控制品质。对于转速环这样的一阶对象，采用本文RLESO设计转速环的RLADRC，能有效地抑制扰动和噪声，这为PMSM调速系统的控制提供了一种很好的解决方案。