工程地质学报  2018, Vol. 26 Issue (6): 1585-1592   (1226 KB)    
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  • 收稿日期:2017-09-12
  • 收到修改稿日期:2018-04-22
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    钱海涛
    肖锐铧

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    钱海涛, 肖锐铧. 2018. 充分考虑振动台实验滑移特征的地震滑坡基本单元体永久位移估算方法研究[J]. 工程地质学报, 26(6): 1585-1592. doi: 10.13544/j.cnki.jeg.2017-430.
    QIAN Haitao, XIAO Ruihua. 2018. An estimation method for permanent displacements of basic earthquake landslide model with full consideration of slid characters from shake table tests[J]. Journal of Engineering Geology, 26(6): 1585-1592. doi: 10.13544/j.cnki.jeg.2017-430.

    充分考虑振动台实验滑移特征的地震滑坡基本单元体永久位移估算方法研究
    钱海涛, 肖锐铧    
    ① 中国地震局地壳应力研究所 北京 100085;
    ② 自然资源部地质灾害防治技术指导中心 北京 100081
    摘要:充分考虑振动台实验揭示出来的基本地震滑坡单元体震动滑移特征,总结得到其永久位移的估算方法:(1)考虑地震动惯性力和重力的联合作用,计算相应向上和向下滑移的屈服加速度,以反应其可能向上和向下滑移的行为;(2)在适度简化斜坡岩土体动力学模型的基础上,考虑斜坡岩土体自振特性和滑体所在高度对地震波的放大效应,得到滑体附近的局部地震加速度;(3)考虑滑体附近局部加速度和滑移屈服加速度的控制作用,计算每一地震波的周期内滑体相对滑床所能达到的最大滑移速度(向上和向下),进而得到相对动能;(4)考虑到滑体的动能基本耗散在滑带上,基于能量守恒原理,将相对动能除以滑带上的摩擦力,即可估算出每一周期内的永久位移;(5)将每一地震波周期内产生的永久位移相累加,即可得到总体的滑动位移。经与实验结果对比,本估算方法具有较高的精度与可靠性,虽只考虑了水平向地震动作用的影响,但对于存在竖向地震动的情况,其思路同样适用,只是需要计入竖向地震动惯性作用力的影响。
    关键词基本地震滑坡单元    振动台实验    滑移特征    永久位移    估算方法    
    AN ESTIMATION METHOD FOR PERMANENT DISPLACEMENTS OF BASIC EARTHQUAKE LANDSLIDE MODEL WITH FULL CONSIDERATION OF SLID CHARACTERS FROM SHAKE TABLE TESTS
    QIAN Haitao, XIAO Ruihua    
    ① Institute of Crustal Dynamics, China Earthquake Administration, Beijing 100085;
    ② Consultative Centre for Geo-Hazard Prevention, Ministry of Natural Resources of People's Republic of China, Beijing 100081
    Abstract: To fully consider the slid characters from shake table tests, we put forward an estimation method for the permanent displacement based on the basic earthquake landslide model. (1)we calculate the yield accelerations of slide downward and upward with considering the combined control effect of seismic and gravity, in order to show the behavior that the slide-body may slide downward and upward along the slide-belt. (2)We evaluate the local acceleration close to the slid-body because of the amplification effect of vibration characteristics of slope and height of the slide-body based on a simplified dynamic model of slope. (3)We calculate the maximum velocity of slide in every seismic wave period and then give the kinetic energy dissipated by sliding along the slide-belt with considering the control role of yield accelerations and local acceleration close to the slid-body. (4)We calculate the permanent displacement in per seismic wave period through the way that divide the kinetic energy by friction force based on the fact that the energy is dissipated by frictions at the slid-belt and the principle of conservation of energy. (5)Finally we get the overall permanent displacement by accumulating the permanent displacements in every seismic wave period. Through comparing the results from experiments and calculation, we have found that the method in this paper has high accuracy and reliability in estimating the permanent displacement. The idea of this article is adoptable to the present of vertical seismic by reckoning in vertical seismic inertial force though it comes from the scene that horizontal seismic present only.
    Key words: Basic earthquake landslide model    Shake table tests    Slid characters    Permanent displacements    Evaluation method    

    0 引言

    地震引发的滑坡灾害, 早已受到人们的重视, 国内外众多学者开展了大量研究工作。关于其稳定性分析方法, 根据诸多学者的总结分析(辛鸿博等, 1999; 薄景山等; 2001; 刘立平等, 2001; 刘红帅等, 2005; 祁生文等, 2007; 顾淦臣等, 2009), 由于地震动作用的时变特性, 目前最为基础可靠的是有限位移法, 即以地震作用下产生的永久滑动位移作为滑坡稳定性状态的基本量度参数。对于地震造成的滑坡永久位移, 国内外许多学者已经给出了相应的估算方法并应用于实践(Newmark, 1965; Kaener, 1981; Sarma, 1981; 薛守义等, 1997; Romeo, 2000; 祁生林等, 2004; Kokusho, 2006; Bray, 2007; 祁生文等, 2007; Saygili, 2008; 顾淦臣等, 2009; 邓学晶等, 2010; Jitno et al., 2010; 徐光兴等, 2010; Zhang, et al., 2010; 卢坤林等, 2011; 罗渝等, 2012; 王涛等, 2013; 刘甲美等, 2018)。

    然而, 已有研究将工程地震理论与滑坡灾害理论相结合方面, 尚存在一些不足: (1)不少研究是对震后滑坡滑移情况的统计分析, 未将滑坡所在场地局部地震动参数与滑坡具体特征(滑带倾角、滑带物质力学性质)有机结合, 未能很好揭示其滑动机理, 其仅仅是局部经验的统计, 不具普遍性意义; (2)现有永久位移计算方法, 多是基于理论假设, 缺乏实验支撑。

    从相关研究来看, 永久位移计算方法都直接或间接地基于一个最基本的模型设定:滑体单元在地震动作用下沿滑带产生滑动, 即如图 1所示的基本单元滑动模型。

    图 1 基本地震滑坡滑动模型图 Fig. 1 The basic earthquake landslide model

    为此, 本文以这种基本单元滑动模型为概念模型, 制作了实体滑动模型, 并在振动台上开展了一系列的实验工作, 研究其在地震动作用下的滑移特征和相应永久位移计算方法, 取得了一些比较有意义的成果。

    1 振动台模型实验简介

    为尽可能消除外来干扰因素的影响, 以对基本模型的地震动力滑移特征有较为清晰的认识, 此次实验, 几何结构上采用了与图 1相对应的经典模型, 并水平方向输入简单规则的正弦波。具体实验设计、过程和特征发现可参见文献(钱海涛等, 2018), 此处仅作简单介绍。

    1.1 模型几何形态

    物理实验模型为单斜面滑块模型, 模型厚400 mm, 纵截面如图 2所示, 上部为长方体滑块、下部为滑床、中间薄层为滑带, 并设置了缓、中、陡3种典型滑带倾角, 倾角θ分别为10°、20°和30°。

    图 2 振动台物理实验模型示意图 Fig. 2 Layout of physical models for shake table

    1.2 模型材料选取

    在参考相关文献的基础上并基于现实情况选取原材料。滑床物质采用石膏、水泥、铁粉、砂子、水为原料; 考虑到预设实验中, 滑体物质自身不产生破坏, 故采用加钢筋的砂子水泥铁粉; 滑带物质采用颗粒为40~70目的石英砂和黏土为原料, 配置出软、中、硬的3种滑带材料。通过数10组针对性的配比试验, 最终确定了模型材料配比。

    1.3 监测设计

    图 2所示, 在振动台物理模型上共布置了10个实验监测数据采集传感器, 重点关注滑床附近加速度传感器a3、滑体沿坡度位移传感器d2, 振动台基座加速度a7。此外, 还设置两条垂直于滑带的位移观测线, 以便于肉眼直观识别滑体相对于滑床的滑动位移。

    1.4 地震动加载方案

    实验过程中, 为研究地震波频谱特性(频率、持时、峰值)对滑坡稳定性的影响, 在模型底部通过振动台输入地震波为不同峰值强度、频率和持时的正弦波。峰值以0.05 g为起点, 并以0.05 g逐步分级增大; 每次持时30~60 s; 输入频率依次为5 Hz、10 Hz、15 Hz和20 Hz。

    2 基于实验的滑移特征发现

    根据模型实验成果, 对于滑体在地震动作用下产生的永久位移(位移传感器d2), 具有以下特征规律(钱海涛等, 2018):

    (1) 存在向上和向下的两种滑移行为和向上、向下两个屈服加速度。当输入加速度(加速度传感器a7)大小超过某一值时, 滑体沿滑带开始产生向下的滑移, 即出现向下滑移的屈服加速度。但当输入地震动较大时, 如图 3的滑体滑移曲线(位移传感器d2)局部放大图所示, 滑体向下累积位移在不断增长的过程中会周期短时间内有所减少, 表明滑体相对滑床会产生瞬间向上的反向滑移行为, 即存在向上的滑移屈服加速度。

    图 3 滑体滑动位移曲线局部放大图 Fig. 3 Enlarged drawing of local displacement

    (2) 滑移计算中应采用滑体附近的局部加速度数据而非斜坡底部加速度数据。根据实验数据(表 1)发现, 如以底部输入的地震波(加速度传感器a7)为参考研究对象, 对应的屈服加速度随着频率的增加而有所减小, 反之随输入地震波频率的减小则有所增大, 似乎屈服加速度与地震波频率存在某种相关性。

    表 1 实验所得屈服加速度与频率关系对照表 Table 1 Frequencies of input seismic wave and corresponding yield acceleration in shake table tests

    但是结合滑体附近加速度传感器a3的监测数据, 则发现, 在其他条件相同的情况下, 开始产生滑移时, 滑体附近滑带处加速度(位置相应于传感器a3)大小基本恒定。

    因此, 在研究分析中, 不可直接以坡底输入的地震加速度参数来分析斜坡是否产生滑移和计算滑移量, 而应考虑到坡体对输入地震波的动力放大效应, 以滑体附近坡体内局部加速度作为判别滑移与否和计算滑移量的参数。

    (3) 不同时间周期内的滑移特征基本一致且相对独立, 总体滑移量是无数周期内滑移量的累加。在每一正弦波周期内(图 3), 永久位移具有几乎同步的周期性滑移特征。每一周期时间内的滑动速度不大、周期累积滑移量有限, 每一周期内的滑移量大小基本相同; 每一周期振动时间结束时, 滑体相对滑床运动的速度基本为0。因此不同时刻任一周期的振动滑移特征可认为是彼此独立的, 随着持时的增加(图 3), 滑体向下的永久位移大小呈阶梯波状不断递增。这阶梯状的永久位移是每一周期内滑移累积的结果。

    (4) 在每一周期时间内(图 4), 当输入加速度超过向下的屈服加速度as时, 滑体相对滑床开始产生向下的滑动, 其速度先是逐步增大, 随后由于输入加速的减小和反向, 其速度逐步减小至0, 并在反向加速达到一定值(向上屈服加速度as)时, 开始反向向上滑移。每一周期时间内, 其向下永久位移的大小受控于相应向下的屈服加速度, 相对反向向上滑移量的大小受控于相应的向上的屈服加速度。

    图 4 滑体相对滑床滑移过程示意图 Fig. 4 Diagrammatic sketch of sliding between the slid-mas and slide-bed

    在输入的地震加速度较大时, 在每一余弦波的周期内, 滑体具备短时间相对滑床向上滑移的特性, 即每一周期内会产生暂时性沿滑带向上的滑移, 其向上和向下滑移矢量叠加的结果, 构成每一周期时间内的永久位移Di=D-D

    (5) 在发生整体滑动破坏失稳(突然不断加速滑动)前的每一地震波周期内, 滑体相对滑床的速度在周期末最终为0(图 4b), 可认为在超过屈服加速度之后滑体相对滑床的运动能量基本耗散在滑带上。

    3 基于实验的永久位移计算方法
    3.1 永久位移的一般计算步骤

    基于模型实验所获取的上述滑移特征, 我们可以归结出计算滑坡永久位移的基本方法步骤:

    3.1.1 计算产生滑移的屈服加速度

    滑带上下的滑体和滑床是相对刚性体, 基于滑带物质的物理力学性能(或是滑体/滑床物质与滑带物质之间的结合作用力), 同时考虑滑体重力下滑力的影响, 计算出相应向上和向下两个屈服加速度asas

    滑体自重产生的下滑力为:

    $ {F_w} = mg\sin \theta $

    滑体自重产生的垂直滑带正压力为:

    $ {N_w} = mg\cos \theta $

    式中, m为滑体质量, g为重力加速度;

    θ为滑带倾角(0~90°), φc为滑移界面上的内摩擦角和黏聚力, l为滑体底部与滑带接触的长度。

    滑体在地震波动作用下产生的惯性作用力沿滑带方向的分量为:

    $ {F_a} = ma{\mathop{\rm con}\nolimits} \theta $

    滑体在地震波动作用下产生的惯性作用力垂直滑带方面的分量为:

    $ {N_a} = ma\sin \theta $

    式中, a为滑体的加速度, 此处加速度取绝对标量而非矢量;

    (1) 当输入加速度有利向下滑动时, 水平加速度具备沿滑面向下的分量和垂直滑面向上的分量, FaFw方向相同, NaNw方向相反, 相应的总体滑动力Fs和阻滑力Fk分别为:

    $ {F_s} = {F_w} + {F_a} $

    $ {F_k} = \left( {{N_w} - {N_a}} \right)\tan \varphi + cl $

    此时, 对应向下滑动的稳定性系数:

    $ K = \frac{{{F_k}}}{{{F_s}}} = \frac{{\left( {mg\cos \theta - ma\sin \theta } \right) \cdot \tan \varphi + cl}}{{mg\sin \theta + ma\cos \theta }} \le 1 $

    于是, 相应向下滑动的屈服加速度为:

    $ a_s^{下} = \frac{{mg\left( {\cos \theta \cdot \tan \varphi - \sin \theta } \right) + cl}}{{m\left( {\cos \theta + \sin \theta \cdot \tan \varphi } \right)}} $ (1)

    (2) 当输入加速度不利于向下滑动时, 水平加速度具备沿滑面向上的分量和垂直滑面向下的分量, FaFw向相反, NaNw方向相同, 可能会产生向上的瞬时滑移, 其相应的总体滑动力Fs和阻滑力Fk分别为:

    $ {F_s} = {F_a} - {F_w} $

    $ {F_k} = \left( {{N_w} + {N_a}} \right)\tan \varphi + cl $

    此时, 对应向上滑动的稳定性系数:

    $ K = \frac{{{F_k}}}{{{F_s}}} = \frac{{\left( {mg\cos \theta + ma\sin \theta } \right) \cdot \tan \varphi + cl}}{{ma\cos \theta - mg\sin \theta }} \le 1 $

    相应向上滑动的屈服加速度为:

    $ a_s^{上} = \frac{{mg\left( {\cos \theta \cdot {\rm{tg}}\varphi + \sin \theta } \right) + l}}{{m\left( {\cos \theta - \sin \theta \cdot {\rm{tg}}\varphi } \right)}} $ (2)

    3.1.2 考虑斜坡放大效应, 计算滑体附近的局部地震动加速度

    首先, 计算边坡地震动力放大效应。考虑到斜坡对底部输入地震动的放大效应, 简化斜坡岩土体结构(如介质等效法等), 暂时忽略滑体存在的影响, 基于斜坡自身的动力学特性, 计算滑体所在高度滑带处的地震放大系数β

    放大系数β是与输入地震波频率f, 坡体自振周期T和滑体对应高度h有关的量β(f, T, h), 要比较准确的获取, 需要开展相应斜坡地震动力反应数值计算分析工作, 稍显复杂。简化地, 在一般精度层次上, 可采取如下方法估算:

    (1) 计算输入地震波频率f和坡体自振周期T的影响。可将坡底输入地震波频率f的影响等效为场地特征周期Tg的作用, 即Tg=1/f, 然后参考《建筑抗震设计规范(GB50011-2010)》中关于地震影响系数的确定方法(条文5.1.5), 结合坡体自振周期T, 得到考虑输入地震波频率f和坡体自振周期T影响的地震放大系数β(f, T)。

    (2) 计算滑体所处高度h的影响。可参考行业标准《公路工程抗震设计规范(JTG B02-2013)》关于路堤边坡抗震稳定性内容中相应路堤边坡高度增大系数的确定方法(条文8.2.6), 得到滑体所在高度处的地震放大系数β(h)。考虑滑体有一定长度, 放大系数可考虑取为滑体贴近滑带一侧的最上端、中部以及下端高度所对应放大系数的平均值。

    (3) 综合考虑上述两种地震动放大效应, 可得到滑体附近斜坡对于底部输入地震动的放大系数β, 即:

    $ \beta = \beta \left( {f,T} \right)\beta \left( h \right) $ (3)

    然后, 采用上述放大系数, 计算相应于给定底部地震动数据时, 滑体附近滑带处对应的地震动数据, 获取滑体相对滑带的一系列地震动加速度数据a(t)。

    3.1.3 计算滑移所耗散的能量

    根据上述滑移特征, 每一振动周期内滑移规律完全相同, 因此不妨选取任一周期时间(第i周期)作为基本研究单元。

    不妨取其加速度正方向为有利于向下滑动的方向, 如图 4所示, 在每一周期时间内, 当滑体相对于滑床加速度反向向上时, 其可能的向下最大滑移速度为:

    $ \begin{array}{l} V_{\max }^{下}\left( i \right) = \int_{{t_1}}^{{t_2}} {{a_s}{\rm{d}}t} = \int_{{t_1}}^{{t_2}} {\frac{{F_s^{下} - F_k^{下}}}{m}{\rm{d}}t} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left[ {g\left( {\sin \theta - \cos \theta \cdot \tan \varphi } \right) - \frac{{cl}}{m}} \right]\left( {{t_2} - {t_1}} \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + \left( {\cos \theta + \sin \theta \tan \varphi } \right)\int_{{t_1}}^{{t_2}} {a\left( t \right){\rm{d}}t} \end{array} $ (4)

    上式中, Fs=mgsinθ+ma(t)cosθ, 为滑体沿滑带相对滑床向下时对应的滑动作用力; Fk=[mg cosθ-ma(t)sinθ]tgφ+cl为相应下滑时的抗滑力; t1t2为下滑加速的起始与结束时间, 其具体值取决于屈服加速as与滑体附近加速度数据a(t); 若a(t)≤as, 则无向下的滑移产生, t1t2不存在, Vmax(i)=0。

    同理, 当滑体相对于滑床加速度反向向上时, a(t)符号为负值, 其相应的抗滑力Fk和滑动作用力Fs为:

    $ \begin{array}{l} F_k^{上} = \left[ {mg\cos \theta + m\left| {a\left( t \right)} \right|\sin \theta } \right]{\rm{tg}}\varphi + cl\\ \;\;\;\;\;\;\; = \left[ {mg\cos \theta - ma\left( t \right)\sin \theta } \right]{\rm{tg}}\varphi + cl \end{array} $ (5)

    $ \begin{array}{l} F_s^{上} = m\left| {a\left( t \right)} \right|\cos \theta - mg\sin \theta \\ \;\;\;\;\;\;\; = - ma\left( t \right)\cos \theta - mg\sin \theta \end{array} $ (6)

    则可能向上的最大滑移速度为:

    $ \begin{array}{l} V_{\max }^{上}\left( i \right) = \int_{{t_3}}^{{t_4}} {{a_s}{\rm{d}}t} = \int_{{t_3}}^{{t_4}} {\frac{{F_s^{上} - F_k^{上}}}{m}{\rm{d}}t} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left[ {g\left( {\sin \theta + \cos \theta \cdot {\rm{tg}}\varphi } \right) + \frac{{cl}}{m}} \right]\left( {{t_3} - {t_4}} \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + \left( {\sin \theta {\rm{tg}}\varphi - \cos \theta } \right)\int_{{t_3}}^{{t_4}} {a\left( t \right){\rm{d}}t} \end{array} $ (7)

    式中, t3t4为向上滑动加速的起始和结束时间, 其值取决于屈服加速as与滑体附近加速度数据a(t); 若-a(t)≤as, 则无向上的滑移产生, t3t4不存在, Vmax(i)=0。

    则相应的向上向下滑动的总能量为:

    $ \begin{array}{l} {E_{上}}\left( i \right) = \frac{1}{2}m{\left[ {V_{\max }^{上}\left( i \right)} \right]^2}{E_{下}}\left( i \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{2}m{\left[ {V_{\max }^{下}\left( i \right)} \right]^2} \end{array} $ (8)

    i周期内因滑移而耗散的净能量为:

    $ {E_i} = {E_{下}}\left( i \right) - {E_{上}}\left( i \right) $ (9)

    于是地震过程中因滑移而耗散的总能量为:

    $ {E_s} = \mathit{\Sigma }{E_i} $ (10)

    3.1.4 计算总体滑移量

    考虑到滑体相对滑动运动的动能基本耗散在滑带上, 基于能量守恒原理, 净能量Es除以滑带上的力学强度Fs, 即可估算出相应永久位移, 即:

    $ {D_s} = \frac{{{E_s}}}{{{F_s}}} $ (11)

    式中, Fs=mgcosθ·tgφ+cl

    3.2 规则正弦波作用下的永久位移

    若输入地震动为规则的正弦波at=amaxsin$\left({\frac{{2\pi }}{T}t} \right)$, 则可进一步简化。

    $ \begin{array}{l} V_{\max }^{下}\left( i \right) = \left[ {g\left( {\sin \theta - \cos \theta \cdot {\rm{tg}}\varphi } \right) - \frac{{cl}}{m}} \right]\left( {{t_2} - {t_1}} \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + \left( {\cos \theta + \sin \theta \cdot {\rm{tg}}\varphi } \right)\int_{{t_1}}^{{t_2}} {{a_{\max }}\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}t} \right){\rm{d}}t} \end{array} $ (12)

    式中,

    $ {t_1} = \frac{1}{\omega }\arcsin \left( {\frac{{a_s^{下}}}{{{a_{\max }}}}} \right) = \frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}f}}\arcsin \left( {\frac{{a_s^{下}}}{{{a_{\max }}}}} \right) $

    $ {t_2} = \frac{T}{2} - {t_1} = \frac{1}{{2f}} - {t_1} $

    对于式(11)的积分部分, 由图 4a可见, 其是以T/2为对称轴的对称积分, 于是有:

    $ \begin{array}{l} \int_{{t_1}}^{{t_2}} {{a_{\max }}\sin \left( {\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{T}t} \right){\rm{d}}t} = 2\int_{{t_1}}^{T/4} {{a_{\max }}\sin \left( {\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{T}t} \right){\rm{d}}t} \\ \;\;\; = \frac{{{a_{\max }}}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}f}}\cos \left( {2f{\rm{ \mathsf{ π} }}{t_1}} \right) \end{array} $ (13)

    从而有:

    $ \begin{array}{l} V_{\max }^{下}\left( i \right) = \left[ {g\left( {\sin \theta - \cos \theta \cdot {\rm{tg}}\varphi } \right) - \frac{{cl}}{m}} \right]\left( {{t_2} - {t_1}} \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + \left( {\cos \theta + \sin \theta \cdot \tan \varphi } \right)\frac{{{a_{\max }}}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}f}}\cos \left( {2f{\rm{ \mathsf{ π} }}{t_1}} \right) \end{array} $ (14)

    上式可进一步写为:

    $ V_{\max }^{下}\left( i \right) = \frac{1}{{2f}}A $ (15)

    其中,

    $ \begin{array}{*{20}{c}} {A = \left[ {g\left( {\sin \theta - \cos \theta \cdot {\rm{tg}}\varphi } \right) - \frac{{cl}}{m}} \right]\left[ {1 - \frac{2}{\pi }\arcsin \left( {\frac{{a_s^{下}}}{{{a_{\max }}}}} \right)} \right]}\\ { + \frac{2}{\pi }{a_{\max }}\left( {\cos \theta + \sin \theta \cdot {\rm{tg}}\varphi } \right)\cos \left( {\arcsin \left( {\frac{{a_s^{下}}}{{{a_{\max }}}}} \right)} \right)} \end{array} $

    同理可得, 其对应向上的最大速度为:

    $ V_{\max }^{上}\left( i \right) = \frac{1}{{2f}}B $ (16)

    式中,

    $ \begin{array}{*{20}{c}} {A = \left[ {g\left( {\sin \theta + \cos \theta \cdot {\rm{tg}}\varphi } \right) + \frac{{cl}}{m}} \right]\left[ {\frac{2}{\pi }\arcsin \left( {\frac{{a_s^{上}}}{{{a_{\max }}}}} \right) - 1} \right]}\\ { - \frac{2}{\pi }{a_{\max }}\left( {\cos \theta \cdot {\rm{tg}}\varphi - \cos \theta } \right)\cos \left( {\arcsin \left( {\frac{{a_s^{上}}}{{{a_{\max }}}}} \right)} \right)} \end{array} $

    $ {t_3} = \frac{T}{2} + \frac{1}{\omega }\arcsin \left( {\frac{{a_s^{下}}}{{{a_{\max }}}}} \right) = \frac{1}{{2f}}\left[ {1 + \frac{1}{{\rm{ \mathsf{ π} }}}\arcsin \left( {\frac{{a_s^{上}}}{{{a_{\max }}}}} \right)} \right] $

    $ {t_3} = T - \left( {{t_3} - \frac{T}{2}} \right) = \frac{3}{{2f}} - {t_3} $

    则第i单位周期内因滑移而耗散的能量为:

    $ {E_i} = \frac{1}{2}m\left[ {\left( {V_{\max }^{下}{{\left( i \right)}^2}} \right. - \left( {V_{\max }^{上}{{\left( i \right)}^2}} \right.} \right] $ (17)

    于是, 地震动过程中(持时t)因滑动滑移而耗散的总净能量为:

    $ \begin{array}{l} Es = \sum {{E_i}} = \frac{t}{T}{E_i}\\ \;\;\;\; = \frac{1}{2}f \cdot t \cdot m\left[ {{{\left( {V_{\max }^{下}\left( i \right)} \right)}^2} - {{\left( {V_{\max }^{上}\left( i \right)} \right)}^2}} \right] \end{array} $ (18)

    则, 持时t过程中滑体产生的总滑移量为:

    $ {D_s} = \frac{{{E_s}}}{{{F_s}}} = \frac{m}{{8\left( {mg\cos \theta \cdot {\rm{tg}}\varphi + cl} \right)}}\frac{t}{f}\left( {{A^2} - {B^2}} \right) $ (19)

    由上式可见, 总体滑移量的大小与持时t成正比、与频率f成反比关系。

    选取实验中波形较平稳的时段, 根据式(12)~式(19), 我们估算了一定持时下的永久位移, 并与实验结果进行了对比, 其结果如表 2所示。

    表 2 永久位移的实验与计算结果分析对照表 Table 2 Overall permanent displacement from shake table tests and calculation

    表 2可见, 在输入地震波比较平稳的时段内, 计算与实验结果的相对误差大都在10%以内, 两者比较一致, 这表明本文所得的位移估算方法具备一定的可靠性。

    4 结论

    (1) 基于振动台模型实验数据发现:控制滑移的是滑体附近的局部地震动加速度, 滑体在短时间内可能出现相对滑床向上和向下的滑移行为, 不同地震波周期内的位移具有几乎相同的动态特征且彼此相对独立, 总滑移量是无数周期内滑移量的累加。

    (2) 充分考虑实验揭示出来的典型滑坡单元体震动滑移特征, 得到其永久位移估算方法: ①考虑地震动惯性力和重力的联合作用, 计算相应向上和向下滑移的屈服加速度, 以反应其可能的向上和向下滑移行为; ②在适度简化斜坡岩土体动力学模型的基础上, 考虑斜坡岩土体自振特性和滑体所在高度对地震波的放大效应, 得到滑体附近的局部地震加速度; ③计算每一地震波的周期内滑体相对滑床所能达到最大滑移速度(向上和向下), 进而得到相对动能; ④考虑到滑体的动能基本耗散在滑带上, 基于能量守恒原理, 将相对动能除以滑带上的摩擦力, 即可估算出每一周期内的永久位移; ⑤将每一地震波周期内产生的永久位移相累加, 即可得到总体的滑动位移。

    (3) 经过与实验结果相对照, 本估算方法具有较高精度与可靠度。虽然只考虑了水平向地震动作用的影响, 但对于存在竖向地震动的情况, 其思路同样适用, 只是在计算相应滑移屈服加速度(向上和向下)和滑移速度时, 需要计入竖向地震动惯性作用力的影响, 其可能存在多种力的矢量组合方式。

    参考文献
    Bo J S, Xu G D, Jing L P. 2001. Seismic response and dynamic stability analysis of soil slopes[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 21(2): 116~120.
    Bray J D, Travasarou T. 2007. Simplified procedure for estimating earthquake-induced deviatoric slope displacements[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 133(4): 381~392. DOI:10.1061/(ASCE)1090-0241(2007)133:4(381)
    Deng X J, Kong X J, Du Y F, et al. 2010. Calculation method for earthquake-induced permanent displacement based on energy analysis of Newmark model[J]. Journal of Lanzhou University of Technology, 36(5): 104~107.
    Gu G C, Sheng C S, Ceng W. 2009. Earthquake engineering for earthrock dames[M]. Beijing: China Water & Power Press.
    Jitno H, Davidson R. 2010. Earthquake-induced displacements of earth dams and embankments[J]. Australian Geomechanics Journal, 45(3): 65~84.
    Kokusho T, Ishizawa T. 2006. Energy approach for earthquake induced slope failure evaluation[J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 26(2-4): 221~230. DOI:10.1016/j.soildyn.2004.11.026
    Kramer S L, Smith M W. 1997. Modified Newmark model for seismic displacements of compliant slopes[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 123(7): 635~644. DOI:10.1061/(ASCE)1090-0241(1997)123:7(635)
    Liu H S, Bo J S, Liu D D. 2005. Review on study of seismic stability analysis of rock-soil slopes[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 25(1): 164~171.
    Liu L P, Lei Z Y, Zhou F C. 2001. The evaluation of seismic slope stability analysis methods[J]. Journal of Chongqing Jiaotong University, 20(3): 83~88.
    Liu M J, Wang T, Shi J S, et al. 2018. The influence of different Newmark displacement models on seismic landslid hazard assessment:a case study of Tianshui area, China[J]. Journal of Geomechanics, 24(1): 87~95.
    Lu K L, Zhu D Y, Zhu Y L, et al. 2011. Preliminary study of seismic permanent displacement of 3D slope[J]. Rock and Soil Mechanics, 32(5): 1425~1429.
    Luo Y, He S M, Wu Y, et al. 2012. Permanent displacement forecast of landslide under seismic loading[J]. Journal of Natural Disasters, 21(1): 117~122.
    Newmark N M. 1965. Effects of earthquakes on dams and embankments[J]. Géotechnique, 15(2): 139~160. DOI:10.1680/geot.1965.15.2.139
    Qi S L, Qi S W, Wu F Q, et al. 2004. On permanent displacement of earthquake induced slide based on residual pushing force method[J]. Journal of Engineering Geology, 12(1): 63~68.
    Qi S W, Wu F Q, Yan F Z, et al. 2007. Dynamic response analysis of rock slope[M]. Beijing: Science Press.
    Qi S W. 2007. Evaluation of the permanent displacement of rock mass slope considering deterioration of slide surface during earthquake[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 29(3): 452~457.
    Qian H T, Xiao R H. 2018. New results of the slid characteristics of a typical earthquake landslide model based on shake table tests[J]. Hydrogeology & Engineering Geology, 45(2): 64~69.
    Romeo R. 2000. Seismically induced landslide displacements:a predictive model[J]. Engineering Geology, 58(3-4): 337~351. DOI:10.1016/S0013-7952(00)00042-9
    Sarma S K. 1981. Seismic displacement analysis of earth dams[J]. Journal of the Geotechnical Engineering Division, ASCE, 107(GT12): 1735~1739.
    Saygili G, Rathje E M. 2008. Empirical predictive models for earthquake-induced sliding displacements of slopes[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 134(6): 790~803. DOI:10.1061/(ASCE)1090-0241(2008)134:6(790)
    The Professional Standards Compilation Group of People's Republic of China. 2010. Code for seismic design of buildings(GB 50011-2010)[S]. Beijing: China Architecture & Building Press: 33-35.
    The Professional Standards Compilation Group of People's Republic of China. 2014. Specification of seismic design for highway engineering(JTG B02-2013)[S].Beijing: China Communication Press: 30.
    Wang T, Wu S R, Shi J S, et al. 2013. Case study on rapid assessment of regional seismic lanslid hazard based on simplifilied Newmark Displacement model:Wenchuan Ms 8.0 earthquake[J]. Journal of Engineering Geology, 21(1): 16~24.
    Xin H B, Wang Y Q. 1999. Earthquake-induced landslide and avalanche[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 21(5): 591~594.
    Xu G X, Yao L K, Li C H. 2010. Energy method for evaluating earthquake induced permanent displacement for soil slopes[J]. Journal of Sichuan University(Engineering Science Edition), 42(5): 285~291.
    Xue S Y, Wang S J, Liu J Z. 1997. Analysis of sliding displacements of rockmass on slopes earthquake[J]. Journal of Engineering Geology, 5(2): 132~136.
    Zhang J, Cui P, Zhang B K, et al. 2010. Earthquake-induced landslide displacement attenuation models and application in probabilistic seismic landslide displacement analysis[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 9(2): 177~187. DOI:10.1007/s11803-010-0004-6
    薄景山, 徐国栋, 景立平. 2001. 土边坡地震反应及其动力稳定性分析[J]. 地震工程与工程振动, 21(2): 116~120. DOI:10.3969/j.issn.1000-1301.2001.02.020
    邓学晶, 孔宪京, 杜永峰, 等. 2010. 基于Newmark滑块系统能量分析的地震永久位移计算方法[J]. 兰州理工大学学报, 36(5): 104~107. DOI:10.3969/j.issn.1673-5196.2010.05.024
    顾淦臣, 沈长松, 岑威钧. 2009. 土石坝地震工程学[M]. 北京: 中国水利水电出版社.
    刘红帅, 薄景山, 刘德东. 2005. 岩土边坡地震稳定性分析研究评述[J]. 地震工程与工程振动, 25(1): 164~171. DOI:10.3969/j.issn.1000-1301.2005.01.029
    刘甲美, 王涛, 石菊松, 等. 2018. 基于不同位移预测模型的地震滑坡危险性评估研究——以天水地区为例[J]. 地质力学学报, 24(1): 87~95.
    刘立平, 雷尊宇, 周富春. 2001. 地震边坡稳定分析方法综述[J]. 重庆交通学院学报, 20(3): 83~88. DOI:10.3969/j.issn.1674-0696.2001.03.022
    卢坤林, 朱大勇, 朱亚林, 等. 2011. 三维边坡地震永久位移初探[J]. 岩土力学, 32(5): 1425~1429. DOI:10.3969/j.issn.1000-7598.2011.05.023
    罗渝, 何思明, 吴永, 等. 2012. 地震作用下滑坡永久位移预测[J]. 自然灾害学报, 21(1): 117~122.
    祁生林, 祁生文, 伍法权, 等. 2004. 基于剩余推力法的地震滑坡永久位移研究[J]. 工程地质学报, 12(1): 63~68. DOI:10.3969/j.issn.1004-9665.2004.01.012
    祁生文, 伍法权, 严福章, 等. 2007. 岩质边坡动力反应分析[M]. 北京: 科学出版社.
    祁生文. 2007. 考虑结构面退化的岩质边坡地震永久位移研究[J]. 岩土工程学报, 29(3): 452~457. DOI:10.3321/j.issn:1000-4548.2007.03.024
    钱海涛, 肖锐铧. 2018. 基于振动台实验的典型滑坡单元体震动滑移特征发现[J]. 水文地质工程地质, 45(2): 64~69.
    王涛, 吴树仁, 石菊松, 等. 2013. 基于简化Newmark位移模型的区域地震滑坡危险性快速评估-以汶川MS8.0级地震为例[J]. 工程地质学报, 21(1): 16~24. DOI:10.3969/j.issn.1004-9665.2013.01.003
    辛鸿博, 王余庆. 1999. 岩土边坡地震崩滑及其初判准则[J]. 岩土工程学报, 21(5): 591~594. DOI:10.3321/j.issn:1000-4548.1999.05.014
    徐光兴, 姚令侃, 李朝红. 2010. 地震作用下土质边坡永久位移分析的能量方法[J]. 四川大学学报(工程科学版), 42(5): 285~291.
    薛守义, 王思敬, 刘建忠. 1997. 块状岩体边坡地震滑动位移分析[J]. 工程地质学报, 5(2): 132~136.
    中华人民共和国行业标准编写组. 2014.公路工程抗震设计规范(JTG B02-2013)[S].北京: 人民交通出版社: 30.
    中华人民共和国行业标准编写组. 2010.建筑抗震设计规范(GB50011-2010)[S].北京: 中国建筑工业出版社: 33-35.
    Bo J S, Xu G D, Jing L P. 2001. Seismic response and dynamic stability analysis of soil slopes[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 21(2): 116~120.
    Bray J D, Travasarou T. 2007. Simplified procedure for estimating earthquake-induced deviatoric slope displacements[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 133(4): 381~392. DOI:10.1061/(ASCE)1090-0241(2007)133:4(381)
    Deng X J, Kong X J, Du Y F, et al. 2010. Calculation method for earthquake-induced permanent displacement based on energy analysis of Newmark model[J]. Journal of Lanzhou University of Technology, 36(5): 104~107.
    Gu G C, Sheng C S, Ceng W. 2009. Earthquake engineering for earthrock dames[M]. Beijing: China Water & Power Press.
    Jitno H, Davidson R. 2010. Earthquake-induced displacements of earth dams and embankments[J]. Australian Geomechanics Journal, 45(3): 65~84.
    Kokusho T, Ishizawa T. 2006. Energy approach for earthquake induced slope failure evaluation[J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 26(2-4): 221~230. DOI:10.1016/j.soildyn.2004.11.026
    Kramer S L, Smith M W. 1997. Modified Newmark model for seismic displacements of compliant slopes[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 123(7): 635~644. DOI:10.1061/(ASCE)1090-0241(1997)123:7(635)
    Liu H S, Bo J S, Liu D D. 2005. Review on study of seismic stability analysis of rock-soil slopes[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 25(1): 164~171.
    Liu L P, Lei Z Y, Zhou F C. 2001. The evaluation of seismic slope stability analysis methods[J]. Journal of Chongqing Jiaotong University, 20(3): 83~88.
    Liu M J, Wang T, Shi J S, et al. 2018. The influence of different Newmark displacement models on seismic landslid hazard assessment:a case study of Tianshui area, China[J]. Journal of Geomechanics, 24(1): 87~95.
    Lu K L, Zhu D Y, Zhu Y L, et al. 2011. Preliminary study of seismic permanent displacement of 3D slope[J]. Rock and Soil Mechanics, 32(5): 1425~1429.
    Luo Y, He S M, Wu Y, et al. 2012. Permanent displacement forecast of landslide under seismic loading[J]. Journal of Natural Disasters, 21(1): 117~122.
    Newmark N M. 1965. Effects of earthquakes on dams and embankments[J]. Géotechnique, 15(2): 139~160. DOI:10.1680/geot.1965.15.2.139
    Qi S L, Qi S W, Wu F Q, et al. 2004. On permanent displacement of earthquake induced slide based on residual pushing force method[J]. Journal of Engineering Geology, 12(1): 63~68.
    Qi S W, Wu F Q, Yan F Z, et al. 2007. Dynamic response analysis of rock slope[M]. Beijing: Science Press.
    Qi S W. 2007. Evaluation of the permanent displacement of rock mass slope considering deterioration of slide surface during earthquake[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 29(3): 452~457.
    Qian H T, Xiao R H. 2018. New results of the slid characteristics of a typical earthquake landslide model based on shake table tests[J]. Hydrogeology & Engineering Geology, 45(2): 64~69.
    Romeo R. 2000. Seismically induced landslide displacements:a predictive model[J]. Engineering Geology, 58(3-4): 337~351. DOI:10.1016/S0013-7952(00)00042-9
    Sarma S K. 1981. Seismic displacement analysis of earth dams[J]. Journal of the Geotechnical Engineering Division, ASCE, 107(GT12): 1735~1739.
    Saygili G, Rathje E M. 2008. Empirical predictive models for earthquake-induced sliding displacements of slopes[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 134(6): 790~803. DOI:10.1061/(ASCE)1090-0241(2008)134:6(790)
    The Professional Standards Compilation Group of People's Republic of China. 2010. Code for seismic design of buildings(GB 50011-2010)[S]. Beijing: China Architecture & Building Press: 33-35.
    The Professional Standards Compilation Group of People's Republic of China. 2014. Specification of seismic design for highway engineering(JTG B02-2013)[S].Beijing: China Communication Press: 30.
    Wang T, Wu S R, Shi J S, et al. 2013. Case study on rapid assessment of regional seismic lanslid hazard based on simplifilied Newmark Displacement model:Wenchuan Ms 8.0 earthquake[J]. Journal of Engineering Geology, 21(1): 16~24.
    Xin H B, Wang Y Q. 1999. Earthquake-induced landslide and avalanche[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 21(5): 591~594.
    Xu G X, Yao L K, Li C H. 2010. Energy method for evaluating earthquake induced permanent displacement for soil slopes[J]. Journal of Sichuan University(Engineering Science Edition), 42(5): 285~291.
    Xue S Y, Wang S J, Liu J Z. 1997. Analysis of sliding displacements of rockmass on slopes earthquake[J]. Journal of Engineering Geology, 5(2): 132~136.
    Zhang J, Cui P, Zhang B K, et al. 2010. Earthquake-induced landslide displacement attenuation models and application in probabilistic seismic landslide displacement analysis[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 9(2): 177~187. DOI:10.1007/s11803-010-0004-6
    薄景山, 徐国栋, 景立平. 2001. 土边坡地震反应及其动力稳定性分析[J]. 地震工程与工程振动, 21(2): 116~120. DOI:10.3969/j.issn.1000-1301.2001.02.020
    邓学晶, 孔宪京, 杜永峰, 等. 2010. 基于Newmark滑块系统能量分析的地震永久位移计算方法[J]. 兰州理工大学学报, 36(5): 104~107. DOI:10.3969/j.issn.1673-5196.2010.05.024
    顾淦臣, 沈长松, 岑威钧. 2009. 土石坝地震工程学[M]. 北京: 中国水利水电出版社.
    刘红帅, 薄景山, 刘德东. 2005. 岩土边坡地震稳定性分析研究评述[J]. 地震工程与工程振动, 25(1): 164~171. DOI:10.3969/j.issn.1000-1301.2005.01.029
    刘甲美, 王涛, 石菊松, 等. 2018. 基于不同位移预测模型的地震滑坡危险性评估研究——以天水地区为例[J]. 地质力学学报, 24(1): 87~95.
    刘立平, 雷尊宇, 周富春. 2001. 地震边坡稳定分析方法综述[J]. 重庆交通学院学报, 20(3): 83~88. DOI:10.3969/j.issn.1674-0696.2001.03.022
    卢坤林, 朱大勇, 朱亚林, 等. 2011. 三维边坡地震永久位移初探[J]. 岩土力学, 32(5): 1425~1429. DOI:10.3969/j.issn.1000-7598.2011.05.023
    罗渝, 何思明, 吴永, 等. 2012. 地震作用下滑坡永久位移预测[J]. 自然灾害学报, 21(1): 117~122.
    祁生林, 祁生文, 伍法权, 等. 2004. 基于剩余推力法的地震滑坡永久位移研究[J]. 工程地质学报, 12(1): 63~68. DOI:10.3969/j.issn.1004-9665.2004.01.012
    祁生文, 伍法权, 严福章, 等. 2007. 岩质边坡动力反应分析[M]. 北京: 科学出版社.
    祁生文. 2007. 考虑结构面退化的岩质边坡地震永久位移研究[J]. 岩土工程学报, 29(3): 452~457. DOI:10.3321/j.issn:1000-4548.2007.03.024
    钱海涛, 肖锐铧. 2018. 基于振动台实验的典型滑坡单元体震动滑移特征发现[J]. 水文地质工程地质, 45(2): 64~69.
    王涛, 吴树仁, 石菊松, 等. 2013. 基于简化Newmark位移模型的区域地震滑坡危险性快速评估-以汶川MS8.0级地震为例[J]. 工程地质学报, 21(1): 16~24. DOI:10.3969/j.issn.1004-9665.2013.01.003
    辛鸿博, 王余庆. 1999. 岩土边坡地震崩滑及其初判准则[J]. 岩土工程学报, 21(5): 591~594. DOI:10.3321/j.issn:1000-4548.1999.05.014
    徐光兴, 姚令侃, 李朝红. 2010. 地震作用下土质边坡永久位移分析的能量方法[J]. 四川大学学报(工程科学版), 42(5): 285~291.
    薛守义, 王思敬, 刘建忠. 1997. 块状岩体边坡地震滑动位移分析[J]. 工程地质学报, 5(2): 132~136.
    中华人民共和国行业标准编写组. 2014.公路工程抗震设计规范(JTG B02-2013)[S].北京: 人民交通出版社: 30.
    中华人民共和国行业标准编写组. 2010.建筑抗震设计规范(GB50011-2010)[S].北京: 中国建筑工业出版社: 33-35.