工程地质学报  2017, Vol. 25 Issue (6): 1633-1639   (1477 KB)    
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  • 收稿日期:2017-11-20
  • 收到修改稿日期:2017-12-07
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    刘镇
    黎杰明
    杨旭
    陆仪启
    周翠英
    考虑邻近土洞影响的盾构掘进速度控制
    刘镇, 黎杰明, 杨旭, 陆仪启, 周翠英    
    中山大学土木工程学院 广州 510275
    摘要:盾构机穿越邻近土洞区域是在岩溶区修建的地铁隧道常常遇到的问题,为降低盾构掘进对土洞的扰动,以防止盾构突陷、偏离轴线或发生地面塌陷,需对穿越时盾构的掘进参数进行优化控制。针对当前主要根据经验选取掘进参数的不足,根据弹性力学Mindlin解建立了盾构穿越邻近土洞的力学模型,在此基础上,以掘进速度为控制变量,以掘进引起土洞顶部能量密度变化为指标函数,提出了穿越时的掘进速度最优控制问题,并利用梯度法进行了数值求解,最后将该方法运用于广州地铁九号线花-马区间盾构穿越邻近土洞问题的分析中。结果表明:该模型能有效反映盾构掘进时正面推力对土洞顶部的扰动;在该模型上建立的掘进速度最优控制问题,能对掘进速度的控制策略进行优化,优化结果与工程经验相符,具有一定工程应用价值。
    关键词岩溶    土洞    盾构隧道    掘进速度    最优控制    
    OPTIMAL CONTROL OF TBM EXCAVATION RATE CONSIDERING NEIGHBORING SOIL VOID
    LIU Zhen, LI Jieming, YANG Xu, LU Yiqi, ZHOU Cuiying    
    School of Civil Engineering, Sun Yatsen University, Guangzhou 510275
    Abstract: Tunneling with neighboring soil void is a particular challenge for underground railway construction in karst terrain. To reduce the disturbance to neighboring soil voids generated by the TBM and to secure the TBM from sudden settlement, axis deviation and ground collapse, it's necessary to conduct TBM tunneling parameters optimization. Aiming at the existing circumstances that TBM tunneling parameters are mostly determined by engineering experiences, a mechanical model based on Mindlin solution is built and an optimal control problem about excavation rate is proposed using the excavation rate regarded as a controlled variable, and the variation of energy density is regarded as the performance index. The problem is then solved using Gradient method. This optimization method has been introduced to the construction of a TBM tunnel in Line 9, Guangzhou Railway System. The results indicate that the model proposed in this study can effectively reflect the disturbance at the top of neighboring soil voids caused by bulkhead thrust in TBM tunneling. The optimization based on optimal excavation rate control problem agrees with engineering experiences.
    Key words: Karst    Soil void    TBM tunneling    Driving speed    Optimal control    

    0 引言

    近年来,我国城市轨道交通进入了大规模建设时期,而盾构法作为主要的隧道开挖方法之一,因其经济高效、对围岩扰动少,在地铁建设中得到广泛应用。然而我国岩溶分布广泛,岩溶地区面积约占全国陆地面积的1/3,据不完全统计,目前大陆地区正在进行地铁建设的42座城市里,其中34座有岩溶区分布。因此,我国地铁建设将无法避免地会遇到在岩溶地区进行盾构隧道开挖的问题。

    土洞是发育于可溶岩层上覆土体内的空腔,是岩溶区常见的不良地质现象。当盾构机通过邻近土洞区域时,会对土体产生挤压、剪切和卸荷等扰动(袁大军等,2009),而土洞的存在更会放大这种扰动,从而可能破坏土洞的稳定性,导致地面塌陷的发生,使盾构机面临突陷、偏离轴线等风险,影响人员和设备的安全。因此,维持土洞的稳定性是保证盾构安全穿越的关键。

    刘之葵等(2006)廖丽萍等(2010)分别利用二维圆孔模型和三维椭球洞模型得到了土洞周围的应力分布,并利用莫尔-库仑准则判断其稳定性,但并未进一步给出维持土洞稳定性的措施。工程师们通过工程实践经验,总结出了开挖换填、压力注浆和梁板跨越等处理土洞的方法(王权武,2007蒋小珍,2008龙艳魁,2012),然而并未充分考虑盾构和土洞间的相互影响。赵明阶等(2004)雷金山(2014)等通过数值模拟和模型试验,研究了不同尺寸、距离和方位的溶洞对地铁隧道盾构开挖的影响,但并未对盾构掘进过程加以控制。针对具体工程,廖景(2011)谢鸿辉(2011)对穿越溶土洞时的盾构控制给出了包括刀具管理、参数合理范围、姿态控制、渣土管理和密封处理等相应技术措施,然而在掘进参数选取上仅凭经验给出一个范围,具有很大优化空间,但当前对穿越邻近土洞区域时盾构控制参数优化的研究仍比较少。

    若盾构机掘进过快,会增大掌子面土体的卸荷速率,改变掌子面前方土体的强度,甚至在地表或土洞产生隆起或沉陷,进而导致对土洞的扰动程度过大,易产生塌陷或破坏风险;若盾构机掘进过慢,则会降低掌子面土体的卸荷速率,导致掌子面前方土体因长时间顶推及卸荷而使其变形进入塑性阶段,强度降低,甚至在地表或土洞产生松动或大变形,进而导致对土洞的扰动时间过长。同时,掘进速度是土仓(泥水仓)压力、千斤顶推力、刀盘扭矩和转速等多个参数的综合表现,定量反映着盾构穿越的策略。因此,盾构机掘进速度必须严格控制。鉴于此,本文以盾构掘进速度为控制对象,根据弹性力学Mindlin解建立盾构穿越邻近土洞区域的力学模型,以降低掘进时盾构正面推力对邻近土洞的扰动为目标,通过最优控制理论对掘进速度进行优化。

    1 穿越邻近土洞的掘进速度最优控制

    最优控制理论研究的是在所有的可行控制方案中寻求一个最优的方案,在该方案的控制下,系统从初始状态运动至目标状态,能使规定的性能指标取得最优值。因此,为建立盾构掘进速度最优控制问题,需建立描述盾构机运动的系统状态方程,给出掘进速度的允许范围、盾构机的初终端状态和性能指标函数。

    盾构穿越邻近土洞区域掘进模型(图 1),作出如下理想假设:

    图 1 盾构穿越邻近土洞模型示意图 Fig. 1 TBM excavation with neighboring soil void

    ① 土体为均质弹性半无限体,盾构在土体中沿水平直线掘进;②盾构正面推力近似为作用于圆形开挖面上的均布荷载,不考虑盾壳摩擦和同步注浆的影响。同时,土洞状态按照普氏理论来考虑。

    1.1 系统状态方程

    盾构机的掘进可以开挖面圆心坐标随时间的变化来描述,为了计算简便,设开挖面圆心的坐标为(xyz),盾构机沿x轴正方向掘进,则此时开挖面圆心x坐标为时间t的函数,yz坐标为常数,即(x(t),yz)。

    取盾构掘进速度为控制变量,则系统的状态方程为:

    $\dot x = u\left( t \right)$ (1)

    1.2 允许控制集

    在实际应用中,u(t)应满足约束条件vminuvmax,于是将允许控制集定义为:

    ${U_{ad}} = \left\{ {u\left( t \right)|{v_{{\rm{min}}}} \le u\left( t \right) \le {v_{{\rm{max}}}}} \right\}$ (2)

    1.3 初终端条件

    盾构掘进只能对其附近一定范围内的土体产生扰动,设扰动区半径为Rd,土洞洞顶中心的坐标为(x0y0z0),则可以土洞顶部开始受到盾构机扰动作为初始条件,即:

    $x({t_0}) = {x_0} - {R_d}$ (3)

    至于终端条件,若采取固定的终端时刻t1,则盾构终止位置可取为:

    $x({t_1}) = {x_0} + {R_d}$ (4)

    1.4 性能指标函数

    性能指标除了要考虑土洞顶部因盾构正面产生的竖向位移和应力外,还要考虑扰动时间,因此从能量的角度出发,将性能指标定义为盾构掘进引起土洞顶部能量密度变化,即:

    $J\left( u \right) = \int_{{t_0}}^{{t_1}} {\frac{{{\rm{d}}{w_0}}}{{{\rm{d}}t}}{\sigma _0}{\rm{d}}t} $ (5)

    其中,w0σ0分别为由盾构机正面推力引起点(x0y0z0)的竖向位移和竖向应力,可采用弹性力学Mindlin解进行计算(Mindlin,1936唐晓武等,2010)。

    应该注意的是,Mindlin求解的是集中力在弹性半无限体中引起的位移与应力,而盾构机正面推力是作用于开挖面的均布荷载,因此需对Mindlin解的结果在整个开挖面进行积分:

    $\begin{align} &{{w}_{0}}\left( x \right)=\iint\limits_{\Omega }{\frac{P}{{\rm{ }}\!\!\pi\!\!{\rm{ }}{{r}^{2}}}\frac{(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{{x}_{0}})}{16{\rm{ }}\!\!\pi\!\!{\rm{ }}G\left( 1{\rm{ }}-{\rm{ }}\mu \right)}\left[ \frac{{\rm{ }}{{z}_{0}}~-{\rm{ }}z}{R_{1}^{3}}+\frac{\left( 3-4\mu \right)({{z}_{0}}-z)}{R_{2}^{3}} \right.} \\ &\quad \quad \left. -\frac{6{{z}_{0}}z({{z}_{0}}z)}{R_{2}^{5}}+\frac{4\left( 1-\mu \right)\left( 1-2\mu \right)}{{{R}_{2}}({{R}_{2}}+{{z}_{0}}+z){\rm{ }}} \right]{\rm{d}}s \\ \end{align}$ (6)

    $\begin{align} & {{\sigma }_{0}}\left( x \right)=\iint\limits_{\Omega }{\frac{P}{\rm{ }\!\!\pi\!\!\rm{ }{{r}^{2}}}\frac{(x\rm{ }-\rm{ }{{x}_{0}})}{8\rm{ }\!\!\pi\!\!\rm{ }\left( 1\rm{ }-\rm{ }\mu \right)}\left[ \frac{\rm{ }1+2\mu }{R_{1}^{3}}-\frac{\left( 1-2\mu \right)}{R_{2}^{3}} \right.} \\ & \quad \quad -\frac{3{{({{z}_{0}}-z)}^{2}}}{R_{1}^{5}}-\frac{3\left( 3-4\mu \right){{({{z}_{0}}+z)}^{2}}}{R_{2}^{5}} \\ & \quad \quad \left. +\frac{6c}{R_{2}^{5}}\left( z\rm{ + }\left( 1-2\mu \right)({{z}_{0}}~+\rm{ }z)\rm{ }+\frac{5{{z}_{0}}{{({{z}_{0}}~+\rm{ }z)}^{2}}}{R_{2}^{5}} \right) \right]\rm{d}s~ \\ \end{align}$ (7)

    其中,μGr分别为天然或工程处理后土体的泊松比、剪切模量和开挖面半径,Ω表示开挖面的范围:

    $\Omega = {\rm{ }}\left\{ {\left( {x,m,n} \right)\left| {\sqrt {{{\left( {m - y} \right)}^2} + {\rm{ }}{{\left( {n - z} \right)}^2} \le {\rm{ }}{r^2}} } \right.} \right\}$ (8)

    R1R2分别有如下定义:

    ${R_1} = \sqrt {{{({x_0} - x)}^2} + {{({y_0} - y)}^2} + {{({z_0} - z)}^2}} $ (9)

    ${R_2} = {\rm{ }}\sqrt {{{({x_0} - x)}^2} + {{({y_0} - y)}^2} + {{({z_0} + z)}^2}} $ (10)

    式中:P为盾构正面推力,根据朱合华等(2007)的研究,掘进速度与正面推力可用指数关系进行拟合:

    $\dot x = {b_1}{{\rm{e}}^{\frac{P}{{{b_2}}}}} + {b_3}$ (11)

    至此,可得盾构穿越邻近土洞的掘进速度最优控制问题的提法为:求u(t)∈Uadx(t),满足

    $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dot x = u\left( t \right)}\\ {x({t_0}) = {x_0} - {R_d},x({t_1}) = {x_0} + {R_d}} \end{array}} \right.$ (12)

    使得由式(5)定义的J(u)取得极小值。

    2 掘进速度最优控制问题求解
    2.1 位移/应力函数的数值积分

    由于位移函数和应力函数(式(6)、式(7))中被积函数过于复杂,因此需先对其进行数值积分,再进行拟合。

    以位移函数为例,在式(6)中提出与积分无关的系数,定义:

    $\begin{align} &{{I}_{w}}\left( x \right)=\iint\limits_{\Omega }{\frac{{{z}_{0}}-z}{R_{1}^{3}}+\frac{\left( 3-4\mu \right)({{z}_{0}}-z)}{R_{2}^{3}}-\frac{6{{z}_{0}}z({{z}_{0}}+z)}{R_{2}^{5}}} \\ &\quad \quad +\frac{\rm{ }4\left( 1-\mu \right)\left( 1-2\mu \right)}{{{R}_{2}}({{R}_{2}}+{{z}_{0}}+z)~}{\rm{d}}s \\ \end{align}$ (13)

    将Ω按极坐标划分成等间距网格,固定x,计算Iw中被积函数在各节点上的值(图 2)。

    图 2 被积函数数值积分示意图 Fig. 2 Numerical integration

    运用二重积分的梯形公式即可求出Iw的近似值,然后再改变x,则可得到Iw关于x变化的关系(图 3)。最后,利用样条函数对Iw(x)进行拟合,则可得到完整曲线。

    图 3 Iw-x关系曲线 Fig. 3 Iw-x curve

    2.2 引入罚函数

    根据盾构掘进穿越速度最优控制问题的终端条件,终端时刻t1固定,为了确保盾构在t1时刻能达到指定的位置,需在性能指标中引入罚函数项$N{\left[ {x\left( {{t_1}} \right) - \left( {{x_0} + {R_d}} \right)} \right]^2}$,此时性能指标函数变为:

    $J\left( u \right) = \int_{{t_0}}^{{t_1}} {\frac{{{\rm{d}}{w_0}}}{{{\rm{d}}t}}} {\sigma _0}{\rm{d}}t + N{\left[ {x\left( {{t_1}} \right) - \left( {{x_0} + {R_d}} \right)} \right]^2}$ (14)

    式中,N为正数,称为罚因子,在求解中不断增大,直至盾构终端状态达到给定精度。

    2.3 梯度法求解

    该问题为一个定常系统的最优控制问题,根据极大值原理,定义Hamilton函数:

    $H = - \frac{{{\rm{d}}{w_0}}}{{{\rm{d}}t}}{\sigma _0} + \lambda u$ (15)

    其中,λ(t)称为协态变量。则对系统的最优控制u*(t)和相应的系统状态曲线x*(t)满足:

    $\mathop {{\rm{max}}}\limits_{u \in {U_{ad}}} H({x^*}\left( t \right),u,\lambda \left( t \right)) = H({x^*}\left( t \right),{u^*}\left( t \right),\lambda \left( t \right))$ (16)

    $\dot \lambda = - \frac{{\partial H}}{{\partial x}}$ (17)

    $H({x^*}\left( t \right),{u^*}\left( t \right),\lambda \left( t \right)) \equiv H\left| {_{t_1^*}} \right. = 0$ (18)

    对某些形式较为简单的问题,仅利用式(16)~式(18)结合初终端条件即可求出解析解,但对于本问题以及其他大部分最优控制问题,要利用这个方法求解析解是很困难的,因此本文采用梯度法进行数值求解。

    梯度法的原理是任取一个初始控制函数,通过不断修正迭代使其沿指标函数的负梯度方向下降至极小值点,其具体步骤如下:

    (1) 选取罚因子N>0,设置终端状态容差ε>0;

    (2) 选取初始控制函数u0(t),设置容许误差δ>0,令K=0;

    (3) 用uK(t)代替u(t),根据状态方程(式(1))求得xK(t);

    (4) 根据λK(t1)=$2N\left[ {x\left( {{t_1}} \right) - \left( {{x_0} + {R_d}} \right)} \right]$和式(17),反向积分求得λK(t);

    (5) 计算梯度

    $h({u_K}\left( t \right)) = - \frac{{\partial H}}{{\partial u}}{\rm{ }}({x_K}\left( t \right),{u_K}\left( t \right),{\lambda _K}\left( t \right))$ (19)

    (6) 修正控制函数:

    $\begin{align} & {{u}_{K+1}}\left(t \right)=~~ \\ & \quad \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{v}_{\rm{max}}}, & {{u}_{K}}+a_{K}^{*}\cdot h\left({{u}_{K}}\left(t \right) \right)\ge {{v}_{\rm{max}}} \\ \rm{ }{{u}_{K}}+a_{K}^{*}\cdot h\left({{u}_{K}}\left(t \right) \right), & {{v}_{\rm{min}}}<{{u}_{K}}+a_{K}^{*}\cdot h\left({{u}_{K}}\left(t \right) \right)<{{v}_{\rm{max}}} \\ {{v}_{\rm{min}}}, & ~{{u}_{K}}+a_{K}^{*}\cdot h\left({{u}_{K}}\left(t \right) \right)\le {{v}_{\rm{min}}} \\ \end{array} \right. \\ \end{align}$ (20)

    式中,aK*为通过一维搜索方法得出的参数;

    (7) 计算误差,若

    $\left| {\frac{{J({u_{K + 1}}) - J({u_K})}}{{J({u_K})}}} \right| < \delta $ (21)

    转至步骤(9);

    (8) 令K=K+1,转至步骤(3);

    (9) 计算终端状态误差,若

    $\left| {{x_K}({t_1}) - ({x_0} + {R_d})} \right| < \varepsilon $ (22)

    结束计算,否则,增大N的值,并转至步骤(2)。

    计算结束后,所得到的uK即为近似的盾构掘进速度的最优控制解。

    值得注意的是,根据工程经验选取合理的初始控制函数可减少迭代次数,加快收敛速度,而在缺乏经验时,选取允许控制集内某一常数函数即可。

    至于参数aK*,其作用为提高算法效率,通过一维搜索算法,满足

    $\begin{align} & J({{u}_{K}}+a_{K}^{*}\cdot h({{u}_{K}}\left( t \right)))= \\ & \quad \quad \quad \underset{{{a}_{k}}>0}{\mathop{\text{min}}}\,J({{u}_{K}}+{{a}_{K}}\cdot h({{u}_{K}}\left( t \right))) \\ \end{align}$ (22)

    常用的一维搜索算法有二分法、黄金分割法、抛物线法等。

    3 工程实例

    广州地铁9号线是广州轨道交通系统在建线路之一,预计2017年通车。一期工程线路全长20.1km,以穿越第四系砂层和石灰岩地层为主,沿线存在大量溶洞、土洞,本文选取其中较为典型的花都广场站—马鞍山公园站盾构区间建立掘进速度最优控制问题。

    花都广场站—马鞍山公园站区间长度1301.030m,区间内岩土分层自上而下主要包括人工填土层<1>、冲积-洪积中粗砂层<3-2>、冲积-洪积粉质黏土<4N-2>、软塑状残积土层<5C-1A>、灰岩微风化岩带<9C-1>(图 4)。其中,灰岩<9C-1>主要呈深灰色,岩质较坚硬,岩石基本质量等级为Ⅲ级。残积土<5C-1A>广泛分布于灰岩<9C-1>顶面,呈灰黑色,以粉黏粒为主,软塑状,底部接近基岩多呈流塑状,具有很高的压缩性。此外,区间内地下水充沛,因此区间内岩溶发育强烈,在两次勘探共422个钻孔中,揭露有溶土洞发育的钻孔219个,见洞率51.9%。钻孔数据表明,区内溶洞、土洞数量众多,分布规律性差,多为无充填或半充填状态(郝以显,2011)。

    图 4 花都广场—马鞍山公园区间部分地质剖面图(朱小藻,2013) Fig. 4 Geological profile of Hua-Ma section(Zhu, 2013)

    隧道采用盾构法施工,主要穿越残积土层<5C-1A>和砂层<3-2>,底部局部穿越灰岩<9C-1>,最大埋深8.6m,盾构隧道衬砌外径6000mm(夏洋洋,2015)。

    盾构机沿x轴正方向掘进,则开挖面圆心坐标为(x,0,12),其中,x随盾构掘进而变化。以图 4中钻孔MIZ4-HM-78所揭露的土洞为盾构侧穿的对象,根据钻孔数据可知其洞顶埋深约为11m,设其隧道轴线水平距离5m,则土洞洞顶坐标为(0,5,11)。土洞所处的残积土层<5C-1A>(表 1)。根据广州其他已建成的地铁线路在遭遇类似情况时的工程经验(竺维彬等,2007王晖等,2011),设定盾构掘进时速度应控制在10mm · min-1至30mm · min-1之间。根据黎春林等(2016)的研究,得盾构掘进扰动区半径为9m,因此可得初始条件为x(t0)=-9。考虑指标函数的对称性,为减少计算量,取终端状态为x(t1)=0,固定终端时刻t1 =600min。

    表 1 土层<5C-1A>主要参数(夏洋洋,2015) Table 1 Parameters of stratum<5C-1A>(Xia, 2015)

    取初始控制函数u0(t)=15mm · min-1,初始罚因子N=2,利用Matlab编写梯度法程序,得到当N=512时,盾构终端状态x(t1)=-0.0011,达到规定精度。此时,近似掘进速度最优控制及相应盾构位移函数(图 5)。

    图 5 盾构掘进速度最优控制及相应位移 Fig. 5 Optimal control of excavation rate

    根据梯度法程序求出的近似最优控制解,为保证施工进度,当盾构离土洞还有一段距离时,采用允许范围内的最高速度30mm · min-1掘进,掘进120min后,此时土洞位于开挖面前方5.4m,为减少对土洞的扰动,将速度降至11.2mm · min-1从侧面穿越土洞,根据对称性,当盾构远离后,可恢复30mm · min-1的速度掘进。

    总结已建线路的成功经验(竺维彬等,2007王晖等,2011),当侧穿邻近土洞时,往往也要求降低掘进速度,以降低对围岩的扰动、控制盾构姿态和确保已注浆加固的效果,以防地面塌陷或局部破坏,说明通过最优控制理论求得的结果具有一定合理性。

    4 结论

    针对当前盾构穿越邻近土洞区域时未对均参数加以优化以保证土洞稳定的问题,本文建立了盾构穿越邻近土洞时的掘进速度最优控制问题,对掘进过程中盾构速度控制策略进行了优化,得到以下结论:

    (1) 根据弹性力学Mindlin解建立的盾构在含土洞地层中掘进的力学模型,能求出盾构正面推力使土洞顶部产生的竖向位移和应力,有效反映了盾构掘进对土洞的扰动。

    (2) 在掘进模型的基础上,提出了盾构掘进速度最优控制问题,该问题以盾构掘进速度为控制变量,以掘进引起的土洞洞顶能量密度变化量为性能指标,控制约束和初终端条件则结合工程实际设定,再通过梯度法对其进行数值求解,能对穿越土洞时盾构的掘进速度控制策略进行优化。

    (3) 以广州地铁九号线花—马区间盾构穿越邻近土洞问题为例,求得掘进速度的最优控制为以较高速度掘进一段时间后,改以较低速度匀速穿越,与工程经验符合,具有一定合理性。该方法为穿越邻近土洞时优化盾构掘进参数、降低土洞所受扰动提供了新的思路,具有一定参考意义。

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