工程地质学报  2017, Vol. 25 Issue (6): 1424-1429   (935 KB)    
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  • 收稿日期:2016-09-01
  • 收到修改稿日期:2017-04-26
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    郭林坪
    许文祥
    杨爱武
    刘晓强
    空间递推平均法在估计土性指标自相关距离中的应用
    郭林坪①②, 许文祥, 杨爱武, 刘晓强    
    ① 天津城建大学, 天津市软土特性与工程环境重点实验室 天津 300384;
    ② 中交天津港湾工程研究院有限公司港口岩土工程技术交通行业重点试验室, 天津市港口岩土工程技术重点试验室 天津 300222;
    ③ 天津市建筑设计院 天津 300074;
    ④ 交通运输部天津水运工程科学研究院 天津 300000
    摘要:像许多土层一样,黏性土层的土性参数也具有空间变异性。土性参数的空间变异性主要是由沉积和成岩等地质作用和环境因素导致的,而相关距离的确定是分析土性参数空间变异性的关键。为了分析天津南疆港地区土层参数的空间变异性,对确定土性参数相关距离的空间递推平均法及其改进方法进行了汇总分析,并结合地质勘查资料,运用改进的空间递推平均法对天津港地区典型土层的垂直相关距离进行了统计分析,得到了典型土层地区性代表值,对该地区岩土工程的可靠度分析及勘探点位的选取具有重要的指导意义。此外,还结合工程实例讨论了相关距离的贝叶斯估值法,贝叶斯估值法比直接取平均值确定自相关距离的方法更为可靠、合理,应用贝叶斯定理对天津港南疆石化码头淤泥及淤泥质黏土层的自相关距离进行估值,为今后该地区的取样间距选择提供参考,也为可靠度理论在该地区岩土工程中的应用提供有价值的参数。
    关键词空间变异性    自相关距离    空间递推平均法    贝叶斯原理    
    APPLICATION OF SPATIAL AVERAGE METHOD TO ESTIMATION OF SCALE OF FLUCTUATION OF SOIL INDEXES
    GUO Linping①②, XU Wenxiang, YANG Aiwu, LIU Xiaoqiang    
    ① Key Laboratory of Soft Soil Engineering Character and Engineering Environment of Tianjin, Tianjin Chengjian University, Tianjin 300384;
    ② CCCC Tianjin Port Engineering Institute, Ltd., Key Laboratory of Port Geotechnical Engineering, Ministry of Communications, PRC, Key Laboratory of Geotechnical Engineering of Tianjin, Tianjin 300222;
    ③ Tianjin Architecture Design Institute, Tianjin 300074;
    ④ Tianjin Research Institute for Water Transport Engineering, Tianjin 300000
    Abstract: Like most other soil layers, spatial variability of soil indexes also exists in the clayey layers. Such characteristic mainly results from geologic processes like deposition, diagenesis, et al. Determination of the scale of fluctuation is the key to know spatial variability of soil indexes. Therefore, this paper aims to analyze spatial variability of indexes of clayey soil in Nanjiang Port in Tianjin. It summarizes the spatial average method and its improved method at first. Combining geology data, the improved spatial average method is employed to analyze the scale of fluctuation of a typical soil layer in Tianjin Port in the vertical direction. The regional representative values are obtained, which are of high value on risk assessment in geotechnical engineering and determination of exploratory engineering intervals. In addition, the Bayesian inference is also discussed to revise the scale of fluctuation. Its results indicate that the Bayesian inference is much more reasonable. Furthermore, the scale of fluctuation of the mud and silt clay layer can be guidance for selection of sampling locations, and also valuable to reliability analysis of geotechnical engineering.
    Key words: Spatial variability    Scale of fluctuation    Spatial average method    Bayesian inference    

    0 引言

    天然沉积土层的土性指标通常具有明显的空间变异性。试验测得的数据是相对土试样而言的,反映的只是对应土层的点特性,不能代表其空间平均特性。土的工程特性依赖于土体的空间平均特性而非某一特定点的性质指标。因此在岩土工程中,对土性参数固有空间变异性的可靠估计是开展可靠度理论设计的关键。Terzaghi(1943)强调岩土工程设计中土性参数的空间变异性是不可忽视的,Vanmarcke(1977)首次提出岩土参数的随机场模型以用于描述和分析土性参数的空间变异性,他通过方差折减系数将土性参数的点特性与空间平均特性联系起来。该模型的实质是用齐次正态随机场来模拟土性剖面,用自相关距离反映岩土材料的空间自相关性,确立了由试验点特性过渡到空间平均特性的分析方法。自相关距离的计算方法主要有:自相关函数法、空间递推平均法、波动函数法、平均零跨距法、统计模拟法、半变异系数法等。朱登峰等(2003)通过实例分析指出自相关函数法与空间递推平均法计算的结果差别较大,但是并没有深入分析其原因;闫澍旺等(2007)对不同方法得到自相关距离差别较大的原因做了细致的研究,指出足够多的样本数会减小这种差别,在后续研究中又提出了完全不相关距离——用于平均的空间长度的算法,之后闫澍旺等(2014)又对完全不相关距离的计算方法进行了优化。

    自相关距离值有其区域性,有必要研究各地区的自相关距离值。因此除了计算方法的研究,许多学者还对不同地区典型土层的空间变异性做了深入研究,如张继周等(2014)统计分析了苏中腹地湖相沉积土层的自相关距离值;林军等(2015)分别采用自相关函数法、平均零跨距法估计了江苏海相黏土在竖直方向、水平方向的波动范围;郭林坪等(2016)统计分析了天津临港地区典型土层的自相关距离值。通过对比发现,在计算自相关距离的诸多方法中,空间递推平均法的改进方法因其计算方法简便、精度较高且实用性较强而得到推荐(李小勇等,2000李镜培等,2003)。

    笔者整理了空间递推平均法及其改进方法,并运用空间递推平均法的改进方法,收集与处理天津南疆港地区25个静力触探孔的数据,得到该地区淤泥及淤泥质黏土层的竖向自相关距离代表值。在此基础上应用贝叶斯定理对自相关距离进行估值,分析结果表明,此法比直接取平均值确定自相关距离的古典方法更为可靠、合理。自相关距离估值可以为今后该地区的取样点的选择提供参考,如取样间距不小于自相关距离值即可保证试验数据之间的独立性,同时也为可靠度理论在该地区岩土工程中的应用提供有价值的参数。

    1 自相关距离的基本概念

    均值方差会随着用于平均的空间增大而逐渐衰减,其根本原因在于空间各点土样之间具有自相关性。随着两点距离的增加,这种相关性减弱,当间距增大到一定程度后,可认为两点是互不相关的。土层中任意两个互不相关的数据点间的最小距离称为自相关距离。较小的自相关距离值表明土性变化剧烈,而较大的自相关距离值表明土性较均匀。由于土层在沉积过程中,水平向上是一次性大面积形成的,因此土层在水平向的性质较均匀,而在竖直向是逐渐形成的,因此土性在竖直方向上变化较明显,性质较离散。

    Vanmarcke于1977年定义了方差折减系数Γ2(h),即点方差过渡为空间平均方差的桥梁。他提出,如果存在:

    $ \begin{gathered} \mathop {\lim h}\limits_{h \to \infty } {\mathit{\Gamma} ^2}\left(h \right) = 2\mathop {\lim }\limits_{h \to \infty } \int_0^h {\left({1 - \frac{{\Delta z}}{h}} \right)} \rho \left({\Delta z} \right){\rm{d}}\left({\Delta z} \right) \hfill \\ = 2\int_0^h {\rho \left({\Delta z} \right){\rm{d}}\left({\Delta z} \right) = {\delta _{\rm{u}}}} \hfill \\ \end{gathered} $ (1)

    δu为一常数,可以用于衡量两个间距Δz的土性参数之间的相关程度,被称为“自相关距离”。当两点间的距离小于δu时,认为两点强烈相关;当两点的距离大于δu时,则认为它们基本不相关。但是文中的“自相关距离”只是一种工程应用中的说法,与数学上的相关(ρ=1)或不相关(ρ=0)并不能严格对应。

    h为用于平均的空间范围,对于足够大的h,有近似公式:

    $ h{\mathit{\Gamma} ^2}\left(h \right) \approx {\delta _{{u}}} $ (2)

    由式(2),方差折减系数可采用下述形式:

    $ {\mathit{\Gamma} ^2}\left(h \right) = \left\{ \begin{gathered} 1\;\;\;(h \leqslant {\delta _u}) \hfill \\ \frac{h}{{{\delta _u}}}\;(h \geqslant {\delta _u}) \hfill \\ \end{gathered} \right. $ (3)

    因此,只要确定了土性剖面的自相关距离值δu,就可以将该值代入式(3),进而确定点方差的折减系数值Г2(h),得到空间平均方差,评价土性参数的空间变异性。

    2 空间递推平均法
    2.1 常规方法

    空间递推平均法是通过方差折减系数Г2(h)求解自相关距离δu(Vanmarcke,1977)的一种方法。根据自相关距离的定义式(1)可知,对于充分大的h,有:

    $ {\delta _u} = h{\mathit{\Gamma} ^2}\left(h \right)\;\;\;\;\left({h \to \infty } \right) $ (4)

    在求解自相关距离δu的过程中,可将用于平均的范围——h取为取样间距Δz0的倍数,即hz=iΔz0,将其代入式(4),可得到:

    $ {\delta _u} = \Delta z{\mathit{\Gamma} ^2}(\Delta z) = i\Delta {z_0}{\mathit{\Gamma} ^2}(i\Delta {z_0}) $ (5)

    而方差折减系数的定义式为:

    $ {\mathit{\Gamma} ^2}\left(i \right) = \frac{{Var\left(i \right)}}{{{\sigma ^2}}} $ (6)

    式中,Var(i)为空间平均方差;σ2为取样点参数确定的方差。

    对某一土层而言,对于充分大的hδu为常数。由式(6)确定的Г(i)~i散点图上则表现为:当i取某一值后,Г(i)趋近于平稳,因此可以据此特点,通过如下方法近似地得到δu

    (1) 计算出试验点(即i=1时)参数的期望值E[Y(z)]及其标准差σ

    (2) 取i=2,即取相邻两个样本点的均值,将其构成一组新数据,求出该组数据的均值和标准差,其中均值不变,标准差记为D(2);

    (3) 进而可得到i=2时的标准差折减系数Γ(2),$ \mathit{\mathit{\Gamma}} \left(2 \right) = \frac{{D\left(2 \right)}}{\sigma } $

    (4) 在以i为横坐标、Г(i)为纵坐标的散点图上描绘出该点;

    (5) 按照上述方法,取i=3,4,…,确定对应的Г(i)值,点绘出Г(i)~i图;

    (6) 在Г(i)~i散点图中,找出Г(i)的平稳点n*,将该值代入式(5),即可求出自相关距离δu=n*Δz0Г2(n*)。

    2.2 改进方法

    上述方法虽然在理论上简便易行,但是在分析过程中发现:对于具有强烈空间变异性的土层,绘出的Г(i)~i图并没有理论上预想的那么规则;且在计算过程中发现,随着i值的增加,用于求解Г(i)的数据逐渐减少,这就使求得的Г(i)可信度降低,表现为:在Г(i)~i散点图的中后部出现不规则摆动(图 1),而不能够实现理论上预想的“趋于平稳”,因此很难从图中找出标准差折减系数Г(i)的起始稳定点,确定自相关距离δu也将遇到困难。

    图 1 Г(i)~i散点图 Fig. 1 Scatter diagram of Г(i)~i

    此外,当已知两点间距离Δz时,从Г(i)~i图中不能直接读出Гz)的大小,所以在改进后的空间递推平均法中将给出Гz)~Δz图用于确定自相关距离值。

    Гz)的理论值的表达式为:

    $ \mathit{\Gamma} (\Delta z) = \sqrt {\frac{{{\delta _u}}}{{\Delta z}}} = \sqrt {\frac{{{\delta _u}}}{{i\Delta {z_0}}}} $ (7)

    也就是说计算所得的Гz)值应逐渐接近由式(7)得到的理论值(图 2)。

    图 2 Г(i)的计算值与理论值对比 Fig. 2 Comparison between calculated values and theoretical values

    图 2中可看到,计算点与理论曲线相切后,又逐渐偏离,这就是前面所说的:随着i值的增大,用于求解Гz)的数据逐渐减少,导致计算所得的Гz)可信度降低。因此,在难于确定Гz)平稳点的情况下,改进的方法更容易、更直观。

    3 天津港典型土层相关距离的计算和统计

    自相关距离是随机场理论应用于实际工程中的一个重要参数,不仅可用于土性参数空间变异性评价,还对工程中勘探点的布置有着重要的指导作用。在研究阶段,通过自相关距离可得到土性指标的方差折减系数,从而了解土体的空间变异特性;在实际工程中,则可以依据已有的相关距离值确定勘探取样间距值,即取样间距应不小于自相关距离值,使得所取的土样是相互独立的,以达到消除自相关性对土性参数影响的目的。提取天津港南疆石化码头试验场地的静力触探数据,通过改进的空间递推平均法确定该地区典型土层竖向自相关距离,并应用贝叶斯估值法对得到的结果进行处理,使结果更接近真值,成果可作为该区域其他工程确定取样间距的参考。

    3.1 试验场地概况

    与其他试验方法相比,静力触探试验的取样间距小,在同一土层中可得到的数据多,能较真实地反映土性剖面的特征,所以通常选择静力触探试验数据作为土层自相关距离的分析依据(张继周等,2014郭林坪等,2016)。天津港南疆石化码头的静力触探孔布置为一条纵轴线,触探孔共25个,间距为5m,静力触探孔深度平均值为20m。试验现场情况(图 3):

    图 3 试验设备及现场情况 Fig. 3 Experimental devices and field conditions

    3.2 垂直相关距离的计算和统计

    本文统计分析了南疆石化码头25个静力触探孔得到的锥尖阻力值,对淤泥及淤泥质黏土层试验数据进行标准化(Lumb,1966),经检验,处理后的数据具有平稳性和各态历经性,因此可以应用随机场理论分析淤泥及淤泥质黏土层的空间变异性。表 1中列出了应用改进的空间递推平均法得到的各孔中该土层竖直方向上的自相关距离值。

    表 1 南疆石化码头竖直向自相关距离计算结果 Table 1 Vertical scale of fluctuations of Nanjiang Wharf

    表 1中的结果进行统计分析,得到该土层竖直向自相关距离的概率特征值,以备贝叶斯估值使用。概率特征值(表 2):

    表 2 相关距离的概率特征值 Table 2 Probability characteristic values of scale of fluctuations

    3.3 贝叶斯定理在相关距离估计中的应用

    贝叶斯估值法结合实测数据及已有经验推断未知参数。使其估值结果比古典法的估计值更加接近真值。国内外许多学者做过这方面的研究,如包承纲(1985)、DeGroot et al.(1993)、李小勇(2001)Vroumenvelder et al.(2003)等,都曾将贝叶斯定理应用于土层的自相关距离估值。但是,由于沉积历史等因素的影响,自相关距离值有其区域性,有必要提出不同区域的自相关距离值。

    下面应用贝叶斯定理对天津港南疆石化码头淤泥及淤泥质黏土层的自相关距离进行估值,为今后该地区的取样点的选择提供参考,也为可靠度理论在该地区岩土工程中的应用提供有价值的参数。

    贝叶斯定理可表述为:

    $ {f{''}}\left(\theta \right) = KL\left(\theta \right){\rm{ }}{f'}\left(\theta \right) $ (8)

    式中,θ为随机变量;f″(θ)为随机变量θ的验后概率;K为随机变量θ的正规化常数;L(θ)为随机变量θ的似然函数;f′(θ)为随机变量θ的验前概率。

    如果随机变量θ的验前分布f′(θ)为正态分布N[μ′,σ′],那么似然函数L(θ)亦为正态分布N[μ*σ*],其中,存在如下关系式:

    $ {\mu ^*} = \mu $ (9)

    $ {\sigma ^*}\frac{\sigma }{{\sqrt n }} $ (10)

    验后分布f″(θ)为两个正态分布的乘积,也是一个正态分布N[μ″,σ″],且μ″,σ″的表达式分别为:

    $ {\mu {''}} = \frac{{{\mu ^*}{\sigma '}^2 + {\mu '}{\sigma ^{*2}}}}{{{\sigma '}^2 + {\sigma ^{*2}}}} $ (11)

    $ {\sigma {''}} = \frac{{{{\left({{\sigma '}} \right)}^2} + {{({\sigma ^*})}^2}}}{{\sqrt {{\sigma '}^2 + {\sigma ^{*2}}} }} $ (12)

    以天津港地区淤泥及淤泥质黏土层的经验信息(郭林坪,2016)作为验前分布,其概率特征值为N[0.356,0.072],对本文得到的该土层自相关距离值进行估值。由式(8)~(12)可知,似然函数L(θ)为N[0.314,0.020],验后分布为N[0.317,0.075]。

    分析表明,直接取各触探孔锥尖阻力确定的自相关距离平均值作为该土层的自相关距离值,则为0.314,对应的变异系数为0.31,应用贝叶斯估值方法确定的淤泥及淤泥质黏土层的自相关距离值为0.317m,变异系数为0.23。由此可知,与传统的均值方法相比,贝叶斯估值方法得到的结果更为可靠、合理,宜为土性参数空间变异性分析时采用。

    4 结论

    本文首先整理了确定土层自相关距离的空间递推平均法及其改进方法,然后通过对静力触探试验所得锥尖阻力的去趋势化、并应用改进的空间递推平均法计算了天津南疆港淤泥及淤泥质黏土层的自相关距离值,最后,为提高结果的可靠性,应用贝叶斯理论对古典法得到的自相关距离值进行估值,得到以下结论:

    (1) 利用静力触探试验得到的锥尖阻力求解土性参数的自相关距离是一种值得推荐的途径,可用的数据量较大,且空间递推平均法的改进方法简便、直观。

    (2) 贝叶斯估值法得到的自相关距离值更接近真值,变异系数更小,比直接取各孔平均值作为自相关距离的方法更为可靠、合理。

    (3) 土性指标的自相关距离具有地区性特点,因此对区域性土层的自相关距离进行研究具有重要的现实意义。应用贝叶斯定理对天津港南疆石化码头淤泥及淤泥质黏土层的自相关距离进行估值,自相关距离值为0.317。结果可为今后该地区的取样点的选择提供参考,也为可靠度理论在该地区岩土工程中的应用提供有价值的参数。

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