0 引言

20世纪70年代，在地球物理勘探领域，Pelton给出了岩石阻抗的经验公式^[1]. 21世纪初，有人给出了岩石具有电容的结论^[2].在电介质领域，针对细胞膜相电导率研究，有人提出了高频和低频下的阻抗公式^[3]. Debye给出了介电常数和弛豫时间及频率关系的经验公式^[4]，根据该公式可以得到介电常数和损耗的关系为一个半圆. Cole等对该公式做了一些发展，增加了一个圆弧^[5-6]. Davidson、Havriliak等进一步发展，增加了一个斜歪的圆弧^[7].现代对非均匀体的研究表明，介电常数和损耗的关系可以为多个圆弧.上述关系都有相应实验数据的支持^[8-10].电介质研究表明其电性和岩石电性完全一致.

1 模型的建立

地球物理勘探发现，在向大地和岩矿标本直流充电和放电时有一次和二次电压现象，有人据此得到了岩石具有电容的结论^[2]；交流充电有相位移和阻抗随频率变化现象^[11-13].前者是电容电阻串联电路的表现，后者也是电容的表现形式.而岩矿能够自然放电表明岩矿是导电的.岩矿也是一种介质.因此，可以用上述岩矿性质表达介质性质.考虑到介质组成的不均一性，介质电容电路等效于若干串联电容电阻的并联电路.介质的导纳Y和角频率ω（ω＝2πf）的关系可表示为

$ Y=j \omega \frac{C_{1}}{1+j R_{1} C_{1} \omega}+j \omega \frac{C_{2}}{1+j R_{2} C_{2} \omega}+\cdots+j \omega \frac{C_{n}}{1+j R_{n} C_{n} \omega}+\frac{1}{R_{0}} $

(1)

式中$\dot j $为单位向量，ω为频率，C₁、C₂、C_n为介质内的并联电容，R₁、R₂、R_n为介质内相应电容的内阻（电容的串联电阻，电容内电导的倒数），R₀为介质的漏电电阻（介质电导的倒数）.

式（1）还可以写为

$ \begin{array}{l} Y=j \omega\left(\frac{C_{1}}{1+\left(R_{1} C_{1} \omega\right)^{2}}+\frac{C_{2}}{1+\left(R_{2} C_{2} \omega\right)^{2}}+\cdots+\frac{C_{n}}{1+\left(R_{n} C_{n} \omega\right)^{2}}\right) \\ +\frac{R_{1} C_{1}^{2} \omega^{2}}{1+\left(R_{1} C_{1} \omega\right)^{2}}+\frac{R_{2} C_{2}^{2} \omega^{2}}{1+\left(R_{2} C_{2} \omega\right)^{2}}+\cdots+\frac{R_{n} C_{n}^{2} \omega^{2}}{1+\left(R_{n} C_{n} \omega\right)^{2}}+\frac{1}{R_{0}} \end{array} $

(2)

式（2）中虚部和实部分别为容纳和电导，容纳是等效电容C_e和频率ω的乘积.容纳和电导比值为电流电压相位差的正切^[14-15]，也是介质电损耗角的余切.电导的倒数为介质的阻抗.

一定电压U下，并联的串联电容电阻的充放电I和时间t的关系可写为（正负符号分别充电和放电）

$ I=\pm U\left(\frac{1}{R_{1}}\left(\mathrm{e}^{\frac{-t}{R_{1} C_{1}}}\right)+\frac{1}{R_{2}}\left(\mathrm{e}^{\frac{-t}{R_{2}-C_{2}}}\right)+\cdots+\frac{1}{R_{n}}\left(\mathrm{e}^{\frac{-t}{R_{n} C_{n}}}\right)\right) $

(3)

含介质平行板电容短接充放电相当于平行板为导线接点的介质充放电.真空电容短接充放电是瞬时完成的，没有弛豫时间，其电容不随频率变化.当在平行板电容内加入介质后，电容增加，产生弛豫时间，电容随频率变化.充电过程中有吸收电流，短接弛豫放电电流和吸收电流镜像对应.平行板电容短接充放电瞬间完成，因此，可以认为产生弛豫的充放电是介质的缘故.含介质的平行板电容短接能够储存和释放电量并具有弛豫时间，表明介质具有电容.电容电阻串联充放电有一时间常数，这和弛豫时间相对应.这表明介质电容存在内阻.平行板电容加入介质后等效于平板电容并联上若干串联电容电阻.平行板电容不随频率变化.加入介质后电容的导纳Y可写为平行板电容容纳与介质电容导纳的和，有

$ \begin{aligned} Y &=j \omega C_{\mathrm{P}}+j \omega \frac{C_{1}}{1+j R_{1} C_{1} \omega}+j \omega \frac{C_{2}}{1+j R_{2} C_{2} \omega}+\cdots+\\ & j \omega \frac{C_{n}}{1+j R_{n} C_{n} \omega}+\frac{1}{R_{0}} \end{aligned} $

(4)

C_P为平行板电容为介质影响电场后的电容，其值为含介质电容频率趋于无穷的电容值.这可以理解为频率趋于无穷时，介质含内电阻电容的等效电容趋于0，电路的电容就是平行板电容C_P.式（4）可以还写为

$ \begin{aligned} Y=& j \omega\left(C_{\mathrm{P}}+\frac{C_{1}}{1+\left(R_{1} C_{1} \omega\right)^{2}}+\frac{C_{2}}{1+\left(R_{2} C_{2} \omega\right)^{2}}+\cdots+\right.\\ &\left.\frac{C_{n}}{1+\left(R_{n} C_{n} \omega\right)^{2}}\right)+\frac{R_{1} C_{1}^{2} \omega^{2}}{1+\left(R_{1} C_{1} \omega\right)^{2}}+\frac{R_{2} C_{2}^{2} \omega^{2}}{1+\left(R_{2} C_{2} \omega\right)^{2}} \\ &+\cdots+\frac{R_{n} C_{n}^{2} \omega^{2}}{1+\left(R_{n} C_{n} \omega\right)^{2}}+\frac{1}{R_{0}} \end{aligned} $

(5)

式（5）的虚部为容纳，实部为电导.在单位电压下，无功功率（Q）数值上等于容纳，有功功率（P）数值上等于电导.电导和频率ω的比值为单位周期电损耗/2π，取名为周期电耗C_ε.容纳和电导的比值为电流电压位移角的正切，也是损耗角的余切.容纳是等效电容C_e和频率ω的乘积.式5还可以写成

$ \begin{aligned} Y=& j \omega\left[\left(C_{\mathrm{P}}+\frac{C_{1}}{1+\left(R_{1} C_{1} \omega\right)^{2}}+\frac{C_{2}}{1+\left(R_{2} C_{2} \omega\right)^{2}}+\cdots+\right.\right.\\ &\left.\frac{C_{n}}{1+\left(R_{n} C_{n} \omega\right)^{2}}\right)-j\left(\frac{R_{1} C_{1}^{2} \omega}{1+\left(R_{1} C_{1} \omega\right)^{2}}+\frac{R_{2} C_{2}^{2} \omega}{1+\left(R_{2} C_{2} \omega\right)^{2}}\right.\\ &\left.\left.+\cdots+\frac{R_{n} C_{n}^{2} \omega}{1+\left(R_{n} C_{n} \omega\right)^{2}}+\frac{1}{R_{0} \omega}\right)\right] \end{aligned} $

(6)

式（6）jω后面的表达式可以看作为复电容C_i表达式，那么有

$ \begin{aligned} C_{\rm i}=&\left(C_{\mathrm{P}}+\frac{C_{1}}{1+\left(R_{1} C_{1} \omega\right)^{2}}+\frac{C_{2}}{1+\left(R_{2} C_{2} \omega\right)^{2}}+\cdots+\right.\\ &\left.\frac{C_{n}}{1+\left(R_{n} C_{n} \omega\right)^{2}}\right)-j\left(\frac{R_{1} C_{1}^{2} \omega}{1+\left(R_{1} C_{1} \omega\right)^{2}}+\frac{R_{2} C_{2}^{2} \omega}{1+\left(R_{2} C_{2} \omega\right)^{2}}\right.\\ &\left.+\cdots+\frac{R_{n} C_{n}^{2} \omega}{1+\left(R_{n} C_{n} \omega\right)^{2}}+\frac{1}{\omega R_{0}}\right) \end{aligned} $

(7)

2 模型和实验数据对比 2.1 模型和岩矿数据对比

Pelton分别测量了黄铜矿、黄铁矿（含氯化钠溶液）、电阻电路电流电压相位角及阻抗对频率的关系^[1]（表 1）.取一定电容、电阻值（表 2），利用式（1）得到的相位和阻抗能够与实测数据得到很好的吻合（图 1、2）.

由式（2）可以看到，当频率趋于0时，等效电容是并联电容的和，电阻为漏电电阻.当频率趋于无穷时，等效电容为0，阻抗倒数为内阻及漏电电阻倒数的和.这是电容频率趋于0时隔电，趋于无穷时相当于短路的特征. Pelton实测结果证实了这一点.

2.2 模型和玻璃、云母、琥珀数据对比

R. Kohlrauch测得了玻璃充电吸收电流数据，H. Neumann测得了琥珀的充放电数据（表 3）^[5]，Voglis测得了云母的充放电数据（表 4）^[5].利用式（3），取一定数值（表 5~7），可以与实测数据得到很好的弥合（图 3~5）.

Vollis用两个电压测量了云母的放电电流. 图 5中可以看到两条曲线形态完全一致.由于云母电阻电容不变，变化的只有电压，因此曲线完全相同.式（3）清楚地表明了这一点.注意到琥珀弛豫时间在30 min左右，这表明同一模型同样适用于短时间和长时间的弛豫现象.

2.3 模型和聚乙烯胶囊数据对比

Asami利用介电扫描显微镜测量了聚乙烯胶囊的介电常数、电损ε"、电导等数据（表 8）^[16].利用式（7）（5）取一定数值（表 9），能够很好地吻合这些数据（图 6~9）.

图 7、9中电导最小值为介质电导（ω趋于0），电导最大值为介质电导与介质电容内导的和（ω趋于无穷）.最小介电常数和最大介电常数分别是平行板电容C_P、平行板电容与介质电容的和（C_P+C）与真空介电常数的比值.这与式（5）（7）一致.

2.4 经典介电常数曲线和模型对比

利用式（7）（略去$\frac{{1}}{{ωR_0}}$），取一定数值（表 10），可以得到不同等效电容C_e和周期电耗C_ε关系（图 10~13）.

结合表 10，可以看到，当电容、电阻值差距较大时，为多峰的曲线，随差距减小.曲线由斜歪到压扁的半圆，直至差距为0，关系曲线变为一个半圆.差距为0时，式（5）可以写成

$ Y=j \omega C_{\mathrm{P}}+j \omega \frac{C}{1+j R C \omega}+\frac{1}{R_{0}} $

(8)

则

$ C_{\rm i}=C_{\mathrm{P}}+\left(\frac{C}{1+j R C \omega}+\frac{1}{j \omega R_{0}}\right) $

(9)

C为介质的并联电容的和，R为电容内阻并联电路的电阻，R₀很大时，可略去$\frac{{1}}{{jωR_0}}$.用时间常数τ替代RC，等式两边比上真空介电常数，式（9）实际上就变为Debye的介电常数的经验公式.参照式（5），单位电压下电损耗功率数值上等于导纳的实部.这说明Debye经验公式的电损ε"并不是实际电损耗，实际是单位周期电耗和2π的比值.对比表明，介质电容模型完全能解释经典介质阻抗、电容性实验数据.

3 温度、频率对等效电容影响的推论

介电常数会随温度变化^[17].式（7）的实部为介质等效电容.可以看到电阻变大，等效电容减小.温度变化会引起电阻变化.对于温度系数为正数的介质，温度增加，等效电容减小；对于温度系数为负数的介质，温度增加，等效电容增加.另外，在特定频率下，可能由于共振等方面的影响，也可能会引起电阻的突变，从而导致等效电容的变化.这可能是介电谱在高频下产生跳跃的原因.

4 讨论

平行板电容C_P在有介质的情况下大于真空下电容的讨论.实践知道，平板电容在加入导体后，电容会增加，一般认为导体相当于缩小了平行板间的距离，电场增加，电容变大.介质实际上也是导体，同样也会使电场变大，而使电容增加.另外，介质有一定折射率，一般会使电磁波的速度变慢.如果认为由于介质通过影响电场通导（场导）而使电磁波速度变慢的话，那么“场导”同样会影响平行板间的电场，它应该会使电容减小.

由式（6）知道，电路表现的电容为介质等效电容，它是平行板电容与介质等效电容的和.介电常数是这个等效电容和与真空介电常数的比值.由此可见，如果存在介电常数的话，它也是等效介电常数，并不是介电常数随频率变化.

目前认为，加入介质后电容增加是由于极化的作用.介质极化理论认为介质在外电场的作用产生极化电场，其方向与外电场方向相反，使总电场强度减小.但电容是和电场强度成正比的，电场强度减小不应引起电容增加.另外，当外电场消失后，与电场方向相反的介质电场应该产生由电容负极流向正极的短接放电电流，这与实际相反.再有，含介质电容在充电过程中有一吸收电流，并被认为是被介质吸收.极化理论并没有要求介质和平行板间有导体连接，绝缘的情况下，外电源电流不会流到介质里.介质也就不可能吸收电流.

5 结论

介质是存在电容的.没有平行板电容情况下，介质具有电容特性；在有平行板电容情况下，介质同样具有电容特性.

弛豫时间是电容时间常数决定的.介质成分均一，并联电容的电容、内阻都相等的情况下，时间常数就是弛豫时间.

介质电容内阻是可测量的.充电瞬间可以看作电容是短路的，其电导等于内电导和介质电导的和.测得漏电电导和充放电瞬时电导即可得到电容内电导.交流电情况下，当频率趋于无穷时，相当于电容短路.同样可以得到内电导.实际上，本文已经得到了黄铜矿、黄铁矿（含其他介质）及聚乙烯（含其他介质）的电容内阻.

吸收电流是介质电容充电电流.吸收电流和短接放电电流是镜像对应的，它反应了介质电容的电量储存能力.这个吸收电流产生无功功率，同时由于通过电容内阻而产生有功功率.

平行板会使介质电容的电容增加.平行板电极会使介质的外电场增加，因此介质电容会增加.

介质电损耗在单位电压下，其数值上等于介质电导与介质电容内导的和.

岩石电容是电介质电容的一种.