0 引言

"激发极化"法(IP, induced polarization)是矿产勘探和水文地质、工程地质工作的一种电法勘探方法, 主要利用充电时在测量点电压变化的现象.它分为直流激发极化法(时间域法)和交流激发激化法(频率域法).电极排列主要有中间梯度排列、联合剖面排列、固定点电源排列、对称四极测深排列等.激发极化法的应用范围非常广泛.早在19世纪, 人们就发现了激发激化现象, 20世纪40年代开始应用于物探.在国外, 在20世纪50年代初期, 激发极化法在矿产勘探中发挥了重要作用, 找到了一些大型低品位的硫化矿体.激发极化法的应用还扩大到了油气田方面.但是, 该方法只是对于一次电压和二次电压现象的模仿应用, 没有就模型而量化的理论基础.对于该现象只有假设的模型和经验公式, 就此提出的概念往往是似是而非的, 没有进行验证.比如"极化率"概念, 从来没有验证极化率与极化有什么关系, 与被极化的电荷及电荷量有什么关系.对测试数据的解释都是经验式的, 不能建立可靠的量化的正反演模型, 也不能进行科学的地质解释. "激发激化"理论处于假说状态, 一个世纪以来技术上没有实质进展.因此, 有必要对"激发激化"理论进行重新探讨.

1 问题的提出

目前, 物探电法激发极化法的基础是建立在当在大地AB两极稳流充电时, 在测量MN两极有一定电压变化规律的现象上的.开始充电瞬间MN间的电压称为一次电压(位)(ΔU₁), 充电稳定时的电压称为总场(饱和)电压(位)(ΔU), 放电瞬间电压称为二次电压(位)(ΔU₂)(图 1).认为一次二次电压与极化强度有关, 用二次电压(或总场电压与一次电压的差)与饱和电压的比值作为"极化率"η. η=ΔU₂ /ΔU, 或η=(ΔU-ΔU₁)/ΔU.

在交流充电时, 电流和电压有相位差的现象, 阻抗及电压有随频率增加而减小的现象^[1-2].

基于野外和上述装置观察到的一次和二次电压现象, W. H. Pelton在1978年建立了极化体模型和等效电路(亦称Cole-Cole模型和等效电路)(图 2)的极化理论^[3].这一理论是地球物理勘探之"激发极化"勘探的基础.该模型用两个管道来模拟岩(矿)石, 一个是没有被堵的管道, 一个是被极化体堵塞的管道.用上述管道及极化元件对应Pelton模型及等效电路, 并给出了电路阻抗(Z)随频率变化的经验公式:

$ Z\left( \omega \right) = {R_0}\left[ {1 - m\left( {1 - \frac{1}{{1 + {{\left( {i\omega \tau } \right)}^{ - c}}}}} \right)} \right] $

式中, m=R₀ /(R₀+R₁), i为单位复向量, ω为频率, τ为"时间常数", c为相位角随频率变化的斜率^[3].

问题一

图 2中可以看到, Pelton认为岩石有极化的部分和没有极化的部分, 这与事实不符, 实际上任何岩石都有极化现象. Pelton认为电流只是通过管道横向流动, 纵向是绝缘的.事实上岩石各个方向都导电, 这一电流只是横向流动的说法也是与事实不符的.因此, 即使岩石存在极化和非极化的部分, 那也是极化元件和非极化体的直接的并联电路, 而不是图 2b中所示极化元件通过R₁和非极化体R₀并联.

问题二

在图 2b的等效电路中, 极化元件的导电特性不明确.充电过程中极化元件对电流的影响是什么?如果说它有没有阻抗, 那么在充电过程中, 它的阻抗是否有变化?

问题三

在图 2b的等效电路中, 在充电过程中极化元件电压是怎样变化的?它是否是从一次电压变化到二次电压?它的最终电压是多少?极化元件的电压和充电电压的关系问题没有解决.

问题四

通过Pelton模型给出的是一个经验公式.在遇到复杂的数据时Pelton甚至用两个类似公式的乘积来表达阻抗(下式)^[3].它的参数的值都是为弥合数据给出的, 不可通过实验测量, 而且出现了两个时间常数τ, 实际物理意义是模糊不清的.

$ Z\left( \omega \right) = {R_0}\left[ {1 - m\left( {1 - \frac{1}{{1 + {{\left( {i\omega {\tau _1}} \right)}^{ - c1}}}}} \right)} \right]\left[ {\left( {\frac{1}{{1 + {{\left( {i\omega {\tau _2}} \right)}^{ - c2}}}}} \right)} \right] $

问题五

测量表明, 一次电压及二次电压与充电电流强度有一线性关系^[1], 或者说"极化率"和充电电流强度无关.目前的IP理论对此种关系没有任何解释.

问题六

各种岩矿实测"极化率"基本都小于50%^[2].为什么"极化率"不能达到100%, 或者说地质体不能100%极化?前的IP理论对此也没有任何解释.

问题七

极化有放电现象, 说明有电能的积累.但IP理论并没有解释在一定的电流或电压充电下有多少电荷积累.

问题八

实测表明, 二次电压(ΔU₂)等于总场(饱和)电压(ΔU)和一次电压(ΔU₁)的差.这是如何形成的?它与极化是怎样的关系?

问题九

IP理论认为一次场(ΔU₁)和二次场(ΔU₂)叠加到一起形成总场(饱和)电位.一个是充电开始形成的, 一个是断电时形成的.两个不共存的场是如何叠加的?

2 岩石地质体的电容 2.1 岩石地质体电容模型

电学理论和实验表明, 任何实际的电阻都有电容, 任何实际的电容都是"漏电"的, 或者说电容在直流状况下实际是导电的.实际的电容的介质不可能100%隔电.漏电电阻实际上表明电容介质是一个阻值很大的电阻(R₀), 这个电阻可以看作是与电容的并联.而电容电极和引线也不是超导体, 它存在一定电阻(或称电容内阻)(R₁)(图 3).当R₁为0, R₀趋于无穷大, 这是一个纯电容; R₁渐大, R₀渐小, 这是一个实际电容.一个实际电容或岩石的等效电路可以看作是纯电阻和纯电容的串并联电路(图 4).地质体是一个实际的电阻, 测量地质体电阻率是物探常用的方法.这表明它也是一个实际的电容, 它有电容内阻R₁, 也有漏电电阻R₀.岩石、地质体同样可以看作是纯电阻、纯电容的串并联电路.

2.2 岩石地质体直流充放电

激发激化法是用一稳定电流(I)充电, 那么通过R₀的电流为I_R, 通过R₁和电容C的电流为I_C. R₀两端的电压为V_R, 电容C两端的电压为V_C (图 5).

充电过程中V_R, I_R, V_C, I_C都是时间t的函数.并联电路电压相同, 有

$ {\mathit{V}_{\rm{R}}} = {\mathit{R}_{\rm{1}}}{\mathit{I}_{\rm{C}}} + {\mathit{V}_{\rm{C}}} $

(1)

并联电路分路电流的和为总电流, 即

$ I = {\mathit{I}_{\rm{C}}} + {\mathit{I}_{\rm{R}}} $

(2)

因此, R₀的电压可以表达为

$ {\mathit{V}_{\rm{R}}} = {\mathit{R}_{\rm{0}}}\left( {I - {I_{\rm{C}}}} \right) $

(3)

电容C充电过程中电压V_C和I_C电流的关系^[4]为

$ {I_{\rm{C}}} = C \cdot d\;\;{\mathit{V}_{\rm{C}}}/dt\; $

(4)

那么式(1)可以表达为

$ {\mathit{R}_{\rm{0}}}\left( {I - {I_{\rm{C}}}} \right) = {\mathit{R}_{\rm{1}}}{\mathit{I}_{\rm{C}}} + {\mathit{V}_{\rm{C}}} $

(5)

把式(4)代入式(5), 有

$ {\mathit{R}_{\rm{0}}}\left( {I - C \cdot d{\mathit{V}_{\rm{C}}}/dt} \right) = {R_1}C \cdot d{\mathit{V}_{\rm{C}}}/dt + {\mathit{V}_{\rm{C}}} $

(6)

整理有

$ 1/\left( {\left( {{R_0} + {R_1}} \right)C} \right)dt = d{\mathit{V}_{\rm{C}}}/\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}I - {\mathit{V}_{\rm{C}}}} \right) $

(7)

两边积分有

$ t/\left( {\left( {R + {R_1}} \right)C} \right) = - {\rm{ln}}\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}I - {\mathit{V}_{\rm{C}}}} \right) + K $

(8)

K为积分常数. t=0时, 电容电压V_C为0, 那么

$ K = {\rm{ln}}\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}I} \right) $

(9)

带入K, 有

$ t/\left( {\left( {{R_0} + {R_1}} \right)C} \right) = {\rm{ln}}\left( {\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}I} \right)/\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}I - {\mathit{V}_{\rm{C}}}} \right)} \right) $

(10)

电容电压V_C与时间t的关系是

$ {\mathit{V}_{\rm{C}}} = {\mathit{R}_{\rm{0}}}I\left( {1 - \exp \left( { - t/\left( {\left( {{R_0} + {R_1}} \right)C} \right)} \right)} \right. $

(11)

exp(-t/((R₀+R₁)C))表示自然对数底e的(-t/((R₀+R₁)C)次方.由上述关系可以得到通过电容的电流I_C及V_R电压分别为

$ {I_{\rm{C}}} = \left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}/\left( {{R_0} + {R_1}} \right)} \right)I \cdot \exp \left( { - t/\left( {\left( {\left( {{R_0} + {R_1}} \right)C} \right)} \right.} \right) $

(12)

根据式(2), 有

$ {V_{\rm{R}}} = {\mathit{R}_{\rm{0}}}I\left( {1 - \left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}/{\mathit{R}_{\rm{0}}} + {\mathit{R}_{\rm{1}}}} \right)} \right) \cdot \exp \left. {\left. {\left( { - t/\left( {\left( {{R_0} + {R_1}} \right)C} \right.} \right)} \right)} \right) $

(13)

充电瞬间, t=0, 则

$ {I_{\rm{C}}}\left( 0 \right) = \left. {\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}/{\mathit{R}_{\rm{0}}} + {\mathit{R}_{\rm{1}}}} \right)} \right)I $

(14)

$ {V_{\rm{R}}}\left( 0 \right) = {\mathit{R}_{\rm{0}}}\left( {1 - \left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}/{\mathit{R}_{\rm{0}}} + {\mathit{R}_{\rm{1}}}} \right)} \right)I $

(15)

V_R(0)就是实测中的一次电压.它与充电电流为线性关系, 决定于R₀和R₁, 与电容大小无关.

式(11)和式(13)都表明, 当t趋于无穷大时,

$ {V_{\rm{C}}}\left( \infty \right) = {\mathit{R}_{\rm{0}}}I $

(16)

$ {V_{\rm{R}}}\left( \infty \right) = {\mathit{R}_{\rm{0}}}I $

(17)

V_R(∞)就是实测中的饱和电压ΔU.它与充电电流为线性关系, 大小决定于R₀, 与电容大小无关.

充电后放电电压降低的过程实际就是电容放电过程.电容通过串联电阻放电的电压和电流变化可用公式表达

$ {V_{\rm{C}}} = {\mathit{R}_{\rm{0}}}I \cdot \exp \left( { - t\left( {\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}} + {\mathit{R}_{\rm{1}}}} \right)C} \right)} \right) $

(18)

$ {I_{\rm{C}}} = \left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}/\left( {{R_0} + {R_1}} \right)} \right)I \cdot \exp \left( { - t/\left( {\left( {{R_0} + {R_1}} \right)C} \right)} \right) $

(19)

放电时, 根据全电路欧姆定律, 两端的电压V_R则为

$ {V_{\rm{R}}} = {\mathit{R}_{\rm{0}}}\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}/\left( {{R_0} + {R_1}} \right)} \right)I \cdot \exp \left( { - t/\left( {\left( {{R_0} + {R_1}} \right)C} \right)} \right) $

(20)

取τ=(R₀+R₁)C, τ为电容时间常数.其值越大充放电时间越长.充放电电流电压的公式也可以表示如下:充电时,

$ {V_{\rm{C}}} = {\mathit{R}_{\rm{0}}}I\left( {1 - \exp \left( { - t/\tau } \right)} \right) $

(21)

$ {I_{\rm{C}}} = \left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}/\left( {{R_0} + {R_1}} \right)} \right)I \cdot \exp \left( { - t/\tau } \right) $

(22)

$ {V_{\rm{R}}} = {\mathit{R}_{\rm{0}}}I\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}/\left( {{R_0} + {R_1}} \right)} \right) \cdot \exp \left( { - t/\tau } \right) $

(23)

放电时,

$ {V_{\rm{C}}} = {\mathit{R}_{\rm{0}}}I \cdot \exp \left( { - t/\tau } \right) $

(24)

$ {I_{\rm{C}}} = \left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}/\left( {{R_0} + {R_1}} \right)} \right)I \cdot \exp \left( { - t/\tau } \right) $

(25)

$ {V_{\rm{R}}} = {\mathit{R}_{\rm{0}}}I\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}/\left( {{R_0} + {R_1}} \right)} \right) \cdot \exp \left( { - t/\tau } \right) $

(26)

时间常数τ与(R₀+R₁)及C有关, 电阻越小放电越快.地下水的存在会使电阻减小, 使得放电速度加快.这可能是利用放电速度找水的原因.

Pelton也给出了一个类似的放电电压变化公式, 但发现比实际放电速度慢^[3].由于它的时间常数τ只是的R₀、R₁的函数, 没有考虑影响放电时间的电容C, 也就是充电量的多少.除非巧合, 它的放电和实际比不是快就是慢.

为观察充放电电压随时间的变化, 给定充电电流I=1 A, R₀=100 Ω, R₁=250 Ω, C=0.001 F, 则τ=0.35 s.

充电过程中, V_R=100×1×(1-100/(100+250))×exp(-t/((100+250)×0.001));

放电过程中, V_R=100×(100/(100+250))×1×exp(-t/((100+250)×0.001)).

为比对电容的影响, 在不改变R₀、R₁的情况下, 将电容增加10倍, C=0.01 F, 那么τ=3.5, 可以得到电压变化曲线(图 6).明显看出, 随τ的增加, 充放电速度变慢, 充放电时间增加.

从图 6可以观察到, 在电容小的情况下, 充放电电压变化快; 电容大的情况下电压变化慢.但一次电压和放电瞬间(二次)电压不随电容而变.

实际上, 将式(23)和(26)的时间变量设定为0.那么可以得到充电时一次电压

$ \Delta {U_1} = {V_{\rm{R}}}\left( 充 \right) = {\mathit{R}_{\rm{0}}}I\left( {1 - \left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}/\left( {{R_0} + {R_1}} \right)} \right)} \right) $

(27)

放电时瞬时(二次)电压

$ \Delta {U_2} = {V_{\rm{R}}}\left( 放 \right) = {\mathit{R}_{\rm{0}}}I\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}/\left( {{R_0} + {R_1}} \right)} \right) $

(28)

根据式(23), 充电结束的电压(或饱和电压)为R₀ I, 那么饱和电压ΔU和一次电压的差ΔU_C为R₀ I与V_R (充)的差, 有

$ \Delta {U_{\rm{C}}} = {R_{\rm{0}}}I\left( {{R_{\rm{0}}}/\left( {{R_0} + {R_1}} \right)} \right) $

(29)

它与式(28)相等.即ΔU_C等于放电时瞬时电压.这解释了为什么放电瞬时(二次)电压等于饱和电压和一次电压的差, 或者说实验结果表明了电阻电容串并联电路的正确性.

根据IP极化率的定义, η=ΔU₂ /V_R(∞), 结合式(17)和(28), 有

$ \eta = {\mathit{R}_{\rm{0}}}/\left( {{R_0} + {R_1}} \right) $

(30)

首先, 该公式证明极化率与充电电流没有关系.第二, 极化率与岩石、地质体可极化的程度没有任何关系.或者说, 极化率与极化大小无关.

假设电容的内阻R₁由两部分组成, 一是电容间导线的电阻(R_1d), 一是电极的电阻(R_1p).地质体的电容可以看作是一系列电容串联电路.而地质体本身就是电容间的导线, 那么导线的总电阻R_1d就是地质体的电阻R₀.假设

$ {R_{{\rm{ld}}}} = {\mathit{R}_{\rm{0}}} $

(31)

电容内阻可以表达为

$ {R_1} = {R_0} + {R_{{\rm{lp}}}} $

(32)

由式(30)得到

$ \eta = {\mathit{R}_{\rm{0}}}/\left( {2{R_0} + {R_{{\rm{lp}}}}} \right) $

(33)

可见, η小于1/2, 因此, 极化率应该小于50%.上述R₀为导体的假设是为推导极化率小于50%的一种假设, 可能不成立.但是, 即便上述假设不成立, 由于R₁不会为0, 极化率也就不可能为100%.上式还可以看到, 电极电阻R_1p越小, 极化率越大.在R₀不变的情况下, 考察对一次电压的影响, 给定充电电流I=1 A, R₀=100 Ω, C=0.001 F, R₁=250、100、0 Ω, 根据充放电公式可得到图 7.可见R₁越小, 一次电压越小, 极化率越大.地质体内, 金属矿物电阻较小, 它可能就是地质体内的电极矿物.实践表明, 富含金属矿物的岩石的极化率较大(图 8). 图 2的模型中, R₁占通电导体截面的100%.岩石中的电极(可能为金属矿物)在导体截面内一般是不连续的, 其通电截面小于100%.电极(可能为金属矿物)在导体截面内比例越小, 相对R₀其R₁越大.由式(30)可知极化率越低.实测数据(图 8)证明了这一点. 图 8显示, 极化率基本上都小于50%, 大部分小于20%;明显不含浸染状电子导体矿物的岩石极化率小于2%, 随导电矿物石墨、硫化物矿物的增加, 极化率增加.导电矿物的增加实际是电极矿物的增加, 也是电容内阻R₁的减小.因此导致了极化率的增加.

在图 7中, 当R₁=R₀时, 也就是R_1p为0, 一次电压为50 V, 放电瞬时电压为50 V.极化率为50%.在电极电阻为超导体的情况下, R₁为0, 一次电压为0, 放电瞬时电压为100 V.这是理想电容充放电的状况.但实际地质体R₁不能为0, 所以极化率不可能达到100%.假定地质体内金属矿物是电极矿物主要成分, 金属矿物含量与R₀ /R₁应该是一正相关关系.将R₀ /R₁定义为金属矿物含量指数(α), 那么

$ \alpha = {\mathit{R}_{\rm{0}}}/{\mathit{R}_{\rm{1}}} = \left( {{V_{\rm{R}}}\left( \infty \right) - {V_{\rm{R}}}\left( 0 \right)} \right)/{V_{\rm{R}}}\left( 0 \right) = \Delta {U_2}/\Delta {U_1} $

(34)

结合式(30)和式(34), 有

$ \alpha = \eta /\left( {1 - \eta } \right) $

(35)

当电容内阻R₁趋于无穷大时, 可认为金属矿物含量指数为0; R₁趋于0时, 可认为金属矿物含量指数为100%.将exp(-R₁ /R₀)×100%设为金属矿物百分含量指数(β), 那么

$ \begin{array}{l} \beta = \exp \left( { - {\mathit{R}_{\rm{1}}}/{\mathit{R}_{\rm{0}}}} \right) \times 100\% = \exp \left( { - 1\alpha } \right) \times 100\% \\ \;\;\; = \exp \left( { - \Delta {U_1}/ - \Delta {U_2}} \right) \times 100\% \end{array} $

(36)

可以看出, "激发极化"的"极化率"涉及的只是岩石地质体电阻, 对于岩石地质体的极化(即储存电荷的能力或电容)并没有涉及.

根据电容是电量和电压的比值, 电量为I_C对时间的积分, 充电过程中

$ {I_{\rm{C}}} = I - {V_{\rm{R}}}/{R_{\rm{0}}} $

(37)

岩石地质体的电容^[4]

$ C = \smallint _0^\infty \left( {I - {V_{\rm{R}}}/{R_{\rm{0}}}} \right){\rm{dt/}}\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}I} \right) $

(38)

放电过程中

$ {I_C} = {V_{\rm{R}}}/{V_{\rm{0}}} $

(39)

岩石地质体的电容^[4]

$ C = \smallint _0^\infty \left( {{V_{\rm{R}}}/{V_{\rm{0}}}} \right){\rm{dt/}}\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}I} \right) $

(40)

式中V_R为充放电过程中实测电压.

可见, 极化是电容的自然充电, 没有被"激发"(Induced)的因素.首先, 电容串并联电路能够解释一次电压的形成, 同时也表明地质体的一次电压及放电瞬时(二次)电压与它储存电量的能力(电容C)或者说极化能力没有关系.一次电压只与充电电流以及R₀、R₁有关系.

考虑到岩石是一系列不同电容的并联, 其充放电指数部分应近似表达为exp(-(t^Δ/τ)).

2.3 岩石地质体交流充电

在交流充电过程, 如果频率为f赫兹(ω=2πf). 图 4电路的阻抗为Z, 电容C的阻抗为-j/ωC^[4], 串联电路部分的阻抗为R₁-j/ωC, 有

$ 1/Z = 1/{\mathit{R}_{\rm{0}}} + 1\left( {{\mathit{R}_{\rm{1}}} - j/\omega C} \right) $

(41)

式中j为单位复向量.整理可以得到

$ \begin{array}{l} Z = {\mathit{R}_{\rm{0}}}\left( {{\mathit{R}_{\rm{1}}}\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}} + {\mathit{R}_{\rm{1}}}} \right){\omega ^2}{C^2} + 1} \right)/\left( {{{\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}} + {\mathit{R}_{\rm{1}}}} \right)}^2}{\omega ^2}{C^2} + 1} \right)\\ \;\;\;\;\;\; - j\left( {\mathit{R}_{_{\rm{0}}}^2\omega C} \right)/\left( {{{\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}} + {\mathit{R}_{\rm{1}}}} \right)}^2}{\omega ^2}{C^2} + 1} \right) \end{array} $

(42)

这就是Pelton模型的经验公式$ Z\left( \omega \right) = {\mathit{R}_{\rm{0}}}\left[ {1 - m\left( {1 - \frac{1}{{1 + {{\left( {i\omega \tau } \right)}^{ - c}}}}} \right)} \right]$所要模拟的阻抗.阻抗Z的模的平方是上式实部平方与虚部平方和^[4].有

$ \begin{array}{l} {Z^2} = \left( {{{\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}\left( {{\mathit{R}_{\rm{1}}}\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}} + {\mathit{R}_{\rm{1}}}} \right){\omega ^2}{C^2} + 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {\mathit{R}_{_{\rm{0}}}^2\omega C} \right)}^2}} \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;/{\left( {{{\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}} + {\mathit{R}_{\rm{1}}}} \right)}^2}{\omega ^2}{C^2} + 1} \right)^2} \end{array} $

(43)

$ \begin{array}{l} \left| Z \right| = \left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}\left( {{{\left( {{\mathit{R}_{\rm{1}}}\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}} + {\mathit{R}_{\rm{1}}}} \right){\omega ^2}{C^2}} \right)}^2}} \right. + 2{R_1}\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}} + {\mathit{R}_{\rm{1}}}} \right){\omega ^2}{C^2}} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;{\left. { + {{\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}\omega C} \right)}^2} + 1} \right)^{1/2}}/\left( {{{\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}} + {\mathit{R}_{\rm{1}}}} \right)}^2}{\omega ^2}{C^2} + 1} \right) \end{array} $

(44)

时间常数τ=(R₀+R₁)C.上式也可表达为

$ \begin{array}{l} Z = {\mathit{R}_{\rm{0}}}\left( {{\mathit{R}_{\rm{1}}}\tau {\omega ^2}C + 1} \right)/\left( {{\tau ^2}{\omega ^2} + 1} \right) - j\left( {\mathit{R}_{_{\rm{0}}}^2\omega C} \right)/\left( {{\tau ^2}{\omega ^2} + 1} \right)\\ \left| Z \right| = {\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}{{\left( {{\mathit{R}_{\rm{1}}}\tau {\omega ^2}C} \right)}^2} + 2{\mathit{R}_{\rm{1}}}\tau {\omega ^2}C + {{\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}\tau } \right)}^2} + 1} \right)^{1/2}}/\left( {{\tau ^2}{\omega ^2} + 1} \right) \end{array} $

(46)

ω趋于0, 有

$ \left| {Z\left( 0 \right)} \right| = {\mathit{R}_{\rm{0}}} $

(47)

ω趋于∞, 有

$ \left| {Z\left( \infty \right)} \right| = {\mathit{R}_{\rm{0}}}{\mathit{R}_{\rm{1}}}/\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}} + {\mathit{R}_{\rm{1}}}} \right) $

(48)

R(∞)实际就是图 4等效电路当C为短路时的并联电路的电阻值.电容可认为高频下是短路.

由于η=R₀/(R₀+R₁), 那么

$ \eta = R\left( \infty \right)/{\mathit{R}_{\rm{1}}} = \left( {R\left( 0 \right) - \mathit{R}\left( \infty \right)} \right)/R\left( 0 \right) $

(49)

可见交流充电同样可以得到"极化率".即不用一次电压和二次电压同样可以得到"极化率".

电流和电压的相位角为φ, 式(29)虚部和实部比值为阻抗角的正切, 它也是相位角的正切^[4].

$ {\rm{tg}}\left( \varphi \right) = - {\mathit{R}_{\rm{0}}}\omega C/\left( {{\mathit{R}_{\rm{1}}}\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}} + {\mathit{R}_{\rm{1}}}} \right){\omega ^2}{C^2} + 1} \right) $

(50)

$ {\rm{tg}}\left( \varphi \right) = - {\mathit{R}_{\rm{0}}}\omega C/\left( {{\mathit{R}_{\rm{1}}}\tau {\omega ^2}C + 1} \right) $

(51)

$ \varphi = - {\rm{t}}{{\rm{g}}^{ - 1}}\left. {\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}\omega C/{\mathit{R}_{\rm{1}}}\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}} + {\mathit{R}_{\rm{1}}}} \right){\omega ^2}{C^2} + 1} \right)} \right) $

(52)

$ \varphi = - {\rm{t}}{{\rm{g}}^{ - 1}}\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}\omega C/\left( {{\mathit{R}_{\rm{1}}}\tau {\omega ^2}C + 1} \right)} \right) $

(53)

为观察阻抗及电流相位随频率的变化, 给定充电频率为ω, R₀=100 Ω, C=0.001 F, R₁依次为250、100、0.1和0 Ω.

根据式(46)得到阻抗和频率的变化曲线(图 9).阻抗Z在一窄的频率内下降很快.实际上在低频R(ω)可以视为R₀, 高频下R(ω)可以视作R₀R₁/(R₀+R₁).

在图 10中可以看, 到随R₁的减小, 相位角增大. R₁为0时, 相当于电容和R₀的并联电路, 相位角趋于90°(π/2).

根据Pelton对黄铜矿实测阻抗实验, 取R₀=4900 Ω, R₁=12 Ω^[2], 设C为0.00017 F.根据式(53), 得到关系图 10、11.可以看到相位角的高值与实测对应较好, 而两端对应较差; 阻抗中间及两端吻合.考虑到岩石电容为不同电容的并联, 式(41)的ωC可近似表达为ω^ΔC.取Δ=0.74代入式(53)和(46), 可以看到相位和阻抗都与实测值吻合更好(图 11、12).

通过实践观察到, 电压随频率的增加而减小.由于电压U等于充电电流I和|Z|的乘积, 在电流为常量的情况下, 电压的变化就是阻抗|Z|的变化(图 13).可以看到电压在一定范围是递减的.高频时电压就是

$ U\left( 高频 \right) = I{\mathit{R}_{\rm{0}}}{\mathit{R}_{\rm{1}}}/\left( {\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}} + {\mathit{R}_{\rm{1}}}} \right)} \right) $

(54)

实验室测定电流的相位是对称的, 但野外测量是非对称的(图 14)^[3].高频情况下电流有趋肤效应.设定电阻和电容由上而下为并联电路, 电流趋肤效应就相当于并联电阻和电容的减少.因此测量点有效电阻会随频率增加而增加, 有效电容会随频率增加而减小.设C(ω)为频率的函数, 假设电容和频率的函数关系为

$ C\left( {\rm{ \mathit{ ω} }} \right) = {C_0} \cdot \exp \left( { - \sqrt {\rm{ \mathit{ ω} }} /15} \right) $

利用图 13中的R₀=151, 根据m=0.63^[3], 求得R₁=160 Ω.设C₀=0.015 F, 假设电阻的变化对相位角影响不大.根据相位公式可以得到图 14.可以看到图 14和图 15非常相似, 两个峰值对应的频率基本相等.相信如果有真实的电容及电阻的频率函数, 两者会拟合得更好.

2.4 岩石地质体交直流充放电综合分析

由式(47)(48)可知, 电容等效电路低频下阻抗值为|Z(0)|=R₀, 高频下阻抗值为|Z(∞)|=R₀R₁ /(R₀+R₁).这两个值与Pelton结论实测结果吻合.根据Pelton的复阻抗公式(经验公式), 阻抗在低频时为R₀, 阻抗频率趋于无穷大时其阻抗为R₀R₁ /(R₀+R₁).电容等效公式与Pelton的复阻抗公式完全一样.可以看到由于两个R₀相等, 那么两个R₁相等.

Pelton放电公式为$ V\left( {\rm{t}} \right) = m\frac{{{\mathit{R}_{\rm{0}}}}}{{{\mathit{I}_{\rm{0}}}}}\exp \left( { - t/\tau } \right)$ ^[3](公式中m和指数部分无量纲, 等号两边量纲单位不等. I₀应该在分子位置, 作为分母应该是笔误.应为R₀ I₀).在t=0时, 这个公式可以表达为V(0)=R₀ I₀(R₀/(R₀+R₁))与式(28)中V_R (放)=R₀ I(R₀ /(R₀+R₁))完全一致.也就是说电容等效电路推导的放电瞬间(二次)电压与实测相符.实测结果表明(图 1), 一次电压等于饱和电压减去放电瞬时(二次)电压.这与式(15)的V_R(0)=R₀(1-(R₀ /(R₀+R₁))I完全一致.这不仅表明电容等效电路能产生一次电压, 还表明其一次电压与实测相符.

2.5 稳压及非稳压稳流充电

"激发极化"用稳流充电可以得到不同的一次电压和饱和电压, 从而有一次场(电压)二次场(电压)的和等于总场(饱和电压)的结论.对于岩石地质体电容等效电路, 用稳压充电同样得到相关结论.

对电容等效电路用稳定电压V充电, 那么V既是一次电压也是饱和电压.由于电容的分流和充电作用, 充电电流I(t)会由高变低最后趋于稳定.

充电瞬间

$ V = \Delta {U_1} = \left( {{\mathit{R}_{\rm{1}}}{\mathit{R}_{\rm{0}}}/\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}} + {\mathit{R}_{\rm{1}}}} \right)} \right)I\left( 0 \right) $

(55)

放电瞬间, 由式(20)知

$ \Delta {U_2} = {\mathit{R}_{\rm{0}}}\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}/\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}} + {\mathit{R}_{\rm{1}}}} \right)} \right)I\left( \infty \right) $

金属矿物含量指数

$ \alpha = \left( {I\left( 0 \right)/I\left( \infty \right)} \right)\left( {\Delta {U_2}/V} \right) $

(56)

"极化率"

$ \eta = \Delta {U_2}/V $

充电过程中

$ {I_{\rm{C}}} = I\left( {\rm{t}} \right) - V/{\mathit{R}_{\rm{0}}} $

(57)

岩石地质体的电容

$ C = \smallint _0^\infty \left( {I\left( {\rm{t}} \right) - V/{\mathit{R}_{\rm{0}}}} \right){\rm{dt}}/V $

(58)

对电容等效电路用非稳定电压V(t), 非稳定电流I(t)充电.由于电容的分流和充电作用, 充电电压V(t)、电流I(t)会有一定变化, 但最后趋于稳定.

充电瞬间

$ V\left( 0 \right) = \Delta {U_1} = \left( {{\mathit{R}_{\rm{1}}}{\mathit{R}_{\rm{0}}}/\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}} + {\mathit{R}_{\rm{1}}}} \right)} \right)I\left( 0 \right) $

(59)

充电结束

$ V\left( \infty \right) = \Delta U = {\mathit{R}_{\rm{0}}}I\left( \infty \right) $

(60)

放电瞬间, 由式(20)知

$ \Delta {U_2} = {\mathit{R}_{\rm{0}}}\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}/\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}} + {\mathit{R}_{\rm{1}}}} \right)} \right){\rm{I}}\left( \infty \right) = \left. {{\mathit{R}_{\rm{0}}}/\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}} + {\mathit{R}_{\rm{1}}}} \right)} \right)V\left( \infty \right) $

(61)

金属矿物含量指数

$ \alpha = \left( {I\left( 0 \right)/I\left( \infty \right)} \right)\left( {\Delta {U_2}/V\left( \infty \right)} \right) $

(62)

"极化率"

$ \eta = \Delta {U_2}/V\left( \infty \right) $

充电过程中

$ {I_{\rm{C}}} = I\left( {\rm{t}} \right) - V\left( {\rm{t}} \right)/{\mathit{R}_{\rm{0}}} $

(63)

岩石地质体的电容

$ C = \smallint _0^\infty \left( {I\left( {\rm{t}} \right) - V\left( {\rm{t}} \right)/{\mathit{R}_{\rm{0}}}} \right){\rm{dt}}/V\left( \infty \right) $

(64)

3 讨论 3.1 一次和二次电压

根据式(15), 充电瞬时电压(一次电压)为

$ {V_{\rm{R}}}\left( 0 \right) = \left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}{\mathit{R}_{\rm{1}}}/\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}} + {\mathit{R}_{\rm{1}}}} \right)} \right)I $

(65)

上式的电阻项实际上为R₀、R₁的并联电路电阻.这表明充电瞬间电容相当于短路.电容的电压由式(11)知道为0.式(65)说明一次电压是由于电容内阻的分流作用造成, 与电容大小及充电(极化)量无关.电容内阻R₁不为0, 一次电压不为0, 不像纯电容那样一次电压为0.

根据式(20), 放电瞬间电压(二次电压)为

$ {V_{\rm{R}}}\left( 0 \right) = {\mathit{R}_{\rm{0}}}\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}}/\left( {{\mathit{R}_{\rm{0}}} + {\mathit{R}_{\rm{1}}}} \right)} \right)I $

(66)

上式同样表明二次电压只与岩石地质体电阻和电容内阻有关, 与电容大小及充电(极化)量无关.电容内阻R₁不为0, 二次电压小于饱和电压, 不像纯电容那样二次电压等于饱和电压.

由式(65)(66)可知, 一次和二次电压的和为R₀I.这就是"极化率"可以用饱和电压与一次电压的差或二次电压与饱和电压的比值表示的原因.

交流充电情况下, 由式(47)(48), 电容等效电路低频情况下(频率趋于0), 阻抗值|Z(0)|=R₀, 高频情况下(频率趋于无穷大), 阻抗值|Z(∞)|=R₀R₁ /(R₀+R₁).这与Pelton的复阻抗(经验)公式的表达式完全一致.这表明等效电路的电阻及电容内阻与Pelton公式的经验两个电阻完全相等. Pelton放电公式在t=0时也与电容等效公式表达式完全一致. Pelton放电公式在t=0时与实测二次电压相等, 那么电容等效电路的二次电压同样与实测相符.实测一次电压是饱和电压和二次电压的差, 电容等效电路一次电压也是饱和电压和二次电压的差, 那么电容等效电路一次电压同样也与实测相符.

实际上, Pelton放电公式在t=0时, 决定电压的因素只有电阻和电流, 这也实际上间接承认了二次电压与极化(量)无关.

3.2 金属矿物含量指数

假定地质体内金属矿物是电极矿物主要成分, 金属矿物含量与R₀ /R₁应该是一正相关关系.设R₀ /R₁为"金属矿物含量指数"α, 那么α实际上等于饱和电压和一次电压之差与一次电压的比值.金属矿物百分含量指数β=exp(-1/α)×100%是金属矿物含量的另一种表达方式.

3.3 岩石地质体充放电时间常数

由式(13)和(20)可知道, 充放电的时间常数τ同为(R₀+R₁)C, 表明时间常数τ与(R₀+R₁)及C有关.它是岩石地质体有关电容和电阻的综合指标, 可以用来预测地质体.比如电阻越小放电越快.地下水的存在会使电阻减小, 使得放电速度加快.可以利用放电速度找水, 也可以勘探其他地质体, 比如石油.

3.4 岩石地质体电容和电容内阻

由电容等效电路可知, 岩石地质体电容的分流作用及电容内阻的存在导致了一次和二次电压的形成.电容和电容内阻的大小是决定充放电速度的重要因素, 它们也是岩石地质体的一个重要物性特征.利用这一物性特征可以识别隐伏岩石地质体.电容电极形态影响电容的大小, 岩石地质体电极矿物的排列同样会影响电容的大小.垂直于层理、面理及流面方向上电容应该较大, 电容内阻在此方向上也可能较大.岩石不同方向的电容和电容内阻应该有所不同.这可能是不同方向"极化率"不同的原因.

3.5 岩石地质体阻抗、相位移和充电频率

岩石地质体的电容可能随充电频率的变化而有一定变化, 这种变化对不同岩石可能有所不同.它实际上可以成为岩石的一个指纹特征.因此, 可用阻抗及电流与电压的相位角找到电容与充电频率的关系, 进而识别岩石地质体.另外, 交流充电电流的趋肤效应会导致实测电容和阻抗的改变.这一现象可能被用来实现电容测深.

3.6 岩石地质体电容的应用

岩石地质体的极化是电容充放电的自然反应, 没有"激发"过程.因此, 可以直接用两极法直接测量"极化率".同时可测得两极间的实际电阻, 而非视电阻.地质体电容是其固有特征.因此, 可以通过测量电容来识别隐伏地质体.另外, 地质体的电容可能不是线性电容.它可能随充电流、电压变化, 也可能随频率变化, 其变化特征有可能成为识别地质体的指纹特征.利用地质体的金属矿物指数α、β及电容、电容内阻、充放电时间常数以及电容与电压、频率的关系, 能够帮助准确地识别地质体.

4 结论

岩石、地质体是具有电容特性的.岩石、地质体电容是一个实际的电容, 它有电容内阻和漏电电阻.岩石、地质体电容的非线性特征在一定条件下是不可忽视的.岩石、地质体的极化是电容充放电的自然反应. "极化率"(IP)与极化(量)没有关系.金属矿物(或电阻小的成分)或为电极矿物, 它的电阻是构成电容内阻的主要成分.电容内阻和漏电电阻决定了一次和二次电压的大小, 它们和电容决定了岩石地质体充放电的时间常数以及交流充电时的阻抗和相位移.利用岩石地质体电容特性进行物探可实现二极勘探, 这可以提高勘探的可信度, 减轻工作强度, 实现小空间的地下勘探.利用电容特性也可实现非稳流稳压勘探, 从而降低对电源的要求.