2024, Vol. 44
利用GPS单历元数据确定整周模糊度因可省略周跳修复工作，一直是GPS高精度实时定位研究的热点[1-2]。针对GPS单历元双差整周模糊度快速确定提出的算法有LMS法、双频P码法、LAMBDA算法、双频相关法(DUFCOM)及其改进算法等，其中LMS法和双频P码法通常需要高精度P码观测值，但对于普通用户而言，P码难以获得[3-4]；LAMBDA算法理论模型虽最为严密[5]，但利用单历元数据解算整周模糊度的成功率低，会影响其高精度动态定位应用[6]；双频相关法是根据GPS L1和L2频率原始相位观测值的内在关系及其误差统计特性，针对GPS单历元数据的每个卫星对，以L2相位观测值双差整周模糊度为横轴，构建一条L1和L2相位观测值域双差整周模糊度误差带，并在该误差带约束下实现搜索并确定正确的L1相位观测值双差整周模糊度[7]。但双频相关法存在随单历元解算卫星数增多，模糊度解算效率降低的问题，严重制约该算法在GPS高采样数据实时动态解算应用中的适用性。本文基于已有研究成果[8-9]，考虑到GPS现代化，在传统频率L1和L2基础上增加新频率L5，使GNSS多频接收机可观测到GPS L1、L2和L5三种原始相位观测值。通过扩展双频相关法思想，将L1设为主频率、L2或L5选为辅频率，仅采用GPS单历元数据的伪距观测值及主频率与辅频率的相位观测值，建立GPS主频率与辅频率的双差相位观测值内在相关关系模型，在观测值平差值域与模糊度值域作交叉搜索，并利用Ratio显著性检验法单历元确认GPS主频率双差整周模糊度，从而提出一种GPS单历元双差整周模糊度确定新算法，称为GPS主辅频相关算法(GPS main and auxiliary frequency correlation algorithm, GPS MAXCOM)。GPS现代化后随着L5频率的使用，GPS MAXCOM算法在实时定位中具有重要的实用价值，可为丰富PNT理论体系产生积极作用。
1 GPS MAXCOM算法及实现流程美国实施GPS系统现代化后，对于GNSS多频接收机而言，可跟踪GPS L1频率信号(1 575.42 MHz，对应波长为19.03 cm)、L2频率信号(1 227.60 MHz，对应波长为24.43 cm)和L5频率信号(1 176.45 MHz，对应波长为25.50 cm)，在GPS数据采集与高精度处理中，通常可选用L1、L2和L5三种原始相位观测值。针对GPS短基线(小于等于10~15 km)RTK定位应用(图 1)，若将GPS信号频率最高的L1设为主频率并用于RTK定位，同时将GPS频率略低的L2或L5选为辅频率用于辅助RTK定位解算，则GPS双差相位观测值方程可列为：
| $ \lambda_{\mathrm{m}}\left(\nabla \Delta \varPhi_{\mathrm{m}}^{i j}+\nabla \Delta N_{\mathrm{m}}^{i j}\right)=\nabla \Delta \rho_{\mathrm{m}}^{i j}+\nabla \Delta \varepsilon_{\mathrm{m}} $ | (1) |
| $ \lambda_{\mathrm{a}}\left(\nabla \Delta \varPhi_{\mathrm{a}}^{i j}+\nabla \Delta N_{\mathrm{a}}^{i j}\right)=\nabla \Delta \rho_{\mathrm{a}}^{i j}+\nabla \Delta \varepsilon_{\mathrm{a}} $ | (2) |
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图 1 GPS短基线RTK定位应用 Fig. 1 The application of GPS short-baseline RTK positioning |
式中，▽ΔΦ为双差相位观测值，▽ΔN∈Z为双差整周模糊度，λ为对应频率的波长，▽Δρ为测站与卫星间的双差几何距离，▽Δε为大气延迟经双差后剩余残差及测量噪声，上标i、j表示卫星PRN，下标m、a表示卫星的主频率及辅频率。
根据式(1)和式(2)，由于▽Δρijm=▽Δρija，则：
| $ \begin{gathered} \lambda_{\mathrm{m}}\left(\nabla \Delta \varPhi_{\mathrm{m}}^{i j}+\nabla \Delta N_{\mathrm{m}}^{i j}\right)-\nabla \Delta \varepsilon_{\mathrm{m}}= \\ \lambda_{\mathrm{a}}\left(\nabla \Delta \varPhi_{\mathrm{a}}^{i j}+\nabla \Delta N_{\mathrm{a}}^{i j}\right)-\nabla \Delta \varepsilon_{\mathrm{a}} \end{gathered} $ | (3) |
记误差项u为：
| $ u=\left(\nabla \Delta \varepsilon_{\mathrm{m}}-\nabla \Delta \varepsilon_{\mathrm{a}}\right) / \lambda_{\mathrm{m}} $ | (4) |
将式(4)代入式(3)，整理得：
| $ \begin{gathered} \left.\nabla \Delta N_{\mathrm{m}}^{i j}=\left(\lambda_{\mathrm{a}} / \lambda_{\mathrm{m}}\right) \nabla \Delta \varPhi_{\mathrm{a}}^{i j}+\nabla \Delta N_{\mathrm{a}}^{i j}\right)- \\ \nabla \Delta \varPhi_{\mathrm{m}}^{i j}+u \end{gathered} $ | (5) |
式(5)即为GPS主频率与辅频率的双差相位观测值内在相关关系模型。
针对GPS短基线(小于等于10~15 km)RTK定位应用，通常忽略大气延迟经双差后剩余残差的影响。若假设GPS主频率与辅频率的双差相位观测值测量精度相当，则式(5)中u满足正态分布。由误差传播定律可得：
| $ D_u=8 \times D_L $ | (6) |
式中，Du为u的方差，DL为所述双差相位观测值的方差。针对GPS系统，DL≈9×10-6 m2。
若取u的3倍中误差作为限差，即
| $ \begin{gathered} |u|=\mid \nabla \Delta N_{\mathrm{m}}^{i j}-\left(\lambda_a / \lambda_{\mathrm{m}}\right)\left(\nabla \Delta \varPhi_{\mathrm{a}}^{i j}+\nabla \Delta N_{\mathrm{a}}^{i j}\right)+ \\ \nabla \Delta \varPhi_{\mathrm{m}}^{i j} \mid \leqslant 3 \sqrt{D_u} \approx 0.1 \end{gathered} $ | (7) |
以置信概率为99.74%成立。
如果顾及大气延迟经双差后剩余残差的影响，理论上式(7)右项数值还会增大。因此，由式(7)可构建一条直线斜率为k=λa/λm且以▽ΔNa为平面坐标系横轴、▽ΔNm为纵轴，在平面坐标系纵轴方向相交宽度为2u的GPS相位观测值平差值域整周模糊度误差带(图 2)。其中，该整周模糊度误差带跨越平面坐标系横轴范围称为带长(单位为周)，简记为elength；该整周模糊度误差带与平面坐标系纵轴方向相交宽度2u称为带宽(单位为周)，简记为ewide，通常ewide与RTK定位应用的基线长度有关。对于GPS短基线(小于等于10~15 km)RTK定位应用，ewide可确定为：
| $ e_{\text {wide }}=\left\{\begin{array}{l} 0.3, \text { 若 } 0＜L_{\mathrm{bm}} \leqslant 5 \mathrm{~km} \\ 0.4, \text { 若 } 5 \mathrm{~km}＜L_{\mathrm{bm}} \leqslant 10 \mathrm{~km} \\ 0.5, \text { 若 } 10 \mathrm{~km}＜L_{\mathrm{bm}} \leqslant 15 \mathrm{~km} \end{array}\right. $ | (8) |
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图 2 GPS相位观测值平差值域整周模糊度误差带 Fig. 2 Integer ambiguity error band for adjustment value-domain of GPS phase observations |
在GPS短基线(小于等于10~15 km)RTK定位应用中，针对GPS单历元观测数据，首先利用该历元的伪距观测值(C/A码或P码)进行最小二乘间接平差获得测站初步定位结果，再反算GPS辅频率的双差相位观测值向量估值及其中误差δρa，然后确定GPS相位观测值平差值域中辅频率的双差整周模糊度误差带带长中间值，即▽ΔNija初值：
| $ \nabla \Delta N_a^{i j}=\operatorname{Round}\left(\nabla \Delta \rho_a^{i j} / \lambda_a-\nabla \Delta \varPhi_a^{i j}\right) $ | (9) |
式中，Round(·)为“四舍五入”取整函数。
通常取l倍的GPS辅频率的双差相位观测向量估值的中误差δρa确定带长elength[10]：
| $ e_{\text {length }}=\operatorname{int}\left(l \delta_{\rho_{\mathrm{a}}} / \lambda_{\mathrm{a}}\right) $ | (10) |
式中，l为倍系数，通常设值为3、4或5；int(·)为取整运算。
然后，针对式(7)中▽ΔNaij每个候选值对应的▽ΔNijm，在整周模糊度误差带的约束条件下，完成在GPS相位观测值平差值域中误差带对整周模糊度的一次搜索，以确定▽ΔNijm的每个候选值。具体搜索方法是：若满足u＜ewide/2，即在误差带内，则保留▽ΔNijm并作为1个候选值；反之，则舍弃▽ΔNijm。显然，▽ΔNijm最终保留下来的候选值具备“稀疏”特性，使得▽ΔNijm搜索空间组合数显著减少。针对GPS单历元观测数据，对所有卫星对保留的▽ΔNijm候选值进行有序组合，形成模糊度搜索空间组合数，然后逐一回代到双差相位观测值方程进行解算，获得单位权方差，用集合表示为：
| $ \{\varOmega\}=\left\{\delta_0^2(i, ), i=1, 2, \cdots, t\right\} $ | (11) |
式中，t为模糊度搜索空间组合数。
对集合{Ω}中的所有元素进行从小到大排序，获得更新后的集合表示为：
| $ \{\varOmega\}=\left\{\begin{array}{llll} \varOmega_1 & \varOmega_2 & \cdots & \varOmega_t \end{array}\right\} $ | (12) |
最后，由式(12)并利用Ratio显著性检验法构造统计量为：
| $ \text { ratio }=\varOmega_2 / \varOmega_1 $ | (13) |
将ratio≥R的Ω1对应的双差整周模糊度候选组确认为最优组，即为当前历元GPS主频率的相位观测值双差整周模糊度。其中，R通常取值为3.0。
根据所述的GPS MAXCOM算法原理，对应的实现流程如图 3所示。
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图 3 GPS MAXCOM算法实现流程 Fig. 3 Implementation flowchart of GPS MAXCOM algorithm |
为验证与分析本文算法的可行性和有效性，并评估其性能，根据GPS MAXCOM算法原理及实现流程，基于Visual Studio 2022开发平台，运用C/C++编程语言研制了一种GPS单历元双差整周模糊度确定动态定位软件(GPS_DyPos)，并用此软件处理与分析了多组GPS三频观测数据。本文选取一组2023-08-07香港CORS站HKFN、T430的GPS三频观测数据进行算例分析。将HKFN设为基准站，T430设为流动站(静态模拟动态实验)，HKFN与T430之间的空间基线长度约为5.0 m，数据采样间隔均为5 s，卫星截止高度角均为10°，连续观测历元数为720个(UTC 9：20~10：20)。算例数据处理采用的计算机处理器为AMD Ryzen 7 5800H CPU，内存为16.00 GB。
针对720个连续观测历元进行定位，首先对GPS信号频率信息进行统计分析，结果见表 1。
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表 1 GPS信号频率信息统计分析结果 Tab. 1 Statistical analysis results of GPS signal frequency information |
由表 1可见，针对覆盖历元的RTK定位，能够同时跟踪观测L1、L2和L5三种原始相位观测值的PRN有G10、G18、G23、G24、G25、G28、G32共计7颗GPS卫星；而G12、G15两颗GPS卫星仅能跟踪观测L1、L2两种相位观测值。其中，G15覆盖第1~604个历元，剩余PRN均覆盖第1~720个历元。
采用专业软件对本组GPS三频观测数据作数据分析，结果表明，本组GPS三频观测数据无周跳发生。为检验与分析本文算法的可行性和有效性，设计了3种数据处理方案：方案1，在GPS_DyPos软件中选定L5辅助L1的GPS主辅频相关算法(GPS L1L5_MAXCOM)，进行单历元解算GPS主频率L1双差整周模糊度，并获得单历元RTK定位结果；方案2，在GPS_DyPos软件中选定L2辅助L1的GPS主辅频相关算法(GPS L1L2_MAXCOM)，进行单历元解算GPS主频率L1双差整周模糊度，并获得单历元RTK定位结果；方案3，在GPS_DyPos软件中屏蔽不能播发L5频率观测值的G12、G15卫星信号(即与方案1保持相同的PRN卫星)，选定L2辅助L1的GPS主辅频相关算法(GPS L1L2_MAXCOM)，进行单历元解算GPS主频率L1双差整周模糊度，并获得单历元RTK定位结果。
2.1 GPS首历元算法性能分析针对GPS首历元观测数据，采用GPS_DyPos软件对设计的3种方案进行单历元RTK定位解算，以分析GPS首历元算法性能。选取高度角最高的G32(66.48°)为参考卫星，经单历元RTK双差处理后，分别组成6个卫星对(方案1)、8个卫星对(方案2)和6个卫星对(方案3)获得定位结果，并与专业软件单基线解算的T430站三维坐标结果(可视为真值)在统一的高斯平面坐标系、投影中央子午线为114°下作差进行比较与分析，获得GPS首历元算法性能分析结果(表 2)。
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表 2 GPS首历元算法性能分析结果 Tab. 2 Performance analysis results of the algorithm for GPS first-epoch |
由表 2可见，针对GPS首历元观测数据，由方案1、方案2与方案3解算获得的G23-G10、G23-G18、G23-G24、G23-G25、G23-G28、G23-G32共6个卫星对双差整周模糊度是相同的；与方案1和方案3相比，方案2多解算2个卫星对(G23-G12、G23-G15)双差整周模糊度(186周、164周)，即与方案2相比，方案1和方案3均少解算2个卫星对(G23-G12、G23-G15)双差相位观测值方程，尽管对应的PDOP值有所增大(从1.9变成2.6)，但在GPS相位观测值平差值域内形成的误差带数均能减少2条，从而在模糊度值域内形成的模糊度搜索空间组合数均压缩了98.3%(从172 800个变成2 880个)，双差整周模糊度确定耗时分别节省了92.3%(从609 ms降至47 ms)和79.5%(从609 ms降至125 ms)；3种方案获得的T430站点位精度基本相当，对应的点位坐标与“真值”较差均在mm级。这说明，3种方案单历元解算GPS首历元观测数据获得的双差整周模糊度是正确的。
2.2 GPS单历元RTK定位性能分析针对720个GPS连续观测历元数据，首先利用GPS_DyPos软件按照设计的3种方案分别对每个历元数据进行GPS单历元RTK定位解算，获得对应的GPS单历元RTK定位结果。GPS单历元算法性能分析结果如表 3所示。
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表 3 GPS单历元算法性能分析结果 Tab. 3 Performance analysis results of the GPS single-epoch algorithm |
由表 3可见，针对720个GPS连续观测历元数据，方案2解算的总耗时最长，单历元平均耗时为1 453.8 ms。这说明，方案2不满足GPS高采样数据(大于等于1 Hz)实时定位解算；方案2和方案3解算的模糊度成功率均为98.9%(失败历元数为8个)，方案1解算模糊度成功率为100%；方案3解算耗时(总耗时和平均耗时)明显优于方案2，原因在于方案3屏蔽了2颗非参考卫星(G12和G15)，使得在解算双差相位观测值观测数及双差整周模糊度数上均比方案2少2个；保留相同PRN卫星对的方案1与方案3相比，不论是模糊度成功率还是解算耗时，方案1均优于方案3。这说明，本文算法通过屏蔽卫星策略(即减少卫星数)可提高算法解算效率，通过优选L5为算法辅频率在模糊度解算效率及成功率上略优于L2。原因在于，L5频率是GPS现代化后的第三频率(1 176.45 MHz)，相比L2频率(1 227.60 MHz)而言，具有更长的带宽、更强的衍射能力、更小的自由空间衰减、更优的处理增益等特点[11-12]。
将GPS单历元RTK定位结果在WGS-84空间直角坐标系下分别与某专业软件单基线解算的T430站三维坐标结果(可视为真值)在统一的高斯平面坐标系、投影中央子午线为114°下作差进行比较与分析，获得3种GPS单历元RTK定位解在X、Y和Z方向的较差结果如图 4所示。将图 4中的最大较差绝对值、最小较差绝对值、平均较差值和标准差进行统计分析，结果列于表 4。值得说明的是，表 4仅统计GPS单历元双差整周模糊度确定成功历元的定位解。
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图 4 定位解X、Y、Z方向较差 Fig. 4 Difference of positioning in X, Y and Z directions |
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表 4 GPS单历元RTK定位解较差统计分析结果 Tab. 4 Statistical analysis results of difference of GPS single-epoch RTK positioning |
从表 4可看出，3种方案获得的GPS单历元RTK定位解均实现了mm~cm级精度，从GPS单历元RTK定位结果方面验证了本文算法是可行且有效的。
3 结语针对GPS现代化在传统频率L1和L2基础上增加新频率L5，使GNSS多频接收机可观测到GPS L1、L2和L5三种原始相位观测值，提出一种GPS单历元双差整周模糊度确定新算法，称为GPS主辅频相关算法(GPS MAXCOM)。通过扩展双频相关法思想，仅采用GPS单历元数据的伪距观测值及主频率与辅频率的相位观测值，将L1设为主频率、L2或L5选为辅频率，建立GPS主频率与辅频率的双差相位观测值内在相关关系模型，在观测值平差值域和模糊度值域作交叉搜索，并利用Ratio显著性检验法单历元确认GPS主频率双差整周模糊度。根据GPS MAXCOM算法原理及实现流程，基于Visual Studio 2022开发平台，运用C/C++编程语言研制了一种GPS单历元双差整周模糊度确定动态定位软件(GPS_DyPos)，通过选取一组2023-08-07香港CORS站HKFN、T430的GPS三频观测数据(UTC 09：20~10：20)进行算例分析，验证了GPS MAXCOM算法是行之有效的，且优选L5为算法辅频率在模糊度解算效率及成功率上均略优于L2。随着GPS现代化后L5频率的使用，GPS MAXCOM算法在实时定位中体现出重要的实用价值。需要指出的是，通过屏蔽卫星策略(即减少卫星数)还可提高本文算法的解算效率，这为北斗/GNSS多模多频单历元RTK定位算法性能改进提供了新思路。
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