钟差是影响卫星服务质量的关键因素，即使是微小的时钟偏差也会导致显著的测距误差，因此，有必要对卫星钟差进行准确的预报。目前，二次多项式(quadratic polynomial, QP)和灰色模型(grey model, GM)是常用的钟差预报方法，但它们存在局限性，如误差随时间增长^[1-2]和对非线性序列处理不足^[3]。为了解决这些问题，研究者采用机器学习算法，如径向基函数(radial basis function, RBF)神经网络^[4]、小波神经网络(wavelet neural networks, WNN)^[5]、长短期记忆神经网络(long short-term memory neural networks, LSTM)^[6]和TS模糊神经网络模型^[7]，取得了一定成果。然而，这些模型可能存在内存消耗大、运算时间长和预报结果不稳定等问题，且它们都是对模型自身的研究，未考虑钟差数据本身的特性。

本文的研究重点在于探索钟差数据的建模策略，并构建新的预报模型。考虑到钟差信号的非线性和非平稳性，本文采用奇异谱分析(SSA)对数据进行预处理，提取趋势项和残差项，以提高预报的准确性。结合自适应模糊神经网络(ANFIS)，本文提出SSA-ANFIS模型，用于卫星钟差的预报，并与其他模型进行精度和稳定性的对比分析。

1 SSA-ANFIS卫星钟差预报模型 1.1 SSA原理

SSA是一种全局分析法，基于相空间重构，通过奇异值分解得到原始序列的各种成分(趋势项、周期项或噪声项等)^[8]，其详细推导过程可参考文献[9]。由于卫星在太空中运行会受到光照、转动、温度等影响，卫星钟差序列呈现较强的非线性与非平稳特性，且包含趋势分量、多个周期分量和噪声分量^[10]。而本文采用卫星频率数据，且为了提高计算速度，其周期分量可以融合在趋势分量中进行统一考虑，因此只需分解趋势信号和噪声信号。

目前，SSA方法的使用效果主要依赖于滞后窗口的大小。如果窗口长度太大，可能会使分解得到的分量产生混叠；如果窗口长度太小，可能分解不出想要的信号^[11]。为此，Khan等^[12]提出一种基于统计检验的窗长选择数学方法，为SSA的应用提供了更好的依据。本文研究重点不在于窗口长度的选择，而在于验证SSA方法在卫星钟差预报中的有效性。因此，通过实验来确定窗口长度，以保证所得到的分解信号准确无误。

1.2 ANFIS钟差预报模型

自模糊系统与神经网络出现以来，涌现出大量相关模型^[13]。在这些模型中，ANFIS模型由于自身的优势而被广泛运用于各种实际问题中^[14-15]。ANFIS模型是一种基于TS模型的自适应能力很强的模糊推理系统^[16]，模型网络结构及具体公式可参考文献[17]。

本文结合卫星钟差的特点以及实验结果，从以下几个方面构造合适的网络结构。

1) 输入数据的个数。选取卫星钟差值的个数作为输入数据的个数。输入数据的个数会影响模型的运行速度，数量太少会使模型无法充分获得数据之间的信息，太多则会降低模型运行速度。目前并没有有效的方法确定输入数据的个数，因此本文通过参考文献[18]和下文实验1比较不同输入个数的效果，最终确定单次输入6个历元的卫星钟差。

2) 隶属函数的选择。由于输入量为卫星钟差或一次差值，相邻历元间不会发生突变，所以将其归一化到[0, 1]之间。计算的隶属度值对输入值的变化仍然会比较敏感，鉴于钟差数据具有高度的非线性和非平稳特性，选取钟型函数中高斯分布函数作为隶属函数^[18]。

3) 学习算法的选择。通过下文实验1对比BP算法和混合学习算法的实验效果，虽然混合学习算法的运行速度比BP算法稍慢，但其效果更好，因此，本文使用混合学习算法。

4) 聚类算法的选择。聚类算法可以有效划分输入空间，减小模糊规则的数目。通过下文实验1得出，模糊C均值聚类算法效果更好，因此，本文选择其作为聚类算法。

5) 输出。由于卫星钟差预报只预报下一时刻的钟差值，所以输出变量数目为1，满足ANFIS要求单变量输出的要求。同时，针对钟差预报以连续6个历元预测后1个钟差的特点，本文采用滚动预报的方式进行钟差预报，即利用当前历元的数据和前5个历元的数据构成新的6个输入数据，进行反复迭代，预测未来一段时间的卫星钟差。

综上所述，本文构造的网络结构中，输入个数设为6，输出设为1，确定隶属度函数的个数为3，误差步长设为0.001，最大训练进化次数为500，学习算法采用混合学习算法，聚类算法采用模糊C均值聚类。

1.3 SSA-ANFIS组合模型

图 2为SSA-ANFIS模型的预报流程，具体步骤如下：

1) 使用卫星钟差相位数据作为模型的初始数据，再将其转为频率数据，并利用中位数方法对频率数据进行预处理，检测并剔除粗差，对剔除粗差的历元使用线性插值方法补齐。

2) 对经过预处理的钟差数据进行历元间作差，得到一次差数据，即模型所需建模数据序列。

3) 使用SSA方法对一次差数据进行分解，得到一系列分量，根据奇异值的大小，叠加不同奇异值所代表的分量，重构为趋势项与残差项。

4) 对网络模型输入进行模糊化，得到一个[0, 1]区间的隶属度；再将各隶属度相乘，并对结果进行归一化处理；然后对归一化后的数据进行加权求和，得到每条输入对应的输出；最后对每条输出求和，得到最终的钟差预报值。

5) 采用滚动预报的方式对趋势项和残差项进行预报，最后将2项分量预报值叠加，并进行反差分处理，得到最终的钟差预报序列。

2 实验及分析

使用武汉大学IGS数据中心提供的事后精密钟差数据验证本文模型的有效性，时间为2022-09-24~30，采样间隔为30 s。本文只针对BDS-3卫星进行实验，因此使用C19~C46号BDS-3卫星，并以当天前12 h的数据为训练数据，后12 h的数据为测试数据。表 1为BDS-3卫星原子钟类型。实验前，先使用中位数方法对原始钟差数据进行粗差探测并剔除，其中的粗差阈值采用4倍中位数，然后用线性插值方法将剔除的数据恢复。选取均方根误差RMSE和极差RE作为评价模型精度和稳定性的指标。

2.1 实验1

为了评估输入历元个数以及其他参数对ANFIS模型预报精度的影响，以2022-07-25的钟差数据作为实验数据，选取4颗BDS-3卫星(C21、C23、C26、C28)作为实验对象，从输入历元个数、学习算法、聚类算法等方面进行实验。同时，使用当天前12 h的数据进行建模，预测后12 h的钟差数据。实验只改变单一变量，同时保证其他变量不变。表 2为4颗卫星在不同输入个数时的12 h预报结果(包括其平均值和计算时间)，表 3为不同聚类算法下的12 h预报结果，表 4为不同学习算法的12 h预报结果。

由表 2可见，随着输入个数的增加，其预测精度大体呈现先增加再降低的趋势，而模型训练和预测所需要的计算资源和计算时间却在不断增加。综合考虑预测精度和计算时间，认为输入个数为6是比较合适的。由表 3可见，模糊C均值聚类的预测精度和计算时间均优于减法聚类。由表 4可见，混合算法的预测精度较高，但耗时较长。考虑到计算时间之间的差距并没有预测精度的差距大，本文选择精度较高的混合算法。

2.2 实验2

为验证分解层数和建模时长对模型的影响，以经过处理的一次差数据为实验数据，选取4颗BDS-3卫星(C21、C23、C26、C28)作为实验对象，分别使用SSA-ANFIS模型和ANFIS模型进行预报，并对建模时长为3 h、6 h、12 h、15 h、18 h、24 h的数据进行建模，预测后12 h的数据。本次实验选择的分解层数为3、6、9、12、15、18、21、24。限于篇幅，只给出9层、18层以及3 h、6 h、12 h的预测效果图。

图 2为4颗卫星SSA方法9层、18层以及3 h、6 h、12 h的结果，表 5为ANFIS模型和SSA-ANFIS模型的12 h预报结果统计值，表 6为不同分解层数下的12 h预报结果平均统计值，表 7为不同建模时长下的12 h预报结果平均统计值。

由图 2和表 5看出，不同建模时长对ANFIS模型的影响较大。建模时长为12 h时，4颗卫星普遍具备较好的预测效果，能够不同程度地改善预报结果，最大预报误差为0.557 ns；建模时长为6 h时，仅C28卫星具有较好预测效果，最大预报误差为1.324 ns；建模时长为3 h时，C23和C26卫星预测效果较好，最大预报误差为1.451 ns。

由表 6、7(单位ns)可见，分解层数从3层增加至24层时，模型预测精度先提高后降低，且9~18层间能取得较好的效果；建模时长对预测精度的影响也呈现相同的趋势，在12 h以后能取得较好的效果。虽然增加建模时长可以有效提升卫星钟差预测精度，但其计算时间也会增加，因此后续实验均以12 h作为建模时长。

对比分析4颗卫星的预报结果发现，SSA-ANFIS模型的预测精度受到分解层数以及建模时长的影响。9~18层分解都能有效增加SSA-ANFIS模型的预报精度，且存在随层数增加，精度提高或降低的趋势。比如，对于C21和C23卫星，9层分解能够取得最好的预测效果；而对于C26和C28卫星，18层分解能够取得最好的预测效果，这表明对于钟差而言，星钟类型的不同会导致同样的分解层数产生不同的效果。

另外，对于C28卫星，使用6 h数据量进行预测时，SSA-ANFIS模型的预测精度无法得到提高。这是因为此时ANFIS模型已经达到最优，进行多层分解也无法提高精度。

2.3 实验3

为验证SSA-ANFIS模型在进行钟差预报时的优势，基于2022-09-30的钟差数据，对C19~C46卫星分别采用GM(1, 1)、QP、LSTM、ANFIS和SSA-ANFIS模型进行预报实验，其中GM(1, 1)和QP模型使用经过预处理的原始数据，LSTM模型、ANFIS模型以及SSA-ANFIS模型使用经过预处理的钟差一次差数据。所有模型均使用12 h的数据(共1 440个历元)进行建模，预测未来12 h的钟差数据。图 3为C26和C28卫星采用不同模型的预报残差结果图，图 4为所有卫星的预报结果。

由图 3、4可见，5种模型均存在误差随时间增加而累积的现象，但3种神经网络模型的表现优于2种传统模型。

在预报精度方面，GM(1, 1)模型性能最差，其次为QP模型，仅达到ns级；ANFIS和LSTM模型效果较好，虽然在某些卫星上出现ANFIS模型优于LSTM模型的情况，但整体而言，LSTM模型性能更好；SSA-ANFIS模型在绝大部分卫星上都表现出最优效果。

由图 4还可以得出，搭载氢钟的卫星的预测精度普遍高于搭载铷钟的卫星，从侧面说明氢钟的性能比铷钟优越，所产生的卫星钟差数据质量更好。

2.4 实验4

为进一步验证SSA-ANFIS模型的有效性，基于实验3，将实验数据扩展至2022-09-24~30的连续7 d的钟差数据，以当天前12 h的数据为建模数据，分别采用5种模型预报3 h、6 h、12 h的卫星钟差，连续预报7 d，并求出平均值。图 5为C19~C46卫星12 h预报结果平均值，表 8(单位ns)为5种模型的3 h、6 h、12 h预报时长的RMSE和RE平均值。

由图 5和表 8可以看出，SSA-ANFIS模型的预测精度最高，其7 d的3 h、6 h和12 h预报误差均值分别为0.066 ns、0.112 ns和0.293 ns，相比LSTM模型提高25.7%~40.7%，相比ANFIS模型提高39.4%~45.7%；其稳定度相比LSTM模型提高19.5%~33.2%，相比ANFIS模型提高31.5%~34.5%。这是由于SSA方法能有效分解出钟差序列中的趋势项和随机项，并利用模型分别进行预测，充分考虑了钟差序列不同成分之间的干扰所引起的误差。而QP模型和GM(1, 1)模型预报精度较差，这是因为QP模型适合线性较强的数据，但卫星钟差受轨道、辐射等因素的影响会出现很强的非线性特征；GM(1, 1)模型则是因为要根据不同的卫星情况来建模，否则会产生较大误差。

随着预报时长的增加，QP和GM(1, 1)模型预报精度迅速下降；LSTM和ANFIS模型缓慢下降，具有误差累积效应；SSA-ANFIS模型虽然精度也在降低，但降低幅度小于其他模型。说明组合模型能有效降低误差累积的问题，提高模型的有效期。

从星钟类型来看，仍然是搭载氢钟的卫星预报效果优于搭载铷钟的卫星。

3 结语

本文提出一种新的卫星钟差预测模型SSA-ANFIS，并对其进行有效性实验，为BDS-3钟差预测提供新的思路和方法。实验结果表明，相比于传统的QP、GM(1, 1)模型和单一的ANFIS、LSTM模型，SSA-ANFIS模型具有更好的预测效果和稳定性，具体结论如下：

1) 本文首先构建了ANIFS模型，与QP和GM(1, 1)模型相比，ANIFS模型能够更好地预测卫星钟差，但比LSTM模型略差。此外，建模时长对预测结果有显著的影响，适当增加建模时长可以提高预测精度，但计算成本也随之增加。因此综合考虑，选择12 h作为建模时长具有更好的效果。

2) 本文提出的SSA-ANFIS模型能够有效改善单一ANFIS模型的预测精度和稳定性。这是因为单一ANFIS模型难以考虑卫星钟差序列中各种成分之间的干扰，而SSA-ANFIS模型可以将其分解成趋势项和残差项，并分别进行预测，从而充分利用钟差序列中的信息。

3) 通过实验确定不同卫星需要的SSA分解层数，发现9~18层基本能满足所有卫星的需求，得到较好的预测结果。

4) 单一模型存在误差随时间增加而累积的问题，而SSA-ANFIS模型在控制误差累积方面表现更好，并且预测精度和稳定性都得到不同程度的提高。

5) 对于BDS-3卫星来说，氢钟的性能要优于铷钟。

6) 虽然SSA方法并不能在所有情况下都提高预测精度，但对于单一模型难以达到最优的情况，SSA是一种有效的改善方法。