对流层延迟是GNSS精密定位的重要误差源之一，其在无基站的情况下无法通过差分消除，且无法像电离层延迟一样可通过双频无电离层组合消去，一般通过模型或参数估计的方法进行改正^[1]。GPS/GLONASS双系统PPP模糊度固定(PPP-AR)速率在5 min和10 min时分别为73.71%和95.83%^[2]，单BDS系统PPP-AR在E、N和U方向的定位精度相比于浮点解分别提高13.2%、2.7%和28.4%^[3]。

研究表明，高精度天顶对流层延迟可有效加快PPP收敛速度^[4-7]，单系统至多系统下PPP估计可提高对流层延迟精度，为ZTD模型的精化提供更多条件。目前关于对流层延迟模型的相关研究成果较多^[8-14]，但鲜有学者对多系统PPP估计ZTD精度进行系统研究，多系统结合PPP-AR估计GNSS ZTD的可靠性也有待评估。随着我国北斗三号全球卫星导航系统的正式开通，北斗系统的加入对ZTD估计的影响也具有迫切的研究需求。本文通过将固定解及浮点解在不同系统之间进行对比，分析纬度、高度及AR对ZTD估计精度的影响，为通过PPP估计ZTD来加快收敛时间提供理论支撑。外部数据法估计的ZTD精度虽高，但与GNSS ZTD具有本质区别，两者存在一定的系统误差，故本文未对此估计方法进行比较。

1 理论方法 1.1 ZTD估计原理

对于单台接收机r和单颗观测卫星s的双频无电离层组合观测，其PPP原始观测方程可表示为：

$\left\{\begin{array}{c} P_{\mathrm{r}, 1}^{\mathrm{s}}=\rho_{\mathrm{r}}^{\mathrm{s}}+t_{\mathrm{r}}-t^{\mathrm{s}}+m_{\mathrm{r}, w}^{\mathrm{s}} Z_{\mathrm{r}, w}+ \\ b_{\mathrm{r}, 1}-b_1^{\mathrm{s}}+e_{\mathrm{r}, 1}^{\mathrm{s}} \\ P_{\mathrm{r}, 2}^{\mathrm{s}}=\rho_{\mathrm{r}}^{\mathrm{s}}+t_{\mathrm{r}}-t^{\mathrm{s}}+m_{\mathrm{r}, w}^{\mathrm{s}} Z_{\mathrm{r}, w}+ \\ b_{\mathrm{r}, 2}-b_2^{\mathrm{s}}+e_{\mathrm{r}, 2}^{\mathrm{s}} \\ L_{\mathrm{r}, 1}^{\mathrm{s}}=\rho_{\mathrm{r}}^{\mathrm{s}}+t_{\mathrm{r}}-t^{\mathrm{s}}+m_{\mathrm{r}, w}^{\mathrm{s}} Z_{\mathrm{r}, w}+ \\ B_{\mathrm{r}, 1}-B_1^{\mathrm{s}}+\lambda_1 N_{\mathrm{r}, 1}^{\mathrm{s}}+\varepsilon_{\mathrm{r}, 1}^{\mathrm{s}} \\ L_{\mathrm{r}, 2}^{\mathrm{s}}=\rho_{\mathrm{r}}^{\mathrm{s}}+t_{\mathrm{r}}-t^{\mathrm{s}}+m_{\mathrm{r}, w}^{\mathrm{s}} Z_{\mathrm{r}, w}+ \\ B_{\mathrm{r}, 2}-B_2^{\mathrm{s}}+\lambda_1 N_{\mathrm{r}, 2}^{\mathrm{s}}+\varepsilon_{\mathrm{r}, 2}^{\mathrm{s}} \end{array}\right. $

(1)

式中，P_{r, n}^s为伪距观测量，L_{r, n}^s为相位观测量，n为信号频率，ρ_r^s为卫星和接收机天线相位中心之间的几何距离，t_r和t^s分别为接收机钟差和卫星钟差，Z_{r, w}和m_{r, w}^s分别为天顶对流层湿延迟和投影函数(本文采用GMF映射函数^[15])，b_{r, n}和b_n^s分别为接收机端和卫星端的伪距硬件延迟，B_{r, n}和B_n^s分别为接收机端和卫星端的相位硬件延迟，N_{r, n}^s为整周模糊度，e_{r, n}^s和ε_{r, n}^s分别为伪距和相位观测量的测量误差、多路径、模型残余误差等的总和。相对论效应、地球自转偏差及潮汐改正等误差项均由精确模型进行改正，因此观测方程中视为已改正。

图 1为数据处理流程，其中数据预处理部分采用Melbourne-Wübbena组合(MW组合)和无几何相位组合方法进行周跳探测与剔除，函数模型采用式(1)形式进行，天顶对流层延迟及其他参数改正策略如表 1所示。本文滤波收敛定义为E、N、U方向偏差均优于0.5 dm，为确保结果的可靠性，连续20个历元的偏差均在限值以内才认为滤波在当前历元收敛。

1.2 PPP-AR理论

模糊度固定的实质是考虑模糊度参数整周特性的最小二乘估计，其中关键是获取整数模糊度的约束条件。由于PPP中模糊度参数的相关性较强，为获取其整数值，往往通过最小二乘模糊度降相关平差法(LAMBDA)得到，从而作为整数最小二乘的约束条件，获得待定参数的固定解。

本文采用无电离层组合模型，具体求解过程为：

1) 获取星间单差宽巷模糊度。无电离层组合模型的浮点宽巷模糊度$ \hat{N}_{\mathrm{r}, \mathrm{wL}}^{\mathrm{s}}$可通过MW组合观测值求得，MW组合值即相位观测的宽巷值与伪距观测的窄巷值之差，求解公式为：

$ \begin{gathered} \hat{N}_{\mathrm{r}, \mathrm{wL}}^{\mathrm{s}}=\frac{L_{\mathrm{r}, 1}^{\mathrm{s}}}{\lambda_1}-\frac{L_{\mathrm{r}, 2}^{\mathrm{s}}}{\lambda_2}-\frac{\lambda_2 P_{\mathrm{r}, 1}^{\mathrm{s}}+\lambda_1 P_{\mathrm{r}, 2}^{\mathrm{s}}}{\left(\lambda_1+\lambda_2\right) \lambda_{\mathrm{WL}}}= \\ N_{\mathrm{r}, \mathrm{wL}}^{\mathrm{s}}+d_{\mathrm{r}, \mathrm{wL}}-d_{\mathrm{WL}}^{\mathrm{s}} \end{gathered} $

(2)

式中，L_{r, 1}^s和L_{r, 2}^s分别为接收机r接收到卫星s的L1和L2载波相位观测值，λ₁和λ₂分别为L1和L2载波波长，P_{r, 1}^s和P_{r, 2}^s分别为接收机r接收到卫星s的L1和L2伪距观测值，λ_WL为宽巷模糊度的波长，d_{r, WL}和d_WL^s分别为接收机端与卫星端的相位偏差。

2) 获取星间单差窄巷模糊度。将浮点PPP解算的星间单差模糊度N_{r, IF}^s和步骤1)获得的整周宽巷(WL)模糊度代入式(3)，即可得到窄巷(NL)模糊度N_{r, NL}^s：

$ \begin{gathered} N_{\mathrm{r}, \mathrm{WL}}^{\mathrm{s}}=\frac{\lambda_{\mathrm{IF}} N_{\mathrm{r}, \mathrm{NL}}^{\mathrm{s}}}{\lambda_{\mathrm{NL}}}-\frac{\lambda_1 N_{\mathrm{r}, \mathrm{WL}}}{\lambda_2-\lambda_1}= \\ N_{\mathrm{r}, \mathrm{NL}}^{\mathrm{s}}+d_{\mathrm{r}, \mathrm{NL}}-d_{\mathrm{NL}}^{\mathrm{s}} \end{gathered} $

(3)

式中，λ_NL为窄巷模糊度的波长，$ \lambda_{\mathrm{NL}}=\frac{c}{f_1^s+f_2^s}$。使用NL产品消除(d_{r, NL}－d_NL^s)项恢复其整数特性后，通过LAMBDA算法即可得到整周NL模糊度。

3) 获得星间单差无电离层模糊度固定解：

$ N_{\mathrm{r}, \mathrm{IF}}^{\mathrm{s}}=\lambda_{\mathrm{NL}} N_{\mathrm{r}, \mathrm{NL}}^{\mathrm{s}}-\frac{\lambda_2^{\mathrm{s}}}{\gamma_2^{\mathrm{s}}-1} \lambda_{\mathrm{WL}} N_{\mathrm{r}, \mathrm{WL}}^{\mathrm{s}} $

(4)

式中，$ N_{\mathrm{r}, \mathrm{wL}}^{\mathrm{s}}=N_{\mathrm{r}, \mathrm{NL}}^{\mathrm{s}}-N_{\mathrm{r}, 2}^{\mathrm{s}}, N_{\mathrm{r}, \mathrm{NL}}^{\mathrm{s}}=N_{\mathrm{r}, 1}^{\mathrm{s}}, \lambda_2^{\mathrm{s}}$为N_{r, 2}^s波长，$ \gamma_2^s=\left(\frac{f_1^s}{f_2^s}\right)^2$。固定WL、NL模糊度后代入式(4)，即可获得星间单差无电离层模糊度固定解，然后以其为约束即可求得接收机位置、对流层等参数的固定解。

2 实验分析 2.1 数据来源

本文选取全球80个MGEX测站2021-09共30 d的观测数据，精密轨道钟差及相位偏差数据选用武汉大学卫星导航定位技术研究中心发布的产品。实验所需的ZTD参考值为IGS提供的对流层延迟产品^[11]，该产品包括全球大量跟踪站的对流层延迟解算值，由全球7个分析中心采用6套不同软件，按照延迟参数估计法在平差过程中将每2 h的天顶对流层延迟作为待定参数，随观测资料一起进行估算，再通过加权平均计算得到。该对流层延迟产品精度优于4 mm^[16]。

2.2 多系统PPP解算ZTD精度分析

分别采用单GPS、单BDS、GPS+BDS及GPS+BDS+GLONASS+Galileo四系统进行精密单点定位，然后通过IGS提供的ZTD参考值计算精度。统计4种不同方案的ZTD精度，结果见表 2(单位mm)，并根据平均绝对偏差(MAE)和均方根误差(RMSE)结果绘制全球分布图，具体见图 2和图 3。

由表 2可知，单BDS系统的ZTD精度最差，MAE为9.6 mm，RMSE为11.4 mm；而GPS+BDS+GLONASS+Galileo四系统的ZTD精度最优，MAE为6.7 mm，RMSE为8.0 mm，RMSE精度提高约30%。在单系统下，单GPS系统的MAE和RMSE分别为8.5 mm和9.5 mm，相比于单BDS系统精度分别提高1.1 mm和1.9 mm。但由图 3可知，在亚太地区单BDS系统结果并不差于单GPS系统。众所周知，PPP解受卫星轨道与钟差产品精度以及星座几何强度的影响较为明显，为验证实验结论，进一步选取单GPS系统和单BDS系统ZTD精度相差大于1 mm的测站，统计其观测到对应系统的卫星数平均值，结果如图 4所示。可以看出，这些测站所观测到的BDS卫星数均多于GPS，其中IISC、CUSV等亚洲地区测站观测到的BDS卫星数达到20余颗，远多于GPS。观测到更多的卫星可使卫星结构更好、多余约束增多，提高待估参数的精度，验证了本文实验结论的合理性。

单系统的MAE和RMSE明显差于多系统组合。在添加BDS系统后，GPS+BDS双系统的定位精度明显优于单GPS系统，MAE和RMSE精度分别提升0.7 mm和0.6 mm；进一步增加GLONASS和Galileo系统，MAE和RMSE精度进一步提高，相比于GPS+BDS双系统分别提高1.1 mm和0.9 mm，说明增加系统对ZTD估计精度的提高具有积极作用。

在空间分布上，通过图 2和图 3可以发现，MAE和RMSE精度随纬度的增加显著提高，并呈现以赤道为轴、南北对称分布的特点，其中以GPS+BDS+GLONASS+Galileo四系统的分布趋势最为明显。这是由于随着纬度增加，对流层高度降低，对流层湿延迟量降低，提高了计算的精确性。由此可见，多系统估计ZTD的精度优势较为明显，但由于数据处理效率等原因，本文仅针对该月份的ZTD估计精度进行分析，未涉及全年时间尺度条件。

2.3 测站海拔对ZTD精度的影响

由前文可知，全球范围内测站的ZTD精度变化受纬度影响较大，而海拔同样有可能对ZTD精度产生影响。为减小经纬度变化的影响，本文选取欧洲地区45°~60°N范围内的10个测站数据，并在四系统条件下对其ZTD精度进行评估，结果见表 3和图 5。可以看出，随着海拔降低，ZTD精度基本呈逐渐下降的趋势，但影响力弱于纬度。

2.4 PPP-AR解算ZTD精度分析

整周模糊度求解是PPP的关键问题，正确固定整周模糊度能使PPP定位精度达到cm甚至mm级^[17]。图 6为单GPS系统下全球80个测站的固定解解算结果，将其与浮点解解算精度进行对比。可以看出，在单GPS系统下，相比于浮点解，固定解(固定率小于85%的测站被剔除)的ZTD精度明显提高，其中MAE为7.6 mm，相比于浮点解(8.5 mm)提高11%，RMSE为8.4 mm，相比于浮点解(9.5 mm) 提高12%。由图 6(a)中MAE点位数量可知，在模糊度固定后，相比于浮点解，标记为黑色(精度高于5 mm)的测站数量明显增多，说明模糊度固定后观测精度明显提高；而根据点位分布可知，相比于浮点解，MAE分布并未明显受到经纬度或高程变化的影响。由图 6(b)可知，与浮点解相比，固定解下测站ZTD的整体RMSE精度均明显提升，且浮点解中精度很差的测站(剔除率为12%)在固定过程中已被剔除，这也导致RMSE结果整体有明显提高，同时点位分布仍然表现为随着纬度增加精度逐渐提高的特性。

表 4(单位mm)为单GPS系统下中高纬度地区6个站点在收敛后浮点解与固定解E、N、U方向的精度偏差统计，同时以KIR0测站doy244数据为例，绘制单GPS系统下浮点解与固定解E、N、U方向定位精度分布。可以看出，除ENAO测站外，其他站点U方向精度基本提高1 mm以上，而E方向精度除ENAO及GRAZ测站外并无明显提高，N方向精度仅在GRAZ测站有显著提高，达到2.8 mm，可见在模糊度固定后，U方向精度具有较显著提高。相比于收敛后定位精度的提高，模糊度固定对收敛速度的加快更为明显。

从图 7可以看出，浮点解在开始计算后40 min达到收敛条件，固定解则在20 min后达到收敛条件，可见在模糊度固定后，E、N、U方向收敛速度均明显加快。同时可以发现，固定解下三方向的精度偏差小于0.5 cm。

3 结语

本文利用武汉大学卫星导航定位技术研究中心发布的精密轨道钟差及相位偏差产品，基于全球80个MGEX监测站数据，采用无电离层组合模型在单GPS系统、单BDS系统、GPS+BDS双系统及GPS+BDS+GLONASS+Galileo四系统下对多系统PPP天顶对流层延迟时空序列精度进行评估及分析，结论如下：

1) 在相同条件下，单GPS系统的ZTD精度优于单BDS系统，但在亚太地区单BDS系统优于单GPS系统。同时，随着系统数量增加，ZTD精度进一步提高，四系统ZTD精度最优，RMSE为8.0 mm。

2) ZTD精度表现出随纬度增加逐渐提高的特征，而经度变化对其影响不大。另外，随着海拔升高，ZTD精度也有所提高，但与纬度相比变化并不明显。

3) 模糊度固定后，相比于浮点解，ZTD作为参数估计的RMSE结果有明显提高，同时U方向定位精度显著提升，收敛时间也大幅缩短。